新北师大版九年级数学下册第一章11锐角三角函数(1)

1、第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系 1. 1.锐角三角函数（锐角三角函数（1 1）莲花县莲花县 下坊中学下坊中学 郭国清郭国清10m1m 5m10m“看生活，学数学看生活，学数学”（1）（2）哪个更陡？哪个更陡？咋判断的？咋判断的？B A CEFDw学习目标学习目标w1 1、掌握在直角三角形中，锐角的正、掌握在直角三角形中，锐角的正 切的定义，记法、读法。切的定义，记法、读法。w2 2、理解梯子的倾斜度与倾斜角、及、理解梯子的倾斜度与倾斜角、及 倾斜角的正切的关系。倾斜角的正切的关系。w3 3、理解坡角、坡度、坡比的意义。、理解坡角、坡度、坡比的意义。5m2m AB C5m

2、 2.5mEFD 哪个梯子更陡？哪个梯子更陡？（1）（2）5m2m AB C4m 2mEFD（1）（2） 哪个梯子更陡？哪个梯子更陡？w小颖的问题小颖的问题, ,如图如图: :?梯子梯子ABAB和和EFEF哪个更哪个更陡？你是怎样判断陡？你是怎样判断的？的？1.3m1.5m3.5m4mABCDEF同类问题变化多同类问题变化多w小亮的问题,如图:梯子梯子ABAB和和EFEF哪个哪个更陡？你是怎样更陡？你是怎样判断的？判断的？3m2m6m4mABCDEF同类问题变化多同类问题变化多梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化

3、？发生了什么变化？ 水平宽度水平宽度铅直高度铅直高度倾斜角倾斜角在实践中探索新知在实践中探索新知梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探

4、索新知梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知铅直高度铅直高度水平宽度水平宽度倾斜角倾斜角梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知铅直高度铅直高度水平宽度水平宽度梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知铅直高度

5、铅直高度水平宽度水平宽度梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知铅直高度铅直高度水平宽度水平宽度梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知铅直高度铅直高度水平宽度水平宽度梯子在上升变梯子在上升变陡陡过程中，过程中，倾斜倾斜角，角，铅直高度与水平宽度的铅直高度与水平宽度的比比发生了什么变化？发生了什么变化？ 在实践中探索新知在实践中探索新知铅

6、直高度铅直高度水平宽度水平宽度探索发现探索发现倾斜角越大倾斜角越大梯子梯子越越陡陡铅直高度与水平宽度的比铅直高度与水平宽度的比越大越大梯子梯子越越陡陡5 m3m ABC4m 2m E DF理论应用于实际：理论应用于实际： 哪个梯子更陡？哪个梯子更陡？ 若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离的距离B B1 1 C C1 1 , ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你能帮助他吗？怎么办？你能帮助他吗？ A AC C1 1C C2 2B B2 2B1 1 AB1 C1 C2B2想一想想一想 AB1 C1 C2B

7、2想一想想一想( (2 2) ) 和和 有什么关系有什么关系? ?111ACCB222ACCB( (1 1) )直角三角形直角三角形ABAB1 1C C1 1和直角三角和直角三角 形形ABAB2 2C C2 2有什么关系有什么关系? ?( (3 3) )如果改变如果改变B B2 2在梯子上的位在梯子上的位置呢置呢? ?由此你能得出什么结论由此你能得出什么结论? ? AB1 C1 C2B2想一想想一想( (1 1) )直角三角形直角三角形ABAB1 1C C1 1和直角三角和直角三角 形形ABAB2 2C C2 2有什么关系有什么关系? ?( (2 2) ) 和和 有什么关系有什么关系? ?11

8、1ACCB( (3 3) )如果再改变如果再改变B B2 2在梯子上的在梯子上的位置呢位置呢? ?由此又你能得出什么由此又你能得出什么结论结论? ?222ACCB AB1 C1 C2B2想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三角和直角三角 形形AB2C2有什么关系有什么关系?(2) 和和 有什么关系有什么关系?111ACCB(3)由此你发现什么由此你发现什么?222ACCBA值不变的情况下，从任何位置测出的梯子的铅垂高度与梯值不变的情况下，从任何位置测出的梯子的铅垂高度与梯子底部与墙的水平距离的子底部与墙的水平距离的比值一定比值一定 AB CA A的对边的对边A A的邻边的邻边

9、A A的的对边对边A A的的邻边邻边tanAA A的正切的正切在在RtRtABCABC中中, , 如果如果锐角锐角A A确定确定, ,那么那么A A的对边与邻边的比的对边与邻边的比便随之确定便随之确定, ,这个比叫做这个比叫做A A的正切的正切. .记作记作:tanA读？读？思考思考 前面我们讨论了梯子前面我们讨论了梯子的倾斜程度，梯子的倾斜程的倾斜程度，梯子的倾斜程度与度与tanA有关系吗有关系吗？定义的几点说明：定义的几点说明：1）初中阶段，初中阶段，正切正切是在是在直角三角形直角三角形中定义的，中定义的， A是一个是一个锐角锐角. 2） tanA是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，

10、它表示A A的正切，的正切，记号里习惯省去角的符号记号里习惯省去角的符号“”。但。但BAC的正切的正切表示为表示为:tanBAC,1的正切表示为的正切表示为:tan1.3） tanA0 且且没有单位，它表示一个比值，即直没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角角三角形中锐角A的对边与邻边的比（的对边与邻边的比（注意顺注意顺序：序： ）.4）tanA不表示不表示“tan”乘以乘以“A ”.5） tanA的大小只与的大小只与A的大小有关的大小有关，而与而与直角三直角三角形的边长角形的边长无关无关邻对定义的几点说明：定义的几点说明：1 1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，）初中阶段，正切是

11、在直角三角形中定义的， A A是一个锐角是一个锐角. . 2 2） tanAtanA是一个完整的符号，它表示是一个完整的符号，它表示A A的正切，的正切，记号里习惯省去角的符号记号里习惯省去角的符号“”“”。但。但BACBAC的正切的正切表示为表示为:tanBAC.1:tanBAC.1的正切表示为的正切表示为:tan1.:tan1.3 3） tanAtanA0 0 且没有单位，它表示一个比值，即直且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角角三角形中锐角A A的对边与邻边的比（注意的对边与邻边的比（注意顺序：顺序： ）. .4 4）tanAtanA不表示不表示“tan”tan”乘以乘以“A

12、”.A ”.5 5） tanAtanA的大小只与的大小只与A A的大小有关，而与直角三的大小有关，而与直角三角形的边长无关角形的边长无关. .邻对w如图如图, ,梯子梯子ABAB1 1的倾斜程度的倾斜程度与与tanAtanA有关吗有关吗? ?与与A A有关吗有关吗? ? 议一议议一议P4u与与tanAtanA有关有关:tanA:tanA的值越大的值越大, ,梯子梯子ABAB1 1越陡越陡. .AB1C2C1B2u与与A A有关有关:A:A越大越大, ,梯子梯子ABAB1 1越陡越陡. .w辨别辨别真真假假：随堂练习随堂练习P6w你能从中悟出什么.(1).如图 (1)( ). ACBCA tan

13、ABCABC7m10m(1)(2)(2).如图 (2)( ). BCACA tan(3).如图 (2)( ). ABBCA tan(4).如图 (2)( ). 710tanB(6).如图 (2)( ). 7 . 0tan7 . 0tan, 7 . 0tanAAA或(5).如图 (2)( ). A7 . 0tan二二. . 填空填空: :1.tan1.tan = = tan tan = = 2.2.如图如图, ACB=90, ACB=90CDAB.CDAB. tanACD= tanACD= tanB= tanB= _ _ _ _ _ _ACBDABCBCACBCCDADBAACBDCDBCACt

14、anAtanB =tanAtanB =_1CDAD2014.122014.12w例例1 下图表示两个自动扶梯下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡那一个自动扶梯比较陡? 例题欣赏例题欣赏解解:甲梯中甲梯中,5m乙乙13m4m甲甲8m乙梯中乙梯中,.2184tan .1255135tan22 tantan,甲梯更陡甲梯更陡.w提示提示: :生活中生活中, ,常用常用一个锐角的一个锐角的正正切切表示梯子的表示梯子的倾斜程度倾斜程度. .用数学去解释生活用数学去解释生活w如图如图, ,正切也经常用来描述山坡的坡度正切也经常用来描述山坡的坡度. .例例如，有一山坡在水平方向上每前进如，有一山坡在水

15、平方向上每前进100m100m就升就升高高60m,60m,那么山坡的那么山坡的坡度坡度i i( (即即tan)tan)就是就是: :w提示提示: : 坡面与水平面的夹角称为坡面与水平面的夹角称为坡角坡角, ,坡面的铅直高度与水平宽坡面的铅直高度与水平宽度的比称为度的比称为坡度坡度i i( (或坡比或坡比),),即即坡度等于坡角的正切坡度等于坡角的正切. .5310060tani100m60mi 某人沿一斜坡的底端某人沿一斜坡的底端B B走了走了1010米到达点米到达点A A，此时点，此时点A A到地面到地面BCBC的垂直高度的垂直高度ACAC为为6 6米，米，则斜坡则斜坡ABAB的坡度为多少？

16、的坡度为多少？正切也经常用来描述山坡的坡度正切也经常用来描述山坡的坡度BAC分析分析:坡度坡度tanBRtABC:BCAC勾股定理求勾股定理求:BC6m10m1 1. .如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, ,锐角锐角A A的对边和邻边同时扩大的对边和邻边同时扩大100100倍倍,tanA,tanA的值（的值（ ）A.A.扩大扩大100100倍倍 B.B.缩小缩小100100倍倍 C.C.不变不变 D.D.不能确定不能确定 随堂练习随堂练习ABCC C2.2.如图如图, C=90, C=90, ,CDAB.CDAB.ACBD.tanA( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )CDCDAD AD BCBCACACBDBDCDCDw提示提示: :w模型模型“双垂直三角形双垂直三角形”的有关性质的有关性质. .3.3.在等腰在等腰ABC,AB=AC=13,