第二章水静力学

1、本章教学要求：本章教学要求：u 理解静水压强的特性；u 掌握静水压强基本方程、等压面以及液体中压强的计算、测量与表示方法；u 掌握静水总压力的计算方法。水静力学的任务：水静力学的任务：研究研究液体平衡液体平衡的规律及其实际的规律及其实际应用。应用。液体的平衡状态：液体的平衡状态：u静止状态：即液体相对于地球没有运动；静止状态：即液体相对于地球没有运动；u相对平衡状态：即所研究的整个液体相对于地球虽然相对平衡状态：即所研究的整个液体相对于地球虽然在运动，但液体对于容器或液体质点之间没有相对运动。如，在运动，但液体对于容器或液体质点之间没有相对运动。如，沿直线等速行驶或等加速行驶的容器中所盛液体。

2、沿直线等速行驶或等加速行驶的容器中所盛液体。注意：注意：液体在平衡状态下没有内摩擦力，因此理想液体液体在平衡状态下没有内摩擦力，因此理想液体和实际液体所遵循的规律相同。和实际液体所遵循的规律相同。u2.1 2.1 静水压强及其特性静水压强及其特性u2.2 2.2 液体的平衡微分方程式及其积分液体的平衡微分方程式及其积分u2.3 2.3 重力作用下静水压强的基本公式重力作用下静水压强的基本公式u2.4 2.4 重力和惯性力同时作用下的液体平衡重力和惯性力同时作用下的液体平衡u2.5 2.5 作用于平面上的静水总压力作用于平面上的静水总压力u2.6 2.6 作用于曲面上的静水总压力作用于曲面上的静

3、水总压力u2.72.7浮力及浮体与潜体的稳定性浮力及浮体与潜体的稳定性2.1.1 2.1.1 静水压力与静水压强静水压力与静水压强 AFpFpT水力自控闸门平板闸门2.1.22.1.2静水压强的特性静水压强的特性1 1方向方向: :静水压强的方向与静水压强的方向与受压面垂直并指向受压受压面垂直并指向受压面。面。 dPndPdPdPKMNK2.1.22.1.2静水压强的特性静水压强的特性2 2大小大小: :任意任意一点静水压一点静水压强大小和受压面方向强大小和受压面方向无关，或者无关，或者说作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。说作用于同一点上各方向的静水压强大小相等。BDC0FpxFpn总质

4、量力在三个坐标方向的投影为：按照平衡条件，所有作用于微小四面体上的外力在各坐标轴上投影的代数和应分别为零，即：四面体四个表四面体四个表面积之间满足：面积之间满足：液体平衡微分方程式：液体平衡微分方程式：取边长为取边长为dxdx、dydy、dzdz的平行微分六面体进行研的平行微分六面体进行研究。究。表面力表面力 yxOAdxdydz2dxxpp2dxxppzabdcefhgmn右侧面右侧面 左侧面左侧面 面积面积 压强压强 （泰勒级数）（泰勒级数） 侧面中心点侧面中心点 ),2dxzyx （)2dxxpp（zydd),2dxzyx （)2dxxpp（zyddX方向方向A A点坐标为点坐标为(x,

5、y,z)，静水压强为，静水压强为p 令令fx , ,fy , ,fz表示作用于微分六表示作用于微分六面体上的单位质量力在面体上的单位质量力在x, ,y, ,z轴上的轴上的投影，则总质量力在投影，则总质量力在x方向的投影为：方向的投影为： fx dxdydzyxOAdxdydz2dxxpp2dxxppzabdcefhgmn质量力质量力 平衡条件：平衡条件：当六面体处于平衡状态时，所有作用于六面体当六面体处于平衡状态时，所有作用于六面体 上的力，在三个坐标轴方向的投影的和应等于上的力，在三个坐标轴方向的投影的和应等于0.0.X X方向：方向：0ddddd)2ddd)2dzyxfzyxxppzyxx

6、ppx（xfxp方程两边同除以方程两边同除以dxdydzdxdydz并简化得到：并简化得到：Y Y方向：方向：yfyp0ddddd )2ddd )2dzyxfzxyyppzxyyppy（Z Z方向：方向：0ddddd)2ddd)2dzyxfyxzzppyxzzppz（zfzp欧拉平衡微分方程式：欧拉平衡微分方程式：zyxfzpfypfxp （第一种形式）（第一种形式）物理意义：物理意义：静水压强沿某个方向的变化率与该方向静水压强沿某个方向的变化率与该方向单位体积单位体积上的质量力相等。上的质量力相等。 揭示了静止时质量力与表面力间关系：揭示了静止时质量力与表面力间关系： 1 1、微元的质量力和

7、表面力在各个方向都保持平衡。、微元的质量力和表面力在各个方向都保持平衡。2 2、有质量分力作用，流体静压力就发生变化。、有质量分力作用，流体静压力就发生变化。3 3、忽略质量分力作用，流体静压力处处相等。、忽略质量分力作用，流体静压力处处相等。 液体平衡微分方程形式液体平衡微分方程形式2 2 zyxfzpfypfxp dx dy dz zzpyypxxpddd）zfyfxfzyxddd(）zfyfxfdpzyxddd(（1 1）（2 2）（3 3）zyxfzpfypfxpxfyxpyfxypyx22不可压缩均质不可压缩均质xfyfyx同理：同理：zfxfyfzfxfyfxzzyyx上式表明：作

8、用于平衡液体上上式表明：作用于平衡液体上的质量力应满足上述关系。的质量力应满足上述关系。由理论力学和数学分析可知，存在一个仅与坐标有关的力势函数U，且U对坐标的偏导数等于单位质量力在坐标投影，即 zfxfyfzfxfyfxzzyyxzUfyUfxUfzyx 而力势函数的全微分而力势函数的全微分dU，应等于单位质量力在空间移动，应等于单位质量力在空间移动ds距离距离所作的功。所作的功。zfyfxfzxUyxUxxUzyxUzyxdddddd),(dzUfyUfxUfzyx 具有上式关系的力称为具有上式关系的力称为有势力或有势力或保守力。保守力。 有势力所做的功与路径无关，而只与起点和终点的有势力

9、所做的功与路径无关，而只与起点和终点的坐标有关。重力、惯性力都属于有势力。坐标有关。重力、惯性力都属于有势力。）zfyfxfdpzyxddd(1)(1)zUfyUfxUfzyx(2)(2)dUdpzzUyyUxxUdp）ddd(3)(3)积分求解方程积分求解方程3 3可得可得: :CUp(4)(4)C C为积分常数，由已知条件确定。已知某点压强为为积分常数，由已知条件确定。已知某点压强为p p0 0，力势函，力势函数为数为U U0 0，则积分常数，则积分常数C Cp p0 0U U0 0式（式（4 4）即可写为：）即可写为：)(00UUpp(5)(5) 因为力势函数U仅为空间坐标的函数，所以，

10、（UU0）也仅是空间坐标的函数而与p无关。从公式从公式: :)(00UUpp可知如下结论可知如下结论: : 平衡液体中，边界上的压强平衡液体中，边界上的压强p p0 0将等值的传递到液体将等值的传递到液体的一切点上；当的一切点上；当p p0 0增加或减少时，液体内任意点的压强增加或减少时，液体内任意点的压强也相应的增加或减少同样的数值。（巴斯加原理）也相应的增加或减少同样的数值。（巴斯加原理）等压面：等压面：液体液体中静水压强相等的点连成的面。中静水压强相等的点连成的面。等压面的两个重要性质：等压面的两个重要性质：u在平衡液体中等压面即是等势面；在平衡液体中等压面即是等势面；u等压面与质量力正

11、交。等压面与质量力正交。一、静水压强的建立一、静水压强的建立z0hzp0自由面自由面h边界条件：等压面：液体相对于地球运动，但相对于容器仍保持静止的状态液体相对于地球运动，但相对于容器仍保持静止的状态为相对平衡。为相对平衡。达朗贝尔原理表明对具有加速度的运动物体进行受力分达朗贝尔原理表明对具有加速度的运动物体进行受力分析时，若加上一个与加速度相反的惯性力则作用于物体上的析时，若加上一个与加速度相反的惯性力则作用于物体上的所有外力（包括惯性力）应保持平衡所有外力（包括惯性力）应保持平衡。2.4.1 2.4.1 等加速直线运动等加速直线运动以等加速直线行驶，内盛液体的小车为例，所受质量力以等加速直

12、线行驶，内盛液体的小车为例，所受质量力包括重力与惯性力。包括重力与惯性力。只受重力作用的静止液体，等压面为水平面。只受重力作用的静止液体，等压面为水平面。以等加速度以等加速度a a直线行驶的小车内的液体，相对平衡状态的直线行驶的小车内的液体，相对平衡状态的液体，同时受重力和惯性力，等压面是不是水平面？液体，同时受重力和惯性力，等压面是不是水平面？agafx xZ Z求自由液面方程式和液体内部静水压强的计算公式。求自由液面方程式和液体内部静水压强的计算公式。zyxoAAxyr2x2y22.4.2 等角速旋转运动以绕中心轴做等角速度旋转的圆柱形容器中的液体为例进行分析。对旋转容器中的液体，所受质量

13、力应包括重力重力与离心惯性力离心惯性力。把坐标系取在容器上，使Z轴和圆筒中心轴重合。zyxoAAxyr2x2y2不同的C值，对应不同的等压面。zyxoA圆筒中静水压强的分布规律：圆筒中静水压强的分布规律：圆筒中静水压强的分布规律：圆筒中静水压强的分布规律：代入：圆筒中静水压强的分布规律：圆筒中静水压强的分布规律：相对平衡液体中任意点的静水压强仍然与该点淹没深相对平衡液体中任意点的静水压强仍然与该点淹没深度成比例，等水深面仍为等压面。度成比例，等水深面仍为等压面。由地球表面大气所产生的压强，成为大气压强。由地球表面大气所产生的压强，成为大气压强。海拔高程不同，大气压强也有差异。我国法定计量单位海

14、拔高程不同，大气压强也有差异。我国法定计量单位中，把中，把101.33kPa101.33kPa成为一个标准大气压。成为一个标准大气压。2.6.12.6.1绝对压强绝对压强设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强，设想没有大气存在的绝对真空状态作为零点计量的压强，称为称为绝对压强绝对压强。绝对压强总是。绝对压强总是正正的。的。2.6.32.6.3真空及真空度真空及真空度绝对压强总是正值，相对绝对压强总是正值，相对压强可能为正也可能为负。相压强可能为正也可能为负。相对压强为负值时，则称该点存对压强为负值时，则称该点存在真空。在真空。PaPaPPaPPaPPa相对相对压强压强000C C点的

15、相对静水压强为点的相对静水压强为相对压强为负值，说明存在真空，真空度为相对压强为负值，说明存在真空，真空度为利用水静力学原理设计的液利用水静力学原理设计的液体测压计有测压管、测压计、差体测压计有测压管、测压计、差压计等。压计等。1.1.测压管测压管若欲测容器中若欲测容器中A A点的液体压强，点的液体压强，可在容器上设置一开口细管。可在容器上设置一开口细管。h与大气相通测点AB则则A A、B B两点位于同一等压面，两点位于同一等压面，两点压强相等。两点压强相等。当当A A点压强较小时：点压强较小时：u可可在测压管中放入轻质液体，以增大测压管标尺读数；在测压管中放入轻质液体，以增大测压管标尺读数；

16、u也也可将测压管倾斜放置。可将测压管倾斜放置。L与大气相通测点sinpL 当被测点压强很大时：当被测点压强很大时：u所所需的测压管很长，选用需的测压管很长，选用U U形水银测压计。形水银测压计。2.U2.U形水银测压计形水银测压计在在U U形管内，水银面形管内，水银面N-NN-N 为等压面，因而点为等压面，因而点1 1和点和点2 2压强相压强相等。等。h水与大气相通12NNAb水银A AB B3 3差压计差压计差压计是直接测量两点压强差的装置。差压计是直接测量两点压强差的装置。水银水银由于由于1 1压强的液柱表示方法压强的液柱表示方法压强大小的表示：压强大小的表示：u以单位面积上的压力数值表示

17、。以单位面积上的压力数值表示。u用工程大气压表示。用工程大气压表示。u用液柱高度表示。用液柱高度表示。98kPa=1at=10m H98kPa=1at=10m H2 2O=736mmO=736mm水银水银上式表明：静止液体内，任意一点的测压管水头等于常数。即静止液体中的能量守恒规律。上式表明：静止液体内各点，单位重量液体所具有的势能（简称单位势能）相等。两种方法两种方法：压力压力图法（图解图法（图解法）、解析法）、解析法法2.5.12.5.1作用在矩形平面上的静作用在矩形平面上的静水总压力水总压力1.1.静水压强分布图的绘制静水压强分布图的绘制u按一定比例，用线段长度按一定比例，用线段长度代表

18、该点静水压强的大小；代表该点静水压强的大小；u用箭头表示静水压强的方用箭头表示静水压强的方向，并与作用面垂直。向，并与作用面垂直。B BA AD DH HC ChE EapapB BA Ah h1 1h h2 221hh 几种代表性的相对压强分布图几种代表性的相对压强分布图11hp11hp22hph h2 2h h1 1几种代表性的相对压强分布图几种代表性的相对压强分布图C CA AB Bh h1 1h h2 212D D11hE E122hh 2.2.静水总压力的计算静水总压力的计算平面上静水总压力的大小应等于分布在平面上各点静水平面上静水总压力的大小应等于分布在平面上各点静水压强的总和，压

19、强的总和，矩形平面高矩形平面高H H，宽，宽b b。H压强分布图H压强分布立体图b矩形平面bHApdAP矩形平面受到静水总压力：Apc Hhbdh0bAp221bH)(21(bHHVbH 221HHbhpdAhHb0结论：方向垂直指向受压面。常见受压平面形心点位置ccc2H3HbaHba33)2(Hab3HC2H静水总压力的作用线通过静水压强分布图的形心 。C静水压强分布图HC1PP2P2121SSPP则PababP1PabaP22当静水压强分布图为梯形时，可将其分为一个三角形和一个矩形，面积分别为 、 。1S2SHaHab2/abH静水压强分布图HabP1P2P3H2H根据合力矩定理，有cH

20、PHPHP2321结合PababP1PabaP22baHbaHc33)2(则cHC1C2CbaHbaHc33)2(dAyx0 xyhhc D Dc c例：例： 试求作用在关闭着的池壁圆形放水闸门上静水总压力和作用点的位置。已知闸门直径d=0.5m，距离a=1.0m，闸门与自由水面间的倾斜角=600，水为淡水。解：解：、求总压力AhPc241sin21dda205 . 014. 34160sin5 . 02119800 N2082a aycyDhc D Dc ca a设总压力的作用点沿斜面距水面为yD则：则：4440031. 05 . 014. 3641641mdIc2412121ddaIdaAyIyyccccD25 .014.3415 .02110031.05 .0210 .1m26. 1013. 025. 1思考思考： 作用在自由面上的压强 p p0 0 所形成的压力P P0 0的压力中心在何处？ 力P P0 0 的压力中心和平面的形心点C C重合，这是因为压强p p0 0在平面上均匀分布的缘故。在水利工程上常遇到受压面为曲面的情况，拱坝坝面、在水利工程上常遇到受压面为曲面的情况，拱坝坝面、弧形闸墩、弧形闸门等。弧形闸墩、弧形闸门等。2.6.12.6.1静水总压力的水平分力静水总压力的水