数学函数单调性新人教A必修实用教案

1、一、问题(wnt)提出思考1：分别作出 的图像(t xin)，并且观察自变量变化时， 函数值有什么变化规律。2, 2, 2xyxyxyxy1，2 xy2xy2xy xy1注意：函数(hnsh)的单调性是对定义域内某个区间而言的， 是函数(hnsh)的局部性质。第1页/共18页第一页，共18页。思考2：能否(nn fu)根据自己的理解说说什么是增函数， 什么是减函数？（1）如果函数在某个区间上随着自变量x的增大(zn d)， y也越来越大，我们就说函数在该区间上为增函数。（2）如果函数在某个区间上随着(su zhe)自变量x的增大， y越来越小，我们就说函数在该区间上为减函数。第2页/共18页第

2、二页，共18页。例：下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)， 根据图像(t xin)说出函数的单调区间以及每一单调 区间上，它是增函数还是减函数？第3页/共18页第三页，共18页。二、新知(xn zh)探究解析(ji x)法图像(t xin)法通俗语言：在区间（0，+）上， 随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。数学语言：在区间（0，+）上， 任取 ，得 当 时，有 。这时我们就说函数 在区间（0，+）上是增函数21,xx,)(,)(222211xxfxxf21xx )()(21xfxf2)(xxfx 01 2 3 4f(x) 01 4 9 16 列表法第4页/共18页第四页，共18页

3、。定义： 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果(rgu)对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说f(x)在区间D上是增函数。21,xx21xx )()(21xfxf 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果(rgu)对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说f(x)在区间D上是减函数。21,xx21xx )()(21xfxf*如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数， 那么(n me)就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性， 区间D叫做y=f(x)的单调区间。第5页/共18页第五页，共18页。判断题：（1）已知f(x

4、)=1/x ，因为f(-1)f(2),所以(suy)函数f(x)是 增函数。（2）若函数f(x)满足f (2)f(3),则函数f(x)在区间2，3 上为增函数。（3）若函数f(x)在区间(1，2和(2，3)上均为增函数， 则函数f(x)在(1，3)上为增函数。（4）因为函数f(x)=1/x在区间（-，0）和（0，+） 上都是减函数，所以(suy)f(x)=1/x在（-，0）（0，+） 上是减函数。第6页/共18页第六页，共18页。注意：单调性是对定义域内某个区间而言的， 离开了定义域和相应(xingyng)区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间， 可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定

5、义域内 某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减） 函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数第7页/共18页第七页，共18页。例1：证明(zhngmng)f(x)=-2x+1在R上是减函数。例2：证明(zhngmng) 在0, +)上是增函数。2)(xxf用定义证明函数单调(dndio)性的步骤：1.任取2.作差3.变形4.定号5.结论2121,xxDxx且第8页/共18页第八页，共18页。三、知识(zh shi)迁移例3：证明函数(hnsh) 在区间(- , 1 上是增函数(hnsh)。32)(2xxxf例4:证明(zhngmng

6、)函数 在2，6上是减函数。12xy第9页/共18页第九页，共18页。例5：证明(zhngmng)函数 上是增函数。 ），在（22)(xxxf2121,2,xxxx，且证明：任取)2()2()()(221121xxxxxfxf)2()21 ()(2)22(21212121212112212121xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx）（）（）（）（）上是增函数，在（，即，22)()()(0)()(022, 02212121212121xxxfxfxfxfxfxxxxxxxx第10页/共18页第十页，共18页。例6：证明(zhngmng)函数 在R上是增函数。xxxf3)(证明(zhngmng

7、)：任取2121,xxRxx且)()()()(23213121xxxxxfxf则)(213231xxxx）（)()(2122212121xxxxxxxx）（) 1)(22212121xxxxxx1432)(2222212121xxxxxxx143)2()(2222121xxxxx第11页/共18页第十一页，共18页。21xx 021xx上是增函数。在即）而（Rxxxfxfxfxfxfxxx3212122221)()()(, 0)()(01432第12页/共18页第十二页，共18页。例7：证明(zhngmng)函数 在其定义域内 是减函数。xxxf1)(2，的定义域为证明：)(xf)1()1()

8、()(),(,222121212121xxxxxfxfxxfxx且设任意的11)1()1()(11)11()()()(11)()(11)()11(22212222112122212221212121222121212122212221212221xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx第13页/共18页第十三页，共18页。21xx 。在其定义域内是减函数即即有，都有对任意又，且xxxfxfxfxfxfxxxxxxxxxxxxRxxxxx1)()()(0)()(01, 0101,110110221212222112222222121第14页/共18页第十四页，共18页

9、。思考(sko)（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？ 为什么？)()()()()()()()(),()(,)()(22112121212121xgxfxgxfxFxFxgxgxfxfxxDxxDxgDxf都有且任取上是增函数在区间上是增函数，在区间)()()()(2121xgxgxfxf)()(, 0)()()()(212121xFxFxgxgxfxf即所以函数(hnsh)F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数(hnsh)是第15页/共18页第十五页，共18页。（2）如果函数f(x)在区间(q jin)D上是减函数， 函数g(x)在区间(q jin)D上是减函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？ 为什么？（3）如果函数(hnsh)f(x)在区间D上是减函数(hnsh)， 函数(hnsh)g(x)在区间D上是增函数(hnsh)。 问：能否确定函数(hnsh)F(x)=f(x)+g(x)的单调性？反例：f(x)=x在R上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数 此时 F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0为常函数，不具有