随机变量及离散型分布

1、概率统计概率统计下页结束返回第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布一、随机变量一、随机变量 二、离散型二、离散型随机变量的概率分布随机变量的概率分布三、随机变量的分布函数三、随机变量的分布函数四、连续型随机变量四、连续型随机变量五、随机变量函数的分布五、随机变量函数的分布下页概率统计概率统计下页结束返回2.1 随机变量随机变量例例1.1. 从一批种子中随机抽取从一批种子中随机抽取2020粒进行发芽试验，观察发芽粒数粒进行发芽试验，观察发芽粒数. .显然显然=0=0，1 1，2020，用变量，用变量X表示发芽粒数，则表示发芽粒数，则X的所有可的所有可能取值为能取值为 0 0，1 1，20

2、.20.下页例例2. 掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况掷一枚硬币，观察正面、反面出现的情况. . 记记1= 正面朝上正面朝上， 2=反面朝上反面朝上 . .21, 0, 1)(XX令X也是定义在也是定义在=1，2上的函数，是随机变量上的函数，是随机变量. .X()R概率统计概率统计下页结束返回 1. 随机变量的定义随机变量的定义2.1 随机变量随机变量下页定义定义 设随机试验设随机试验E的样本空间为的样本空间为，如果对于每一个，如果对于每一个,都有唯一的一个实数都有唯一的一个实数X()与之对应，则称与之对应，则称X( )为为随机变量随机变量,并简记为并简记为X . .注意：注意： 1. X

3、是定义在是定义在上的实值、单值函数上的实值、单值函数. . 2. 因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率，所以因随机试验的每一个结果的出现都有一定的概率，所以随机变量随机变量X的取值也有一定的概率的取值也有一定的概率. . 3. 随机性：随试验结果不同随机性：随试验结果不同, X取不同的值，试验前可以取不同的值，试验前可以知道它的所有取值范围，但不能确定取什么值知道它的所有取值范围，但不能确定取什么值. .概率统计概率统计下页结束返回2.2. 用随机变量表示随机事件用随机变量表示随机事件 例例3.3. 在灯泡寿命试验中，随机变量在灯泡寿命试验中，随机变量X 表示灯泡寿命，则表示灯泡寿命，则

4、灯泡的寿命不低于灯泡的寿命不低于1000小时小时表示为表示为X1000 . 例例4.4. 用随机变量用随机变量X表示玉米穗位，则表示玉米穗位，则玉米穗位在玉米穗位在100到到120厘厘米之间米之间可以表示为可以表示为100X120 . 例例5. 正面朝上正面朝上可以表示为可以表示为X=1 . 一般地：一般地：X=k ，Xa ，aXb等等表示一个随机事件表示一个随机事件.下页 3. 随机变量的类型随机变量的类型离散型随机变量离散型随机变量 随机变量的可能取值仅为有限个或可列多个随机变量的可能取值仅为有限个或可列多个.连续型随机变量连续型随机变量 随机变量取值为某一区间上的所有实数随机变量取值为某

5、一区间上的所有实数(3)既非离散型亦非连续型随机变量既非离散型亦非连续型随机变量概率统计概率统计下页结束返回2.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X所有可能的取值为所有可能的取值为 x1 , x2 , , xk , X取各个值的概率，即事件取各个值的概率，即事件X=xk的概率为的概率为 P X = xk = pk , k = 1,2,一、离散型随机变量一、离散型随机变量X的概率分布的定义及性质的概率分布的定义及性质一般用下面的一般用下面的概率分布表概率分布表来表示来表示Xx1x2xnPp1p2pn则称上式为离散型随机变量则称上式为离

6、散型随机变量X的的概率分布概率分布或分布列或分布列(律律) .下页概率统计概率统计下页结束返回分布列的性质分布列的性质例例1. 1. 已知随机变量的概率分布为：已知随机变量的概率分布为：)5 , 4 , 3 , 2 , 1(kakkXPpk,求常数求常数a.解：解：由概率分布的性质知由概率分布的性质知151kkp即即 15a= 1, 解得解得.151a下页（1）Pk0 （k =1,2，） 11kkp（2）概率统计概率统计下页结束返回3631010,6CP XC214631032,10C CP XC6121103301X0123P6白白4红红10球球下页1246310112C CP XC3431

7、01330CP XC例例2.2. 在一个袋子中有在一个袋子中有10个球，其中个球，其中6个白球，个白球，4个红球个红球.从中任取从中任取3个，个，求抽到红球数的概率分布求抽到红球数的概率分布.解：解：用用X表示抽到的红球数，则表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为所有可能的取值为0，1，2，3,且取每一个值的概率分别为且取每一个值的概率分别为X概率分布为概率分布为概率统计概率统计下页结束返回例例3. 某篮球运动员投中篮圈概率是某篮球运动员投中篮圈概率是0.9， 求他两次独立投篮投中次数求他两次独立投篮投中次数X的概率分布的概率分布. PX=0=(0.1)(0.1)=0.01 PX=1= 2(0

8、.9)(0.1) =0.18 PX =2=(0.9)(0.9)=0.81解：解： 用用X表示两次独立投篮投中次数，则表示两次独立投篮投中次数，则X所有可取的所有可取的值为值为0、1、2 .XP0 1 20.01 0.18 0.81X的概率分布为的概率分布为下页概率统计概率统计下页结束返回二、几种常见的离散型随机变量的概率分布二、几种常见的离散型随机变量的概率分布pqXPPXP10,11、 0-1分布分布定义定义: 如果随机变量如果随机变量 X 只可能取只可能取 0 和和 1 两个值，其概率分布为两个值，其概率分布为 1(0,1)kkP Xkp qk ( 0p1，p+q=1)即即XP1 0p q

9、下页则称则称 X 服从服从0-1分布分布，(p为参数为参数),记作记作 X B (1 , p ).或或概率统计概率统计下页结束返回 特别特别 当当 n=1时，二项分布退化为时，二项分布退化为01分布分布.2 、 二项分布二项分布(0,1, )kkn knP XkC P qkn显然显然,01nkkn knkC p q下页则称则称 X 服从参数为服从参数为 n，p的的二项分布二项分布, 记作记作XB(n, p).定义：定义：如果随机变量如果随机变量X的概率分布为的概率分布为概率统计概率统计下页结束返回(2) PX8=PX=8 + P X=9 + PX=10383. 07 . 03 . 07 . 0

10、3 . 07 . 0101010991028810CCC288103 .07 .08)1 (CXP100103 . 01011)3(CXPXP 例例4.4.设鲁麦设鲁麦11号的发芽率为号的发芽率为0.7，现播种，现播种10粒，粒， 求（求（1）恰好）恰好8粒发芽的概率粒发芽的概率;（2）不少于）不少于8粒发芽的概率粒发芽的概率; （3）能发芽的概率。）能发芽的概率。下页解解: 设设X表示种子发芽的粒数，则表示种子发芽的粒数，则X的所有可能取值为的所有可能取值为0,1,10,且且 XB(10,0.7) ，所求事件的概率为，所求事件的概率为概率统计概率统计下页结束返回解解: 将每次射击看成是一次贝

11、努里试验，将每次射击看成是一次贝努里试验，X表示在表示在400次射击中次射击中击中的次数，则击中的次数，则XB（400，0.02）其分布律为）其分布律为400400(0.02) (0.98)(0,1,400)kkkP XkCk4003991 (0.98)400 0.02 0.98 于是所求的概率为于是所求的概率为例例5. 某人进行射击，其击中率为某人进行射击，其击中率为0.02，独立射击，独立射击400次，次， 试求击中的次数大于等于试求击中的次数大于等于2的概率。的概率。0.9972下页2 101P XP XP X 在二项分布在二项分布B(n, p)中，当中，当n值较大，而值较大，而 p值较

12、小时，有一个很好值较小时，有一个很好的近似计算公式，这就是著名的的近似计算公式，这就是著名的泊松定理泊松定理。概率统计概率统计下页结束返回3 、泊松分布、泊松分布(0,1,)!keP Xkkk则称则称X服从参数为服从参数为的的泊松分布泊松分布，记为，记为 XP().!kk xP Xxek下页定义定义: 如果随机变量如果随机变量X的概率分布为的概率分布为(其中其中0是常数是常数)查课本查课本293页附表页附表2 泊松分布表，对于给定的泊松分布表，对于给定的，可查，可查概率统计概率统计下页结束返回解：解：设设X表示呼叫数，由题意知表示呼叫数，由题意知X P(3)(3)，则，则08392. 0!36

13、3kkke（3）PX=2 = PX 2PX 3 = 0.800850.57681 = 0.22404（2）P X 6 =1PX 6=10.08392 = 0.91608（1）P X 6 （1 1）呼叫次数不小于）呼叫次数不小于6 6； （2 2）呼叫次数小于）呼叫次数小于6 6； （3 3）呼叫数恰好为）呼叫数恰好为2.2.下页例例6.6.某电话交换台在一天内的收到的呼叫次数服从参数为某电话交换台在一天内的收到的呼叫次数服从参数为3 3的泊松分布，求下列事件的概率的泊松分布，求下列事件的概率: :概率统计概率统计下页结束返回泊松（泊松（Poisson）定理）定理 设随机变量设随机变量Xn（n=

14、1，2，3）服从二项分布，其概率分布为：）服从二项分布，其概率分布为： （k=0,1,2,n）knnknknnppCkXP)1 (!limkekXPknn则有则有(1)kkn knC pp! kek从而从而 n较大，较大，p较小时有较小时有这里概率这里概率Pn与与 n有关。如果有关。如果lim npn=0（为常数），为常数），n下页np其中，其中，概率统计概率统计下页结束返回证明证明 记记n=npn， 则则(1)(1)1!kn knnnn nnkP Xkknn knnknnnknnk1)11 ()21)(11 (1 !kknnlimennnknnnnknnnnn)(1lim1lim121lim

15、(1)(1)(1)1nknnn!limkekXPknn因此因此 对于固定的对于固定的k，则有，则有下页概率统计概率统计下页结束返回 小概率事件小概率事件 原理原理：某事件在一次试验中发生的可能性很小，某事件在一次试验中发生的可能性很小，但只要重复次数足够大，那么该事件的发生几乎是肯定的但只要重复次数足够大，那么该事件的发生几乎是肯定的。解解 因为因为,8!keP XknpkP X = 0 e -8，P X = 1 8e -8，于是于是因此因此P X 2 1 e 8 8e-8 =1 9e 8 1 0.003=0.997(1)kkn knC pp! kek例例5 5 利用近似公式计算例利用近似公式

16、计算例4 4中的概率中的概率P P X X 22。下页概率统计概率统计下页结束返回（1）若一人负责维修）若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率台设备，求发生故障不能及时维修的概率解：解：设设 X表示同时发生故障的台数，则表示同时发生故障的台数，则XB(n, 0.01) 由于由于n较大，较大，p较小，可用泊松分布作近似计算较小，可用泊松分布作近似计算,其中其中 =np=4 (1) n =30 ，p = 0.01，=0.3，所求概率为，所求概率为0.320.320.036936!kkeP Xk （2）若）若3人共同维修人共同维修100台设备呢？台设备呢？(2) n=100，p=0.

17、01 ，=1, 所求事件概率为所求事件概率为14140.018988!kkeP Xk （3）需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于）需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02 ？下页例例7.某厂有同类设备某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台发生故台，各台工作是相互独立的，每台发生故障的概率为障的概率为0.01。求下列事件的概率。求下列事件的概率:概率统计概率统计下页结束返回解：解：(3) 设配备设配备M名工人，名工人， 已知已知n =400， p=0.01，则，则= 4， 由题意由题意PX M+10.024140.02!kkMek由由查表得查表得M+110，即

18、，即 M9，需配备名工人，需配备名工人.下页（1）若一人负责维修）若一人负责维修30台设备，求发生故障不能及时维修的概率台设备，求发生故障不能及时维修的概率 （2）若）若3人共同维修人共同维修100台设备呢？台设备呢？ （3）需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于）需配备多少工人才能保证不能及时维修的概率不大于0.02 ？例例7.某厂有同类设备某厂有同类设备400台，各台工作是相互独立的，每台发生故台，各台工作是相互独立的，每台发生故障的概率为障的概率为0.01。求下列事件的概率。求下列事件的概率:概率统计概率统计下页结束返回4. 几何分布几何分布定义定义: 若若X的概率分布为的概率分布为则称则称X服从参数为服从参数为p的的几何分布几何分布，记作，记作 XG(p).1(1)(1,2,)kP Xkppk 若若X表示一个无穷次贝努利试验序列中，事件表示一个无穷次贝努利试验序列中，事件A首次发生首次发生所需要的次数，则所需要的次数，则X服从参数为服从参数为p的几何分布的几何分布.下页概率统