第四章 流体的涡旋运动-2

1、1第四章 流体的涡旋运动2第四节凯尔文定理设在t=t0时刻，在流体中取出一条由流体质点组成的物质线L，任取一个张在其上的物质面S，则沿物质线L的速度环量和通过物质面S的涡通量I分别为：rdvLSSSrotvSI根据斯托克斯定理有：I3rddtdvrdvdtddtdLLvvpFdtdv311LLLrvvrprFdtd311线积分的随体导数P136138式2.12.5外力压力梯度粘性力4第四节凯尔文定理SSdtddtdISSISSSvvdtdSdtd)()(面积分的随体导数P137138式2.12.65第四节凯尔文定理SSdtddtdISSISSSvvdtdSdtd)()()()(vvdtd)(3

2、11vvpF亥姆霍兹方程6第四节凯尔文定理dtdISvvpFS)(311外力压力梯度粘性力LLLrvvrprFdtd311如果则有涡旋产生。0dtdI0dtd7第四节凯尔文定理 (1) 理想流体：0对理想流体，导致速度环量和涡通量的变化的粘性力因素不起作用。0)(31SvvS 运动粘度8第四节凯尔文定理 (2) 外力有势：即外力是一单值函数的势函数，满足下式：VgradFV0LLLSVdrVgradrFSF奥高定理梯度的性质P8定理2有势的外力不会引起速度环量和涡通量的变化9梯度的主要性质(P8)定理定理2 若若 a=grad ，且，且 是矢径是矢径r的单值函的单值函数，则沿封闭曲线数，则沿封

3、闭曲线L的线积分：的线积分：0dra反之，若矢量反之，若矢量a沿任一封闭曲线沿任一封闭曲线L的线积分的线积分0dra则矢量则矢量a必为某一标量函数的梯度，即必为某一标量函数的梯度，即 a=grad10第四节凯尔文定理 (3) 流体是正压的：011LLLSdrgradrgradpSgradp斯托克斯定理梯度的性质P8定理2 gradgradp1dp正压流体不会引起速度环量和涡通量的变化11第四节凯尔文定理如果是理想、正压流体，且外力有势，则沿任一封闭物质线的速度环量和通过任一物质面的涡通量在运动过程中恒不变。涡旋不生不灭定理（拉格朗日定理）如果是理想、正压流体，且外力有势，若初始时刻在某部分流体

4、内无旋，则以前或以后任一时刻中这部分流体皆无旋。反之，若初始时刻在某部分流体有旋，则以前或以后任一时刻中这部分流体皆有旋12涡线及涡管强度保持定理（亥姆霍兹定理）a) 如果是理想、正压流体，且外力有势，则在某一时刻组成涡面的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡面。如果是理想、正压流体，且外力有势，则在某一时刻组成涡管的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡管。13涡线及涡管强度保持定理（亥姆霍兹定理）如果是理想、正压流体，且外力有势，则在某一时刻组成涡线的流体质点在以前或以后任一时刻也永远组成涡线。（亥姆霍兹第一定理） 14涡线及涡管强度保持定理（亥姆霍兹定理）b) 如果是理想、正压流体

5、，且外力有势，则涡管的强度（涡通量）在运动过程中恒不变。(亥姆霍兹第二定理) 15亥姆霍兹定理的物理意义如果是理想、正压流体，且外力有势，则涡旋运动的分布形态涡线、涡面、涡管具有冻结性，反映涡旋运动强弱的涡通量具有恒定性。16第五节涡旋的产生条件如果是理想、斜压流体，且外力有势，则：LLLrvvrprFdtd311Lrp1SgradpS1斯托克斯定理对斜压流体，密度不是压力的单值函数，则：gradp1是多元复合函数17第五节涡旋的产生条件根据场论基本公式8：标量函数agradrotaa)(a：矢量函数gradpgradgradprotgradp111gradpgrad 21018第五节涡旋的产

6、生条件如果是理想、斜压流体，且外力有势，则：LLLrvvrprFdtd311Lrp1SpS1SdSp21密度梯度压力梯度19第五节涡旋的产生条件如果是理想、正压流体，且外力有势，则：dtd012SdSp)(p0)(pppppp )(凯尔文定理20第五节涡旋的产生条件如果是理想、斜压流体，且外力有势，则：012SdSp0p,.),(Tpdtd速度环量随时间将发生变化，即产生或消灭了涡旋21（1）大气斜压引起的环流：信风的形成RTpT012SdSpdtdpH大气压随高度变化温度沿纬度变化22（2）外力无势引起的涡旋变化考虑地球自转，则在旋转坐标系中大气（理想流体，斜压）的相对运动方程为：)(21r

7、ervwgradpFdtvdVgradF2222RgradRwe地球自转的牵连加速度23速度环量为：VgradF2222RgradRweLreLrvwgradpFrdtvddtd)(21rvgradpdtdLr)(21rvdSpdtdLrS)(21224大气斜压与外力无势引起的环流25（3）粘性流体中涡旋的扩散性在粘性流体中，由于粘性的作用，涡旋强的地方将向涡旋弱的地方输运，直至涡旋强度相等为止。对不可压缩粘性流体的涡旋运动：vdtd)(对平面运动：0yxz),(vuv 0)(v00z26所以对不可压缩粘性流体的平面涡旋运动：dtd在涡量场内任一点M，在M点邻域内取一小体积V，其表面积为S，则：MdSndVSVP20公式23VdVMV