原子物理学第3章习题

1、34102416.636.63 101010hp千克 米 秒解：解：根据德布罗意关系式，得根据德布罗意关系式，得 4153810/6.63 103 11.9086 110/ 0Ehvhc 焦耳动量为动量为 1. 1. 波长波长 为的为的X X光光子的动量和能量各为多少？光光子的动量和能量各为多少？1A能量为能量为 2.2.经过经过1000010000伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长是多少伏特电势差加速的电子束的德布罗意波长是多少？用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？用上述电压加速的质子束的德布罗意波长是多少？ 12.2512.2510.12250000AAAV解：解：由德布罗意波长

2、与加速电压之间的关系由德布罗意波长与加速电压之间的关系 /2hmeV对于电子对于电子 对于质子对于质子 34279316.626 102 1.67 101.60 10100002.862 10A虑相对论效应时，其动能与其动量之间有如下关系虑相对论效应时，其动能与其动量之间有如下关系 证明：证明：德布罗意波长德布罗意波长 3.3.电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原电子被加速后的速度很大，必须考虑相对论修正。因而原来来 的电子德布罗意波长与加速电压的关系的电子德布罗意波长与加速电压的关系式应改为：式应改为：其中其中V V是以伏特为单位的电子加速电压。试证明之。是以伏特为单位的电子加

3、速电压。试证明之。12.25AV612.25(1 0.489 10)V AV/hp222202KKEE m cp c而被电压而被电压V V加速的电子的动能为加速的电子的动能为 KEeV2202220()22() /eVpm eVcpm eVeVc20060(1)42(10.489 10)2heVm cm eVhVm eV612.25(1 0.489 10)V AV0201/212hhpm eVeVm c4.4.试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布试证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨道，同样适用于椭圆罗意波波长。上述结果不但适用于圆轨

4、道，同样适用于椭圆轨道，试证明之轨道，试证明之 证明证明 对氢原子圆轨道来对氢原子圆轨道来 20,rppmrmvr所以所以, ,氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波长。椭圆轨道的量子化条件是：长。椭圆轨道的量子化条件是：其中其中2,(),rrrpmr pmrp drp dnh nnn而而 2()()rp drp dmrdrmrd 22()drdmrdtmrdtdtdtmv dtmvdshdsdshdsrn5.5.带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一带电粒子在威耳孙云室（一种径迹探测器）中的轨迹是一串小雾滴，雾滴德线度

5、约为串小雾滴，雾滴德线度约为1 1微米。当观察能量为微米。当观察能量为10001000电电子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不子伏特的电子径迹时其动量与精典力学动量的相对偏差不小于多少？小于多少？ 解：解：根据测不准原理根据测不准原理 2hp x 经典力学的动量为经典力学的动量为 53.09 12202KKpmEphpxmE6.6.证明自由运动的粒子的能量可以有连续的值证明自由运动的粒子的能量可以有连续的值 证明：证明：自由粒子的波函数为自由粒子的波函数为 ()ip rEthAe 代入薛定谔方程，得代入薛定谔方程，得 2()22ip rEthhAeEm 2222()222222(

6、)222xyzip xp yp z EthhdddAeEmdxdypEdmzpEm自由粒子的动量自由粒子的动量p p可以取任意连续值，所以它的能量可以取任意连续值，所以它的能量E E也可以有也可以有任意的连续值任意的连续值 7.7.粒子在一维对称势场中，势场形式如下图。粒子在一维对称势场中，势场形式如下图。即：即：0 x L 0 x L 时时 V = 0V = 0；x 0 x L x L 时时 V = VV = V0 0。（1 1） 试推导粒子在试推导粒子在 E VE V0 0 情况下情况下 总能量总能量 E E 满足的关系式。满足的关系式。（2 2）利用上述关系式，以图解法证明，粒子的能量）

7、利用上述关系式，以图解法证明，粒子的能量 E E 只能取只能取 一一些不连续的值些不连续的值 解：解：以下将在两种不同坐标系下解答本问题。其中第一种维以下将在两种不同坐标系下解答本问题。其中第一种维持原坐标不变；另一种为将横坐标向右平移持原坐标不变；另一种为将横坐标向右平移L/2L/2，即取，即取 x = x x = x L/2 L/2，在这个坐标系中，在这个坐标系中，L/2 x L/2 L/2 x L/2 时时 V=0V=0、在其它、在其它区间区间 V =VV =V0 0 （1 1）E E 满足关系的推导：本题中的势场与时间无关，所以是满足关系的推导：本题中的势场与时间无关，所以是定态问题，

8、而且是一维的。先写出定态薛定谔方程的一般形定态问题，而且是一维的。先写出定态薛定谔方程的一般形式式 02468100246810V0Y Axis TitleX Axis TitleV(X)0LxEV02222d uVuEum dx20222 ()m VEd uudx2022 ()m VEkkxkxuAeBe设设 2222d umEudx 利用波函数的有界性知道：利用波函数的有界性知道：x 0 x 0 时，如果时，如果 B 0B 0，那么，那么 x x 时时 波函数波函数 趋于趋于 无穷。所以在无穷。所以在x 0 x L x L 时，时，A = 0 A = 0 。因此因此 x 0 x L x L

9、 时，时，u = B eu = B ekxkx在在 0 x L 0 x L 区域，区域，V = 0V = 0。代入。代入 薛定谔方程中薛定谔方程中 222mEsin()uCx设设 2222d umEudx 在在 0 x L 0 x L 区域，区域，V = 0V = 0。代入。代入 薛定谔方程中薛定谔方程中 由定态薛定谔方程解得的波函数为：由定态薛定谔方程解得的波函数为：x 0 x 0， u u1 1 = Ae = Aekxkx A A 待定待定0 x L0 x Lx L， u u3 3 = Be = Bekxkx B B 待定待定 波函数的连续性波函数的连续性 要求：要求：x = 0 x =

10、0 处，处，u u1 1 = u = u2 2 ； d du u1 1/ /d dx = x = d du u2 2/ /d dx xx = L x = L 处，处，u u2 2 = u = u3 3 ； d du u2 2/ /d dx = x = d du u3 3/ /d dx x将上述连续性条件应用于波函数将上述连续性条件应用于波函数 得得A = C A = C sinsin A Ak k = C = C coscos B B e ekLkL = C = C sinsin( ( L+L+ ) )B B k k e ek kL L = C = C coscos( ( L+L+ ) )进一

11、步推导进一步推导tantan = = / / k ktantan( ( L+L+ ）= = / / k k由由 tantan = = / / k k 0 0，得，得 0 0 /2/2、和、和 3 3 /2 /2 2 2 由由 tantan ( ( L+L+ ) = ) = tan tan ( ( ) ) 得得 L+L+ = n = n 即即 = n= n /2 /2 L/2 =L/2 =n = 1, 2, 3, n = 1, 2, 3, 222nLmE又由又由tantan = = / / k k 得得 因此能量因此能量 E E 满足的关系式为满足的关系式为 000arctanarcsin(0)

12、23arcsin()()2EEVEVEV或020arcsin222EnLmEVn=1,2,3,N1 n=1,2,3,N1 或或 023arcsin()222EnLmEVn= 3,4,5,.N2 n= 3,4,5,.N2 其中其中 122int(1)LmENh222int(3)LmENh(2) (2) 图解法说明图解法说明 能量取值的不连续性能量取值的不连续性设设 10( )arcsin/ 2f xx022( )22LmVnfxx3( )arcsin()3/ 2fxx其中其中001ExV则能量则能量E E 的解可通过的解可通过 f f2 2 与与f f1 1 的交点、与的交点、与f f3 3 的

13、交点的横坐标求出的交点的横坐标求出 0.000.250.500.751.00012345n=10n=3n=2 f(x)xn=1f1f3f2做各函数曲线如上图所示。从做各函数曲线如上图所示。从f f2 2 函数函数 与与 f f1 1 及及f f3 3 函数的交点的函数的交点的横坐标可求出能量横坐标可求出能量E E的解。解的个数与的解。解的个数与0 x 10 x 1区间内交点的个区间内交点的个数相等，而交点的个数决定于数相等，而交点的个数决定于f f2 2 函数的斜率。斜率越大，交点个函数的斜率。斜率越大，交点个数越多。当数越多。当L L 和和 m m 很大时，交点的横坐标数值趋于连续，对应很大

14、时，交点的横坐标数值趋于连续，对应宏观现象。当二者不是很大时，交点的横坐标数值是不连续的，也宏观现象。当二者不是很大时，交点的横坐标数值是不连续的，也就是说能量就是说能量E E的取值是不连续的。的取值是不连续的。解：解：由题意知由题意知 0,0;0,0;0,0;,0,0,0 xyzxyzVxaVybVzcVxxaVyybVzzc 和和和8.8.有一粒子，其质量为有一粒子，其质量为m m, ,在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、在一个三维势箱中运动。势箱的长、宽、高分别为高分别为a,b,c,a,b,c,在势箱外，势能在势箱外，势能 ；在势箱内，；在势箱内， 。试。试计算出粒子可能具有的能量计算出

15、粒子可能具有的能量 V 0V 势箱内波函数满足方程势箱内波函数满足方程 22222222()0222xyzmEVVVxyzh分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程分离变量法将偏微分方程分成三个常微分方程 ( , , )( ) ( ) ( )x y zX x Y y Z z并将两边同除以并将两边同除以 ，得，得 ( ) ( ) ( )X x Y y Z z22222222221212122()()()xyzd Xmd Ymd ZmmVVVEX dxhY dyhZ dzhh 222222222222122122122,xxyyzzxyzxyzd XmmVEX dxhhd YmmVEY dyhhd ZmmVEZ dzhhEEEE EEE 其中皆为常数。2222()0 xxd XmEVXdxh连续条件连续条件 (0)( )0XX l22222sin,1,2,32xnxxxnXxaa