-任意项级数的审敛法

1、二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛第三节一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法 任意项级数的审敛法 第十一章第十一章 一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法 nnuuuu1321)1(交错级数交错级数 :定理定理11.6 (莱布尼茨审敛法莱布尼茨审敛法) 若若交错级数交错级数满足满足:则则; ),2,1()11 nuunn,0lim)2 nnunnnu 11)1(收敛收敛 , 且其和且其和 ,1uS 其余项满足其余项满足.1 nnur）（0 nu1. 定义定义称满足条件称满足条件1), 2)的级的级数为数为莱布尼莱布尼茨交错级数茨交错级数)()(43212uuuuSn )

2、()(543212uuuuuSn 1u 单调增加且有上界单调增加且有上界2nS12limuSSnn 22 nSnu2 1 先证先证部分和数列部分和数列S2n单调增加且有上界单调增加且有上界.)(212nnuu )(1222 nnuu)(21222nnnuuS 0 un 递减递减证证证明思路：证明思路：,lim2SSnn SSnn 12limSSnn lim+故级数收敛于故级数收敛于S, 且且,1uS :的余项的余项nSnnSSr )(21 nnuu 21nnnuur.1 nu,limSSnn 仍为莱布尼茨仍为莱布尼茨 交错级数交错级数2 再证再证SSnn 12lim又又12lim nnSnnS

3、2lim S )(lim122 nnnuS注注1 莱布尼茨定理中的条件莱布尼茨定理中的条件(1)可换成：可换成：)(1Nnuunn 不单调不单调2nu 反例：反例：，对对于于nnnn2)1(2)1(11 nnnu2) 1(2 0不单调，不单调，虽然虽然nu事实上，事实上，;)0()1(11发散发散 nnnnuu单调增加单调增加3nu;)0()1(11发散发散 nnnnuu)0lim( nnu121221 kkuk222 ,2322kku nnnu2) 1(2 nnnn2)1(2)1(11 但但21)21(11nnn 收敛收敛 111)1(npnn 例例1 证明交错级数：证明交错级数： pp31

4、211 pnn1)1(1).0( p常数常数收敛，并估计其余项收敛，并估计其余项 rn解解pnnu1 因因),(0 npnnu1 且且 111 npun由由莱莱布布尼尼茨茨审审敛敛法法 pnnnur111 且且知知级级数数收收敛敛，需证需证un递减趋于零递减趋于零注注 1 用莱布尼茨判别法判断交错级数用莱布尼茨判别法判断交错级数)0()1(11 nnnnuu是否收敛时，要考察是否收敛时，要考察 un 是否单调减少，通常是否单调减少，通常有以下有以下三种三种方法：方法：比值法：比值法：)1()(1?1Nnuunn 差值法：差值法：)2()(0?1Nnuunn 函数法：函数法：)3(由由un 找一

5、个可导函数找一个可导函数 f (x),)(nunf 使使?0)( xf再考察再考察得得收收敛敛级级数数取取, 1 p 111nnn即即和和为为, 2ln 2ln111 nnn231211 nn111注注 1(第五节第五节) 11,1)1(nnn收敛收敛.11发散发散但但 nn绝对值级数绝对值级数问题问题:敛敛散散性性的的关关系系？与与 11nnnnuu二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 1. 定义定义 111)1(npnn 1nnu若若收敛收敛 ； 11nnu）（ 12nnu）（条件收敛条件收敛,例如：例如：绝对收敛：绝对收敛：条件收敛条件收敛: 1nnu发散发散. 1nnu若若收敛

6、，但收敛，但绝对收敛绝对收敛,.11发发散散但但 npn 11,1) 1(npnn收收敛敛；10 p. 1 p收敛收敛 11npn 例例2解解nnnnuvnnu)1(10 ，10 nnun需判定需判定递递减减、趋趋于于零零分析分析),(nf令令 10 nnun)0(10)( xxxxf2)10()10(21)( xxxxxf2)10(210 xxx)10(0 x单单调调减减少少，时时，当当)(10 xfx 时，时，故当故当10 n)()1(nfnf )10(1 nuunn即即 nnulim又又10lim nnnnnn101lim 由由莱莱尼尼布布茨茨判判别别法法知知 110)1(nnnn 收敛

7、收敛. . 0 2. 定理定理 (绝对收敛与收敛的关系绝对收敛与收敛的关系)证证 设设 1nnunv令令 0 1nnv收敛收敛, 12nnv,2nnnvuu 而而 1nnu 1nnu收敛收敛.)(21nnuu nv,nu 收敛收敛 ,定理定理11.7 若级数若级数 绝对收敛，绝对收敛， 1nnu则该级数必收敛则该级数必收敛.则则由收敛级数的基本性质，由收敛级数的基本性质，注注 收敛收敛1nnu绝对收敛绝对收敛 1nnu?由比较审敛法知由比较审敛法知,1 nnu 12nnv均收敛均收敛 12!sinnnn级级数数,1!sin22nnnun 解解例例3.!sin12 nnn绝绝对对收收敛敛即即,1

8、12收收敛敛而而 nn 12!sinnnn收收敛敛条件收敛、条件收敛、绝对收敛还是发散？绝对收敛还是发散？ 例例4解解nnnnuvnnu)1(10 ，绝对收敛性绝对收敛性110 nnuvnn)1(101 nn,1011发散发散而而 nn发散发散 1nnv由例2）知 110)1(nnnn 收敛收敛. . 综合综合1, 2 可知：可知： 110)1(nnnn 条件收敛条件收敛. . 条件收敛性条件收敛性22 关系关系收敛收敛 1nnu发散发散 1nnu发散发散 1nnu收敛收敛 1nnu?（一般地）（一般地）但但特殊地，特殊地，有有定理定理11.9设任意项级数设任意项级数满足满足 1nnu1lim

9、1 uunnn)1lim( unnn或或则级数则级数,1发散发散 nnu.1发散发散且且 nnu, 1lim1 uunnn由由),(1Nnuunn 可得可得, 0lim nnu于是于是, 0lim nnu从而从而.1发散发散故故 nnu发散发散 1nnu发散发散 1nnu说明说明:（用比值法或（用比值法或 根值法判）根值法判）证证 ,!11 nnnnnnnnnnnuu1lim 又又nnn)11(lim 知知，由由定定理理9 .11 散？散？收敛、条件收敛还是发收敛、条件收敛还是发是绝对是绝对级数级数 1!nnnn例例5解解 nnnnnnn!11lim1 , 1 e .!1发发散散 nnnn ,

10、!11发发散散 nnnnnnnn比值法判定比值法判定1. 利用部分和极限利用部分和极限:3. 利用正项级数审敛法利用正项级数审敛法0lim nnu比值审敛法比值审敛法根值审敛法根值审敛法比较审敛法比较审敛法内容小结内容小结（任意项级数审敛法）（任意项级数审敛法）2. 利用收敛的必要条件利用收敛的必要条件:发散发散 不存在不存在SSnnlim 发散发散收敛收敛收敛收敛判判 1nnu收敛收敛 1nnu发散发散判判 1nnu发散发散 1nnu4. 莱布尼茨莱布尼茨判别法判别法: 收敛收敛交错级数交错级数nnnu 1)1(由正项级数由正项级数 1nnu收敛收敛, 能否推出能否推出 12nnu收敛收敛

11、?注意注意反之不成立反之不成立. 例如例如, 121nn收敛收敛 , 11nn发散发散 .思考题思考题解解, 00 nu由由),(1Nnun 得得,02nnuu 于是于是由比较法知由比较法知 12nnu收敛收敛 . )(212小小较较因因收敛，收敛，猜猜nnnnuuu 11!1)1()2nnn nnn2) 1(222112 1!1)2nn 12)3nnn发散发散;收敛收敛;收敛收敛.备用题备用题例例1-1 判定下列级数的敛散性：判定下列级数的敛散性： !31!211 !1)1(1nn 112) 1() 3nnnn问题问题 上述级数的绝对值级数上述级数的绝对值级数 是否收敛是否收敛 ? 1nnv 111)