聚焦中考专题3设计与动手操作型问题

1、安徽省数学专题三方案设计与动手操作型问题要点梳理 方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力方案设计型问题，主要有以下几种类型：要点梳理 (1)讨论材料，合理猜想设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明；(2)画图设计，动手操作给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案；要点梳理 (3)设计方案，比较择优给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动这类问题需

2、要动手操作、合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯常见类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的相互转化三个解题策略(1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数(2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性(3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、

3、图形分割类等对于图案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程1(2014绍兴)将一张正方形纸片，按如图步骤，沿虚线对折两次，然后沿中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( )C2(2014江西)如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适以下裁剪示意图中，正确的是( )A3一位园艺设计师计划在一块形状为直角三角形且有一个内角为60的绿化带上种植四种不同的花卉，要求种植的四

4、种花卉分别组成面积相等，形状完全相同的几何图形图案某同学为此提供了如图所示的五种设计方案其中可以满足园艺设计师要求的有( )A2种B3种C4种D5种C4小明家春天粉刷房间，雇用了5个工人，每人每天做8小时，做了10天完成用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150 m2.最后结算工钱时，有以下几种方案：按工算，每个工60元(1个工人干1天是一个工)；按涂料费用算，涂料费用的60%作为工钱；按粉刷面积算，每平方米付工钱24元；按每人每小时付工钱8元计算你认为付钱最划算的方案是( )A B C DB5(2014黄冈)如图，在一张长为8 cm，宽为6 cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长

5、为5 cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上)则剪下的等腰三角形的面积为 cm2.统计测量型方案设计 【例1】某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；方案3：所有评委所给分的中位数；方案4：所有评委所给分的众数为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲

6、的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分 因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案【点评】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较1(2012宜宾)如图，飞机沿水平方向(A，B两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN的方案

7、，要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图出)；(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计【例2】(2013茂名)在信宜市某“三华李”种植基地有A，B两个品种的树苗出售，已知A种比B种每株多2元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需20元(1)问A，B两种树苗每株分别是多少元？(2)为扩大种植，某农户准备购买A，B两种树苗共360株，且A种树苗数量不少于B种数量的一半，请求出费用最省的购买方案【点评】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式是难点2(2014丽水)为了保护环境，某开发区

8、综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备A型B型价格(万元/台)mm3月处理污水量(吨/台)220180(1)求m的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数设买A型污水处理设备x台，则B型(10 x)台，根据题意得：18x15(10 x)165，解得x5，由于x是整数，则有6种方案，当x0时，y10，月处理污水量为1800吨，当x1时，y9，月处理污水

9、量为22018091840吨，当x2时，y8，月处理污水量为220218081880吨，当x3时，y7，月处理污水量为220318071920吨，当x4时，y6，月处理污水量为220418061960吨，当x5时，y5，月处理污水量为220518052000吨，答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨图形类方案设计【例3】(2014济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形王老师给出了方案一，请你用所学

10、的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形、中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键3认真观察下图的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征特征1： ；特征2： 都是轴对称图形都是轴对称图形都是中心对称图形都是中心对称图形(2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征【例4】(2014广安)在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a(a1)的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又

11、余下一个四边形，依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值图形的分割与拼接解：如图，a4， 如图，a52， 如图，a43， 如图，a53， 【点评】本题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知平行四边形ABCD将平行四边形分割是解题关键4ABC是一张等腰直角三角形纸板，C90，ACBC2.(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，甲、乙两种剪法(如图)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由解：(1)如图甲，由题意得 AEDEEC，即 EC1S正方形CFDE1.如图乙，设 MNx，则由题意，得 AMMQPNNBMNx，3x2 2，

12、解得 x2 23， S正方形PNMQ(2 23)289.189，甲种剪法所得的正方形的面积更大； (2)图中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的ADE和BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2(如图)，则S2_；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3(如图)；继续操作下去则第10次剪取时，S10_(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和图形的平移、旋转与翻折【例5】(2014江西)如图，边长为4的正方形ABCD中，点

13、E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在BC边上(不与点B，C重合)第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去(1)图中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为 ，求此时线段EF的长；等边三角形等边三角形(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH；请判断四边形EFGH的形状为 ，此时AE与BF的数量关系是 ；四边形EFGH为正方形AEBF以中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围AEx，BE4x.在RtBEF中，EF2BF

14、2BE2，AEBF，yEF2(4x)2x2168xx2x22x28x16，点E不与点A，B重合，点F不与点B，C重合，0 x4.y2x28x162(x24x4)82(x2)28，当x2时有最小值8，当x0或4时，有最大值16，y的取值范围是8y16.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及旋转的性质，准确找出其中的等量关系并列出方程是解本题的关键5(2013河南)如图，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C90，BE30.(1)操作发现如图，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ；设BDC

15、的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 DEACS1S2(2)猜想论证当DEC绕点C旋转到如图所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想(3)拓展探究已知ABC60，点D是角平分线上一点，BDCD4，DEAB交BC于点E(如图)若在射线BA上存在点F，使SDCFSBDE，请直接写出相应的BF的长(3)如图，过点 D 作 DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以 BEDF1，且 BE，DF1上的高相等，此时 SDCFSBDE，过点 D 作 DF2BD，ABC60， F1DF2ABC60

16、，DF1F2是等边三角形，DF1DF2，BDCD， ABC60，点 D 是角平分线上一点，DBCDCB126030， CDF118030150，CDF236015060150， CDF1CDF2，在CDF1和CDF2中，DF1DF2，CDF1CDF2，CDCD， CDF1CDF2(SAS)，点 F2也是所求的点，ABC60，点 D 是角平分线上一点，DEAB， DBCBDEABD126030，又BD4，BE124cos30 232433，BF1433，BF2BF1F1F2433433833，故 BF 的长为433或833. 立体图形与平面图形之间的相互转化 【例6】(2012绍兴)把一边长为4

17、0 cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由解：(1)设剪掉的正方形的边长为x cm.则(402x)2484，解得x131(不合题意，舍去)，x29.剪掉的正方形的边长为9 cm.侧面积有最大值设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，则y与x的函数关系为：y4(402x)x8x2160 x8(x10)2800，x10时，y最大800.即当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大，为800 cm2；(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况)在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为x cm.则2(40