【弹塑性力学】6 薄板弯曲

1、板分成以下三种类型：薄板：（1/801/100）t/b（1/51/8）；薄膜：t/b（1/51/8）。xyzt/2t/2中面薄板弯曲板所承受的荷载： 作用于中面的面内载荷。弹性力学平面问题 垂直于中面的横向荷载。板将产生弯曲，板的中面将变形成为一个曲面，垂直于中面的位移称为挠度w。小挠度弯曲问题 薄膜： 其抗弯的能力很低，可认为其抗弯刚度为零，横向荷载由板面内的轴向力和板面内的剪切力来承担；必须考虑大变形的影响。 厚板： 其内部任意点的应力状态与三维物体类似，难以进行简化，应按照三维问题处理；对于厚度比较小的薄板。 薄板的基本假定：（1）板中面法线变形前是直线，变形后仍保持直线，且与变形后的中

2、面保持垂直；（2）中面法线变形后既不伸长也不缩短；（3）中面各点没有平行于中面的位移。 由假定（2）（与梁弯曲问题的互不挤压假定相似） z=0 w=w(x,y) 0zwz由假定（1）（与梁弯曲问题的平面假定相似） zx=zy=0， 0zuxw0zvywyxfxwzu,1yxfywzv,2积分得 使用假定（3），z=0时，u,v=0，得：f1(x,y)=0， f2(x,y)=0 ABABwzxuOKKxwzuywzv22xwzxux22ywzyvyyxwzyuxv22xy 薄板的应变x=Kxz yKyz xy2Kxyzz = yz = zx 0于是应变全部给出于是应变全部给出xyzabced22

3、xwxK22ywyKyxw2xyK两个曲率和一个扭率两个曲率和一个扭率 薄板的应力分量 ( x、y、xy）通过平面问题的物理方程由应变求出( z、zx、zy）则必须由三个平衡微分方程求解给出 应力分量（z、zx、zy）尽管相对面内应力分量（x、y、xy）很小， 它们对应的应变分量z、zx、zy可略去不计， 但它们本身由于是平衡所必须的而不能忽略不计。 222222ywxw1Ez)(1Eyxx222222xwyw1Ez)(1Exyyyxw1Ez)1 (2E2xyxy特点： 均沿厚度呈线性分布，在中面处为零， 在板的上、下板面达到最大。应力分量（x、y、xy）考虑平衡微分方程 ，有其中，体力简化为

4、面荷载。 考虑薄板上、下板面的边界条件 yxzxyxxzxyzyyzyx02tzzx02tzzy0,jij解得横向剪应力，为特点： 横向剪应力zx、zy沿板厚度方向呈抛物线分布， 在板的上、下板面为零，在板中面最大。wxtzE2222412zxwytzE2222412zy利用z方向的平衡条件求zZzzyzxzyx将z方向所有力作用等效移置到板面上，02tzzqtzz2 222tttzZdtZq板上、下表面的边界条件变成wztvEzz42224)1 (2)y, x( fw3zz4t)v1 (2E4322zwtz1tz-21)v1 (6Et4223z z沿板厚度方向呈三次方变化 最大值发生在板面为

5、q，最小值在板底为0。02tzz利用板下面的边界条件 ， f(x,y)=0利用板上面的边界条件 ，得：qtzz2qwEt423)1 (12)1 (1223vEtDD是板的弯曲刚度，板厚的三次方成正比，与弹模成正比，与梁的弯曲刚度类似 qwD 4 薄板的平衡微分方程 xyzxzxyyxyzyx22ttxxdzzMdzzMxyttxy22dzQxzxtt22dzzMytty22dzzMyxttyx22dzQyzytt22 薄板横截面上的内力 剪应力互等定理 xy = yx， Mxy=Myx正负规定：在z为正，若应力分量为正，则由此合成的内力为正。内力是作用在每单位宽度上的力，例如：弯矩和扭矩的量纲

6、应是力，而不是通常的力/长度。xyzMxyMyxMyQMxxQy)()(2222yxxvKKDywvxwDM)()(2222xyyvKKDxwvywDMyxwDMM21yxxywxDQx2wyDQy2 内力由挠度表示 将应力的表达式代入积分得到xxzMt312yyzMt312xyxyzMt312yyzQztt)4(6223xzxQztt)4(6223)1 ()21(22ttqzzz（x，y，xy）qb2/t2 （xz，yz）qb/t zq 应力与内力的关系 0qQQyxyx0 xyxxQyMxM0yyxyQMMyx02222qMxMMyxyx22yyx 由内力表示的平衡微分方程 (1)(2)(

7、3)将（2）和（3）代入（1），得D4w=qxyzABC 侧边边界条件由圣维南原理满足 将分布剪力和分布扭矩合成为分布剪力用挠度表示AB(M ) y xA(M ) y x Bd xM y xd xdxxMMyxyx 可用2个大小相等为Myx，方向相反，相距dx的垂直力代替 可用2个大小相等为 ，方向相反，相距dx的垂直力代替，广义剪力 dxxMMyxyxxMQVyxyy此外，还有两端未抵消的集中剪力 RA(Myx)A， RB(Myx)BOABCxyzRARBR C最终角点B出现未抵消的的集中力应是RB(Myx)B(Mxy)B2(Myx)ByMQVxyxx及两端的集中力 RB(Mxy)B，RC(

8、Mxy)C 同样有2333)2(yxwvxwDVxyxwvywDVy2333)2()(1 (22yxwvDRByxabABCO（1）自由边弯矩和合成剪力为零，因此，在x=a上， Mx=0，Vx0， 在y=b上，My=0，Vy0， 02222axywxw0)2(2333axyxwxw02222byxwyw0)2(2333byyxwvyw（2）简支边在y=0的简支边界上，挠度和弯矩应为零，即 (w) y=0=0， (My) y=0由于(w) y=0=0表示沿x轴，w无变化，必然有 ， 所以，简支边的边界条件可写成 (w) y=0=0 002222yxwyw0 xwxw0220yy0022yyw（3

9、）固定边在x0的固定边上，挠度和转角为零，故边界条件可写成 (w) x=0=0 （4）角点条件 板边的分布扭矩代换为分布剪力后，在角点将出现一个集中力，这个集中力就是支座对板角点的集中反力。在求得挠度后，这个集中力可由RB表达式求得；对于无支座支撑的角点，例如图中的两自由边界的交点B，则要求 RB =2(Myx)x=a, y=b = 0，即：00 xxw02by a,xyxw 例6-8：受均匀分布荷载四边简支板的Navier解解：设挠度为三角级数形式 bynaxmAwmnsinsin它能满足所有的边界条件，即0)(022xxw (w) x=a=0 0)(22axxw (w) y=0=0 0)(

10、022yyw (w) y=b=0 0)(22byyw (w) x=0=0 bynaxmcqmnsinsin0利用三角级数的正交性，求得 abmndxdybynaxmqab000sinsin4c代入方程22w=q222224000)(sinsin4bnamabDdxdybynaxmqAabmn )cos1)(cos1 (20nmmnabq .5 , 3 , 1.5 , 3 , 12222260)(sinsin16mnbnammnbynaxmDqw积分项为挠度为在板的中心x=a/2，y=b/2处，挠度最大，该级数收敛很快。如对于正方形薄板，只取级数第一项，有而精确解为误差仅为2.46%。将挠度代入

11、内力表达式，有Daqw40max00416. 0Daqw40max00406. 0bynaxmbnammnbnamqMmnxsinsin)(16.5 , 3 , 1.5 , 3 , 122222222240bynaxmbnammnbnamqMmny sinsin)(16.5 , 3 , 1.5 , 3 , 122222222240.5 , 3 , 1.5 , 3 , 12222240)(coscos116mnxybnammnbynaxmabqM在板的中心x=a/2，y=b/2处，弯矩Mx和My最大，而Mxy为零；在板边界Mx和My为零，而Mxy最大。内力表达式的级数收敛较慢。例6-9：假定矩形扳支承与承受荷载如图，试写出挠度表示的各边边界条件0)(0 xw 0)(0 xxw 解：1) 固定边OA的边界条件是：yxzABCObaM0q2）简支边OC的边界条件是：(w)y=0=0 (My)y=