初等函数的求导法则

1、初等函数的求导法则初等函数的求导法则 求导数的方法称为微分法。用定义只能求出求导数的方法称为微分法。用定义只能求出一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、一些较简单的函数的导数（常函数、幂函数、正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于正、余弦函数、指数函数、对数函数），对于比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来比较复杂的函数则往往很困难。本节我们就来建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这建立求导数的基本公式和基本法则，借助于这些公式和法则就能比较方便地求出常见的函些公式和法则就能比较方便地求出常见的函数数初等函数的导数，从而是初等函数的求初等函数的导数，从而是初等函数的求导问题系统化，简单

2、化。导问题系统化，简单化。一、和、差、积、商的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理定理并且并且可导可导处也处也在点在点分母不为零分母不为零们的和、差、积、商们的和、差、积、商则它则它处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu法则（法则（1）和（）和（2）可以推广到有限个可导函）可以推广到有限个可导函数的情况。例如数的情况。例如uuuuuu值得注意的是，在法则（值得注意的是，在法则（3

3、）中，若）中，若u (x) = 1，可得可得 21二、例题分析二、例题分析例例1 1 已知，已知， 求求 解解4523234xxxxyy 4523234xxxxy11061223xxx例例2 已知，已知， 求求解解3ln11cos)(3xxxxf)(xf 3ln11cos)(3xxxxf0131sin234xxxxxxxsin13123例例3 3.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例4 4.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(

4、tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即同理可得同理可得.csc)(cot2xx 例例5 5yxy 求求sec解解 xycos1xx2cos)(cos xxxxxtanseccos1cossin 同理可得同理可得xxxcotcsc)(csc 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则设函数设函数 在点在点x处可导，函数处可导，函数y = f (u)在对应在对应点点 处也可导，则复合函数处也可导，则复合函数 在在 点点x处可导，且处可导，且 )(xu)(xu xfydxdududy

5、dxdy上式也可写成上式也可写成 或或 。xuxuyy)()()(xufxy复合函数求导法则可以推广到含有多个中间变复合函数求导法则可以推广到含有多个中间变量函数的情况。量函数的情况。 例如，设例如，设 ， , 都可导，则有都可导，则有 或或)(ufy )(u)(xdxdddududydxdy)()()(xufyx这一法则称为复合函数的链导法。这一法则称为复合函数的链导法。 注注 1.链式法则链式法则“由外向里，逐层求导由外向里，逐层求导” 2.注意中间变量注意中间变量例例6 设设 ，求，求 。解解 设设 则则 。 因为因为 所以所以)32sin(xyxyxu32uysinxuxuyy)32c

6、os(33cosxuyx 例例7 求函数求函数 的导数。的导数。 解解 设设 ， 因为因为 所以所以3xey uey 3xu xuxuyy23xeyux323xex例例8 8 求函数求函数 的导数的导数 解解 设设 ， ， 在比较熟练地掌握了对复合函数的分解以后，在比较熟练地掌握了对复合函数的分解以后，就不必写出中间变量，只需直接由外向里，就不必写出中间变量，只需直接由外向里，逐层求导即可。逐层求导即可。 )cos(lnxey uylncosuxexuxuyy xeusin1 xxxeeecossin xxee tan注注1.基本初等函数的导数公式和上述求导法则基本初等函数的导数公式和上述求导

7、法则是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握是初等函数求导运算的基础，必须熟练掌握2.复合函数求导的链式法则是一元函数微分复合函数求导的链式法则是一元函数微分学的理论基础和精神支柱，要深刻理解学的理论基础和精神支柱，要深刻理解 ，熟，熟练应用练应用注意不要漏层注意不要漏层3.对于分段函数求导问题：在定义域的各个部对于分段函数求导问题：在定义域的各个部分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，分区间内部，仍按初等函数的求导法则处理，在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别在分界点处须用导数的定义仔细分析，即分别求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导求出在各分界点处的左、右导数，然后确定导数是否存在

8、。数是否存在。三、高阶导数三、高阶导数如果函数如果函数y = f (x)的导数的导数 仍是仍是x的可导的可导函数，则称函数，则称 的导数为的导数为f (x)的二阶导数。的二阶导数。 记作记作 ， ， 或或)(xfy)(xf y )(xf 22dxyd22dxfd相应地，把相应地，把y =f (x)的导数的导数 称为函数的一阶称为函数的一阶导数。导数。 )(xf 类似地，函数类似地，函数y = f (x)的二阶导数的二阶导数 的导数叫做的导数叫做函数函数y = f (x)的三阶导数，的三阶导数，一般地，函数一般地，函数y = f (x)的的n1阶导数的导数叫做函数阶导数的导数叫做函数y = f

9、(x)的的n阶阶导数，分别记作导数，分别记作y 二阶导数在力学中的意义：二阶导数在力学中的意义：若变速直线运动的质点运动方程为若变速直线运动的质点运动方程为S = S (t)，由第，由第一节可知一节可知 ；而速度对时间的变化率为加速；而速度对时间的变化率为加速度，即度，即 ， 所以有所以有dtdSt )(dtdta)(22)(dtSddtdSdtddtdta求函数的高阶导数并不需引进新的公式和法则，求函数的高阶导数并不需引进新的公式和法则，只需用一阶导数的公式和法则，逐阶求导即可。只需用一阶导数的公式和法则，逐阶求导即可。 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(33d

10、xydyxf 三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, .,),(44)4()4(dxydyxf记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函数一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.例例1 设设 ，求，求 解解 即即 ， Zxysinnndxyd2sincosxxdxdy22sin2cos22xxdxyd23sin22cos33xxdxyd2sinnxdxydnn 2sinsinnxxnn例例2 2.),()(nyRxy

11、求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x)1(2 xy3)2)(1( x)1()1()1()( nxnynn则则为为自自然然数数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 注意注意: : 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法证数学归纳法证明明)逐阶求导，寻求规律，写出通式逐阶求导，寻求规律，写出通式例例3 3.),1ln()(nyxy求求设设 解解xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn五、小结五、小结注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时, 分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件