微积分无穷级数习题课

1、无无 穷穷 级级 数数习习 题题 课课常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂级数幂级数收收敛敛半半径径R R泰勒展开式泰勒展开式数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数泰勒级数泰勒级数0)(xR为常数为常数nu)(xuunn为为函函数数0 xx 取取在收敛在收敛 级数与数级数与数条件下条件下 相互转化相互转化 1nnu一、主要内容一、主要内容 nnnuuuuu32111 1、常数项级数、常数项级数 常常数数项项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). . niinnuuuus121级数的部分和级数的部

2、分和定义定义级数的收敛与发散级数的收敛与发散性质性质1 1: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, ,敛散性不变敛散性不变. .性质性质2 2: :收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .性质性质3 3: :在级数前面加上有限项不影响级数的敛在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性散性.性质性质4 4: :收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和于原来的和. . 0lim nnu级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级

3、 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则则级级数数收收敛敛若若SSn;, 0,则级数发散则级数发散当当 nun一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛定义定义0,1 nnnuu.有有界界部部分分和和所所成成的的数数列列正正项项级级数数收收敛敛ns2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法审敛法审敛法(1) (1) 比较审敛法比较审敛法若若 1nnu收收敛敛( (发发散散) )且且)(nnnnvuuv , ,则则 1nnv收收敛敛(

4、(发发散散) ). .(2) (2) 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果lvunnn lim,则则(1) 当当 l0时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性; (2) 当当0 l时，若时，若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛; (3) 当当 l时时, 若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;设设 1nnu是正项级数是正项级数,如果如果)(lim1 数或数或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛;1 时时级级数数发发散散; 1 时时失失效效.设设 1nnu是正项级数是正项级数, ,如果如果 nnnulim)

5、( 为数或为数或 , ,则则1 时级数收敛时级数收敛; ; 1 时级数发散时级数发散; ;1 时失效时失效. .定义定义 正正 、负项相间的级数称为交错级数、负项相间的级数称为交错级数. . nnnnnnuu 111)1()1(或或莱莱布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交错错级级数数满满足足条条件件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, ,则则级级数数收收敛敛, ,且且其其和和1us , ,其其余余 项项nr的的绝绝对对值值1 nnur. .)0( nu其中其中3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法定义定义 正项和负项任意出现的级数称

6、为任意项级数正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.定定理理 若若 1nnu收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛.定定义义: :若若 1nnu收收敛敛, , 则则称称 0nnu为为绝绝对对收收敛敛; ;若若 1nnu发发散散, ,而而 1nnu收收敛敛, , 则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛. .4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法5 5、函数项级数、函数项级数(1) (1) 定义定义设设),(,),(),(21xuxuxun是是定定义义在在RI 上上的的函函数数, ,则则 )()()(211xuxuxunn称称为为定定义义在在区区间间I上上的的( (函函数数项项) )无无穷穷

7、级级数数. .(2) (2) 收敛点与收敛域收敛点与收敛域如如果果Ix 0,数数项项级级数数 10)(nnxu收收敛敛,则则称称0 x为为级级数数)(1xunn 的的收收敛敛点点, ,否则称为否则称为发散点发散点. .所所有有发发散散点点的的全全体体称称为为发发散散域域. .函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, ,(3) (3) 和函数和函数在收敛域上在收敛域上, ,函数项级数的和是函数项级数的和是x的函数的函数)(xs, ,称称)(xs为函数项级数的为函数项级数的和函数和函数. .(1) (1) 定义定义形形如如nnnxxa)(00

8、的的级级数数称称为为幂幂级级数数.,00时时当当 x其其中中na为为幂幂级级数数系系数数.6 6、幂级数、幂级数nnnxa 0如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .定定理理 1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )如果级数如果级数 0nnnxa在在)0(00 xxx处收敛处收敛, ,则则它在满足不等式它在满足不等式0 xx 的一切的一切x处绝对收敛处绝对收敛; ;(2) (2) 收敛性收敛性如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在

9、整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :当当Rx 时时, ,幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛; ;当当Rx 时时,幂幂级级数数发发散散;当当RxRx 与与时时, ,幂幂级级数数可可能能收收敛敛也也可可能能发发散散. .推论推论定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.定理定理 2 2 如果幂级数如果幂级数 0nnnxa的所有系数的所有系数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则

10、当当0 时时, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;a.a.代数运算性质代数运算性质: : 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的的收收敛敛半半径径各各为为和和设设 (3)(3)幂级数的运算幂级数的运算乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收收敛敛域域内内b.b.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: : 幂

11、幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内连连续续,在在端端点点收收敛敛,则则在在端端点点单单侧侧连连续续. 幂幂级级数数 0nnnxa的的和和函函数数)(xs在在收收敛敛区区间间),(RR 内内可可积积,且且对对),(RRx 可可逐逐项项积积分分. 幂级数幂级数 0nnnxa的和函数的和函数)(xs在收敛区间在收敛区间),(RR 内可导内可导, 并可逐项求导任意次并可逐项求导任意次.7 7、幂级数展开式、幂级数展开式 如如果果)(xf在在点点0 x处处任任意意阶阶可可导导,则则幂幂级级数数nnnxxnxf)(!)(000)( 称称为为)(xf在在点点

12、0 x的的泰泰勒勒级级数数.nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf在在点点0 x的的麦麦克克劳劳林林级级数数.(1) 定义定义定定理理 )(xf在在点点0 x的的泰泰勒勒级级数数, ,在在)(0 xU 内内收收敛敛于于)(xf在在)(0 xU 内内0)(lim xRnn. .(2) 充要条件充要条件(3) 唯一性唯一性定定理理 如如果果函函数数)(xf在在)(0 xU 内内能能展展开开成成)(0 xx 的的幂幂级级数数, , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,则则其其系系数数 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且且展展开开式式是是唯唯一一的的. .(3) 展

13、开方法展开方法a.a.直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨讨论论).(xf敛敛于于则则级级数数在在收收敛敛区区间间内内收收b.b.间接法间接法 根据唯一性根据唯一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积逐项积分分等方法等方法,求展开式求展开式.),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242n

14、xxxxnn),( x(4) 常见函数展开式常见函数展开式)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x(5) 应用应用a.a.近似计算近似计算b.b.欧拉公式欧拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit 二、典型例题二、典型例题;)1()1(:11 nnnnnnn判断级数敛散性判断级数敛散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1li

15、mexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根据级数收敛的必要条件，根据级数收敛的必要条件，原级数发散原级数发散;23cos)2(12 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收收敛敛 nnn根据比较判别法，根据比较判别法，原级数收敛原级数收敛 1).0()1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 时时从而有从而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由由于于, 1)2ln(

16、lim nnn.1limaunnn ,1100时时即即当当 aa原级数收敛；原级数收敛；,1110时时即即当当 aa原级数发散；原级数发散；,1时时当当 a,)11()2ln(1 nnnn原原级级数数为为,)11()2ln(lim nnnn原级数也发散原级数也发散敛？敛？是条件收敛还是绝对收是条件收敛还是绝对收敛？如果收敛，敛？如果收敛，是否收是否收判断级数判断级数 1ln)1(nnnn例例解解,1ln1nnn ,11发散发散而而 nn,ln1ln)1(11发发散散 nnnnnnn即原级数非绝对收敛即原级数非绝对收敛,ln)1(1级级数数是是交交错错 nnnn由莱布尼茨定理：由莱布尼茨定理：x

17、xnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上上单单增增在在 ,ln1单减单减即即xx ,1ln1时时单单减减当当故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交错级数收敛，所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛故原级数是条件收敛.)1)(1(0敛敛域域及及和和函函数数收收求求级级数数 nnxn例例解解, 1)1)(1(0 Rxnnn敛敛半半径径为为的的收收, 111 x收收敛敛域域为为, 20 x即即则则有有设设此此级级数数的的和和函函数数为为

18、),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs两边逐项积分两边逐项积分 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求导，得求导，得两边再对两边再对 x)21()( xxxs.)2(12x .1lnarctan)(2克劳林级数克劳林级数展开成麦展开成麦将将xxxxf 例例4 4解解,32)1ln(32 xxxx,)1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(21

19、12)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x的的幂幂级级数数成成的的和和函函数数展展开开将将级级数数)1()!12(2)1(12111 xnxnnnn例例5 5解解设设法法用用已已知知展展开开式式来来解解的的展展开开式式，是是分分析析xnxnnnsin)!12()1(1121 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x21sin21cos221cos21sin2 xx 01202)21()!12(

20、)1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),( 一一、 选选择择题题: :1 1、下下列列级级数数中中, ,收收敛敛的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11nn； ( (B B) ) 11nnn； ( (C C) ) 1321nn； ( (D D) ) 1)1(nn. .2 2、下下列列级级数数中中, ,收收敛敛的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11)45( nn； ( (B B) )11)54( nn； ( (C C) )111

21、)45()1( nnn； ( (D D) ) 11)5445(nn. .测测 验验 题题3 3、下列级数中、下列级数中, ,收敛的是收敛的是( )( ) (A) (A) 1222) !(nnn； (B) (B) 1!3nnnnn； (C) (C) 22sin1nn ； (D) (D) 1)2(1nnnn. .4 4、部分和数列、部分和数列 ns有界是正项级数有界是正项级数 1nnu收敛的收敛的 ( ( ) ) (A)(A)充分条件；充分条件； (B) (B)必要条件；必要条件； (C)(C)充要条件；充要条件； (D) (D)既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 . .5 5、设、设a为非

22、零常数为非零常数, ,则当则当( )( )时时, ,级数级数 1nnra收敛收敛 . . (A) (A)1 r； (B) (B)1 r； (C) (C)ar ； (D) (D)1 r. .6 6、幂级数、幂级数 11)1()1(nnnnx的收敛区间是的收敛区间是( ).( ). (A) (A) )2 , 0(； (B) (B) )2 , 0； (C) (C) 2 , 0(； (D) (D) 2 , 0. .7 7、若幂级、若幂级 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为:1R 10R; ; 0nnnxb的收敛半径为的收敛半径为:2R 20R, ,则幂级数则幂级数 0)(nnnnxba的收敛半径至少为的收