现代控制理论学习教案

1、会计学1现代现代(xindi)控制理论控制理论 第一页，共99页。定义：设线性时变(sh bin)系统状态方程为 utBxtAx)()(对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1 t0的有限时间区间t0,t1内，存在一个无约束的控制(kngzh)矢量u(t0，t1)，使x(t1)=0，则称系统在t0时刻是状态完全能控的，简称系统是能控的。 3-2能控性及其判据(pn j)一：能控性概念 线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1 t0的有限时间区间t0,t1内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。定

2、义：第2页/共99页第二页，共99页。证明(zhngmng) 充分性 ),(10ttW为非奇异(qy)时，系统能控 )(),(),()()(01010txttWtttBtuTT1011001( )( , ) ( )( , ) ( ) ( )ttx tt tx ttBud说明(shumng)系统是能控的 10101100100101100100001011001001010( , ) ( )( , ) ( )( )( , )( , ) ( )( , ) ( )( , )( , ) ( )( )( , )( , ) ( )( , ) ( )( , )( , )( , ) ( )0tTTttTTtt

3、 tx ttBBtWt t x t dt tx tt ttBBtWt t x t dt tx tt t W t t Wt t x t 二：能控性判据定理一：线性时变系统 在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵 10),()()(),(),(0010ttTTdtBBtttW为非奇异矩阵，式中 ),(0tt为状态转移矩阵 utBxtAx)()(1 线性时变系统第3页/共99页第三页，共99页。必要性 反证法，若 ),(10ttW是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾(modn)结果。由于(yuy) ),(10ttW是奇异(qy)的，故必存在非零的行向量，使01(,)0W tt01(,

4、)0TW tt1000(, )( )( )(, )0tTTTttBBtd 1000(, )( )( )(, )0tTTTttBBtd 0( )(, )0TTTBttt二：能控性判据定理一：线性时变系统 在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵 10),()()(),(),(0010ttTTdtBBtttW为非奇异矩阵，式中 ),(0tt为状态转移矩阵 utBxtAx)()(1 线性时变系统第4页/共99页第四页，共99页。二：能控性判据(pn j)定理一：线性时变系统 在t0时刻是状态完全能控的充分(chngfn)必要条件是下列格兰姆矩阵 10),()()(),(),(0010t

5、tTTdtBBtttW为非奇异(qy)矩阵，式中 ),(0tt为状态转移矩阵 utBxtAx)()(必要性 由于系统能控 0)()(),()(),()(1010011ttduBttxtttx1100101010()( ,)( , )( ) ( )( , )( ) ( )ttttx tt ttBudtBud 取系统初始状态 0()0Tx t100000() ()( , )( ) ( )()TtTtxtx ttBudx t100( )( )( , )0tTTTTtuBtd 0()0 x t1 线性时变系统0( )(, )0TTTBttt第5页/共99页第五页，共99页。定理二：线性时变系统在t0时

6、刻是状态完全(wnqun)能控的充分必要条件是 )(),(0tBtt的行向量在t0,t1上线性无关(wgun) 证明(zhngmng): 充分性 )(),(0tBtt的行向量在t0,t1上线性无关系统能控 或系统不能控 的行向量在t0,t1上线性相关)(),(0tBtt由于系统不能控 ),(10ttW是奇异的，故必存在非零的行向量，使01(,)0W tt01(,)0TW tt1000(, )( )( )(, )0tTTTttBBtd 1000(, )( )( )(, )0tTTTttBBtd 0(, )( )0tt B t第6页/共99页第六页，共99页。定理(dngl)二：线性时变系统在t0

7、时刻是状态完全能控的充分必要条件是 )(),(0tBtt的行向量在t0,t1上线性无关(wgun) 证明(zhngmng): 必要性 )(),(0tBtt的行向量在t0,t1上线性相关系统不能控 系统能控 的行向量在t0,t1上线性无关)(),(0tBtt由于),(10ttW的行向量线性相关，故必存在非零的行向量，使01(,)0W tt或 )(),(0tBtt0(, )( )0tt B t1000(, )( )( )(, )0tTTttBBtd 是奇异的，故系统不能控 第7页/共99页第七页，共99页。定理三：如果线性时变(sh bin)系统的A(t)和B(t)是n-1阶连续可微的，若存在一个

8、有限的t1t0，使得 ntMtMtMrankn)(),(),(111110则系统(xtng)在t0是能控的。其中 )()()()()()(10tMdtdtMtAtMtBtMkkk本定理(dngl)是充分条件证明: 0110110111101110110111(,)( )(,)( )(,)( )(,)( )( )(,)( )(,)( )ttB tttB tttB tttttA tB tttB tttMt 1011011111(,)( )(,)( )nnnttB tttMtt101011111011011011111( ,)( ),( ),( )( ,)( ),( ,)( )( ,)( )nnnt

9、tMtMtMtttB tttB tttB ttt第8页/共99页第八页，共99页。101011111011011011111( ,)( ),( ),( )( ,)( ),( ,)( )( ,)( )nnnttMtMtMtttB tttB tttB ttt由于(yuy) ntMtMtMrankn)(),(),(111110故 1011011011111(,)( ),(,)( )(,)( )nnrankttB tttB tttB tntt下面(xi mian)求证 1011011011111(,)( ),(,)( )(,)( )nnrankttB tttB tttB tntt系统(xtng)能控或

10、系统不能控1011011011111(,)( ),(,)( )(,)( )nnrankttB tttB tttB tntt由于系统不能控,存在非零的行向量，使0(, )( )0tt B t1001(, )( )0(, )( )0nntt B ttt B ttt10001(, )( ),(, )( )(, )( )0nntt B ttt B ttt B ttt 第9页/共99页第九页，共99页。由于(yuy) ntMtMtMrankn)(),(),(111110故 1011011011111(,)( ),(,)( )(,)( )nnrankttB tttB tttB tntt下面(xi mian

11、)求证 1011011011111(,)( ),(,)( )(,)( )nnrankttB tttB tttB tntt系统(xtng)能控或系统不能控1011011011111(,)( ),(,)( )(,)( )nnrankttB tttB tttB tntt由于系统不能控,存在非零的行向量，使0(, )( )0tt B t1001(, )0(, )0nntttttt10001(, )( ),(, )( )(, )( )0nntt B ttt B ttt B ttt 1011011011111(,)( ),(,)( )(,)( )nnrankttB tttB tttB tntt第10页/共

12、99页第十页，共99页。2 线性定常系统(xtng)定理一:线性定常系统(xtng)(A、B、C)，状态能控的充分必要条件是格兰姆矩阵： 10)()(),(0010ttTTdtBBtttW11001)()(),0(tATAtTTdeBBedBBtWT或为非奇异(qy)矩阵 定理二:线性定常系统(A、B、C)，状态完全能控的充分必要条件是 BeAt的行向量在,t1上线性无关 定理三：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性矩阵21nCQB AB A BAB满秩第11页/共99页第十一页，共99页。定理三：线性定常系统状态完全(wnqun)能控的充分必要条件是：能控性矩阵21nCQB AB

13、 A BAB满秩证明(zhngmng):充分性CQ满秩系统(xtng)能控,或系统(xtng)不能控CQ不满秩由于系统不能控,存在非零的行向量，使0AteB上式对t求导，并令t=0210,0,0,0nBABA BAB210nB AB A BAB 必要性CQ不满秩系统不能控由于不满秩,存在非零的行向量，使CQ210nB AB A BAB 210,0,0,0nBABA BAB1011( )( )( )0AtnneBt It At AB 第12页/共99页第十二页，共99页。对于单输入(shr)系统，QC=b，Ab，A2b，An-1b如果系统(xtng)是完全能控的，称（A、B）或（A、b）为能控对

14、 推论：对于线性定常系统(xtng)，若B的秩为r，则系统(xtng)完全能控的充要条件是：rankB，AB，A2B，An-rB=n 第13页/共99页第十三页，共99页。设 uxx100110110010011试判断(pndun)系统的能控性 解解 2121110010101121110,2ccrankQBAABBQ系统是不完全能控的。若考虑(kol)到rankB=2，只需计算rankB，AB=2，说明系统不能控。 第14页/共99页第十四页，共99页。图示电路，判断系统(xtng)能控性条件 uL1R2R3R4RCLiCu解：选取解：选取(xunq)状态变量状态变量x1=iL，x2=uC，

15、得系统的状态方程为，得系统的状态方程为 2432114342122243321114343212111111111xRRRRCxRRRRRRCxuLxRRRRRRLxRRRRRRRRLx4342124343212121011,RRRRRRLCRRRRRRRRLLAbbQC当 434212RRRRRR（R1R4=R2R3）时，系统(xtng)不能控。否则系统(xtng)能控。第15页/共99页第十五页，共99页。定理四：PBH判别法 线性定常系统完全能控的充分必要条件是n（n+r）矩阵(j zhn)I-A，B对A的所有特征值i之秩为n。即：rankiI-A，B=n，（i=1、2、n）证明见5 P

16、144-145定理五：对线性定常系统(xtng)作非奇异变换，其能控性不变 ()()xPxA B CA B C11,APAPBPB CCP2121nnCCQB AB A BABPB AB A BABPQCCrankQrankQ第16页/共99页第十六页，共99页。定理六：线性定常系统（A、B、C），若A的特征值1、2、n互不相同，则一定可以(ky)通过非奇异变换P把A变换成对角阵，即 121nAPAP111212122212rrnnnrrrrrrrBPBrrr此时(c sh)系统能控的条件为 B中任一行(yxng)的元素不全为零。 如果某一行的元素全为零，说明对应的状态变量不能控。 第17页/

17、共99页第十七页，共99页。uxx011012判断(pndun)系统的能控性 解解 1111110101200110PPAP A PbP b系统(xtng)不能控 定理七：一般情况下，当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，如果对应A的各重特征值只能找到一个独立的特征向量，其状态完全能控的条件是：与每个约当块最后一行(yxng)对应的B阵中，这一行(yxng)的元素不全为零。 第18页/共99页第十八页，共99页。定理(dngl)八：设n维线性定常系统状态方程 BuAxx当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，若1、2、m为其m个互异特征值，对应与某个特征值i可以(ky)找到r

18、(i)个独立的特征向量，则与i相对应的约当块A i中有r(i) 个约当块，即 11212( )(,)(,)11miiiir iiiijiAPAPdiag A AAAdiag AAAA相应(xingyng)地，设 11221( )12iiiir imijijijlijBBBBBPBBBBbbBb系统能控的充分必要条件是：对每一个i=1、2、m，矩阵Bil的各行在复数域上线性无关，其中： )(11ilirlililibbbB第19页/共99页第十九页，共99页。211312112211111100111100211010001000111llllbbbbuxx系统能控的充分必要条件是向量组bl11

19、、bl12、bl13线性无关(wgun)以及bl21线性无关(wgun)（即不为零） 第20页/共99页第二十页，共99页。三：线性定常系统(xtng)的输出能控性 设线性定常系统(xtng)动态方程为 DuCxyBuAxx 如果存在一个无约束的控制量u(t)，在有限时间(shjin)tf-t0内，使得由任一初始输出y(t0)，能够转移到输出y(tf)=0，则称这一系统为输出完全能控，简称输出能控。mDBCABCACABCBrankn12控制系统的状态能控性与输出能控性之间没有必然联系 系统输出完全能控的充分必要条件是下列 m(n+1)r矩阵满秩，即：第21页/共99页第二十一页，共99页。0

20、1112110 xxuyx由于(yuy) 1011,11111,dcAbcbrankrankAbbrank该系统(xtng)状态不能控而输出能控 0000,dcAbcbrank对于(duy)本例，若设xy11系统输出不能控 第22页/共99页第二十二页，共99页。一：能观测(gunc)性的概念 定义(dngy)：设n维线性定常系统的动态方程为 DuCxyBuAxx 如果在有限的时间间隔内，根据给定的输入值u(t)和输出值y(t)，能够确定系统的初始状态x(t0)的每一个分量,则称此系统是状态完全能观测的，简称能观测的。若系统中至少由一个状态变量不能观测，则称此系统是不完全能观测的，简称不能观测

21、。 s1s1)(tu12)(ty)0(1x)0(2x1x2x该系统是不能观测的 由于 ttdButtxtttx0)()()()()(00可见系统的状态x(t)的能观测性与x(t0)的能观测性是等价的 定义：设n维系统的动态方程为 utDxtCyutBxtAx)()()()(若对状态空间中的任一状态x(t0)，存在一有限时间t1-t0，使得由控制输入u(t0,t1)和输出y(t0,t1)的信息足以确定x(t0)，则称系统在t0时刻是完全能观测的。 第23页/共99页第二十三页，共99页。二：能观测(gunc)性判据1 线性时变(sh bin)系统定理一：系统(xtng)在t0时刻能观测的充要条件

22、是下列格兰姆矩阵： 10),()()(),(),(0010ttTTdttttCtCttttW为非奇异矩阵 证明:充分性设( )0u t 00( )( ,)x tt tx00( )( ) ( ,)y tC tt tx11000000( ,)( )( ) ( ,)( ,)( ) ( )ttTTTTttt tCt C tt tx dtt tCt y t dt100100( ,)( ,)( ) ( )tTTtW ttxt tCt y t dt1010010( ,)( ,)( ) ( )tTTtxWttt tCt y t dt第24页/共99页第二十四页，共99页。二：能观测(gunc)性判据1 线性时

23、变(sh bin)系统定理(dngl)一：系统在t0时刻能观测的充要条件是下列格兰姆矩阵： 100100( ,)( ,)( )( ) ( ,)tTTtW ttt tCt C tt tdt为非奇异矩阵 证明:必要性设系统能观测,但010( ,)0W ttx ( )0y t 01( ,)W tt是奇异的,即存在非零初态,使0010( ,)0Tx W ttx 100000( ,)( )( ) ( ,)0tTTTtxt tCt C tt tdtx10( ) ( )0tTtyt y t dt 第25页/共99页第二十五页，共99页。二：能观测(gunc)性判据1 线性时变(sh bin)系统定理一：系统

24、在t0时刻能观测(gunc)的充要条件是下列格兰姆矩阵： 10),()()(),(),(0010ttTTdttttCtCttttW为非奇异矩阵 定理二：系统在t0时刻能观测的充要条件是存在一个有限时刻t1t0，使得mn型矩阵C(t)(t,t0)的n个列在t0，t1上线性无关。 定理三：如果线性时变系统的A(t)和C(t)是(n-1)阶连续可微的，若存在一个有限的t1t0，使得 ntNtNtNrankn)()()(111110则系统在t0时刻能观测的，其中 )()()()()()(10tNdtdtAtNtNtCtNkkk（充分条件） 第26页/共99页第二十六页，共99页。2：线性定常系统(xt

25、ng)定理一:对于(duy)线性定常系统，其能观测的充要条件是 101),0(tAtTtAdtCeCetWT满秩,或 定理二：线性定常连续系统能观测(gunc)的充分必要条件是能观测(gunc)性矩阵QO满秩，即 nCACACACrankrankQnO12( )Ct的列线性无关. 第27页/共99页第二十七页，共99页。定理三：线性定常连续(linx)系统能观测的充分必要条件是(n+m)n型矩阵 AIC对A的每一个(y )特征值i之秩为n。（PBH判别法） 定理三：线性定常连续系统(xtng)，若A的特征值互异，经非奇异变换后为 xCyuBxxn21系统能观测的充分必要条件是阵中不包含全为零的

26、列C定理四：线性定常连续系统，若A阵具有重特征值，且对应每一个重特征值只存在一个独立的特征向量，经非奇异变换后为： xCyuBxJJJxk21系统能观测的充分必要条件是 阵中与每一个约当块Ji第一列对应的列不全为零。 C非奇异变换不改变系统的能观测性 第28页/共99页第二十八页，共99页。线性定常离散系统方程(fngchng)为 )()()()() 1(kCxkykHukGxkx一：能控性定义(dngy) 对于任意给定的一个初始状态x(0)，存在k0，在有限时间区间0，k内，存在容许控制序列u(k)，使得x(k)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的 二：能控性判据线性定常离散系统

27、能控的充分必要条件是nnr型矩阵Qc满秩，即 rank Qc=rankH，GH，G2H，Gn-1H=n 证明 令 0)()0()(101kiikkiHuGxGkx111201(0)(1)(0)( )(2)(1)kkkikkikruuG xGHu iGHGHGHHu ku k 对于任意的x(0),上述方程有解的充要条件是：krn且系数矩阵满秩 若系统能控，对于任意的初始状态，在第k步可以使x(k)=0，（kn/r） 第29页/共99页第二十九页，共99页。设单输入(shr)线性离散系统的状态方程为 )(101)(011220001) 1(kukxkx试判断系统的能控性，若初始状态x(0)=2,1

28、,0T，确定(qudng)使x(3)=0的控制序列u(0),u(1),u(2)；研究x(2)=0的可能性 解解 33112201112ccrankQhGGhhQ系统(xtng)是能控的 )0(101122)0()0() 1 (uhuGxx) 1 (101)0(121062) 1 () 1 ()2(uuhuGxx第30页/共99页第三十页，共99页。系统(xtng)是能控的 )0(101122)0()0() 1 (uhuGxx) 1 (101)0(121062) 1 () 1 ()2(uuhuGxx)2(101) 1 (121)0(3214122)2()2()3(uuuhuGxx0) 3(x令8

29、115)2() 1 ()0(4122)2() 1 ()0(101121321uuuuuu0)2(x062) 1 ()0(101121uu若令无解。即不存在(cnzi)控制序列u（0），u（1）能够使系统从初始状态x(0)=2,1,0T转移到x(2)=0。第31页/共99页第三十一页，共99页。双输入(shr)线性定常离散系统的状态方程为： )(011000)(041020122) 1(kukxkx试判断(pndun)其能控性，并研究使x(1)=0的可能性 解解 系统(xtng)是能控的 令x(1)=0)0()0(3221021)0()0(211uuHuGx3101400140201042210

30、02ccrankQHGGHHQ)0(32)0(210)0(21,3221021321xxxAA若 若 ArankrankA则可以求出u(0)，使x(1)=0 ArankrankA则不存在u(0)，使x(1)=0 第32页/共99页第三十二页，共99页。三：能观测(gunc)性定义 对于离散系统，其定义为：已知输入向量序列u(0)、u(1)、u(n-1)及有限采样周期内测量(cling)到的输出向量序列y(0)、y(1)、y(n-1),能唯一确定任意初始状态向量x(0),则称系统是完全能观测的，简称系统是能观测的 四：能观测(gunc)性判据 设n维离散系统的动态方程为 )()()()()()

31、1(kDukCxkykHukGxkx其解为 110( )(0)( )kkkiix kG xGHu i 在讨论能观测性时，假定u(k)=0,(k=0、1、n-1) )0()(xCGkyk)0()1()0()1 ()0()0(1xCGnyCGxyCxyn110( )(0)( )( )kkkiiy kCG xCGHu iDu k 第33页/共99页第三十三页，共99页。定义(dngy) 12noCGCGCGCQ为离散系统的能观测性矩阵(j zhn)。上述方程要唯一确定x(0)的充要条件是rankQo=n 因此(ync)线性定常离散系统能观测的充要条件为rankQo=n )0()(xCGkyk)0()

32、1()0()1 ()0()0(1xCGnyCGxyCxyn第34页/共99页第三十四页，共99页。五：连续(linx)系统离散化后的能控性与能观测性定理一：如果连续系统（A、B、C）不能控（不能观测），则对任意采样周期(zhuq)T离散化后的系统（G、H、C）也是不能控（不能观测）的 证明(zhngmng)：用反证法 设连续系统不能控，而对于某采样T离散化后的系统却是能控的。则 rankH、GH、G2H、Gn-1H=nTAATBdeHeG0,故 nBdeeBdeeBderankTATnATAATTA,0)1(00容易验证 TAATdee0,为可交换阵，故 nBeBeBderankTnAATTA

33、,)1(0第35页/共99页第三十五页，共99页。nBeBeBrankTnAAT,)1(由于(yuy)eAiT可用I、A、A2、An-1线性表示，故 ,1)1(BAABBrankBeBeBranknTnAATnBAABBrankn,1连续(linx)系统是能控的，矛盾 nBeBeBderankTnAATTA,)1(0本定理也可叙述为：如果离散化后的系统是能控（能观测(gunc)）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能观测(gunc)）的 第36页/共99页第三十六页，共99页。定理二：设连续(linx)系统（A、B、C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控（能观测）的必要条件是 jTk2不是

34、A的特征值。其中(qzhng)k为非零整数 证明(zhngmng) 设A的特征值为1、2、n则 TAde0的特征值为： Tde01Tde02Tden000TdeTi如果i=0，则如果i0，则jTkjTkedeiiTiTii2020)1(10可见当 jTk2（k为非零整数）为A的特征值时 TAde0的特征值中出现0 不可逆,由于TAde01(1)0, ,TnAATA nTH GHGHedB eBeB 1,nrankH GHGHn 第37页/共99页第三十七页，共99页。定理三：设系统（A、B、C）能控，采样周期T满足(mnz)如下条件：对A的任意两个特征值1、2，不存在非零整数k，使 jTk22

35、1成立，则以T为采样周期的离散化系统也是能控的。本定理为充分条件，对于单输入单输出(shch)系统，本定理是充分必要的。 第38页/共99页第三十八页，共99页。若系统(xtng)S1描述为 mrnRyRuRxCxyBuAxx,系统(xtng)S2描述为 ,TTTnmrACBRRR则称S1（S2）为S2（S1）的对偶系统。显然，原系统S1（S2）的能控性（能观测(gunc)性）矩阵等于对偶系统S2（S1）的能观测(gunc)性（能控性）矩阵转置，或者说，原系统的能控性（能观测(gunc)性）等价与其对偶系统的能观测(gunc)性（能控性） 对偶系统有两个基本特征:1)传递函数阵互为转置2)系统

36、特征值相同第39页/共99页第三十九页，共99页。一：能控标准(biozhn)形一个单输入系统，如果其A、b阵具有如下(rxi)形式： 10001000010000101210baaaaAn则系统一定能控。这种形式的A、b阵称为能控标准形 定理：若n维单输入线性定常系统能控，则一定能找到一个线性变换，将其变换成能控标准形 具体做法是：设A的特征多项式为 012211)det(aaaaAInnn引入非奇异线性变换 xPx12121121111101nnnnaaaaaPbAbA bAba则 1,APAPbPb为能控标准形 第40页/共99页第四十页，共99页。已知能控的线性定常系统(xtng)动态

37、方程 xyuxx011110001010101试将其变换(binhun)成能控标准形 解解 2011111101cQbAbA b32det()21IA系统(xtng)是能控的 12122110100011021110111210111101100121aaPbAbA ba 111211312P第41页/共99页第四十一页，共99页。11010000102011021APAPbPbccP 解解 2011111101cQbAbA b32det()21IA系统(xtng)是能控的 12122110100011021110111210111101100121aaPbAbA ba 111211312P0

38、10000101021201xxuyx 第42页/共99页第四十二页，共99页。二：能观测(gunc)标准形一个单输出(shch)系统，如果其A、c阵具有如下形式 10001000100010001210caaaaAn则系统一定能观测(gunc)，此时的A、c阵称为能观测(gunc)标准形 第43页/共99页第四十三页，共99页。定理：若n维单输出线性定常系统(xtng)能观测，则一定能找到一个线性变换，将其变换成能观测标准形 具体做法是：设A的特征(tzhng)多项式为 012211)det(aaaaAInnn引入非奇异(qy)线性变换 xPx1212121111101nnnnaaacaac

39、APcAacA则 11,APAPccP为能观测标准形 可利用对偶原理来证明 第44页/共99页第四十四页，共99页。定理一：如果A的特征值互不相同，则系统（A、B、C）为能控且能观测的充分必要条件是：传递矩阵G（s）的分母|sI-A|与分子之间不发生(fshng)因子相消。定理二：单输入、单输出系统（A、b、c）是能控且能观测的充分必要条件是：传递函数G（s）的分母(fnm)|sI-A|与分子之间不发生因子相消 定理三：单输入、单输出系统（A、b、c），如果A的特征值互不相同，若传递函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控

40、且完全能观测的。 证明 单输入、单输出系统动态方程为 cxybuAxx如果A的特征值互不相同，则可利用非奇异线性变换，使A成为对角阵。即 xcyubxAxnnnfffcbA21212111( )()niiiifG sc sIAbs此式即为传递函数的部分分式 若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递函数中相消的零、极点为s-k，则说明fkk=0，k=0，fk 0系统是不能控的；fk=0，k0，系统是不能观测的；k=0，fk=0，系统是既不能控也不能观测的。若传递函数不存在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有fkk0（k=1、2、n）系统是既能控又能观测的 第45页

41、/共99页第四十五页，共99页。设单输入(shr)、单输出系统的传递函数 231)(2ssssG由于存在零、极点对消，系统(xtng)不可能是既能控又能观测的 例 已知系统的动态(dngti)方程如下，试求传递函数，判断其能控性、能观测性 xyuxxxyuxxxyuxx01015 .2001)3(1015 .25 .115 .20)2(15 .2105 .15 .210) 1 (三个系统的传递函数均为 ) 1)(5 . 2(5 . 2)(ssssG系统（1）是能控不能观测的；系统（2）是能观测不能控的；系统（3）是既不能控又不能观测的 定理二、定理三只适用于单输入、单输出系统，对于有相重特征值

42、的多输入、多输出系统，即使有零、极点对消，系统仍可能是既能控又能观测的 第46页/共99页第四十六页，共99页。定理四：如果多输入(shr)、多输出系统的状态向量与输入(shr)向量之间的传递矩阵 BAsI1的各行在复数域上线性无关(wgun)，则系统是能控的。（充分必要条件） 定理五：如果(rgu)多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量X（0）之间的传递矩阵 1 AsIC的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测的。（充分必要条件） 第47页/共99页第四十七页，共99页。试用传递矩阵(j zhn)判断下列系统的能控性、能观测性 111110130020002)2(100001010010

43、100240231) 1 (cbACBA400210234)4() 1(1)(21ssssssAsI解解：（1）040242)4() 1(1)(21sssssBAsI令 00040242321321ss说明(shumng) BAsI1的三个行向量线性无关(wgun)，系统是能控的。 第48页/共99页第四十八页，共99页。说明(shumng) 1 AsIC的三个列向量线性无关，系统(xtng)是能观测的 00420304321321 ss例例 试用传递矩阵判断下列系统(xtng)的能控性、能观测性 400210234)4() 1(1)(21ssssssAsI解解：（1）令 124321()00

44、4(1) (4)ssC sIAsss111110130020002)2(100001010010100240231) 1 (cbACBA第49页/共99页第四十九页，共99页。221)2()2( 300) 1)(2(000) 1)(2() 1()2(1)(ssssssssAsI（2）)5(10) 1()2(2)(21sssssbAsI由于(yuy) bAsI1的三个行向量线性相关，系统(xtng)不能控 221) 1()2(2)(21ssssssAsIc令 02200)2()2() 1(321321321sss存在(cnzi)非零解 系统是不能观测的。第50页/共99页第五十页，共99页。一：

45、系统(xtng)按能控性分解 设不能控系统的动态(dngti)方程为 CxyBuAxx其能控性矩阵的秩为rn，即 rankQc=r令 CcCxxP xxx则 xCyuBxAx其中 1111121122200CCCCAABAP APBP BCCPCCA选出其中r个线性无关列，再加任意n-r个列，构成非奇异矩阵T,令T-1 第51页/共99页第五十一页，共99页。经非奇异变换(binhun)后，系统的动态方程写为 11121221200CCCCCCxxAABuxxAxyCCx于是可得能控子系统动态(dngti)方程为 1112111CCCCxA xA xBuyC x不能控子系统动态(dngti)方

46、程为 2222CCCxA xyC x系统传递函数矩阵为 11( )()()G sC sIABC sIAB111112112111122( )()00sIAABG sCCC sIABsIA第52页/共99页第五十二页，共99页。已知 111100341010121cbA试按能控性进行规范(gufn)分解 解 328310004102 rankbAAbbrank系统(xtng)不完全能控，取 1010301001100130010cTPT 则 11042114201210010ccccAP APbPbccP 能控子系统动态(dngti)方程为 10421142012CCCCxxxuyx 不能控子系

47、统动态方程为 2CCCxxyx 第53页/共99页第五十三页，共99页。二：系统按能观测(gunc)性分解设不能观测(gunc)系统的动态方程为 CxyBuAxx其能观测性矩阵的秩为r0，且当x=0时，有V（x）=0，则称标量函数V（x）在域S内是正定的 2：负定性 设有标量函数V（x），对域S中的所有非零状态x，总有V（x）0，则称标量函数V（x）在域S内是正半定的。如果- V（x）是正半定的，则V（x）是负半定的 第75页/共99页第七十五页，共99页。例 设 21xxx则 不定正半定负定正定221221221212221)()53()()4()()(xxxVxxxVxxxxVxxxV三：

48、二次型函数的正定性(dng xng)设标量函数(hnsh)V（x）为二次型函数(hnsh)，即V（x）=xTQx，并设Q为对称阵： jiijnnnnnnqqqqqqqqqqqQ2122221112113：正半定性和负半定性 设有标量(bioling)函数V（x），对域S中的某些非零状态x及x=0，有 V（x）=0，而对于S中的其余状态有V（x）0，则称标量(bioling)函数V（x）在域S内是正半定的。如果- V（x）是正半定的，则V（x）是负半定的 赛尔维斯特准则：对于二次型函数V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，则Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均为正值，则Q是正定

49、的，V（x）也是正定的。 第76页/共99页第七十六页，共99页。赛尔维斯特准则(zhnz)：对于二次型函数V（x）=xTQx，若Q的所有主子式大于零，则Q是正定的，V（x）也是正定的；或者Q的特征值均为正值，则Q是正定的，V（x）也是正定的。 1：系统(xtng) 设所研究的系统(xtng)为 ),(txfx 式中x为n维状态向量，在给定的初始条件下， 方程有唯一解 2：平衡状态 满足 0 x 的状态即 0),(txfe对于线性定常系统 Axx 当A可逆时，有唯一平衡状态 0ex第77页/共99页第七十七页，共99页。3：稳定性 以S（k）表示平衡状态周围(zhuwi)半径为k的球域 kxx

50、ekxxxxxxneee2122221)()()(设对应于每一个球域S（），都存在球域S（），使得当t t0时，从初始条件S（）出发的轨迹都超出不了S（），则称这一系统的平衡状态在李雅普诺夫意义(yy)下是稳定的。如果与t0无关，则称平衡状态为一致稳定的平衡状态 线性定常系统(xtng)，如果是稳定的，则必是一致稳定的 ( )S( )S2x1xex第78页/共99页第七十八页，共99页。4：渐近稳定性 如果(rgu)平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的，且从球域S（）出发的任意一个解，当t时，收敛于平衡状态，则称此类平衡状态为渐近稳定的，如果(rgu)与t0无关，则平衡状态为一致渐近稳定的 线性

51、定常系统，如果(rgu)是渐近稳定的，则必是一致渐近稳定的 5：大范围稳定性 不管初始偏差有都大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。不管初始偏差有都大，系统总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能(zh nn)有一个平衡状态。为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小范围稳定的。对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定 6：不稳定性 如果对于某个实数0和任一实数0，不管它们有多小，在球域S（）中，总存在一个初始状态x0，使得从这一初始状态出发的轨迹最终会超出球域S（），这时的平衡状态是不稳定的 第79页/共9

52、9页第七十九页，共99页。主要(zhyo)理论 1：对于一个系统，若能构造出一个正定的标量函数(hnsh)V（x），并且它对时间的一阶导数是负定的，则系统在状态空间的原点处是渐近稳定的 2：对于一个系统，若V（x）在原点附近的邻域内是正定的，并且它对时间的一阶导数也是正定的，那么系统在原点处是不稳定的 李雅普诺夫第一法-间接法李雅普诺夫第二法-直接法第80页/共99页第八十页，共99页。22d ydymfkyFdtdt0,1Fm12,xy xy Fkmyf在讨论(toln)稳定性时,设12212xxxkxfx 22122111( ,)22E x xxx1212( ,)0 (0)( ,)0 (0

53、)E x xxE x xx系统(xtng)稳定212221 12( ,)dE x xx xkx xfxdt 第81页/共99页第八十一页，共99页。定理(dngl)一：设系统的动态方程为 ( )xf x原点为一个(y )平衡状态，即： (0)0f如果(rgu)存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件 （1） 是正定的( )V x（2） 是负定的( )V x则系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的 如果当 x( )V x 时 则系统是一致大范围渐近稳定的。 如果除原点外，在系统的轨迹上再没有任何一点，其 ( )V x恒为零，则条件（2）可改为( )V x是负半定的 第82页/共

54、99页第八十二页，共99页。定理二：设系统的动态(dngti)方程为： ( )xf x原点为一个平衡(pnghng)状态，即： (0)0f如果存在一个具有(jyu)连续一阶偏导数的标量函数V（x），满足如下条件 （1） 是正定的( )V x（2） 是负半定的( )V x则系统在原点处的平衡状态是一致稳定的 如果当 x( )V x 时 则系统是一致大范围稳定的。 第83页/共99页第八十三页，共99页。设系统(xtng)状态方程为 )()(22212122221121xxxxxxxxxx坐标原点是系统的一个平衡(pnghng)状态，试确定该系统的稳定性 解：取 2221)(xxxV为一正定的标量

55、(bioling)函数 222212211)(2)(2)(xxxxxxxV为一负定的标量函数，且 )(,xVx系统是一致大范围渐近稳定的。 第84页/共99页第八十四页，共99页。系统(xtng)动态方程为 0)1 (1222221axxxaxxx坐标(zubio)原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性 解：取 2221)(xxxV为一正定(zhn dn)的标量函数 22222211)1 (2)(2)(xaxxxxxxV为负半定的，系统是稳定的 定理三：设系统的动态方程为 ( )xf x原点为一个平衡状态，即： (0)0f如果在平衡状态的某个邻域内，存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数

56、V（x），满足如下条件： （1） 是正定的 ( )V x（2） 是正定的( )V x则系统在原点处的平衡状态是不稳定的 类似地，若 ( )V x除原点外，不恒为零，条件（2）可改为正半定。第85页/共99页第八十五页，共99页。设有如下(rxi)系统 21221xxxxx试判断(pndun)系统的稳定性 解：x=0为系统(xtng)的平衡状态，取 2221)(xxxV为一正定的标量函数 2222112)(2)(xxxxxxV为正半定的，但除了坐标原点外，在状态轨迹上 不恒为零，系统是不稳定的 )(xV第86页/共99页第八十六页，共99页。一：线性定常系统(xtng)李雅普诺夫函数的求法设线性

57、定常系统(xtng) Axx 若A为n阶非奇异矩阵，则系统有唯一的平衡状态x=0 取一个可能的李氏函数 PxxxVT)(P为正定实对称矩阵 xPAPAxxPxPxxxVTTTT)()(令 QxxxVPAPAQTT)()(若Q是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的 定理：线性定常系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q，存在正定实对称矩阵P，使ATP+PA=-Q成立。第87页/共99页第八十七页，共99页。21211110 xxxx试确定系统平衡(pnghng)状态的稳定性解：解：x=0为系统的平衡为系统的平衡(pnghng)状态，取状态，取Q=I，由：，由：ATP+PA=-Q 设 121

58、212322121211PppppPP为正定(zhn dn)矩阵 )223(21)(222121xxxxPxxxVT系统是一致大范围渐近稳定的 推论：如果 QxxxVT)(沿任意一条轨迹不恒为零，上述定理中的Q可取为正半定矩阵 第88页/共99页第八十八页，共99页。设系统(xtng)状态方程为： uKxxxKxxx0010120010321321求系统(xtng)稳定时K的取值范围 解 令u=0，detA0，故原点是系统(xtng)的平衡状态。取 100Q由于只有在原点处才有 0)(23xQxxxVT故Q可取为正半定矩阵。由ATP+PA=-Q，得 2126012212263061221221

59、2260122122KKKKKKKKPKKKKKKK第89页/共99页第八十九页，共99页。二：线性时变(sh bin)系统李雅普诺夫函数的求法xtAx)(设线性时变(sh bin)系统系统(xtng)的平衡状态x=0 取一个可能的李氏函数 xtPxtxVT)(),(P（t）为正定实对称矩阵， xtAtPtPtPtAxxtPxxtPxxtPxtxVTTTTT)()()()()()()()(),(令 xtQxtxVtAtPtPtPtAtQTT)(),()()()()()()(若Q（t）是正定对称矩阵，则系统是渐近稳定的 定理：线性时变系统渐近稳定的充要条件是：给定一个正定实对称矩阵Q（t），存在正定实对称矩阵P（t），使黎卡提矩阵微分方程 )()()()()()(tQtAtPtPtAtPT成立 第90页/共99页第九十页，共99页。三：线性系统稳定