运筹学第二章

1、OR11第二章 对偶问题与灵敏度分析w 重点与难点：1、对偶问题的定义，对偶定理，对偶问题最优解的经济含义，由最优单纯形表求对偶问题最优解；2、对偶单纯形法的特点，对偶单纯形法求解；3、灵敏度分析：价值系数cj发生变化，右端常数bi发生变化，增加一个变量，增加一个约束，A中对应非基变量的一列元素发生变化。OR12第二章 对偶问题与灵敏度分析w要求： 了解LP对偶问题的实际背景 了解对偶问题的建立规则与基本性质 掌握对偶最优解的计算及其经济解释 掌握LP的灵敏度分析 OR132.1 对偶问题w2.1.1 对偶问题的提出 回顾例题1： 现在A、B两产品销路不畅，可以将所有资源出租或外卖，现在要谈判

2、，我们的（资源的）价格底线是多少？产品A产品B资源限制劳动力设备原材料 9 4 3 4 5 10 360 200 300单位利润 70 120OR14对偶模型w 设每个工时收费Y1元，每设备台时费用Y2元，每单位原材料收费Y3元。 出租（卖出）收入不低于生产收入： 9y1+4y2+3y3 70 4y1+5y2+10y3 120目标：=360y1+200y2+300y3出租收入越多越好？还是至少不低于某数？OR15原问题与对偶问题之比较原问题： 对偶问题：maxZ=70X1+120X2 min=360y1+200y2+300y3 9X1+4X2360 9y1+4y2+3y3 70 4X1+5X2

3、 200 4y1+5y2+10y3 120 3X1+10X2 300 y1 0, y2 0, y3 0X10 X20OR162.1.2对偶规则原问题一般模型： 对偶问题一般模型：maxZ=CX min =Yb AX b YA C X 0 Y 0OR17对偶规则P56.原问题（或对偶问题）对偶问题（或原问题）目标函数maxz目标函数minn个n个变量约束条件 00无约束约束条件变量m个m个 00无约束约束条件右端项目标函数变量的系数目标函数变量的系数约束条件右端项OR18例题2：写出下列原问题的对偶问题0, 0, 03254321652. .432max43214321432143214321x

4、xxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsz为自由变量，OR19例题3：写出以下模型的对偶问题w例题3 max =7y1+4y2-2y3minZ=3x1+2x2-6x3+x5 2y1+ y2- y3 3 2x1+x2-4x3+x4+3x5 7 y1 +3y3 2 x1+ 2x3 -x4 4 -4y1+ 2y2 -6 -x1+3x2 -x4+ x5 =-2 y1 -y2 -y3 0 x1，x2，x3 0; 3y1 +y3=1 x4 0;x5无限制 y1 0y2 0y3 无约束 OR110例题4：写出以下模型的对偶问题为自由变量xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxtsz54321431432

5、1543254321, 0,2551025222332643. .87523maxOR111例4的解法 为自由变量为自由变量xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx54322114314321543254321, 0, 02551025222332643. t . s87523zmax0, 0,847235232332. .255102526min75364211321321762154327654321yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyts无约束，OR1122.1.3对偶问题的基本性质p56w 1.对称性：对偶问题的对偶问题是原问题。w 2.弱对偶性：若 是最大

6、化原问题的可行解， 是对偶问题的可行解，则存在 。w 3.无界性：若原问题为无界解，则对偶问题无可行解。（注：该性质的逆不存在。当原问题无可行解时，其对偶问题可能为无界解，也可能无可行解。）w 4.最优解定理：若两互为对偶的问题均有可行解，且可行解对应的目标函数值相等，则该可行解分别为他们的最优解。XYbYXCOR113性质3的应用P59w 已知LP问题：试用对偶理论证明上述LP问题无最优解。0,122. .max32132132121xxxxxxxxxxxtszOR114w 5.对偶定理：若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且目标函数值相等。w 6 .互补松弛性：在LP的最优解中，若对应

7、某一约束条件的对偶变量值不为零，则该约束条件取严格等式；反之，若约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。（另一解释：在互为对偶的两个问题中，若原问题的某个变量取正数，则对偶问题相应的约束条件必取“”式；若原问题的某个约束条件取不等式，则对偶问题相应的变量为零。）OR115性质6的应用P60w 已知线性规划问题：w 已知其对偶问题的最优解为：w 试用对偶理论找出原问题的最优解。5 , 4 , 3 , 2 , 1, 0332432. .32532min543215432154321jtsxxxxxxxxxxxxxxxxj5, 5/3, 5/4*2*1zyyOR116w 7.设原问题是ma

8、xz=CX,AX+Xs=b; X, Xs0,其对偶问题是minw=Yb,YA-Ys=C, Y, Ys 0,则原问题单纯形表的检验数行对应其对偶问题的一个基解CBB-1 （符号相反），（或者表示为）：若原问题最优基为B，则其对偶问题最优解Y*=CBB-1。其对应关系如下：OR117非基变量基变量XBXNXS0XSbBNIjCBCNj0CBCN初始单纯形表XNXBXSI=B-1BB-1NB-1CBXBB-1bCBCN00CN-CBB-1N_-CBB-1互为对偶问题在单纯形表间关系：1、原问题的基解对应于对偶问题的检验数。2、原问题的松弛变量对应对偶问题的决策变量。3、原问题的基变量对应对偶问题的非

9、基变量。最终单纯形表OR118w 某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如下表：问题：如何安排生产计划，使得获利最多？回顾例题1： 现在A、B两产品销路不畅，可以将所有资源出租或外卖，现在要谈判，我们的（资源的）价格底线是多少？产品A产品B资源限制劳动力设备原材料 9 4 3 4 5 10 360 200 300单位利润 70 120OR119 Cj70 120 0 0 0CBXBbX1 X2 X3 X4 X5j 0 0 0X3X4X5360200300 9 4 1 0 0 4 5 0 1 0 3 10 0 0 1 904030j0 70 120

10、0 0 0 0 0 120X3X4X224050 30 7.8 0 1 0 -0.4 2.5 0 0 1 -0.5 0.3 1 0 0 0.130.7620100j3600 34 0 0 0 -12070120X3X1X2842024 0 0 1 -3.12 1.16 1 0 0 0.4 -0.2 0 1 0 -0.12 0.16j4280 0 0 0 -13.6 -5.2y1y2y3OR1202.1.4对偶最优解的经济解释影子价格P60Z*= CBB-1b =Y* b= b1y1*+ b2y2* + bm ym* (*) Z= Z(b) b为资源为资源求偏导：求偏导： Z* b=CBB-1=

11、 Y*=(y1* ,y2*, ym* ) 对偶解对偶解yi* 的经济意义的经济意义：其它条件不变的情：其它条件不变的情况下，第况下，第i i种资源改变一个单位所引起的目标种资源改变一个单位所引起的目标函数最优值的变化。函数最优值的变化。OR121影子价格的应用情况情况：某资源对偶解：某资源对偶解00，该资源有利可图，该资源有利可图，可增加此种资源量；某资源对偶解为可增加此种资源量；某资源对偶解为0 0，则不增加此种资源量。则不增加此种资源量。情况情况：直接用影子价格与市场价格相比较，：直接用影子价格与市场价格相比较，进行决策，决定是否买入该资源。进行决策，决定是否买入该资源。即：即：影子价格所

12、含有的信息：影子价格所含有的信息：1 1、资源紧缺、资源紧缺状况；状况；2 2、确定资源转让基价；、确定资源转让基价；3 3、取得紧、取得紧缺资源的代价。缺资源的代价。OR122对偶单纯形法w 设有问题设有问题maxZ=CX ，w AX b ，w X 0 w 又设又设B是其一个基，当非基变量都为是其一个基，当非基变量都为0时，时，可以得到可以得到XB=B-1b。若在。若在B-1b中至少有一中至少有一个负分量，设第个负分量，设第i个为负分量，并且在单个为负分量，并且在单纯形表的检验数行中的检验数都为非正，纯形表的检验数行中的检验数都为非正，这种情况就可以用对偶单纯形法来进行求这种情况就可以用对偶

13、单纯形法来进行求解。解。OR123对偶单纯形法的计算步骤P61-62w （1 1）根据）根据LPLP问题，列出初始单纯形表。检查问题，列出初始单纯形表。检查b b列的数字，列的数字，若都为非负，检验数都为非正，则已得到最优解，停止若都为非负，检验数都为非正，则已得到最优解，停止计算。若检查计算。若检查b b列的数字时，至少还有一个负分量，检列的数字时，至少还有一个负分量，检验数保持非正，则进行以下计算。验数保持非正，则进行以下计算。w （2 2）确定换出变量：将）确定换出变量：将B B-1-1b b中最小的负分量所对应的变中最小的负分量所对应的变量确定为换出变量。量确定为换出变量。w （3 3

14、）确定换入变量：检查换出变量所在行（第）确定换入变量：检查换出变量所在行（第L L行）的行）的各系数各系数a aLjLj。若所有的。若所有的a aLj Lj 00，则无可行解，则无可行解 ，停止计算。，停止计算。若存在若存在a aLj Lj 00，则计，则计算算 ，将其最小值所对应的变量作为换入变量。将其最小值所对应的变量作为换入变量。w （4 4）进行迭代计算。）进行迭代计算。w 重复重复1 14 4步，直至得到最优解为止。步，直至得到最优解为止。0minaazcljljjjjOR124对偶单纯形法举例w 利用对偶单纯形法求解以下线性规划问题：利用对偶单纯形法求解以下线性规划问题：0,124

15、2332. .3max321212132121xxxxxxxxxxxxtszOR125cjCBXBbx1x2x3x4x5-1-3000-2-3-1-1-2-2100010解法001-3-4-1x3x4x5000-1-3000cj-zjj1/33/2x3x1x50101/32/3-4/3100-2/3-1/3-1/3001cj-zj-1/34/31/30-7/30-1/30j1/20-10 x4x1x53/21/2010-1/2-3/2-3/2-1/2-1/21000010-10cj-zj0-5/2-1/200-3/2此时所有的此时所有的B-1b均均0 ，且所有的且所有的cj-zj均均0，此此时

16、已得到最时已得到最优解为：优解为：X*=(3/2,0,0,1/2,1/2)TZ*=-3/2)5 , 4 , 3 , 2 , 1(, 01242332. .003max5214213215421jtszxxxxxxxxxxxxxxjOR126总结：对偶单纯形法与单纯形法的比较单纯形法单纯形法对偶单纯形法对偶单纯形法保持保持B-1b0所有的所有的cj-zj0最优解时最优解时要求要求所有的所有的cj-zj0B-1b0OR127对偶单纯形法的应用时机w 要求最大化时，在单纯形表中：如果检验要求最大化时，在单纯形表中：如果检验数均非正，而数均非正，而 列中有负值，此时用对列中有负值，此时用对偶单纯形法求

17、解。若所有偶单纯形法求解。若所有 ，中有正值，则用单纯形法求解；若中有正值，则用单纯形法求解；若 列列中有负值，且中有负值，且 中有正值，则必须引中有正值，则必须引入人工变量，建立新的单纯形表，重新计入人工变量，建立新的单纯形表，重新计算。算。B-1bB-1b0cj-zjB-1bcj-zjOR128对偶单纯形法的优点P64w （1）初始解可以是非可行解，当检验数都为负）初始解可以是非可行解，当检验数都为负数时，就可以进行基的变换，这时不需要加入数时，就可以进行基的变换，这时不需要加入人工变量，因此可以直接计算。人工变量，因此可以直接计算。w （2）当变量多于约束条件，对这样的）当变量多于约束条

18、件，对这样的LP问题，问题，用对偶单纯形法计算可以减少计算工作量。因用对偶单纯形法计算可以减少计算工作量。因此，对变量较少，而约束条件很多的此，对变量较少，而约束条件很多的LP问题，问题，可以先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯可以先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。形法求解。w （3）在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形）在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法，这样可使问题的处理简化。法，这样可使问题的处理简化。OR1292.2灵敏度分析（考研时常考的知识点）灵敏度分析通常有两类问题：灵敏度分析通常有两类问题：是当C,A,b中某一部分数据发生给定的变化时，讨论最优解与最优值怎么变化

19、；是研究C,A,b中数据在多大范围内波动时，使原有最优基仍为最优基，同时讨论此时最优解如何变动？灵敏度分析的两把尺子： j =Cj-CBB-1pj 0； XB= B-1b 0OR1302.2.1右端项右端项bi变化的灵敏度分析变化的灵敏度分析bi变化到什么程度可以保持最优基不变？变化到什么程度可以保持最优基不变？用尺度用尺度xB= B-1b 0。问题：为什么不用尺度为什么不用尺度j =Cj-CBB-1pj 0？OR131例题：求以下模型中第二个约束条件右端项b2的变化范围。maxZ=70X1+120X29X1+4X23604X1+5X2 200 3X1+10X2 300 X10 X20OR13

20、2 Cj70 120 0 0 0CBXBbX1 X2 X3 X4 X5i 0 0 0X3X4X5360200300 9 4 1 0 0 4 5 0 1 0 3 10 0 0 1 904030j0 70 120 0 0 0 0 0 120X3X4X224050 30 7.8 0 1 0 -0.4 2.5 0 0 1 -0.5 0.3 1 0 0 0.130.7620100j3600 34 0 0 0 -12701200X3X1X2842024 0 0 1 -3.12 1.16 1 0 0 0.4 -0.2 0 1 0 -0.12 0.16j4280 0 0 0 -13.6 -5.2OR133w

21、解：解：从最优单纯形表得出：从最优单纯形表得出：XB=(20,24,84)Tw 最优基为：最优基为：w 注意：应为初始数据。注意：应为初始数据。为什么？为什么？w 还可以从单纯形表中找出还可以从单纯形表中找出B-1.1030540491B16. 012. 002 . 04 . 0016. 112. 311BOR134w 设b2由200变为200 b2，则b由w w 由此得到迭代后的单纯形表： bbbbBb2222112. 0244 . 02012. 38430020036016. 012. 002 . 04 . 0016. 112. 31242084变为cj70120000CBXBbx1x2x

22、3x4x5i010001100-3.120.4-0.121.16-0.20.1684-3.12 b220+0.4 b224-0,12 b2x3x1x2070120zjj4280+13.6 b270120013.65.2000-13.6-5.2OR135w 上述解是最优解，必须是可行解：上述解是最优解，必须是可行解：w 即：w 解得：解得：50 b2 26.9。w 可知右端项系数可知右端项系数b2的变化范围是的变化范围是: （20050） （20026.9)012. 0244 . 02012. 38430020036016. 012. 002 . 04 . 0016. 112. 3122221b

23、bbbBb012. 02404 . 020012. 384222bbbOR136w 在此范围内在此范围内j 0， B-1b 0，最优解仍有效，最优解仍有效，即最优解的基变量不变，最优解为：即最优解的基变量不变，最优解为：w最优值为：最优值为：Z*=4280+13.6 b2 ) 0 , 0 ,12. 384,12. 024,4 . 020(222*bbbXTOR1372.2.2目标函数中价值系数目标函数中价值系数cj的灵敏度分析的灵敏度分析w 分分c cj j是非基变量的系数还是基变量的系数两种情况来讨是非基变量的系数还是基变量的系数两种情况来讨论。论。w 若若c cj j是非基变量是非基变量x

24、 xj j的系数，此时，当的系数，此时，当c cj j变化变化 c cj j后，后，要保证最终表中这个检验数仍小于或等于零即可。要保证最终表中这个检验数仍小于或等于零即可。若若c cj j是基变量是基变量x xj j的系数，则引起的变化较大。见例题。的系数，则引起的变化较大。见例题。OR138w 例题：在模型例例题：在模型例1中，求基变量中，求基变量x2的系数变化范围。的系数变化范围。w 解：本例的最优单纯形表如下：解：本例的最优单纯形表如下：070120cjCBXBbx3x1x2842024x1x2x3x4x5i70120000010001100-3.120.4-0.121.16-0.20.16j4280000-13.6 -5.2OR139w 基变量系数基变量系数c2由由120变为变为120 c2后，可以得到迭后，可以得到迭代后的单纯形表。代后的单纯形表。cjCBXBbx3x1x2842024x1x2x3x4x5i