第9章 异 方 差

1、第9章 异方差HETEROSCEDASTICITY What happens if the error variance is nonconstant? 异方差有什么性质 异方差的後果是什么 如何诊断存在异方差 如果存在异方差，该如何补救？9.1异方差的性质 实例 在低收入区域，收入的提高可以解释食品消费的增加，可得到一个规律。但这个规律在高收入区会不会同样有效？ 相似的道理，收入与支出在不同收入水平上，是否具有相同的规律？ 如果某家人每天的食谱都是一样的，穷还是富？南美安第斯山，穷人老是吃土豆和玉米 变异太小是“单调”、“斋”，他们无力“丰富”什么是异方差？是收入是储蓄；其中：的模型例如储蓄

2、与收入的关系的变化而变化，即的方差随异方差：的方差相同动项古典假定之一：随机扰iiiiiiiiiiiXYuXYXfXni21222)()var(,.,2 , 1)var(储蓄Y与收入X：异方差的图形表示(A)概率密度储蓄Y收入XiX21同方差(B)概率密度储蓄Y收入XiX21异方差(A)与(B)的比较相同点：收入增加，储蓄平均来说也增加。不同点： （A）储蓄的方差在所有的收入水平上保持不变。 （B）储蓄的方差随收入的增加而增加。解释：随收入增长，人们有更多的备用收入，从而如何支配他们的收入有更大的选择范围。现象的联想 林子大了同方差或者异方差假定下，都会有“什么鸟都有”的现象 如果相异的方差是

3、逐渐缩小，鸟的种类会随着林子扩大而变少 如果相异的方差是逐渐增大，鸟的种类会随着林子扩大而迅速增加 幸福的家庭无不相似，不幸的家庭各有不幸。列夫列夫托尔斯泰托尔斯泰安娜安娜卡列尼娜卡列尼娜 一个印象：电影、电视中的“坏人” 更容易使人记住产生异方差的主要原因 异方差多出现于截面数据产生异方差的主要原因模型中遗漏了影响逐渐增大的因素。如，储蓄函数中的证券投资、利息、消费者行为等因素；成本函数中的管理水平、生产技術条件和规模效应等因素；消费函数中的家庭财产、消费心理等因素。模型函数形式的误差。如将指数曲线模型误设成了线性模型，则误差有增大的趋势。随机因素的影响，如政策变动、自然灾害、金融危机等。行

4、业的销售收入与利润2009 排序後，前19个行业残差的方差为2722=73853，後20个行业残差的方差为4812=231169 可以用F检验231169与73853是否显著不同 计算F统计量231169/(20-2)/73853/(19-2)。其中，20与19为变量值个数，2是方程中包含截距项的自变量个数。F=2.956，对应的概率为1.51%，能认为两个群体具有不同的方差。9.2 异方差的後果consequences很严重 1-3最小二乘估计不再是有效估计 随机误差项为异方差时，OLS估计仍然是无偏估计，但不再具有最小方差的特性 4-5、CLRM假定下估计量b的方差有偏，一个不变的方差估计

5、值不可能代表相异的条件方差 6、t检验、F检验的可靠性降低，增大模型的预测误差 9.3 异方差的诊断1 问题的性质nature of problem 从统计学角度看，事物都表现为分布，对于正态分布，同质指均值、方差相等 如男女生的身高数值，变异系数可能接近，但均值不同。同样满足无偏性的射击比赛，但方差不同，可以区分高、低水平 计量分析中的X和Y通常具有数量上的互相影响关系，不同的量级代表了不同的经济性质，很可能存在异方差9.3 异方差的诊断2 残差的图形检验graphical examination of residuals 见“精要13例题”之残差图、残差平方图(收入X为横轴) 如果是多元回

6、归方程，可以使用残差平方对Y作图，注意，Y是有確定规律的，它是X的线性函数 如果呈现图9.6之b、c、d、e模式，即有异方差性存在残差的图形模式残差是无知的代名词 对于无知的东西，可能是本质性质的，有时，虽不知本质，但可以观察到现象 无知于理论或本质更常见，但无知与数量模式则很难敷衍塞责。 很多学问之中都有一些词表示“无知”9.3 异方差的诊断3帕克Park检验 其中的X，可以是每一个Xi，或者是Y。 如果B2以较大的概率为0，说明自变量对残差没有影响，不存在异方差。如果B2以较小的概率为0，说明自变量对残差有影响，则存在异方差。iiivXBBelnln2129.3 异方差的诊断4格莱泽Gle

7、iser检验 Gleiser又译戈里瑟，不是格兰杰 检验的原理同Park 如果经检验某方程是显著的，则表明随机误差项的方差随着解释变量取值的不同而变化，即存在异方差性。 两种检验的特点：不仅能检验异方差性，而且通过“实验”可以探测异方差的具体形式，这有助于进一步研究如何消除异方差性的影响。 , 5 . 0, 2, 1|21hvxBBeihii9.3 异方差的诊断5怀特White检验 White检验通过建立辅助回归模型的方式来判断异方差性 1.估计回归模型，并计算残差的平方 。 2.估计辅助回归方程 3.检验模型是否具有解释能力 4.如果chi方值大，则对应的p低，辅助回归方程具有解释能力的概率

8、低，则无异方差iiiiuXBXBBY33221iiiiiiiivXXAXAXAXAXAAe326235224332212212kRn9.4异方差的补救措施 What to do if heteroscedasticity is observed: remediak measures 两个基本思路 1.把异方差“算”成同方差，WLS 理想状态下，条件方差已知，方程两边同时除以各条件方差，即得同方差模型 实际中，条件方差未知， 假设误差方差与X成比例，则平方根变换 假设误差方差与X2成比例，则倒数变换 2.重新设定模型9.4.1 已知时：加权最小二乘法 考虑一元线性回归模型niuXYii, 2 ,

9、 1,212i如果每个观察值的误差项方差 是已知的，使用 为权数，对模型(9.18)作如下变换：2ii/112iiiiiiiYXu22211()()1iiiiiiuVarVar u通过加权变换使误差项变成同方差了。 由于 9.4.2 未知时：变换2i 如果 是未知的，可根据误差与解释变量或被解释变量的关系来確定变换的权数 先采用戈里瑟检验確定ei与Xi 之间的关系。2i情形11如 之间为线性关系，则可认为iiXe 与iiiXuE222选择 为权数，即对模型(9.18)两边同时乘以 ，将异方差模型变为同方差模型。 iX1iX1iiiiiiXuXXXY21情形2 如 之间为线性关系，则可认为iiX

10、e 与2222)(iiiXuE选择1/Xi为权数，可将模型(9.18)变换为如下模型：iiiiiXuXXY21北京市大百货商店销售资料 利用普通最小二乘法，根据表中数据，估计该回归方程为2329.9960.075(810.332)(0.012)( 0.407)(6.105)0.4891.616YXSetRDW 根据此回归方程，可以求出利税总额的回归估计值和残差 ，然後将销售收入Xi 作为横坐标，残差ei 为纵坐标，画出回归残差图。从残差图看，残差的有不断扩大的趋势，ui 存在明显的异方差性。()iiieYY残差图销售收入(万元)X14000012000010000080000600004000

11、0200000普通残差80006000400020000-2000-4000-6000戈里瑟检验的残差回归方程259. 0)692. 3()160. 1 ()215. 3)(857.748(027. 0419.5622RtSeXe305. 0)141. 4()147. 1()215. 3()857.748(314.13638.8582RtSeXe二个残差回归方程回归系数的显著性检验，均拒绝同方差假设，表明存在异方差性。右式的判定系数 较大。故认为 有线性关系， ，选择 为权数对原模型(13.18)进行变换。2RiiXe 与iiiXuE222)(iX1684. 1230. 0)194. 6()0

12、60. 0()011. 0()622.442(069. 01611.26/2DWRtSeXXXYiiii对变换後的模型使用普通最小二乘法得到如下结果：对比加权最小二乘估计式(右)与普通最小二乘估计式(左)，斜率系数相差很小，但加权最小二乘估计的标准误(0.011)要小于OLS估计的标准误(0.012)，说明在有异方差的情形下，普通最小二乘估计高估了估计量的标准误。2329.9960.075(810.332)(0.012)( 0.407)(6.105)0.4891.616YXSetRDW 684. 1230. 0)194. 6()060. 0()011. 0()622.442(069. 01611.26/2DWRtSeXXXYiiii变换函数形式 取对数後，可以降低原序列的差异程度，当然可以降低异方差的程度9.5 怀特异