数学分析数列极限定义学习教案

1、会计学1数学分析数列极限数学分析数列极限(jxin)定义定义第一页，共25页。1. 复习(fx)了基本的符号、集合的知识。2. 复习了函数(hnsh)、反函数(hnsh)、复合函数(hnsh)的定义。3. 复习了函数的几个性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。第1页/共25页第二页，共25页。定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.;,2 , 8 , 4 , 2n;

2、,21,81,41,21n2n21n第2页/共25页第三页，共25页。“割之弥细，所失割之弥细，所失弥少，割之又割，弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周则与圆周(yunzhu)合体而合体而无所失矣无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽第3页/共25页第四页，共25页。R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS第4页/共25页第五页，共25页。“一尺一尺(y ch)之棰，日截其半，万世不竭之棰，日截其半，万世不竭”;211 X一天截下的杖长为一天截下的杖长为;212122 X二天截下的杖长总

3、和为二天截下的杖长总和为;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为nnX211 1第5页/共25页第六页，共25页。. , 355),-408( ,先驱先驱穷竭法穷竭法公元前公元前欧多克斯欧多克斯古希腊古希腊. 212),-287(面积面积穷竭法求抛物线弓形的穷竭法求抛物线弓形的公元前公元前古希腊，阿基米德古希腊，阿基米德第6页/共25页第七页，共25页。第7页/共25页第八页，共25页。第8页/共25页第九页，共25页。第9页/共25页第十页，共25页。第10页/共25页第十一页，共25页。lim0nnalimnna 0,()|nNnNa 或，( 0),nMNnNaM ，

4、limnna ,|nMNnNaM ，|第11页/共25页第十二页，共25页。定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多不论它多么小么小),),总存在正整数总存在正整数 N, ,使得对于使得对于 Nn 时的时的一切一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数 a是数列是数列 nx 的极限的极限, ,或者称数列或者称数列 nx 收敛收敛于于a, ,记为记为 ,limaxnn 或或 ).( naxn 如果如果(rgu)数列没有极限数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.第12页/共25页第十三页，共25页。x1x2x2 Nx1 Nx

5、3x几何几何(j h)解释解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn 其中其中(qzhng);:每一个或任给的每一个或任给的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使第13页/共25页第十四页，共25页。limnna limnna limnna N只要存在即可，与 有关(可以视为函数关系)lim0,( )0,( ),.nnnxaNnNxa 满足第14页/共25页第十五页，共25页。11lnnniani第15页/共25页第十六页，共25页

6、。 取取多多大大？方方法法：倒倒推推法法；为为保保证证（构构造造出出来来）存存在在性性！是是思思路路：验验证证定定义义；关关键键分分析析：naaNn, .lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成立成立 ,0 任给任给所以所以(suy),0 1,NnN .limCxnn 第16页/共25页第十七页，共25页。. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明 000nqq，结结论论成成立立。若若 nnqq，q010欲欲使使当当 qN，qnlglglglg 取取)0(lg ,lglg qqn 只要：只要：lnln1ln| |ln| |ln,1ln |0(0)|qqnN

7、nNqqqqq证：，第17页/共25页第十八页，共25页。证证, 0 任任给给,0 nnqx,lglg qn,lglgqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lglgqn 第18页/共25页第十九页，共25页。0)1(12lim nn证：证：n21 121)1(1022nnnan欲使欲使，只要只要 21 n. 21 即可即可取取 N 0)1(12102nNnN时，有时，有，当，当，因为(yn wi)只需要证明存在N，不用找最小的N第19页/共25页第二十页，共25页。（否否定定所所有有找找一一个个）不

8、不成成立立都都成成立立否否0 （否否定定一一个个找找所所有有）都都不不成成立立成成立立否否NN “所有人都没吃”“所有人都没吃”“至少一个人吃饭了”“至少一个人吃饭了”人吃了”人吃了”“甲吃了”或“至少一“甲吃了”或“至少一“所有人都没吃饭”“所有人都没吃饭”否否否否0,.nNnN aa 成立0000,.nNnNaa使否否aann lim的叙述方法的叙述方法第20页/共25页第二十一页，共25页。即便证明一个数列的极限不等于某数。不代表此数列极限不存在。由定义可知(k zh)，若要证明一个数列的极限不存在，必须证明任意的实数都不是此数列的极限。第21页/共25页第二十二页，共25页。( 1)nna 例：121212,0.5,0,| 0.5,| 0.5| | 1,NNNNNNbRNababaaabab 总有下两式至少一个成立否则：矛盾所以原数列发散。第22页/共25页第二十三页，共25页。1.本节课只需掌握2.2. 具体到每一个数列极限的习题(xt)，请动笔按照定义练习练习。(书上的例题，课后的习题(xt)lim0,0,.nnnxaNnNxa 满足第23页/共25页第二十四页，共25页。指出下列证明指出下列证明1lim nnn中的错误。中的错误。证明证明(zhng