大学物理：第 22 章 量子力学基础

1、第第 22 章章 量子力学基础量子力学基础22.1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性22.2 波函数及统计解释波函数及统计解释22.3 不确定性关系不确定性关系第第 22 章章 量子力学基础量子力学基础22.4 薛定谔方程薛定谔方程22.6 薛定谔方程的应用薛定谔方程的应用22.5 力学量算符的本征值问题力学量算符的本征值问题22.7 氢原子量子理论氢原子量子理论22.8 电子的自旋电子的自旋 泡利不相容原理泡利不相容原理 光具有波粒二象性，那么实物粒子是否也应具有光具有波粒二象性，那么实物粒子是否也应具有波粒二象性？或实物粒子具有波动性吗？波粒二象性？或实物粒子具有波动性吗？一、一、 德布罗

2、意物质波假设德布罗意物质波假设德布罗意德布罗意（L.V. de Broglie 1892-1986，法国法国 ）从光具有）从光具有波粒二象性出发，认为实物波粒二象性出发，认为实物粒子也应具有波动性。粒子也应具有波动性。1924年年11月在巴黎大学提交的博士论文中提出：月在巴黎大学提交的博士论文中提出：22.1 实物粒子的波动性实物粒子的波动性“我们因而倾向于假定，任何运动物体都伴随着一个我们因而倾向于假定，任何运动物体都伴随着一个波动，而且不可能把物体的运动跟波的传播拆开。波动，而且不可能把物体的运动跟波的传播拆开。”这种波既不是机械波也不是电磁波，称为这种波既不是机械波也不是电磁波，称为物质

3、波物质波或德或德布罗意波。布罗意波。hE 具有能量具有能量E和动量和动量p的实物粒子所联系的波的频率的实物粒子所联系的波的频率 和波长和波长 有关系：有关系：ph在在答辩会上有人问：答辩会上有人问： “这种波怎样用实验来证实呢？这种波怎样用实验来证实呢？”德布罗意答：德布罗意答：“可以从电子在晶体上散射这样的实可以从电子在晶体上散射这样的实验验 中检查到这样的波。中检查到这样的波。”虽然后来的实验验证由戴维孙和革末完成了，但当虽然后来的实验验证由戴维孙和革末完成了，但当时纯粹是理论推测时纯粹是理论推测。朗之万把德布罗意的文章寄给爱因斯坦，爱因斯坦说：朗之万把德布罗意的文章寄给爱因斯坦，爱因斯坦

4、说：“揭开了自然界巨大帷幕的一角揭开了自然界巨大帷幕的一角”“瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚呢瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚呢”尽管此假说的有待实验检验，但爱因斯坦还是推荐德尽管此假说的有待实验检验，但爱因斯坦还是推荐德布罗意取得了博士学位。布罗意取得了博士学位。例例22-1 估算估算: m=1g，v=1 cm/s的实物粒子的波长的实物粒子的波长phmvhm1062. 610101062. 6292334粒子对应的波长太小，波动性无法表现出来！粒子对应的波长太小，波动性无法表现出来！对于电子，对于电子， m= 9.1 10-31 kg，设加速电压为，设加速电压为UeUmv 221meUv2

5、emUhmvh2A1V150UA25.12U相当于晶格常数量级，通过类似于晶体对相当于晶格常数量级，通过类似于晶体对X射线的衍射线的衍射，可以实现晶体对电子的衍射。射，可以实现晶体对电子的衍射。例例22-2 德布罗意把物质波假设用于氢原子认为：如德布罗意把物质波假设用于氢原子认为：如果电子在经典的圆轨道上运动，它对应于一个环形驻果电子在经典的圆轨道上运动，它对应于一个环形驻波，满足波，满足.) .3 , 2 , 1( ,2nnr 2nr 2 mvhnrmvL 2hn玻尔量子化条件玻尔量子化条件德布罗意用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的德布罗意用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的 轨道量子化条

6、件轨道量子化条件 。二、物质波的实验验证二、物质波的实验验证贝耳电话公司实验室贝耳电话公司实验室的戴维逊和革末研究的戴维逊和革末研究电子在镍单晶上的衍电子在镍单晶上的衍射（射（1927）。）。电子枪电子枪1. 戴维逊戴维逊革末实验（革末实验（ CJDavisson，18811958； LHGermer，18951971 ）实验装置示意图实验装置示意图假如电子具有波动性，假如电子具有波动性，应满足布喇格公式应满足布喇格公式 kdsin2此时电表中应出现最此时电表中应出现最大的电流。大的电流。探测器探测器I Id若固定若固定 角，角，改变加速电压，会多次出现电流极大改变加速电压，会多次出现电流极大

7、, 3 , 2 , 1kUkd25.12sin2sin225.12dkU ,.sin225.123 ,sin225.122 ,sin225.12dddsin225.12dkU ,.sin225.123 ,sin225.122 ,sin225.12ddd若固定若固定 角，角，改变加速电压，会多次出现电流极大改变加速电压，会多次出现电流极大21UI实验结果实验结果: :2. G.P.汤姆逊实验汤姆逊实验1927年英国物理学家年英国物理学家G.P.汤姆逊做了电子通过金汤姆逊做了电子通过金多晶薄膜的衍射实验多晶薄膜的衍射实验1929年年 德布洛意获诺贝尔物理奖。德布洛意获诺贝尔物理奖。1937年年 戴

8、维逊戴维逊 与与 G.P.汤姆逊获诺贝尔物理奖。汤姆逊获诺贝尔物理奖。3. 约恩逊实验约恩逊实验1961年年C. Jnsson运用铜箔中形成的运用铜箔中形成的2-5条细缝条细缝得到了电子的多缝干涉图样。得到了电子的多缝干涉图样。1930年艾斯特曼年艾斯特曼(Estermann)、斯特恩、斯特恩(Stern)、和他们的同事们证实了普通原子具有波动性。和他们的同事们证实了普通原子具有波动性。后来实验又验证了质子、中子等实物粒子都具有后来实验又验证了质子、中子等实物粒子都具有波动性。波动性。4. 其它实验其它实验三、微观粒子波动性的应用三、微观粒子波动性的应用 1933年，德国的年，德国的E.Rus

9、ka和和Knoll等人研制成功第等人研制成功第一台电子显微镜。一台电子显微镜。 1982年，年，IBM的的G.Binnig和和H.Rohrer研制成功第研制成功第一台隧道扫描显微镜（一台隧道扫描显微镜（STM）。）。鲁斯卡：电子物理领域的基础鲁斯卡：电子物理领域的基础研究工作，设计出世界上第一研究工作，设计出世界上第一台电子显微镜，台电子显微镜，宾尼：设计出扫描式宾尼：设计出扫描式隧道效应显微镜隧道效应显微镜罗雷尔：设计出扫描罗雷尔：设计出扫描式隧道效应显微镜式隧道效应显微镜END22.2 波函数及统计解释波函数及统计解释一、一、波函数波函数既然粒子具有波动性，应该有描述波动性的函数既然粒子具

10、有波动性，应该有描述波动性的函数波函数。波函数。奥地利物理学家薛定谔（奥地利物理学家薛定谔（ESchrdinger）1925年提出用波函数年提出用波函数(r, t)描述粒子运动状态。描述粒子运动状态。按德布罗意假设：能量按德布罗意假设：能量E、动量、动量 p 的的“自由粒子自由粒子”沿沿x方向运动方向运动对应的对应的物质波应为物质波应为“单色平面波单色平面波”：)(0),(kxtietx)(0),(pxEtietx 0为待定常数为待定常数,Ekp或由关系数或由关系数可将波函数改写为可将波函数改写为若粒子为三维自由运动若粒子为三维自由运动，波函数可表示为波函数可表示为)(0),(tErpietr

11、波函数的物理意义是什么？粒子的什么性质在波动？波函数的物理意义是什么？粒子的什么性质在波动？二、波函数的统计解释二、波函数的统计解释对应粒子波动性的波函数做为一个重要的新概念登对应粒子波动性的波函数做为一个重要的新概念登上量子力学舞台后，其本身的物理意义却模糊不清，上量子力学舞台后，其本身的物理意义却模糊不清，使许多物理学家感到迷惑不解而大伤脑筋。使许多物理学家感到迷惑不解而大伤脑筋。爱因斯坦为了解释光粒子（光量子或光子）和波的二爱因斯坦为了解释光粒子（光量子或光子）和波的二象性，把光波的强度解释为光子出现的几率密度。象性，把光波的强度解释为光子出现的几率密度。玻恩玻恩( (MBorn，188

12、21970)在这个观在这个观念的启发下，马上将其推广到念的启发下，马上将其推广到函数上：函数上：|2必须是电子（或其它粒子）的几率必须是电子（或其它粒子）的几率密度密度” 。1954年，年，玻恩获诺贝尔物理奖。玻恩获诺贝尔物理奖。 （ , ,t t）的物理意义在于：的物理意义在于：波函数的模的平方（波的强度）代波函数的模的平方（波的强度）代表时刻表时刻 t、在空间、在空间 点处，单位体点处，单位体积元中微观粒子出现的概率。积元中微观粒子出现的概率。rr不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义。不同于经典波的波函数，它无直接的物理意义。),(tr 有意义的是有意义的是对单个粒子，对单个粒子，给出

13、粒子的概率分布密度给出粒子的概率分布密度；2 对对N 个粒子，个粒子，2 N给出粒子数的分布密度。给出粒子数的分布密度。trtrtrtr,*2VtrtrVtrd,d),(*在时刻在时刻 t、空间、空间 点处，体积元点处，体积元 dV 中发现微观粒子中发现微观粒子的概率为：的概率为：r对对N 粒子系，在体积元粒子系，在体积元 dV 中发现的粒子数为中发现的粒子数为VtrtrNNd,d*说明说明：1.让入射电子几乎一个一个地通过单缝让入射电子几乎一个一个地通过单缝随着电子数增大，逐渐形成衍射图随着电子数增大，逐渐形成衍射图样样衍射图样来源于衍射图样来源于“单个电子单个电子”所具有的波动性所具有的波

14、动性统计规律。统计规律。底片上出现一个一个的点子，开始时底片上出现一个一个的点子，开始时点子无规则分布点子无规则分布 说明说明电子具有电子具有“粒子性粒子性”，但不满足经典的决定论。，但不满足经典的决定论。一个电子重复许多次相同实验表现一个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果。出的统计结果。例例22-2 用几率波说明用几率波说明弱电子流单弱电子流单缝衍射缝衍射数百个电子数百个电子少数几个电子少数几个电子数万个电子数万个电子德布洛意波（物质波）也称为德布洛意波（物质波）也称为概率波概率波。 2. 如何如何理解微观粒子的波粒二象性理解微观粒子的波粒二象性（1）粒子性粒子性指它与物质相互作用的指它

15、与物质相互作用的 “ “整体性整体性”。但不是。但不是经典的粒子，因为微观粒子没有确定的轨道。经典的粒子，因为微观粒子没有确定的轨道。(2) 波动性波动性“弥散性弥散性”、“可叠加性可叠加性”、“干涉干涉”、“衍衍射射”。不。不 是经典的波，并不对应某真实物是经典的波，并不对应某真实物理量的波动。理量的波动。(3) 在一些情况下，实物粒子突出显示出其粒子特在一些情况下，实物粒子突出显示出其粒子特性；而在另一些情况下，则突出显示出波动特性；而在另一些情况下，则突出显示出波动特性性即波粒二象性。即波粒二象性。“波动性波动性”与与“粒子性粒子性”的联系的联系玻恩统计解玻恩统计解释。释。3. 关于量子

16、力学的争论关于量子力学的争论 以玻耳为首，包括以玻耳为首，包括海森堡、狄拉克、玻恩海森堡、狄拉克、玻恩的哥本的哥本哈根学派：宇宙中事物偶然性是根本的，必然性是哈根学派：宇宙中事物偶然性是根本的，必然性是偶然性的平均表现。偶然性的平均表现。 以爱因斯坦为首，包括薛定以爱因斯坦为首，包括薛定谔、德布罗意学派：自然规律谔、德布罗意学派：自然规律根本上是决定论的。根本上是决定论的。“上帝肯上帝肯定不是用掷骰子来决定电子应定不是用掷骰子来决定电子应如何运动的！如何运动的！” “God does not play dice”Einstein: 不相信单个电子的运动是不确定的，可以不相信单个电子的运动是不确

17、定的，可以设计更精确的实验仪器解决。设计更精确的实验仪器解决。Bohr: 所有粒子的不确定性是原则的、本性的。所有粒子的不确定性是原则的、本性的。Einstein: 我不相信上帝会玩骰子（色子）。我不相信上帝会玩骰子（色子）。Bohr: 不要指挥上帝去做什么。不要指挥上帝去做什么。Einstein-Bohr 争论（争论（1927-1955）Einstein: 按照电子的衍射，某一电子落在何处与前按照电子的衍射，某一电子落在何处与前一个电子落在何处有关，这是不可能的。一个电子落在何处有关，这是不可能的。Bohr: 不是前后电子之间相互影响，而是单个电不是前后电子之间相互影响，而是单个电 子的运动

18、具有不确定性。子的运动具有不确定性。在在1927年年Solvey会议上：会议上：三、波函数应满足的条件三、波函数应满足的条件 1. 自然条件：单值、有限和连续自然条件：单值、有限和连续2. 归一化条件归一化条件)(全空间 VtrVtrd),( d),( 21d),(),(*Vtrtr粒子出现在粒子出现在dV 体积内的几率为：体积内的几率为：粒子在空间各点的概率总和应为粒子在空间各点的概率总和应为 l，END22.3 不确定性关系不确定性关系按照经典波动理论，约束在空间某区域内的波不可按照经典波动理论，约束在空间某区域内的波不可能是单色的能是单色的不可能具有唯一的波长。不可能具有唯一的波长。这一

19、结论对物质波同样正确：被束缚在某区域的粒这一结论对物质波同样正确：被束缚在某区域的粒子不可能具有确定的动量，即粒子的坐标和动量不子不可能具有确定的动量，即粒子的坐标和动量不能同时取确定值，存在一个能同时取确定值，存在一个不确定关系。不确定关系。海森堡（海森堡（W. Heisenberg）在）在1927年发表了著名的位年发表了著名的位置置动量不确定关系动量不确定关系hpxx以电子的单缝衍射为例说明。电子的单缝衍射以电子的单缝衍射为例说明。电子的单缝衍射“中央亮纹中央亮纹”半角宽度满足：半角宽度满足：一、位置一、位置动量不确定关系动量不确定关系pppx ppx xh 如果把单缝看成对电如果把单缝看

20、成对电子坐标的测量仪器，子坐标的测量仪器， x相当于对电子相当于对电子坐坐标标测量的不确定度。测量的不确定度。xxppxp单缝存在使电子在单缝存在使电子在x方向的动量分量出现不确定性方向的动量分量出现不确定性 sinxxsinhpxx 不限制电子坐标时，动量可以取确定值。不限制电子坐标时，动量可以取确定值。对坐标对坐标 x 测量得越精确（测量得越精确（ x 越小），动量不确定性越小），动量不确定性 px 就越大就越大(衍射越厉害衍射越厉害)。电子的坐标和动量不能同时确定。电子的坐标和动量不能同时确定。严格的不确定性关系应该是：严格的不确定性关系应该是：222zyxpzpypx例例22-2 氦氖

21、激光器发光波长氦氖激光器发光波长 ，632 8nm. 谱线宽度谱线宽度 ，910 nm 求即相干长度，求即相干长度， hp 2hpx2242xpx谱线展宽导致光子动量的不确定谱线展宽导致光子动量的不确定解：当这种光子沿解：当这种光子沿 x 方向传播时，它的方向传播时，它的 x坐标的不确坐标的不确 定就是即相干长度，也就是波列长度定就是即相干长度，也就是波列长度km4002x将上例激光光子位置将上例激光光子位置- -动量不确定性关系动量不确定性关系2tE二、能量和时间的不确定关系二、能量和时间的不确定关系2xpx同样可得粒子处于某状态的能量和时间的不确定性同样可得粒子处于某状态的能量和时间的不确

22、定性关系关系变为变为2chtc可以解释为什么原子谱线自然宽度可以解释为什么原子谱线自然宽度2tEtE2eV1017 0EnE谱线宽度：谱线宽度：hEHz1018与实验测量结果吻合！与实验测量结果吻合！原子基态寿命无穷长，基态有确定的能量值。原子基态寿命无穷长，基态有确定的能量值。例例22-3 原子在激发态的寿命为原子在激发态的寿命为10-8 s，由不确定关系由不确定关系不确定性关系限定了使用经典语言的范围和度不确定性关系限定了使用经典语言的范围和度不确定性的物理根源是粒子的波动性。不确定性的物理根源是粒子的波动性。说明：说明：不确定性与测量没有关系，是微观粒子不确定性与测量没有关系，是微观粒子

23、波波粒二象性的体现。粒二象性的体现。例例22-4 氢原子中的电子的轨道运动速度氢原子中的电子的轨道运动速度为为106m/s，速度的不确定度：速度的不确定度：mpv xm 12，vv但威尔逊云室可看到一条白亮的粒子径迹但威尔逊云室可看到一条白亮的粒子径迹10-4 cm ，由此可得：由此可得：p p，波动性不是很明显波动性不是很明显，轨道概念轨道概念仍仍适用。适用。m/skg1028p m/skg10 23pm/s106可见波动性十分明显，不能用可见波动性十分明显，不能用轨道概念描述轨道概念描述! ! 但但END按照经典波动理论，波动的物理量满足如下形按照经典波动理论，波动的物理量满足如下形式的波

24、动方程：式的波动方程：22.4 薛定谔方程薛定谔方程22222xyVtyV为波速为波速物质波的物质波的波动方程是什么？波动方程是什么？德布洛意关于电子波动性的假设传到苏黎士后，德布洛意关于电子波动性的假设传到苏黎士后，德拜德拜(P.Debye，The Nobel Prize in Chemistry 1936)说，说，“一个没有波动方程的波动理论太肤一个没有波动方程的波动理论太肤浅了！浅了！”。当时年轻的薛定谔在场。在一周后聚。当时年轻的薛定谔在场。在一周后聚会 时 薛 定 谔 说 ：会 时 薛 定 谔 说 ： “ 我 找 到 了 一 个 波 动 方我 找 到 了 一 个 波 动 方程！程！”

25、。量子力学中的基本动力学方程。量子力学中的基本动力学方程。一、薛定谔方程的建立一、薛定谔方程的建立自由粒子波函数自由粒子波函数对波函数微分得对波函数微分得),(),(txEittx)(0),(EtxxpietxtiE 能量算符能量算符),(),(txEttxi),(),(txpixtxxxipx),(),(txpxtxix 动量算符动量算符),(),(),(2222txtitxEtxxm自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程),(2) ,(222txxmtxti),(),(2222txpxtxx由由mpEx22和和),(),(txEtxti 把自由粒子把自由粒子运动运动算符推广到非自由粒子运

26、动，粒子算符推广到非自由粒子运动，粒子所处的势场为所处的势场为U(x,t)，粒子的能量，粒子的能量),(22txUmpEx薛定谔方程变为薛定谔方程变为),(),(2 222txtxUxm这就是这就是含时含时薛定谔方程薛定谔方程),(2 222txUxmH称为哈密顿算符，则称为哈密顿算符，则令令 推广到推广到三维势场三维势场U( r, t) 中中),(2222trUmpppEzyx),(),(trHtrtikzjyix令令薛定谔方程薛定谔方程形式不变形式不变哈密顿算符哈密顿算符变为变为),()(2 2222222trUzyxmH),(2 22trUmH),(),(trHtrti薛定谔方程不是推导

27、出来的，而是依据实验事实和薛定谔方程不是推导出来的，而是依据实验事实和基本假定基本假定“建立建立”的，是否正确则由实验结果检验。的，是否正确则由实验结果检验。 薛定谔方程薛定谔方程描述非相对描述非相对论实物粒子在势场中的状态论实物粒子在势场中的状态随时间的变化，反映了微观随时间的变化，反映了微观粒子的运动规律。粒子的运动规律。说明：说明：薛定谔（薛定谔（Schrdinger 1887-1961）1933年薛定谔获诺贝尔物理奖。年薛定谔获诺贝尔物理奖。奥地利物理学家奥地利物理学家，提出量子提出量子力学最基本的方程力学最基本的方程。二、定态薛定谔方程二、定态薛定谔方程若微观粒子处在稳定的势场中，则

28、势能函数若微观粒子处在稳定的势场中，则势能函数U与时间无与时间无关关，称这类问题为，称这类问题为定态问题定态问题。自由运动粒子自由运动粒子 rerU2041例如：例如： 0rU氢原子中的电子氢原子中的电子此时，哈密顿算此时，哈密顿算符与时间无关，符与时间无关，薛定谔方程可用薛定谔方程可用分分离变量离变量法求解：波函数法求解：波函数 可以分离为空间坐标函数可以分离为空间坐标函数和时间函数的乘积。和时间函数的乘积。设设 )( ) (),(tTrtrE 可得只含变量可得只含变量 t 和和只含只含变量变量 r 的的两个方程两个方程：)()()(d)(dtTrHrttTi)()(1)(1d)(drHrt

29、TttTi(1) )(d)(dtETttTi(2) )()(rErH1. 方程（方程（1）是）是关于关于变量为变量为t 的微分方程的微分方程，解为：解为：时间振动因子时间振动因子2. 方程（方程（2）是关于变量为）是关于变量为x、y、z的微分方程：的微分方程：),(),(),(222zyxEzyxzyxUm称为称为定态薛定谔方程定态薛定谔方程，又称为能量算符的本征方程，又称为能量算符的本征方程其解其解 (x,y,z) 与粒子所处的外力场与粒子所处的外力场U 和边界条件和边界条件有关有关。EtietT)(3. 波函数是以上两部分的乘积波函数是以上两部分的乘积粒子出现在空间的几率与时间无关粒子出现

30、在空间的几率与时间无关定态定态粒子出现在空间的几率：粒子出现在空间的几率： 2)( r可见，定态问题最后归结为求解定态可见，定态问题最后归结为求解定态薛定谔薛定谔方程。方程。ENDEtiertr)(),(22|)(| ),( ),(Etiertrtr22.5 力学量算符的本征值问题力学量算符的本征值问题一、力学量的算符表示一、力学量的算符表示在量子力学中，系统的任何力学量均对应一算符，在量子力学中，系统的任何力学量均对应一算符，力学量所能取的值是其相应算符的本征值力学量所能取的值是其相应算符的本征值。例如：例如： 动量算符动量算符ipp这是量子力学的又一基本假设这是量子力学的又一基本假设对一维

31、运动对一维运动xipdd 坐标算符坐标算符rrr（就是它自己）（就是它自己）xx 222iippp 动能算符：动能算符：mpE22kmmppE2222k)(222rUmH)(22rUmpE 能量算符能量算符: : 角动量算符角动量算符: :prLprLzyxpppzyxkjiyzxpzpyLzxypxpzLxyzpypxL2222zyxLLLLLL )()(rErH二、算符的本征值问题二、算符的本征值问题利用定态薛定谔方程求解能量和定态波函数实际上利用定态薛定谔方程求解能量和定态波函数实际上是一个能量算符的本征值问题。是一个能量算符的本征值问题。E E ：称为称为能量算符的能量算符的本征值本征

32、值。能量算符能量算符 H的的本征值方程本征值方程为了使波函数单值、连续、有限，能量的取值受到为了使波函数单值、连续、有限，能量的取值受到了限制。了限制。：称为：称为能量算符的能量算符的本征函数（本征态）本征函数（本征态） )(r对于对于处在处在束缚态势场中的粒子能量只能取一系列的束缚态势场中的粒子能量只能取一系列的分立值分立值：E1，E2，.，En，.同理，通过求解动量算符、角动量算符同理，通过求解动量算符、角动量算符的本征方的本征方程可得到相应算符的本征函数和本征值。程可得到相应算符的本征函数和本征值。END22.6 薛定谔方程的应用薛定谔方程的应用 确定粒子的确定粒子的哈密顿量；哈密顿量；

33、 在全空间写出粒子的能量本征方程；在全空间写出粒子的能量本征方程； 利用波函数的自然条件确定确定能量本征值和利用波函数的自然条件确定确定能量本征值和波函数。波函数。步骤：步骤：处理的问题：处理的问题： 势阱中的粒子势阱中的粒子粒子被束缚在某势场中；粒子被束缚在某势场中； 势垒对粒子的散射势垒对粒子的散射自由粒子入射到某势场中。自由粒子入射到某势场中。一、一维无限深势阱中的粒子一、一维无限深势阱中的粒子金属中的电子由于金属表面势金属中的电子由于金属表面势能（势垒）的束缚被限制在一能（势垒）的束缚被限制在一个有限的个有限的空间空间范围内运动。范围内运动。称为一维无限深方势阱。称为一维无限深方势阱。

34、-e-e-e-e-e-e-e如果金属表面势垒很高，可以如果金属表面势垒很高，可以将金属表面看为一刚性盒子。将金属表面看为一刚性盒子。如果只考虑一维运动，就是一如果只考虑一维运动，就是一维刚性盒子维刚性盒子。势能函数为：。势能函数为：V V = 0= 0V(x)x x无限深方势阱无限深方势阱0L) , 0( )0 ( 0)(LxxLxxV 在势阱内，定态薛定谔方程在势阱内，定态薛定谔方程令令222mEk 得得解为：解为：待定常数待定常数C 和和解解由波函数的自然条件确定。由波函数的自然条件确定。)()(dd2ii222xExxm0ddi22i2kx）（ 1 )sin()(ikxCxV V = 0

35、= 0V(x)x x无限深方势阱无限深方势阱0L 波函数在阱壁上的连续条件、本征能量波函数在阱壁上的连续条件、本征能量该方程的解只能是：该方程的解只能是：）（2 0)(ex 在势阱外，定态薛定谔方程在势阱外，定态薛定谔方程）（3 0)0()0(ei）（4 0)()(eiLL)()(dd2ee222xExxm 由式（由式（3）可得）可得 由式（由式（4）可得）可得0 nkL ,.2 , 1n 思考：为什么思考：为什么n不取零和负整数？不取零和负整数？Lnk 粒子的能量：粒子的能量：12222EnmkE22212mLE其中其中0sinC0sinkLC能量取分立值（能级），能量是能量取分立值（能级）

36、，能量是量子化的。量子化的。11) 12(EnEEEnn n =1321E19E14E能量能量间隔为：间隔为：EL,Em ,能 级 增 大能 级 增 大 , , 能能级间隔递增级间隔递增En ,阱变宽阱变宽, ,能级能级间隔下降间隔下降大质量粒子的大质量粒子的能级能级间隔小间隔小L 很大或很大或 m 很大，很大，能级几乎连续能级几乎连续 最低能量最低能量( (零点能零点能) ) 波动性波动性22212mLELhnLnmEpnn22nLphnn2说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于说明势阱中粒子的每一个能量本征态正好对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波。德布罗意波的一个特定波长的驻波。 势

37、阱中粒子的动量和波长势阱中粒子的动量和波长LC2定态波函数定态波函数为为 归一化常数归一化常数C和和定态波函数定态波函数1d)(d)(2xxxx1dsind)(0222LxLxnCxxLxxLxxLnLx ,0 , 00 ,sin2)(粒子在阱内的粒子在阱内的波函数为波函数为EtiikxikxeeeLi)(221221)()(pxEtipxEtieeLiEtiEtikxeLextxsin2)(),(i波函数为波函数为频率相同、波长相同、传播方向相反的两单频率相同、波长相同、传播方向相反的两单色平面波的叠加色平面波的叠加形成驻波。形成驻波。可知：阱宽为驻波半波长的整数倍。可知：阱宽为驻波半波长的

38、整数倍。由关系由关系粒子在势阱中的几率分布：粒子在势阱中的几率分布：LxxLxxLnLxx,0 , 0 0 ,sin2)()(222nnL)x( 2)x( 221)(kxxU哈密顿量哈密顿量定态薛定谔方程定态薛定谔方程二、一维谐振子（抛物线势阱）二、一维谐振子（抛物线势阱）晶体中原子围绕平衡位置作小振动时可近似认为是晶体中原子围绕平衡位置作小振动时可近似认为是谐振动，谐振动，势函数为：势函数为：222221dd2kxxmH)()()21dd2(2222xExkxxm或或利用级数展开法解该微分方程。波函数满足的自然条利用级数展开法解该微分方程。波函数满足的自然条件进一步限制了能量件进一步限制了能

39、量E的取值的取值。主要结论如下：。主要结论如下： 1. 谐振子能量谐振子能量 能量间隔均匀：能量间隔均匀： h )21( nEn,n210 能量能量E是量子化的是量子化的mk0)21(2dd22222xmEmx 最低能量最低能量( (零点能零点能) )不为零不为零0210E与与Planck假设不同！假设不同！E02/ E123/ E225/ E327/ U(x)E0 0 x 2. 谐振子谐振子波函数波函数，22212/ 1)()!2()(xnnexHnnxmHn是厄密（是厄密（Hermite）多项式，）多项式， 最高阶是最高阶是 nx)(22212/10)()(xex22212/11)(2)2

40、()(xexx例例22-4222122/12)(42)8()(xexxU(x)E0 0 x2(x) E01) 经典粒子位置几率分布经典粒子位置几率分布能量为能量为E0经典粒经典粒子沿阱壁只能爬子沿阱壁只能爬E0高度，这时粒高度，这时粒子的动能为零，子的动能为零，然后被阱壁反弹然后被阱壁反弹回去。回去。U(x)E0 0 x x2(x) E0黑色黑色虚线为经典粒虚线为经典粒子位置的几率分布子位置的几率分布2) 量子粒子位置几率分布量子粒子位置几率分布能量为能量为E0量子量子粒粒子沿阱壁爬的高子沿阱壁爬的高度 可 以 大 于度 可 以 大 于 E0（红色虚线），（红色虚线），或说能量为或说能量为E0

41、的的粒子可以穿入阱粒子可以穿入阱壁内部。壁内部。（用经典理论（用经典理论无法解释）无法解释）量子粒子位置几率分布与经典粒子分布有明显的量子粒子位置几率分布与经典粒子分布有明显的区别区别n=12(x)xn=0(x)xn=02(x)xn=1(x)x3) 谐振子几个波函数和位置几率密度谐振子几个波函数和位置几率密度2(x)xn=9n=9x(x)n=2 量子概率分布量子概率分布经典概率经典概率分布分布(图示虚线）图示虚线） 能量量子化能量量子化 能量取连续值能量取连续值当当n时时玻尔对应原理玻尔对应原理2(x)xn=2三、一维散射问题三、一维散射问题粒子以确定能量粒子以确定能量E从远处入射到某给定势场

42、中，确定从远处入射到某给定势场中，确定粒子的波函数和位置分布。粒子的波函数和位置分布。思考：粒子的能量呢？思考：粒子的能量呢？1. 矩形台阶势垒矩形台阶势垒实际金属中的电子在表面处遇到的势是有限高的：实际金属中的电子在表面处遇到的势是有限高的：E U0时，粒子可以时，粒子可以进入进入x0区；区； 当当E0区，区，在垒壁处粒子被反弹回在垒壁处粒子被反弹回xU0EE（总能（总能 量）区域。量）区域。经典理论：因为粒子的动能不可能小于零，所以经典理论：因为粒子的动能不可能小于零，所以 粒子不能进入粒子不能进入UE（总能量）区域。（总能量）区域。2. 隧道效应（势垒贯穿）隧道效应（势垒贯穿） 自由粒子

43、处遇到的势是有限高和有限宽的势垒：自由粒子处遇到的势是有限高和有限宽的势垒：EU0axxaxUxU, 0 , 00 ,)(0 xU=U0U= 00aikxBeikxAex)(120)(2EUmk22mEk xkFexkDex)(2ikxCex)(3透射波（只有向右传播的波）透射波（只有向右传播的波）利用薛定谔方程可以求得波函数：利用薛定谔方程可以求得波函数：入射波入射波+ +反射波反射波指数衰减波指数衰减波其中其中待定常数待定常数 B、C、D、F由下列边界条件确定：由下列边界条件确定：)0()0(21)0()0(21)()(32aa)()(32aaxU=U0U= 00a透射系数透射系数T：粒子

44、穿透势垒的概率：粒子穿透势垒的概率)(220EUmaeTxU=U0U= =0 0O Oa可以证明：可以证明：( (x) 可见：可见：m、a、( U0 E ) 越小，则穿透率越小，则穿透率 T 越大。越大。向墙壁上扔一球，按经典力向墙壁上扔一球，按经典力学该球被墙壁反弹回来；学该球被墙壁反弹回来；例如：电子例如：电子 a=210-10 m, (U0-E) = 1 eV T0.51但按量子力学小球有可能进入但按量子力学小球有可能进入墙壁中（当墙壁中（当m 很大时很大时，T 可能可能很小）很小）1. STM原理原理利用探针在样品表面扫描利用探针在样品表面扫描时，样品表面和针尖之间时，样品表面和针尖之

45、间间距有间隙，形成了电子间距有间隙，形成了电子的势垒，间隙越小势垒宽的势垒，间隙越小势垒宽度越窄，隧道电流度越窄，隧道电流I 越大越大。三、扫描隧穿显微镜（三、扫描隧穿显微镜（STM）扫描隧穿显微镜扫描隧穿显微镜(Scanning Tunneling Microscope)是是可以观测原子的超高倍显微镜可以观测原子的超高倍显微镜。扫描隧道显微镜示意图扫描隧道显微镜示意图通过测量电路中的电流，反推出距离通过测量电路中的电流，反推出距离S，绘出样品表，绘出样品表面形貌图（立体图）面形貌图（立体图）隧道电流隧道电流I 样品和针尖间距离样品和针尖间距离S的关系的关系SAUeI S 样品和针尖间的距离样

46、品和针尖间的距离U 加在样品和针尖间的微小电压加在样品和针尖间的微小电压A 常数常数 平均势垒高度平均势垒高度扫描探针显微镜扫描探针显微镜 包含类型：包含类型：隧道扫描、隧道扫描、磁力扫描、磁力扫描、横向力扫描、横向力扫描、力调制扫描、力调制扫描、相检测扫描、相检测扫描、静电力扫描静电力扫描 超高真空扫描探针显微镜超高真空扫描探针显微镜05090307010(nm)硅晶体表面的硅晶体表面的STM扫描图象扫描图象2. STM扫描图象扫描图象Carbon Monoxide on Platinum (111)Circles on CirclesStadium Corral镶嵌了镶嵌了48个个 Fe

47、原子的原子的 Cu 表面的表面的扫描隧道显微镜照片。扫描隧道显微镜照片。48 个个 Fe 原子原子形成形成“电子围栏电子围栏”，围栏中的电子形成驻波：，围栏中的电子形成驻波：罗赫尔：罗赫尔： 1986年度年度的诺贝尔的诺贝尔物理奖物理奖宾尼：宾尼：1986年度年度的诺贝尔的诺贝尔物理奖物理奖鲁斯卡：鲁斯卡：1932年电子年电子显微镜的发显微镜的发明者明者END22.7 氢原子量子理论氢原子量子理论氢原子中的电子在中心力场中运动氢原子中的电子在中心力场中运动UmH222rerU024)()(21222222rUmrLrrrrmH采用球坐标系采用球坐标系2222sinsinsinzLLiLz一、角

48、动量算符的本征值问题一、角动量算符的本征值问题其中其中L2为电子绕核的轨道角动量平方算符为电子绕核的轨道角动量平方算符Lz的为轨道角动量在的为轨道角动量在z分量：分量：通过求解通过求解L2和和Lz 的本征方程得到本征函数和本征的本征方程得到本征函数和本征值如下值如下(过程略过程略)：lml,2, 1,0,2, 1 ,0),() 1(),(,2,2mlmlYllYL),(),(,mlmlzYmYL其中其中),(,mlY为球谐函数为球谐函数, 例如例如：41),(0,0Y)0, 0(ml)0, 1(ml) 1, 1(mlcos43),(0, 1YieYsin83),(1, 1) 1( llL角动量

49、角动量L的取值是量子化的（量子力学很自然地给出角的取值是量子化的（量子力学很自然地给出角动量的量子化），最小值可取零（与玻尔假设不同）动量的量子化），最小值可取零（与玻尔假设不同）1. 主要结论主要结论 和和 有共同的本征函数有共同的本征函数 Yl, m(, )2LzL 的本征值为的本征值为2L22)1(llL角动量的大小：角动量的大小：l=0,1,2 称为角量子数称为角量子数,.6,2, 0mLz 可的本征值取可的本征值取zL角动量在空间的取向也是量子化的。角动量在空间的取向也是量子化的。m=-l,-l+1,l-1,l 称为称为磁量子数磁量子数lLz ,.2 , , 0对于一定的角量子数对于

50、一定的角量子数l ,磁量子数磁量子数 m 可取可取(2 l +1)个值，个值，角动量在空间角动量在空间 z 方向的取向只有方向的取向只有(2 l +1)种可能。种可能。2. 角动量空间量子化的经典矢量模型角动量空间量子化的经典矢量模型该矢量在该矢量在Lz轴上的投影在轴上的投影在 到到 之间。之间。l l但对矢量的具体方位但对矢量的具体方位 不能限制，可以在半顶角不能限制，可以在半顶角的圆的圆锥面上的任意方位锥面上的任意方位 （其中（其中 ）, 若若Lz取取定值，则定值，则 完全不确定。完全不确定。)l( l/m1 61 )l ( l|L|0-2 Lz =2 - Lz将角动量想象为一长度为将角动

51、量想象为一长度为 的经典矢量的经典矢量)l ( lL1 LLzLz =2 L注：以上矢量模型完全是为了使角动量空间取向量子注：以上矢量模型完全是为了使角动量空间取向量子化的描述更形象，是一种辅助方法。化的描述更形象，是一种辅助方法。量子理论中由于测不准关系的限制，电子绕原子核量子理论中由于测不准关系的限制，电子绕原子核的角动量方向在任何时刻均是不确定的。的角动量方向在任何时刻均是不确定的。3. Zeeman效应证明效应证明角动量空间取向的量子化角动量空间取向的量子化氢原子从第一激发态（氢原子从第一激发态（l=1）跃迁到基态（）跃迁到基态（l=0）时，）时，发射光谱只有一条谱线。发射光谱只有一条

52、谱线。但在外磁场中发现，该条谱线分裂为三条。但在外磁场中发现，该条谱线分裂为三条。B=0时光谱线时光谱线l=1l=0对应对应对应对应B0时光谱线时光谱线l=1l=0Lmel02电子的轨道角动量对应于轨道磁矩电子的轨道角动量对应于轨道磁矩在外磁场中电子的轨道磁矩具有的附加磁能为：在外磁场中电子的轨道磁矩具有的附加磁能为：称光谱这种分裂现象为称光谱这种分裂现象为塞曼效应塞曼效应。BElBLmez02BLme02Bmem02 ) 1( 2)0( 0) 1( 200mmBemmmBe解释：解释：由于电子轨道角动量空间取向的量子化，氢原子的能级由于电子轨道角动量空间取向的量子化，氢原子的能级在外加磁场出

53、现了分裂现象，进一步导致谱线的分裂。在外加磁场出现了分裂现象，进一步导致谱线的分裂。1902诺贝尔物理学奖得主诺贝尔物理学奖得主塞曼塞曼塞曼效应的塞曼效应的发现和研究发现和研究二、氢原子的能量和电子的几率密度二、氢原子的能量和电子的几率密度定态薛定格方程为定态薛定格方程为可以用分离变量法得电子的波函数可表示为可以用分离变量法得电子的波函数可表示为（此处略）：（此处略）：u(r) 称为径向波函数称为径向波函数),(Y为球谐函数为球谐函数),(),(420222rErrem),()(),()(),(YrruYrRr电子的能量本征值电子的能量本征值)eV(16 .131)4(2222024nnmeE

54、n1, 2 , 1 , 0nl对角量子数的限制对角量子数的限制n = 1, 2, 3，1. 主要结论：主要结论：n称为主量子数称为主量子数例如：例如：基态基态 n=1, l=0; 第一激发态第一激发态 n=2, l=0、1第二激发态第二激发态 n=3, l=0、1、2径向波函数径向波函数 Rnl(r)= unl( r )/r02/300, 1exp21araR002/300,22exp221araraR002/301 ,22exp321araraR其中其中a0=0h2/me2为玻耳半径为玻耳半径2. 电子的几率密度分布和电子云电子的几率密度分布和电子云在空间点（在空间点（r, , ）处）处,小

55、体积元小体积元 dV 中电子出现的概中电子出现的概率为：率为：一般是与一般是与 r 、 、 有关有关 电子径向几率分布电子径向几率分布考虑电子在考虑电子在 r r+dr 球壳的几率球壳的几率dddsin),(22rrrml nddsin),()(22drYrumll n(由于球谐函数是归一的由于球谐函数是归一的)电子沿径向的几率分布电子沿径向的几率分布是连续的是连续的不同于经不同于经典的轨道概念。典的轨道概念。在基态，电子在在基态，电子在r=a0处出处出现的几率最大，与经典轨现的几率最大，与经典轨道对应。道对应。a0 0rrrRYrrWnllmnld)(d),(d)(222rrrRnld)(2

56、2rrunld)(2电子角向几率分布电子角向几率分布电子在基态和激发态时的角向几率分布电子在基态和激发态时的角向几率分布( (其中基态时其中基态时是球对称分布的是球对称分布的) )。l=0, 1, 2 ,3,分别分别对应对应 s, p, d, f, 轨道。轨道。规定：规定：ENDd),( d)(d),(222lmnlnlYrrrRWd),(2lmY22.8 电子的自旋电子的自旋 泡利不相容原理泡利不相容原理 一、一、 电子的自旋（电子的自旋（spin）无磁场无磁场有磁场有磁场1. 斯特恩盖拉赫实验（斯特恩盖拉赫实验（1921）实验结果：银原子束穿过实验结果：银原子束穿过非均匀磁场后非均匀磁场后分裂为两束。分裂为两束。s1s2P基态银原子基态银原子射线射线NS非均匀