高中数学学业水平测试必背知识点

1、高中数学学业水平测试必背知识点必修一一、集合与函数概念并集：由集合A和集合B的元素合并在一起组成的集合，如果遇到重复的只取 一次。记作：A U B交集：由集合A和集合B的公共元素所组成的集合，如果遇到重复的只取一次 记作：A n B补集：就是作差。1、集合a1,a2,.,an的子集个数共有2个；真子集有2 - 1个；非空子集有2 - 1个;非空的真子有2n - 2个.2、求y f(x)的反函数：解出x f 1(y) , x,y互换，写出y f x)的定义域；函数图 象关于y=x对称。3、 1函数定义域：分母不为0;开偶次方被开方数0 :指数的真数属 于R对数的真数 0.4、 函数的单调性： 如

2、果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量 X1, X2，当X1X2 时，都有f(x 1)f(x 2)，那么就说f(x)在区间D上是增减函数，函数的单调性 是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。5、 奇函数：是f(x) = f(x)，函数图象关于原点对称假设 x 0在其定义域内，那么f(0) 0；偶函数：是f(x) = f(x)，函数图象关于y轴对称。6、指数幕的含义及其运算性质：1函数y ax(a 0且a 1)叫做指数函数。2指数函数y ax(a 0,a 1)当0 a 1为减函数，当a 1为增函数； ar as ar s:(ar)sars :(ab)r arbr(a 0,b

3、0,r, s Q)。3指数函数的图象和性质xy a0 a 1图象y1JL V00性质定义域R值域(0 , + g)定点过定点0，1，即x = 0时，y = 11a 1，当 x 0 时，y 1;当 x 20 a 0 时，0 y 10 时，0 y 1。 当 x 1 。单调性在R上是减函数在R上是增函数对称性xxy a和y a关于y轴对称奇偶性非奇非偶函数7、对数函数的含义及其运算性质：1函数y logax(a 0,a 1)叫对数函数。2对数函数y loga x(a 0,a 1)当0 a 1为减函数，当a 1为增函数；负数和零没有对数； 1的对数等于0 ： loga1 0 :底真相同的对数等于1:l

4、oga a 1,3对数的运算性质：如果a 0 , a丰1 , M 0 , N 0，那么： loga MN loga M loga N ； log a log a M loga N ；N loga M n nloga M (n R)。4换底公式：loga b logc b (a 0且a 1,c0且c 1, b 0)logca对数函数的图象和性质:y logax(CWtK I Ii-i 弘定义域值域(0 , + s)R1过定点1, 0即x = 1时，y = 02在R上是减函数2在R上是增函数3同正异负，即 0 a 1 , 0 x 1 , x 1 时，log a x 0 ； 0 a 1 或 a 1

5、, 0 x 1 时，log a x 0。4非寄非偶函数。18、幕函数：函数y x叫做幕函数只考虑 1,2,3, 1,寸的图象。9、 方程的根与函数的零点：如果函数y f(x)在区间a , b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f (b)0，那么，函数y f (x)在区间(a , b)内有零点，即存在c (a,b)，使得f (c)0，这个c也就是方程f(x) 0的根。必修二一、直线平面简单的几何体1、长方体的对角线长丨2 a2 b2 c2 ；正方体的对角线长I .3a2、 球的体积公式：v R 3 ；球的外表积公式： S 4 R 233、柱体、锥体、台体的体积公式：一 一 1 一V柱体

6、=S h (S为底面积，h为柱体高)；V锥体=Sh (S为底面积，h为柱体高)3V台体=(S . SS + S) h (S S分别为上、下底面积，h为台体高)34、点、线、面的位置关系及相关公理及定理：1四公理三推论：公理1:假设一条直线上有两个点在一个平面内，那么该直线上所有的点都在这个平面内。公理2:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。公理3:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线，有且只有一个平面

7、。公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.2空间线线，线面，面面的位置关系：空间两条直线的位置关系 ：相交直线一一有且仅有一个公共点；平行直线一一在同一平面内，没有公共点；异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。空间直线和平面的位置关系：1直线在平面内无数个公共点2直线和平面相交有且只有一个公共点；3直线和平面平行没有公共点它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示 为 a ， a 门 A， a /。空间平面和平面的位置关系：1两个平面平行没有公共点；2两个平面相交一一有一条公共直线。5、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么

8、该直线与这个平面平行。a符号表示：ba/a/b图形表示:6、两个平面平行的判定定理: 两个平面平行。ab符号表示：a Plb Pab/如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这/ 。图形表示:7、.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与平面相交，那么交线与这条直线平行。a/符号表示:a/ b 。 图形表示:8、两个平面平行的性质定理：平行。符号表示：,n如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们交线的a,b a / /b9、直线与平面垂直的判定定理：这条直线垂直于这个平面。a , b , ab P, l10、.两个平面垂直的判定定理：符号表示：

9、1, 1如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么符号表示a, 1 b 1一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。11、直线与平面垂直的性质：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。符号表示:a/b。12、平面与平面垂直的性质 ：如果两个平面互相垂直，直线垂直于另一个平面。符号表示：丨 ，13、异面直线所成角：平移到一起求平移后的夹角。直线与平面所成角：直线和它在平面内的射影所成的角。14、异面直线所成角的取值范围是0 ,90直线与平面所成角的取值范围是 0 ,90 ;面角的取值范围是 0 ,180两个向量所成角的取值范围是0 ,180二、直线和圆的方程1、 斜 率

10、：k tan , k (,);直线上两点 P1(x1, y.), P2(x2, y2)，那么斜率为ky? %x2 人2、 直线的五种方程：1点斜式yy1k(x X1)(直线l过点R(X1, yj，且斜率为k).2斜截式ykxb (b为直线l在y轴上的截距).3两点式yy1x ( ( P(N,y1)、卩2区,丫2)； ( xX2)、(* y2)Y2Y1x2 为(4)截距式Xy1( a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)ab5一般式AxByC 0(其中A B不同时为0).两条直线的平行、重合和垂直：(1)假设11 :yk1xb , l2: yk2X b2 l1 II l2k1k2且 th 丰 b

11、2；l1与l2重合时k1 k2 且 bb2 ；l1 l2k!k21.假设h :AxBC10, L ： A：X B2 y C20 ,且 A1、A2、B1、B2都不为零 111|12- 1 : 11 i2 a)a2 bB2 04、两点 R X1,yj、F2x?,y?的距离公式 丨 P1P2 | = . (x2x1)2(y2y1 )25、两点 R X1,yd、F2 X2,y2的中点坐标公式 M X1一X2, 一y2 26、点PX0, y。到直线直线方程必须化为一般式Ax+By+C=0的距离公式d=AX0 By。 CA2 B27、平行直线Ax+By+G=0、AX+By+G=0的距离公式C2 C12d=

12、A2 B28、圆的方程：标准方程 X般方程x2 y2 Dx Ey F 0,配方:22DD E 4F 0时，表示一个以(-2，圆心E)为圆心,2(Xa,b，半径为E 2(y y)半径为1 . D 2 E 24 F的圆;2E2 4F49、点与圆的位置关系：2 2点 P(X0,y。)与圆(x a) (y b)2r的位置关系有三种:假设 d(a x0)2(b y。)2，那么dr点P在圆外;d r占P八、在圆上；d10、直线与圆的位置关系：直线Ax By C0与圆xa)2(y b)2d r 相离0; dr相切r 点P在圆内.r2的位置关系有三种0;0.其中dd r 相交11、弦长公式:Aa Bb C假设

13、直线y=kx+b与二次曲线圆、椭圆、双曲线、抛物线相交于 y2两点，那么由二次曲线方程y=kX+m= ax2+bx+c=0a 丰 0A(X1, y1), BX2,那么知直线与二次曲线相交所截得弦长为：i22AB =(x2 X1 )( y2 yJ=* k2 x1 x2 =(1 k2) (x1 x2)2 4x1x2I2(1 k2)(y1 y2) 4y2=.1 k2Vb24acaly213、空间直角坐标系，两点之间的距离公式：xoy平面上的点的坐标的特征 Ax, y, 0：竖坐标z=0xoz 平面上的点的坐标的特征 Bx, 0, z：纵坐标y=0yoz 平面上的点的坐标的特征 C0, y, z：横坐

14、标x=0x轴上的点的坐标的特征D x,0,0：纵、竖坐标y=z=0y轴上的点的坐标的特征E 0,y,0：横、竖坐标x=z=0z轴上的点的坐标的特征E 0,0,z：横、纵坐标x=y=0P1P2 |2 2 (Y2-Y1)(Z2-Z1)必修三算法初步与统计:以下是几个根本的程序框流程和它们的功能图形符号名称功能F3终端框起止框表示个算法的起始和纟口束/7输入、输出框表示个算法输入输出的信息处理框执行框赋值、计算语句、结果的传送判断框判断某一条件是否成立时，在出口处标明“是或“丫，不成立时标明“否或“ NI1流程线连接程序框流程进行的方向I O连接点连接程序框图的两局部注释框帮助注解流程图循环框程序做

15、重复运算、算法的三种根本结构：1顺序结构2条件结构3循环结构二、 算法根本语句：1、输入语句：输入语句的格式：INPUT “提示内容；变量。2、输出 语句:输出语句的一般格式：PRINT “提示内容；表达式。3、赋值语句：赋值语句的一般格 式：变量=表达式。4、条件语句1“IF THEN ELSE 语句。5、循环语句：直到型循 环结构“ DO-LOOP UNTIL语句和当型循环结构“ WHILE-WEN三、三种常用抽样方法：1、简单随机抽样；2 系统抽样；3 分层抽样。4统计图表：包括条形图，折线图，饼图，茎叶图。四、 频率分布直方图：具体做法如下：1求极差即一组数据中最大值与最小值的差；频率

16、2决定组距与组数；3将数据分组；4组厂 列频率分布表；5画频率分布直 方 图。注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距X频率。2、频率分布直方图：|频率=小矩形面积注意：不是小矩形的高度计算公式频率=频数样本容量频数=样本容量频率频率=小矩形面积=组距频率各组频数之和=样本容量，各组频率之和=13、茎叶图：茎表示高位，叶表示低位。折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图。4、刻画一组数据集中趋势的统计量：平均数，中位数，众数。在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；将一组数据按照从大到小或从小到大排列，处在中间位置上的一个数据或中间两 位数据的平均数叫做这组

17、数据的中位数；5、 刻画一组数据离散程度的统计量：极差，极准差，方差。1极差一定程度上说明数据的分散程度，对极端数据非常敏感。2方差，标准差越大，离散程度越大。方差，标准差越小，离散程度越小，聚集于平 均数的程度越高。3计算公式：标准差：s.n x1_ 2 _ 2X)(X2X)(Xn X)2方差：s21訂X1X ) 2( X2X ) 2(X nX)2 直线回归方程的斜率为 ?，截距为?，即回归方程为y=b?x+召此直线必过点x，y。6、频率分布直方图：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，方长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1。五、随机事件：在一定

18、的条件下所出现的某种结果叫做事件。一般用大写字母A,B,C表示.随机事件的 概率：在大量重复进行同一试验时 ，事件A发生的频率 总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P A。由定义可知0 P Aw 1，显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是 0。1、事件间的关系：1互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；2对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件；3包含：事件A发生时事件B 一定发生，称事件A包含于事件B或事件B包含事件A丨；4对立一定互斥，互斥不一定对立。2、概率的加法公式1当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P A+B

19、=P A+PB A B互斥2假设事件A与B为对立事件，那么AU B为必然事件，所以P(AU B)= P(A)+ P(B)=1 , 于是有 P(A)=1 P(B) 3、古典概型：1正确理解古典概型的两大特点： 1试验中所有可能出现的根本领件只有有限个；2每个根本领件出现的可能性相等；2掌握古典概型的概率计算公式：事件A包含的根本领件个数实验中根本领件的总数4、几何概型：1几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度面积或体积 成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型。2几何概型的特点：1试验中所有可能出现的结果根本领件有无限多个；2每个根本领件出现的可能性相等.事件A构成的区域

20、的长度(面积或体积)3几何概型的概率公式：P(A) 实验的全部结果构成的区域的长度(面积或体积)5、排列：1、排列数公式a：=n(n1)(n m1)_.(n , m N*，且(nm)!m n)0! =12丨、全排列：n个不同元素全部取出的-个排列；.n.Ann!n(n 1)( n 2)3 21 n(n1)!；6、组合：1、组合数公式：Cm =AL n(n1)(nm 1)_n!(n,m N,且Amm1 2mm!(nm)!0m n ) ； Cn 1。必修四 一、 三角函数1801、弧度制：1、180 弧度，1弧度 ()57 18 ;弧长公式：丨| |r l为所对的弧长，r为半径，正负号确实定：逆时

21、针为正，顺时针为负。2、三角函数：1、定义:的角度030456090120135150180270360的弧度02353264323462sin01恵运1占1010222222cos1J310142屈101222222tan0基1J3占1逅0033sincosrtan rcot xxy3、特殊角的三角函数值:4、同角三角函数根本关系式：si n2 cos21 tantan cot 1cos5、诱导公式：众变横不变，符号看象限正弦上为正；余弦右为正；正切一三为正。sin()sincos()costan()tancot()cotsin (90)cossin( 180)sincos(90)sinco

22、s(180)costan(90)cottan (180)tancot(90tancot(180)cotsin (90)cossin( 180)sincos(90)sincos(180)costan(90)cottan (180)tancot(90)tancot(180)cotsin (270)cossin (360)sincos(270)sincos(360)costa n(270)cottan (360)tancot(270)tancot(360)cotsin (270)cossin (360)sincos(270)sin scos(360)costa n(270)cottan (360)t

23、ancot(270)tancot(360)cot6、两角和与差的正弦、余弦、正切:S():sin()sincoscossinS():sin()sincoscossinC():cos(a)coscossinsinC():cos(a)coscossinsinT():tan()tantanT(): tan()tantan1 tan tan1 tantantan+ta n= tan(+)(1tan tan )tan -ta n = tan(-)(1tan tan )7、辅助角公式:a sin x bcos x.a2 b2asin xbcosxVa2 b2a2 b2.a2b2(sin xcoscosx

24、sin)- a2 b2 sin(x )8、二倍角公式:1、 S2 :sin 22 si ncosC2 : cos2cos2sin 212 si n22 cos21T2 : ta n22ta n1 tan22、降次公式：多用于研究性质1. c.21 cos21c1sin cossin 2sincos2222221 cos 211coscos22229、在ysin , y cos,y tan,y cot四个三角函数中只有 y cos 是偶函数,其它三个是寄函数。指数函数、对数函数是非寄非偶函数10、在三角函数中求最值最大值、最小值；求最小正周期；求单调性单调第增区间、单调第减区间；求对称轴；求对称

25、中心点都要将原函数化成标准型;广yAsin( x)b如：yAcos( x)再求解。yAtan( x)b0 ,表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，它叫做振动的周期;当函数y Asin所需要的时间T叫做振动的频率;sin向左0或向右0平移匕|个单位x通常把它叫做这个振动的振幅;0,单位时间内往复振动的次数y sin( x )表示一个振动量时，往复振动一次1 2 宀，它TX叫做相位，叫做初相即当 x= 0时的相位。二、平面向量1、平面向量的概念:在平面内，具有大小和方向的量称为平面向量.2向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.3向量的大小称为向量

26、的模或长度，记作 | .4模或长度为0的向量称为零向量；模为 1的向量称为单位向量.5与向量a长度相等且方向相反的向量称为 a的相反向量，记作 a .6方向相同且模相等的向量称为相等向量.2、实数与向量的积的运算律：设入、为实数，那么1结合律：入卩a=入卩a ；2第一分配律：(入 + )a =入 a+u a；(3)第二分配律：入(a b)=入a +入b .3、 向量的数量积的运算律：(1) a b = b a 交换律；(2) ab= a -b= a b = a , Q的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyz .那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移,使它的起点与原点重合,

27、得到向量p存在有序实数组x,y,z ，使得畑 ze3.把x,y , z称作向量p在单位正交基底 e,q , e3下的坐标,记作px,y,z .此时，向量 p的坐标是点在空间直角坐标系xyz中的坐标x, y,z17、设 a2 a b%,%,乙,bX2,y2,Z2%X2,%y2,乙Z2.3aN，y1, z1.4a bx1x2y“2% .，那么1 ab %X2,%wzZ2 .假设a、b为非零向量，那么x2y2乙Z20.假设b 0 ,那么a/b aX2,%丫2,乙Z2.2 2y1乙.cos a, ba ba|b| 菽Xi xyi y2%2 2 y2Z29x1,y1,z1，X2$2，z ，那么 dX21

28、8、假设空间不重合两条直线 a , b的方向向量分别为 a ,b，贝U a/ba/ba b R，异面垂直时a b a b a b19、假设空间不重合的两个平面，的法向量分别为a，那么 /a/ba b，a b a b 0.20、 直线l垂直 ，取直线l的方向向量a，那么向量a称为平面的法向量.21、 法向量的定义：垂直于平面或者垂直于线的向量方向不管。22、假设直线a的方向向量为a，平面 的法向量为n，且a ，那么a/a/a n a n 0, aaa/ n a n .法向量的计算方法一： A B(X1, y1 , Z1), AC (X2, y2 , Z2)，设面平 ABC的一个法向量为n (x,

29、y,z)，由n丄面ABC得所以：n AB,n AC ;所以n ? A B0? AC0即yy1ZZ|0xx2yy2ZZ20上面两个方程，要解三个未知数，为了计算方便，取 z或x或y等于 个数，可求出另两个未知数，得出平面的一个法向量。(X1, y1, Z1), AC (X2, y2, Z2),那么平面 ABC 的方法二：假设AB一个法向量为:n AB ACy1Z11 Z1x11x1y1y2Z2，Z2X2，X2y2()=y1Z2-y2Z1，Z1X2-Z2X1，X1y2-X2y1立体几何中的向量方法?P距离问题一、求点到平面的距离1. 一般传统方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段,再计算这个垂

30、线段的长度;2 还可以用等积法求距离；3.向量法求点到平面的距离在Rt PAO中,sind|AP|d | AP| sinp |AP n|又sinI AP| n|I ap n |-d其中AP为斜向量，n为法向量|n|二、直线到平面的距离转化为点到线的距离：| ap n |-d其中AP为斜向量，n为法向量|n|三、平面到平面的距离也是转化为点到线的距离：| ap n |1-d其中AP为斜向量，n为法向量|n|四、异面直线的距离如图，异面直线也是转化为点到线的距离：d |AP n|订|其中 AP为两条异面直线上各取一点组成的向量，n是与a,b都垂直的向量例1.如图，在正方体 ABCD AB1C1D1

31、中，棱长为1 求B到面ABE的距离；1, E为C1D1的中点，求以下问题:解：如图，建立空间直角坐标系xyz，那么AiE(1丄,0), AB2(0,1,1),，设n (x, y, z)为面A BE的法向量AEAB1，得y2,zn (1,2,2)选点 B到面 ABE的斜向量为A1B1(0,1,0)得点B到面A, BE的距离为dI A1B1 n |n|2求D,C到面A, BE的距离;解：由(1)知平面ABE的法向量n(1,2,2)斜向量 DiA (1,0,0)点Di到面ABE的距离为d求面A,DB与面D,CB,的距离;解：由图知平面ABD的法向量为n AC,(1,1,1)又斜向量D1A1(1,0,

32、0)点U到面A.BD的距离为dID1A n |即面ABD与D1CB1的距离为 求异面直线D1B与AE的距离.解:如图建立空间直角坐标 系Dxyz那么D1(0,0,1), B(1,1,0),A1(1,0,1),E(0,1,1) 一 1 2 A1E( 1,-,0),D1B (1,1, 1)2设n (x, y,z)是与A E,D1B都垂直的向量,n A1E 0 y 2xz 3x选A1E与BD1的两点向量得AE与BD1的距离为d，取x 1，得一个法向量为。人(1,0,0)I D1A1 n|n|.1414(1,2,3)态度决定人生，细节决定成败！19/1A1/B190 ，AA - 2，求点 B1练习1：

33、1.如图在直三棱柱 ABC A B1C1中，AC到面ABC的距离BC 1 , ACB2 棱长为的正方体ABCDABGDi，求平面DA1C1和平面AB1C间的距离13 棱长为的正方体ABCDABiGDi，求直线DAi和AC间的距离。Ci4 棱长为点A到平面的正方体ABCDDBEF的距离。ABiGDi中，E、F分别是BQ和CiDi的中点，求1求异面直线所成的角设a、b分别为异面直线a、b的方向向量，那么两异5如图在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AC的距离.6.在直三棱柱 ABC AB1C1 中，A 90 , O,Oi,G分别为BC,BCi,AA的中点，且AB AC AA 2 .(1) 求0到面

34、ACBi的距离；上2(2) 求BC到面GBCi的距离.3立体几何中的向量方法空间角问题a空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二 面角.面直线所成的角ab=arccos| |2求线面角设是斜线l的方向向量,n是平面的法向量,那么斜线l与平面所成的角=arcs|求二面角法一、内a i，在内b i，其方向如图，那么二面角的平面角二arccos a b|a|b|法二、耳也，是二面角l的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，那么二面角 l的平面角=arccos-2 |n21例1 .如图，在棱长为2的正方体 ABCD ABQQ中，E、F分别是棱AU,ABi的中点.I求异

35、面直线DE与FG所成的角;II丨求BG和面EFBD所成的角;III求B到面EFBD的距离解：I记异面直线DE与FG所成的角为cos| de *1| |DE |FC 1| |那么等于向量| (DD !)(FB !- i IDE电FC的夹角或其补角,态度决定人生，细节决定成败！1 DE2 2 7 5 5 ,2 arccosII如图建立空间坐标系D xyz ,由 DEn 0DB n 0J22那么 DE (1,0,2) , DB (2,2,0) 设面EFBD的法向量为n (x,y,1) 得 n ( 2,2,1) 又 BC； ( 2,0,2) 记BG和面EFBD所成的角为 贝卩sin | cos BC1 ,n | | BC1 n |BG| n| BCi和面EFBD所成的角为-.4山丨点Bi到面EFBD的距离d等于向量BB在面EFBD的法向量上的投影的绝对值,|n|例2 .如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD 底面ABCD ,PD DC ,点E是PC的中点，作EF PB交PB于点F .1求证：PA/平面EDB ；2求证：PB 平面EFD3求二面角C PB D的大小.P练习：1 在正四面体S ABC中，棱长为a , E