第六章-位移法

1、Chap6 Chap6 位移法位移法6-1 6-1 概述概述6-2 6-2 等截面杆件的转角位移方程等截面杆件的转角位移方程6-3 6-3 位移法计算方法位移法计算方法直接平衡法直接平衡法6-4 6-4 位移法计算举例位移法计算举例6-5 6-5 位移法的基本体系位移法的基本体系6-6 6-6 对称结构的计算对称结构的计算6-7 6-7 支座移动与温度改变时的计算支座移动与温度改变时的计算6-1 6-1 概述概述 位移法基本概念，位移法基本思想。位移法基本概念，位移法基本思想。 位移法也称变位法或刚度法，是另一种求位移法也称变位法或刚度法，是另一种求解超静定结构的方法解超静定结构的方法, ,以

2、结点位移作为基本未以结点位移作为基本未知量，该方法不仅可用于超静定结构的求解，知量，该方法不仅可用于超静定结构的求解，还可用于静定结构的求解。同时，位移法也为还可用于静定结构的求解。同时，位移法也为后续章节的学习奠定了基础。后续章节的学习奠定了基础。1 1、基本概念、基本概念作为基本未知量作为基本未知量 B2 2、基本思路、基本思路n位移法解题是一个拆、合的过程，即先把原结位移法解题是一个拆、合的过程，即先把原结构构“拆拆”成若干个单跨超静定梁，计算出已知成若干个单跨超静定梁，计算出已知荷载及杆端位移影响下的内力，然后再把这些荷载及杆端位移影响下的内力，然后再把这些单跨梁单跨梁“合合”成原结构

3、，利用平衡条件求出，成原结构，利用平衡条件求出，这就是位移法的整体思路。这就是位移法的整体思路。 2 2、基本思路、基本思路24BABEIMl力法：力法： 24BABEIMl力法：力法： 24BABEIMl力法：力法： 力法力法 148BCBEIPlMl由于结点由于结点B为刚结点，有：为刚结点，有：从而可求出：从而可求出： 将转角将转角 代入中代入中 ，即可得到杆，即可得到杆BA、BC的弯的弯矩图，将其组在一起即为原结构的弯矩图。矩图，将其组在一起即为原结构的弯矩图。21448BBEIEIPlll12844BPlEIEIllBBABCMM、2、基本思路、基本思路3 3、位移法仍需解决问题、位移

4、法仍需解决问题n确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的确定杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的关系；关系；n结构上何种结点位移可作为基本未知量；结构上何种结点位移可作为基本未知量；n如何建立求解未知量的位移法方程。如何建立求解未知量的位移法方程。6-2 6-2 等截面杆件的转角位移方程等截面杆件的转角位移方程 转角位移方程，杆端力和杆端位移的正转角位移方程，杆端力和杆端位移的正方向规定方向规定1 1、转角位移方程定义、转角位移方程定义 用位移法求解超静定结构时，每根杆件均用位移法求解超静定结构时，每根杆件均可看作单跨超静定梁，杆件的杆端力与荷载、可看作单跨超静定梁，杆件的杆端力与荷载、杆端位

5、移之间恒具有一定的关系，可用函数进杆端位移之间恒具有一定的关系，可用函数进行表达，这种函数表达式称之为转角位移方程，行表达，这种函数表达式称之为转角位移方程，也称为刚度方程。也称为刚度方程。2 2、 杆端力和杆端位移符号规定杆端力和杆端位移符号规定 杆端转角杆端转角 顺时针为正，杆两端相对线位顺时针为正，杆两端相对线位移移 ，以使杆件产生顺时针转动为正；杆端弯，以使杆件产生顺时针转动为正；杆端弯矩以顺时针方向为正，杆端剪力的规定仍是以矩以顺时针方向为正，杆端剪力的规定仍是以使作用截面产生顺时针转动为正。使作用截面产生顺时针转动为正。3 3、由杆端位移求杆端力、由杆端位移求杆端力（1 1）两端为

6、固定端梁）两端为固定端梁 根据力法，根据力法， 对梁的弯矩无影响，故在计算对梁的弯矩无影响，故在计算时可不予考虑，很显然时可不予考虑，很显然 。3X12ABBAMXMX、3 3、由杆端位移求杆端力、由杆端位移求杆端力 显然，显然，图图6.2(b)等于图等于图6.3(a) 、(b)两种情况的叠加，则：两种情况的叠加，则： 1212AAABBB3 3、由杆端位移求杆端力、由杆端位移求杆端力求杆端弯矩求杆端弯矩 作用下杆端转角作用下杆端转角 和和 。 ABBAMM、1A1B 采用力法，作出采用力法，作出图图6.3(a) 的的 图、图、 图和图和 图，如图图，如图6.4 。 PM1M2M3 3、由杆端

7、位移求杆端力、由杆端位移求杆端力 由图由图6.4的的(a) 、(b)图，图乘可得：图，图乘可得： 令令 ，i称为杆称为杆AB的线刚度，则上式整理为：的线刚度，则上式整理为： 同理：同理：6.4的的(a) 、(c)图，利用图乘法得：图，利用图乘法得：11121111232336AABBAABBAlllEIEIMMMM EIil11136AABBAMMii11163BABBAMMii 3 3、由杆端位移求杆端力、由杆端位移求杆端力求当杆两端有相对位移求当杆两端有相对位移时杆端转角时杆端转角 和和 。 2A2B 由由图图6.3(b) 可得：可得：22ABl 由由 和计算结果，根据叠加原理，杆端转角和

8、计算结果，根据叠加原理，杆端转角 和和 为：为： AB11361163AABBABABBAMMiilMMiil 整理为整理为：426246ABABBAABMiiilMiiil 式式(6-2)即为已知杆端位移即为已知杆端位移 、 和和 求杆端弯矩的公式，又称为求杆端弯矩的公式，又称为AB梁的转角位移方程。梁的转角位移方程。 （6-2）ABABA （6-1）3 3、由杆端位移求杆端力、由杆端位移求杆端力取杆件为研究对象，由平衡条件可以求出杆端剪力为：取杆件为研究对象，由平衡条件可以求出杆端剪力为： 由由（6-2） 和（和（6-3）计算结果，杆端力可写为矩阵形式：）计算结果，杆端力可写为矩阵形式：

9、式式(6-4)称为弯曲杆件的刚度方程；称为弯曲杆件的刚度方程；26612QABQBAABiiiFFlll （6-3）26426246612ABABABQABiMiiliMiiliiiFlll （6-4）3、由杆端位移求杆端力其中：其中： 称为弯曲杆件的刚度矩阵，矩阵中的系数称为刚度系数。刚度系称为弯曲杆件的刚度矩阵，矩阵中的系数称为刚度系数。刚度系数是只与杆件的截面形状尺寸和材料性质有关的常数，所以又称为数是只与杆件的截面形状尺寸和材料性质有关的常数，所以又称为形常数。形常数。 26426246612iiiliiiliiilll3 3、由杆端位移求杆端力、由杆端位移求杆端力（2 2）一端固定一

10、端铰支梁）一端固定一端铰支梁 由上图由上图(a)，可知，可知，代入式代入式(6-1)可得：可得：0BAM33ABAiMil3 3、由杆端位移求杆端力、由杆端位移求杆端力（3 3）一端固定一端定向支座梁）一端固定一端定向支座梁 由上图由上图(b)，可知，可知，代入式代入式(6-2)和和(6-3)可得：可得：00BQABQBAFF，=ABABAAMiMi ；3 3、由荷载求杆端力、由荷载求杆端力n杆件只承受荷载作用时所得的杆端力，通常称为固端力，杆件只承受荷载作用时所得的杆端力，通常称为固端力，一般包括固端弯矩和固端剪力。一般包括固端弯矩和固端剪力。n固端力的求解仍然可以采用力法，在表固端力的求解

11、仍然可以采用力法，在表6-1中列出了常中列出了常见荷载作用下的固端力。见荷载作用下的固端力。n从表从表6-1中可以看出，固端力的大小只与杆件所承受的中可以看出，固端力的大小只与杆件所承受的荷载形式有关，因而，固端力也称为载常数，一般用荷载形式有关，因而，固端力也称为载常数，一般用 表示为：表示为：FFFFABBAQABQBAMMFF、4 4、小结、小结 综上所述，等截面直杆在荷载及杆端位移的共同作用综上所述，等截面直杆在荷载及杆端位移的共同作用下，利用叠加原理，杆端力一般公式为：下，利用叠加原理，杆端力一般公式为： 2264262466126612FABABABFBAABBAFQABABQAB

12、FQBAABQBAiMiiMliMiiMliiiFFllliiiFFlll （6-5） 式（式（6-5）即为转角位移方程的一般形式。）即为转角位移方程的一般形式。 6-3 6-3 位移法计算方法位移法计算方法 - -直接平衡法直接平衡法 基本未知量的确定，位移法基本方程基本未知量的确定，位移法基本方程1 1、基本未知量、基本未知量 用位移法求解超静定结构时，它是以独立用位移法求解超静定结构时，它是以独立的结点位移作为基本未知量，其中结点位移包的结点位移作为基本未知量，其中结点位移包括结点角位移和结点线位移括结点角位移和结点线位移。1 1、基本未知量、基本未知量（1 1）结点角位移的确定）结点角

13、位移的确定 结点角位移的数目结点角位移的数目刚结点的数目刚结点的数目 2 2个刚结点个刚结点B B、C C，故有，故有2 2个结点角位移个结点角位移 和和 。BC1 1、基本未知量、基本未知量（2 2）结点线位移的确定）结点线位移的确定 n假设：假设： 忽略轴向力产生的轴向变形，则变形后的曲杆与原直杆等长；忽略轴向力产生的轴向变形，则变形后的曲杆与原直杆等长； 假设结点转角和各杆弦转角都很小，则变形后的曲杆长度与其假设结点转角和各杆弦转角都很小，则变形后的曲杆长度与其弦等长。弦等长。 根据假设，杆件发生弯曲变形后，两个端点距离保根据假设，杆件发生弯曲变形后，两个端点距离保持不变或者杆长保持不变

14、，从而就减少了结点线位移持不变或者杆长保持不变，从而就减少了结点线位移的数目。的数目。1 1、基本未知量、基本未知量n简单结构，采用观察法。简单结构，采用观察法。 没有结点线位移没有结点线位移 1 1、基本未知量、基本未知量n复杂结构，采用铰化体系法。具体做法是：复杂结构，采用铰化体系法。具体做法是： 把结构中所有的刚结点、固定端全部改成铰结，则得到把结构中所有的刚结点、固定端全部改成铰结，则得到铰铰结体系；结体系； 对铰结体系进行几何组成分析，若体系几何不变，则无结点线对铰结体系进行几何组成分析，若体系几何不变，则无结点线位移；若几何可变或瞬变，则需考虑最少添加几根支座链杆才能位移；若几何可

15、变或瞬变，则需考虑最少添加几根支座链杆才能保证几何不变，需增加的链杆数即为原结构的结点线位移数。保证几何不变，需增加的链杆数即为原结构的结点线位移数。注意：注意：原结构的链杆支座、铰支座、及两平行链杆与杆轴平行的滑原结构的链杆支座、铰支座、及两平行链杆与杆轴平行的滑动支座不予改变，而两平行链杆与杆轴垂直（或斜交）的滑动支动支座不予改变，而两平行链杆与杆轴垂直（或斜交）的滑动支座，只保留一根链杆。此种方法适用于不计轴向变形的受弯直杆座，只保留一根链杆。此种方法适用于不计轴向变形的受弯直杆结构。结构。 1 1、基本未知量、基本未知量 图图6.7(a)6.7(a)所示刚架，其铰结体系如图所示刚架，其

16、铰结体系如图6.7(b)6.7(b)所示，必须在所示，必须在B B、E E结点各增加一根链杆才能成为几何不变体系，所以原结构独立结结点各增加一根链杆才能成为几何不变体系，所以原结构独立结点线位移的数目为点线位移的数目为2 2个。个。 2 2、直接平衡法、直接平衡法 设梁柱的线刚度均为设梁柱的线刚度均为i，图图6.8(a)6.8(a)所示刚架，基本未知量为所示刚架，基本未知量为3 3个，个，分别为分别为C C、D D结点的角位移结点的角位移 ，和柱顶的水平线位移，和柱顶的水平线位移 ，图，图6.8(b)6.8(b)所示。所示。 12、32 2、直接平衡法、直接平衡法根据转角位移方程根据转角位移方

17、程(6-5)(6-5)，我们可以得到：，我们可以得到： CACA13CACD12DC12DB23CA13DB232264426244612612QFFQQiMiMMiiliMiiMiliiiiFFFllll 2 2、直接平衡法、直接平衡法如图如图6.9(a)6.9(a)所示，选取刚结点所示，选取刚结点C C为研究对象，建立平衡方程：为研究对象，建立平衡方程： 代入整理为：代入整理为：同理，选取刚结点同理，选取刚结点D D为研究对象，可得：为研究对象，可得： CCACD00MMM： ：123CA6820FiiiMl （a）1236280iiil （b）2 2、直接平衡法、直接平衡法如图如图6.9

18、(b) 6.9(b) ，选取柱顶以上横梁，选取柱顶以上横梁CDCD为研究对象，建立平衡方程：为研究对象，建立平衡方程： 代入整理为：代入整理为： 其中其中 和和 可以通过查表可以通过查表6-16-1得到，联立方程得到，联立方程(a) (a) 、(b) (b) 、(c)(c)，即可解出基本未知量即可解出基本未知量1 1、2 2、3 3，将其代入转角位移方程，可求得，将其代入转角位移方程，可求得杆端弯矩，从而绘制结构的弯矩图，进而绘制剪力图和轴力图。杆端弯矩，从而绘制结构的弯矩图，进而绘制剪力图和轴力图。 ： （c）CADB0=0 xQQFFF123266240FQCAiiiFlll CAFMFQ

19、CAF3 3、小结、小结 利用位移法求解超静定结构，建立的方程实质上是静利用位移法求解超静定结构，建立的方程实质上是静力平衡方程。根据转角位移方程，写出各杆件的杆端力表力平衡方程。根据转角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式，对于结点角位移，建立结点的力矩平衡方程；对于达式，对于结点角位移，建立结点的力矩平衡方程；对于结点线位移，建立截面的投影平衡方程。这些方程称为位结点线位移，建立截面的投影平衡方程。这些方程称为位移法的基本方程，基本方程的个数等于基本未知量的个数。移法的基本方程，基本方程的个数等于基本未知量的个数。而这种根据转角位移方程列出位移法基本方程的方法称为而这种根据转角位移方程列出位

20、移法基本方程的方法称为直接平衡方程法。直接平衡方程法。 6-4 6-4 位移法计算举例位移法计算举例 解题步骤可概括如下：解题步骤可概括如下：（1）确定位移法的基本未知量。）确定位移法的基本未知量。（2）根据转角位移方程列出杆端力表达式。）根据转角位移方程列出杆端力表达式。（3）根据平衡条件列位移法基本方程。对于每个角位移结点，建立）根据平衡条件列位移法基本方程。对于每个角位移结点，建立结点的力矩平衡方程：结点的力矩平衡方程： ；对于结点线位移，建立截面的投；对于结点线位移，建立截面的投影平衡方程：影平衡方程： 或者或者 。（4）联立解方程，求结点位移。）联立解方程，求结点位移。（5）将结点位

21、移代入杆端力表达式，求出杆端力。）将结点位移代入杆端力表达式，求出杆端力。（6）作内力图。根据杆端弯矩作弯矩图；选取杆件为研究对象，建）作内力图。根据杆端弯矩作弯矩图；选取杆件为研究对象，建立平衡方程，求出杆端剪力，从而绘制剪力图；选取结点为研究立平衡方程，求出杆端剪力，从而绘制剪力图；选取结点为研究对象，建立平衡方程，求出杆端轴力，从而绘制轴力图。对象，建立平衡方程，求出杆端轴力，从而绘制轴力图。0iM 0 xF 0yF 例题例题6-1 6-1 试求下图所示连续梁的弯矩图。试求下图所示连续梁的弯矩图。 其中：其中： ，q=20 kN /m，P=60kN。【解解】：（：（1）确定位移法的基本未

22、知量。）确定位移法的基本未知量。 此连续梁只有一个基本未知量，结点此连续梁只有一个基本未知量，结点B的角位移的角位移 。（2）根据转角位移方程列出杆端力表达式。）根据转角位移方程列出杆端力表达式。先求固端弯矩，查表先求固端弯矩，查表6-1得：得： 3BCABEIEI122202108833604451616FBAFBCqlMkN mPlMkN m 例题例题6-1 6-1 令令 ，则：，则：根据转角位移方程：根据转角位移方程：（3）根据平衡条件列位移法基本方程。）根据平衡条件列位移法基本方程。 ABABEIil3322ABBCABBCBCABiEIEIiiill11113101093454523

23、BABABCBCMiMiii 1190:01045023BBABCMMMii （4）解方程，求结点位移。）解方程，求结点位移。1143i 解得：解得：（5）将结点位移代入杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩）将结点位移代入杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩 。例题例题6-1 6-1 （6）根据杆端力绘制内力图）根据杆端力绘制内力图 。1114310310243144.5454.545243BABCMiikN miMiikN mi 例题例题6-2 6-2 试求下图所示刚架的弯矩图。试求下图所示刚架的弯矩图。 【解解】：（：（1）确定位移法的基本未知量。）确定位移法的基本未知量。有有2个基本未知量，结点个基本未

24、知量，结点B、C的角位移的角位移1、2。（2）根据转角位移方程列出杆端力表达式。）根据转角位移方程列出杆端力表达式。先求固端弯矩，查表先求固端弯矩，查表6-1得：得： 根据转角位移方程：根据转角位移方程：222044088FBAqlMkN m111212B1212EE11EBE11C DC D22FF22FCFC22340640428424484422364422BABABCBCBCCBCBCBBBCCMiiMiiiiMiiiiMiiMiiMiiMiiMii例题例题6-2 6-2 （3）根据平衡条件列位移法基本方程。）根据平衡条件列位移法基本方程。对于结点对于结点B，对于结点对于结点C，（4）

25、式子（）式子（1）（）（2）联立解方程，求结点位移。）联立解方程，求结点位移。 解得：解得： （1） （2）CCBCFCD12220:+0 48+4+60MMMMiiii E11210:+0640+84+40BBABCBMMMMiiii 121292200290iiii 12180407777ii 例题例题6-2 6-2 （5）将结点位移代入杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩并绘制弯矩）将结点位移代入杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩并绘制弯矩图图 。112B12E118066404025.977718084048416.6277771804408=485.1947777180449.3577BABCCB

26、iMikN miiiMiikN miiiiMiikN miiiMikN mi 1222180 224.6757740 663.1167740 442.0787740 221.03977EBCDCFFCMMiikN miiikN miiMikN miiMikN mi 弯矩图弯矩图例题例题6-3 6-3 试求下图所示刚架的弯矩图。试求下图所示刚架的弯矩图。 其中：各杆杆长、其中：各杆杆长、EI均相同，均相同，q q=20=20k kN/mN/m，P P=30=30kNkN。 。【解解】：（：（1）确定位移法的基本未知量。）确定位移法的基本未知量。有有2个基本未知量，结点个基本未知量，结点C的角位移

27、的角位移1和柱顶的水平线位移和柱顶的水平线位移2。（2）根据转角位移方程列出杆端力表达式。）根据转角位移方程列出杆端力表达式。先求固端弯矩，查表先求固端弯矩，查表6-1得：得： 令令 ，根据转角位移方程：，根据转角位移方程：222044088FABqlMkN m 4EIi 22B1CD1212334043334222FABABCDCiiMMlMiiiMiMi 例题例题6-3 6-3 （3）根据平衡条件列位移法基本方程。）根据平衡条件列位移法基本方程。对于结点对于结点C，取柱顶以上横梁取柱顶以上横梁BC为研究对象，如下图所示：为研究对象，如下图所示：选取柱选取柱AB为研究对象，如下图所示：为研究

28、对象，如下图所示： 1230:0702CCBCDiMMMi BAD0=0 xQQCFPFFABA20330216ABQMMqliFl ： （1） （2）例题例题6-3 6-3 选取柱选取柱CD为研究对象，如下图所示：为研究对象，如下图所示：结果代入（结果代入（2）式，整理得：）式，整理得：（4）式子（）式子（1）（）（3）联立解方程，求结点位移。）联立解方程，求结点位移。解得：解得：（5）将结点位移代入杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩）将结点位移代入杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩 。 CD12330:24DCCDDQMMMFiil 12315600216ii （3）124802240,2323ii

29、例题例题6-3 6-3 （6）根据杆端力绘制弯矩图）根据杆端力绘制弯矩图 。2B1CD121233224040=40=113.0444234803=3=62.61233480322404=4=62.612232233480322402=2=104.35223223ABCDCiiMkN miMiikN miiiMiikN miiiiMiikN mii 例题例题6-3 6-3 （7）根据弯矩图绘制剪力图和轴力图。根据弯矩图绘制剪力图和轴力图。 根据杆端弯矩，选取杆件为研究对象，应用静力平衡条件，建根据杆端弯矩，选取杆件为研究对象，应用静力平衡条件，建立平衡方程可以求出杆端剪力，然后作剪力图。立平衡

30、方程可以求出杆端剪力，然后作剪力图。 BA2332240303011.74161623QiiFkNi BA0 :=0 8011.74=0 68.26xQQABQABQABFqlFFFFkNCD123334803224041.7424223423QFiiiikNii 例题例题6-3 6-3 CD123334803224041.7424223423QFiiiikNii CDDC0 :41.74xQQFFFkNCB62.610:15.654CBBQMMFkNl BCCB0:15.65xQQFFFkN 根据以上求的杆端剪力，绘制剪力图。根据以上求的杆端剪力，绘制剪力图。例题例题6-3 6-3 根据求出

31、的杆端弯矩和剪力，选取结点为研究对象，应用静根据求出的杆端弯矩和剪力，选取结点为研究对象，应用静力平衡条件，建立平衡方程可以求出杆端轴力，从而绘制轴力图。力平衡条件，建立平衡方程可以求出杆端轴力，从而绘制轴力图。BA0 :11.743041.74xNBCQFFFPkN BC0:15.65yNBAQFFFkN CDCB0:41.740:15.65xNCBQyNCDQFFFkNFFFkN 根据以上求的杆端轴力，绘制轴力图。根据以上求的杆端轴力，绘制轴力图。6-5 6-5 位移法的基本体系位移法的基本体系 典型方程，位移法的基本体系典型方程，位移法的基本体系 通过基本体系建立位移法典型方程，从而通过

32、基本体系建立位移法典型方程，从而对超静定结构求解，称为典型方程法。对超静定结构求解，称为典型方程法。 1 1、基本体系、基本体系 通过在结点上添加附加约束，原结构就变成了一组单跨超静通过在结点上添加附加约束，原结构就变成了一组单跨超静定梁组成的组合体。添加定梁组成的组合体。添加 “ “附加刚臂附加刚臂”阻止刚结点转动但不能阻止刚结点转动但不能阻止结点移动；在可能发生线位移的结点，加上阻止结点移动；在可能发生线位移的结点，加上“附加链杆附加链杆”用用来阻止结点线位移同时不阻止结点的转动。附加刚臂用符号来阻止结点线位移同时不阻止结点的转动。附加刚臂用符号“ ”“ ”表示，附加链杆用符号表示，附加链

33、杆用符号“ ”“ ”表示。表示。 2 2、典型方程的推导、典型方程的推导 如图如图6.15(a)6.15(a)所示刚架，经分析可知结构有所示刚架，经分析可知结构有2 2个基本未知量，个基本未知量，分别是结点分别是结点B B的角位移的角位移1 1、柱顶、柱顶BCBC的水平线位移的水平线位移2 2，分别在刚结，分别在刚结点点B B处添加附加刚臂，在刚结点处添加附加刚臂，在刚结点C C处添加附加链杆就得到了位移法处添加附加链杆就得到了位移法的基本结构，如图的基本结构，如图6.15(b)6.15(b)所示。在基本结构上添加基本未知量所示。在基本结构上添加基本未知量和外荷载就形成了位移法的基本体系，如图

34、和外荷载就形成了位移法的基本体系，如图6.15(c)6.15(c)所示。所示。 2 2、典型方程的推导、典型方程的推导 只有基本体系和原结构变形和受力都一致，基本体系才和原只有基本体系和原结构变形和受力都一致，基本体系才和原结构等效，则要求基本结构在荷载与结构等效，则要求基本结构在荷载与1 1、2 2的共同作用下，附的共同作用下，附加约束处的反力矩及反力应为零，因为原结构中并不存在这些约加约束处的反力矩及反力应为零，因为原结构中并不存在这些约束。设附加刚臂的反力矩为束。设附加刚臂的反力矩为F F1 1，附加链杆的反力为，附加链杆的反力为F F2 2，则：，则： 设由设由1 1、2 2及荷载引起

35、的附加刚臂上的反力矩为及荷载引起的附加刚臂上的反力矩为 ，引起的附加链杆上的反力为引起的附加链杆上的反力为 ，根据叠加原理，根据叠加原理，(a)(a)式式可写为可写为1200FF11121pFFF、21222 pFFF、 （a）111212122200PPFFFFFF （b）2 2、典型方程的推导、典型方程的推导 只有基本体系和原结构变形和受力都一致，基本体系才和原只有基本体系和原结构变形和受力都一致，基本体系才和原结构等效，则要求基本结构在荷载与结构等效，则要求基本结构在荷载与1 1、2 2的共同作用下，附的共同作用下，附加约束处的反力矩及反力应为零，因为原结构中并不存在这些约加约束处的反力

36、矩及反力应为零，因为原结构中并不存在这些约束。设附加刚臂的反力矩为束。设附加刚臂的反力矩为F F1 1，附加链杆的反力为，附加链杆的反力为F F2 2，则：，则： 设由设由1 1、2 2及荷载引起的附加刚臂上的反力矩为及荷载引起的附加刚臂上的反力矩为 ，引起的附加链杆上的反力为引起的附加链杆上的反力为 ，根据叠加原理，根据叠加原理，(a)(a)式式可写为可写为 其中：其中：(b)(b)式中式中F F的两个角标含义是：第一个表示反力（或的两个角标含义是：第一个表示反力（或反力矩）所属的附加约束，第二个表示引起反力（或反力矩）的反力矩）所属的附加约束，第二个表示引起反力（或反力矩）的原因。原因。

37、1200FF11121pFFF、21222 pFFF、 （a）111212122200PPFFFFFF （b）2 2、典型方程的推导、典型方程的推导 若设若设k k1111、k k1212表示表示1 1=1=1、2 2=1=1时引起的附加刚臂反力矩，时引起的附加刚臂反力矩，k k2121、k k2222表示表示1 1=1=1、2 2=1=1时引起的附加链杆反力，则时引起的附加链杆反力，则(b)(b)式又可写为式又可写为 ： 欲求出欲求出1 1、2 2，需首先确定，需首先确定 。 （1 1）基本结构在荷载作用下，利用表）基本结构在荷载作用下，利用表6-16-1计算各杆固端弯矩，并绘计算各杆固端弯

38、矩，并绘出基本结构在荷载单独作用下的弯矩图，简称图出基本结构在荷载单独作用下的弯矩图，简称图 。 （c）1111221211222200PPkkFkkF 1211122122PPFFkkkk、PM4BAABMMkN m 2 2、典型方程的推导、典型方程的推导若选取结点若选取结点B B为研究对象为研究对象，则：则：取柱顶横梁取柱顶横梁BCBC部分为研究对象，利用表部分为研究对象，利用表6-16-1，计算固端剪力则：，计算固端剪力则：由由 ，可得，可得（2 2）基本结构在）基本结构在1 1=1=1作用下，利用表作用下，利用表6-16-1计算各杆杆端弯矩，并绘计算各杆杆端弯矩，并绘出基本结构在出基本

39、结构在1 1=1=1单独作用单独作用 下的弯矩图，简称图下的弯矩图，简称图 。 104PMFkN mBA3462QFkN 0 xF 26PFkN m 1M6,4,2BCBAABMiMiMi2 2、典型方程的推导、典型方程的推导若选取结点若选取结点B B为研究对象为研究对象，则：则：取柱顶横梁取柱顶横梁BCBC部分为研究对象，利用表部分为研究对象，利用表6-16-1，计算固端剪力则：，计算固端剪力则：由由 ，可得，可得（3 3）基本结构在）基本结构在2 2=1=1作用下，利用表作用下，利用表6-16-1计算各杆杆端弯矩，并绘计算各杆杆端弯矩，并绘出基本结构在出基本结构在2 2=1=1单独作用单独

40、作用 下的弯矩图，简称图下的弯矩图，简称图 。 1106410Mkiii0 xF 2MBA61.54QiFi 211.5ki 0.751.51.5DCBAABMiMiMi 2 2、典型方程的推导、典型方程的推导若选取结点若选取结点B B为研究对象为研究对象，则：则：取柱顶横梁取柱顶横梁BCBC部分为研究对象，利用表部分为研究对象，利用表6-16-1，计算固端剪力则：，计算固端剪力则：由由 ，可得，可得（4 4）将求得的数值代入式）将求得的数值代入式(c)(c)中，整理为：中，整理为： 1106410Mkiii0 xF BACD33416,QQiiFF221516ki1212101.540151

41、.56016iiii 2 2、典型方程的推导、典型方程的推导解方程，得：解方程，得：（5 5）利用叠加公式）利用叠加公式 ，作刚架的，作刚架的M M图：图： 1122PMMMM 1214144,1919ii 2 2、典型方程的推导、典型方程的推导 当结构有当结构有n n个独立的结点位移时，基本结构就有个独立的结点位移时，基本结构就有n n个附加联系，个附加联系，根据每个附加联系的反力或反力矩均应为零，则可写出根据每个附加联系的反力或反力矩均应为零，则可写出n n个方程：个方程： 式式(6-6)(6-6)称为位移法的典型方程。其中：称为位移法的典型方程。其中： 称为结构的刚度矩阵，其中的系数称为

42、结构的刚度系数，位移称为结构的刚度矩阵，其中的系数称为结构的刚度系数，位移法的典型方程也称为结构的刚度方程，所以位移法又叫刚度法。法的典型方程也称为结构的刚度方程，所以位移法又叫刚度法。 11112211211222221122000nnPnnPnnnnnnPkkkFkkkFkkkF （6-6）111212122212.nnnnnnkkkkkkkkk2 2、典型方程的推导、典型方程的推导 n典型方程的物理意义是：基本结构在荷载等外因和各结点位移共典型方程的物理意义是：基本结构在荷载等外因和各结点位移共同影响下，每个附加约束的反力或反力矩均为零。同影响下，每个附加约束的反力或反力矩均为零。 n典

43、型方程实质上就是力的平衡方程。典型方程实质上就是力的平衡方程。 n结构的刚度矩阵中主对角线上的系数结构的刚度矩阵中主对角线上的系数kii称为主系数，因为称为主系数，因为kii的方的方向始终与向始终与i的方向一致，故恒为正值且不会为零。位于主对角线的方向一致，故恒为正值且不会为零。位于主对角线两侧的系数称为副系数，其值可能为正、或负、或零。根据反力两侧的系数称为副系数，其值可能为正、或负、或零。根据反力互等定理，互等定理，kij=kji。Fip称为自由项，它是由荷载或其他外因引起称为自由项，它是由荷载或其他外因引起的，其值同样可能为正、或负、或零。的，其值同样可能为正、或负、或零。 3 3、计算

44、举例、计算举例 利用位移法典型方程计算超静定结构的步骤如下：利用位移法典型方程计算超静定结构的步骤如下：（1 1）确定原结构的基本未知量，在基本未知量处，加上相应的附加）确定原结构的基本未知量，在基本未知量处，加上相应的附加约束得到基本体系。约束得到基本体系。（2 2）列位移法典型方程。）列位移法典型方程。（3 3）求系数及自由项。）求系数及自由项。 绘制基本结构在绘制基本结构在 及荷载单独作用下的及荷载单独作用下的 和和 图，利用平衡条件计算方程的系数和自由项。图，利用平衡条件计算方程的系数和自由项。（4 4）解方程，求出）解方程，求出 。（5 5）应用叠加原理）应用叠加原理 ，绘制图，绘制

45、图 ，进而绘制，进而绘制 及及 图。图。在结点及局部杆件进行静力平衡条件的校核。在结点及局部杆件进行静力平衡条件的校核。 12n、 、iiPMMM MQFNF12=n1、1、 、112nMMM、 、PM3 3、计算举例、计算举例例例6-4 6-4 试采用基本体系典型方程法绘制例题试采用基本体系典型方程法绘制例题6-26-2刚架的弯矩图。刚架的弯矩图。 （a a） （b b） 【解解】：（：（1 1）确定位移法的基本未知量和基本体系。）确定位移法的基本未知量和基本体系。 （a a）刚架有）刚架有2 2个结点角位移，为结点个结点角位移，为结点B B、C C的角位移的角位移1 1和和2 2 ，没有结

46、点线位移。分别在刚结点没有结点线位移。分别在刚结点B B、C C添加附加刚臂，得到了结构添加附加刚臂，得到了结构的基本体系，如图的基本体系，如图(b)(b)所示。所示。（2 2）列位移法典型方程。）列位移法典型方程。 1111221211222200PPkkFkkF 3 3、计算举例、计算举例（3 3）求系数及自由项。）求系数及自由项。 绘制基本结构在荷载及绘制基本结构在荷载及1 1=1=1、 2 2=1=1作用下的作用下的 、 和和 图，图，如图如图 (c)(c)、(d)(d)、(e)(e)所示。所示。 2MPM1M （c c） （d d） （e e） 3 3、计算举例、计算举例（4 4）解

47、方程，求出）解方程，求出1 1、2 2。将系数和自由项代入典型方程，并整理：将系数和自由项代入典型方程，并整理：解得：解得：（5 5）应用叠加原理）应用叠加原理 ，绘制，绘制M M图图 1121122222126481846481820440880=PPkiiiikkikiiiiqlFkN mF121292200290iiii 12180407777ii iiPMMM 4 4、 位移法（典型方程法）和力法比较位移法（典型方程法）和力法比较 （1 1）求解依据）求解依据 力法和位移法都是综合应用静力平衡、变形连续及物理关系这三力法和位移法都是综合应用静力平衡、变形连续及物理关系这三方面的条件，使

48、基本体系与原结构的变形和受力情况一致，从而方面的条件，使基本体系与原结构的变形和受力情况一致，从而利用基本体系建立典型方程求解原结构。利用基本体系建立典型方程求解原结构。（2 2）基本未知量）基本未知量 位移法的基本未知量是独立的结点位移，基本未知量与结构的超位移法的基本未知量是独立的结点位移，基本未知量与结构的超静定次数无关；而力法的基本未知量则是多余未知力，基本未知静定次数无关；而力法的基本未知量则是多余未知力，基本未知量的数目等于结构的超静定次数。量的数目等于结构的超静定次数。（3 3）基本体系）基本体系 位移法是以在原结构上施加附加约束后得到的一组单跨超静定梁位移法是以在原结构上施加附

49、加约束后得到的一组单跨超静定梁作为基本体系的。对同一结构，位移法基本体系是唯一的；而力作为基本体系的。对同一结构，位移法基本体系是唯一的；而力法则是以去掉多余约束后得到的静定结构作为基本体系，同一结法则是以去掉多余约束后得到的静定结构作为基本体系，同一结构可选取多个不同的基本体系。构可选取多个不同的基本体系。4 4、 位移法（典型方程法）和力法比较位移法（典型方程法）和力法比较 （4 4）典型方程）典型方程典型方程的物理意义典型方程的物理意义典型方程系数的物理意义典型方程系数的物理意义典型方程自由项的物理意义典型方程自由项的物理意义（5 5）应用范围）应用范围 只要有结点位移，就有位移法基本未

50、知量，所以位移法既可求解只要有结点位移，就有位移法基本未知量，所以位移法既可求解超静定结构，也可求解静定结构。只有超静定结构才有多余未知超静定结构，也可求解静定结构。只有超静定结构才有多余未知力，才有力法基本未知量，所以力法只适用于求解超静定结构。力，才有力法基本未知量，所以力法只适用于求解超静定结构。6-6 6-6 对称结构的计算对称结构的计算 半结构简化半结构简化1 1、半结构简化方法、半结构简化方法 （1 1）奇数跨）奇数跨对称荷载作用下对称荷载作用下1 1、半结构简化方法、半结构简化方法 （1 1）奇数跨）奇数跨反对称荷载作用下反对称荷载作用下1 1、半结构简化方法、半结构简化方法 （

51、2 2）偶数跨）偶数跨对称荷载作用下对称荷载作用下1 1、半结构简化方法、半结构简化方法 （2 2）偶数跨）偶数跨反对称荷载作用下反对称荷载作用下2 2、计算举例、计算举例例例6-5 6-5 利用对称性绘制如下图所示结构的弯矩图。每根杆件的利用对称性绘制如下图所示结构的弯矩图。每根杆件的EIEI值值都相同且为常数，都相同且为常数，q=30kN/mq=30kN/m。 【解解】：（：（1 1）此结构和荷载关于）此结构和荷载关于CDCD柱对称，利用对称性，可以取半柱对称，利用对称性，可以取半结构进行简化计算，如图结构进行简化计算，如图 (b)(b)所示。所示。（2 2）确定基本未知量，在基本未知量处

52、，加上相应的附加约束得到）确定基本未知量，在基本未知量处，加上相应的附加约束得到基本体系。对半结构进行分析，结构只有结点基本体系。对半结构进行分析，结构只有结点B B的角位移的角位移1 1，其，其基本体系如图基本体系如图 (c)(c)所示。所示。 。 2 2、计算举例、计算举例（3 3）列位移法典型方程。）列位移法典型方程。（4 4）求系数及自由项。）求系数及自由项。 绘制基本结构在荷载及绘制基本结构在荷载及1 1=1=1作用下的作用下的 和和 图，如图图，如图 (c)(c)、(d)(d)、(e)(e)所示。所示。 PM1M （d d） （e e） 11110PkF 2 2、计算举例、计算举例

53、令令 ，则：，则：（5 5）解方程，求出）解方程，求出1 1。解得：解得：（6 6）应用叠加原理）应用叠加原理 ，绘制半结构，绘制半结构M M图如图图如图(f)(f)所示，所示，利用对称性，在对称荷载作用下，原结构的弯矩图关于对称轴对利用对称性，在对称荷载作用下，原结构的弯矩图关于对称轴对称，绘制原结构的称，绘制原结构的M M图如图图如图 (g)(g)所示。所示。 iiPMMM 4EIi 211118,4012PkiFqakN m 15i （f f） （g g） 6-7 6-7 支座移动与温度改变时支座移动与温度改变时的的 计算计算 支座移动与温度改变时典型方程，自由项支座移动与温度改变时典型

54、方程，自由项的计算的计算1 1、支座移动时的计算、支座移动时的计算 当支座发生移动时超静定结构的计算，对于位移法求解来说，当支座发生移动时超静定结构的计算，对于位移法求解来说，基本体系和基本未知量没有发生改变，所以基本方程以及作题步基本体系和基本未知量没有发生改变，所以基本方程以及作题步骤与荷载作用时一样，不同之处只是固端力一项不同。骤与荷载作用时一样，不同之处只是固端力一项不同。例例6-7 6-7 如图如图(a) (a) ，当支座，当支座C C向下移动向下移动a a时，求连续梁的弯矩图。时，求连续梁的弯矩图。（1 1）确定原结构的基本未知量，在基本未知量处，加上相应的附加）确定原结构的基本未

55、知量，在基本未知量处，加上相应的附加约束得到基本体系。约束得到基本体系。 此连续梁只有此连续梁只有1 1个基本未知量，结点个基本未知量，结点B B的角位移的角位移1 1。其基本体。其基本体系如图系如图 (b)(b)所示。所示。 （a a） （b b） 1 1、支座移动时的计算、支座移动时的计算 （2 2）列位移法典型方程。）列位移法典型方程。其中：其中： 表示基本结构在支座移动单独作用下，在附加约束中产生的约表示基本结构在支座移动单独作用下，在附加约束中产生的约束反力。则上式的物理意义为：基本结构在基本未知量束反力。则上式的物理意义为：基本结构在基本未知量1 1和支座移动和支座移动共同作用下，附加约束的约束反力等于零。共同作用下，附加约束的约束反力等于零。（3 3）求系数及自由项。）求系数及自由项。 绘制基本结构在绘制基本结构在1 1=1=1和和C C支座向下移