第一节频率特性的基本概念(第讲)

1、2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering1自动控制原理自动控制原理 （第（第 16 讲）讲） 5. 5. 线性系统的频域分析与校正线性系统的频域分析与校正 5.1 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 5.2 5.2 幅相频率特性（幅相频率特性（NyquistNyquist图）图） 5.3 5.3 对数频率特性（对数频率特性（BodeBode图）图） 5.4 5.4 频域稳定判据频域稳定判据 5.5 5.5 稳定裕度稳定裕度 5.6 5.6 利用开环频率特性分析系统的性能利用开环频率特性分析系统的性能 5.7

2、5.7 闭环频率特性闭环频率特性2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering2自动控制原理自动控制原理 5. 5. 线性系统的频域分析与校正线性系统的频域分析与校正5.1 5.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念 2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering3 考察一个系统的好坏，通常用阶跃输入下系统的阶跃响应来分析系统的动态性能和稳态性能。 有时也用正弦波输入时系统的响应来分析，但这种响应并不是单看某一个频率正弦波输入时的瞬态响应，而是考察频率由

3、低到高无数个正弦波输入下所对应的每个输出的稳态响应。因此，这种响应也叫频率响应。 频率响应尽管不如阶跃响应那样直观，但同样间接地表示了系统的特性。频率响应法是分析和设计系统的一个既方便又有效的工具。2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering4tsinA) t (rr 频率特性的概念频率特性的概念设系统结构如图，设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个给系统输入一个幅值不变幅值不变频率频率不断增大不断增大的正弦，的正弦，Ar=1 =0.5=1=2=2.5=440不不结论结论给给稳定稳定的系

4、统输入一个正弦，其的系统输入一个正弦，其稳态输出稳态输出是与输入是与输入同频率同频率的正弦，幅值随的正弦，幅值随而而变变，相角，相角也是也是的函数。的函数。输入输入输出输出输入输入输出输出决然不同的输入，决然不同的输入，为什么为什么尽会得到如此相似的输出尽会得到如此相似的输出! !？2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering5一、频率特性的定义： 系统的频率响应定义为系统在正弦作用下稳态响应的振幅、相位与所加正弦作用的频率之间的依赖关系。 对于一般的线性定常系统，系统的输入和输出分别为r(t)和c(t)，系统的传递函数为

5、G(s)。).()()()()()(21npspspssNsRsCsG式中， 为极点。njpj,.,2 , 1,若：)()(,sin)(22jsjsRsRsRtRtrmmm则则：jskjskpskpskpskjsjsRpspspssNpspspssRsNsCccnnmnn2122112121.)().()()().()()()()(2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering6拉氏反变换为：tjctjctpntptpekekekekektcn2121.)(21若系统稳定，则极点都在s左半平面。当 ，即稳态时：0,.,0,

6、021tptptpneeettjctjcsekektc21)(式中， 分别为：21,cckkjjGRjsjsjsRsGjssCkjjGRjsjsjsRsGjssCkmjsmjscmjsmjsc2)()()()(| )(2)()()()(| )(212022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering7而)()()()()(| )(| )()()(| )(| )()(jjGjjsjjGjjseAejGsGjGeAejGsGjG)(2)(1)(2,)(2jmcjmceAjRkeAjRk)(sin()(sin()(2)()()()(21

7、tCtRAjeeRAekektcmmtjtjmtjctjcs式中：Rm 、Cm分别为输入输出信号的幅值。上述分析表明，对于稳定的线性定常系统，加入一个正弦信号，它的稳态响应是一个与输入同频率的正弦信号，稳态响应稳态响应与输入不同之处仅在于幅值和相位。其幅值放大了 倍，相位移动了 。 和 都是频率的函数。| )(|)(jGA)()(jG)(A)(2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering8频率特性的推导频率特性的推导时时输输出出为为：设设系系统统稳稳定定，输输入入tsinA) t (rr )()()(sRsGsC2211*

8、)()(sAsszskrniimjjG)()(jsjsAsGr n1i21iijsBjsBssa n1in1itsiii1ieassaL0elimtsti 系统稳定，系统稳定， jsBjsB) s (C21s)(2)()(2)(jsjAjGjsjAjGrrniimjjGsjzjkjG11*)()()(niimjjGsjzjkjG11*)()()()()(jGjG)()(jGjGjejGejGAtctjtjrs2)()()(jeeeeAjGtctjjGjtjjGjrss2)()()()()(sin()()(jGtAjGtcrss2022年6月11日星期六Sichuan University of

9、 Science and Engineering9)j ( )j ( 几点说明几点说明(补充补充) ,) s (R) s (C) s ( ) t (c,ss则则若系统稳定若系统稳定 )j ()j ( )j ( )j ( ) t (c,ss则则若系统稳定若系统稳定)j ( sinAro25t tsinAr ) t (r)25tsin(Aor ) t ( rtsinAr ej ) t (c,ss则则若系统稳定若系统稳定 ) t (r)10tcos(Aor )j ( )j ( cosAro10t 输出幅值与输入幅值输出幅值与输入幅值之比之比为为幅频幅频特性特性称为称为频率特性频率特性)j ( 输出相

10、角与输入相角输出相角与输入相角之差之差)j ( 为为相频相频特性特性 )( )(A)j ( )j ()j ( ej, ,当系统稳定时当系统稳定时 ) t (c) t ( r) t (essss或或tsinAr ) t ( r若若tsinAr ) t (ess则则tsinAr )j (er )( jer)j ( )j ( tsinAr 友友情情提提醒醒) s (sElim) t (e0sss 千万别用千万别用为为谐谐波波信信号号时时，) t (r)j (tcosA)j () t (ccnncnssn 则则, tcosA) t (nn 若若 ) t (essn而而)j (tcosA)j (cnnc

11、n E(s)R(s) ) s (er,1s1) s ( 若若, tcos) t (r ,e707. 0)135( jo )135tcos(707. 0) t (coss 友友情情提提醒醒耶耶！ ) t (css )1 j (则则单单位位反反馈馈时时2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering105.1 频率特性的基本概念例例 系统结构图如图所示系统结构图如图所示, r(t)=3sin(2 2t+30), 求求 cs(t), es(t)。11)( ss解解. .511111)(22jj4 .63arctan)(2j53)(

12、tcs 4 .33304 .63)(tcs)4 .332sin(53)( ttcs1)( ssse5211)(22jjje6 .264 .6390arctan90)(2je56)( tes 6 .56306 .26)(tes)6 .562sin(56)( ttes2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering11频率高低与频率高低与输出幅度输出幅度的关系的关系=0.5=1.2b=2=5b=10=30ts=3T=0.3sts=3T=1.5s时间常数时间常数越小越小,复现性越好复现性越好！结论结论2022年6月11日星期六Sic

13、huan University of Science and Engineering12定义稳态响应与正弦输入信号的相位差 为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性； )()(jG| )(|)(jGARCmm定义稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比 为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性； 幅频特性和相频特性可在复平面上构成一个完整的向量 ，它也是 的函数。 称为频率特性。),(jG)()()(jeAjG)(jG这里 和 分别称为系统的实频特性和虚频特性。 还可将 写成复数形式，即 )(jG)()()(jQPjG)(Re)(jGP)(Im)(

14、jGQ2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering13由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域法在数学上是等价的。 频率特性与传递函数的关系为：jssGjG| )()( 幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：)(cos)()( AP)(sin)()( AQ)()()(22QPAniimjjptgztgPQtg11111)()()()()()()()(jQPjGjnmepjzjkjG)(2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Enginee

15、ring14结论：当传递函数中的复变量s用 代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。j 到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数、脉冲响应函数和频率特性。它们之间的关系如下：微分方程频率特性传递函数脉冲函数jsdtdsdtdj )( tgL)(1sGL2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering15 从另一方面，若线性系统在正弦信号输入作用下，在稳态情况下，输入输出都是正弦函数，可用矢量表示：)()()()()()(,)(jjmmjmjmeAeRCjRjCeCjCeRjRxyyx可见，

16、频率特性就是输出、输入正弦函数用矢量表示时之比。表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正弦信号之间的数学关系。是频率域中的数学模型。2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering16例子：设传递函数为：431)()()(2sssxsysG微分方程为：)()(4)(3)(,431)()(2222txtydttdydttyddtddtdtxty频率特性为：4)( 3)(1)()()(2jjjxjyjG其余略。2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering17 频

17、率响应法的优点之一在于它可以通过实验量测来获得，而不必推导系统的传递函数。 事实上，当传递函数的解析式难以用推导方法求得时，常用的方法是利用对该系统频率特性测试曲线的拟合来得出传递函数模型。 此外，在验证推导出的传递函数的正确性时，也往往用它所对应的频率特性同测试结果相比较来判断。 频率响应法的优点之二在于它可以用图来表示，这在控制系统的分析和设计中有非常重要的作用。2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering18 频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应

18、cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律性并不依赖于系统的稳定性。因此可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频率特性，但根据式由传递函数还是可以得到其频率特性。jssGjG| )()(2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering19 频率特性可以写成复数形式： ，也可以写成指数形式： 。其中， 为实频特性， 为虚频特性； 为幅频特性， 为相频

19、特性。)()()(jQPjG)(| )(|)(jGjGjG)(P)(Q| )(|jG)(jG 在控制工程中，频率分析法常常是用图解法进行分析和设计的，因此有必要介绍常用的频率特性的三种图解表示。q 极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线）q 对数频率特性曲线（又称波德图）q 对数幅相特性曲线（又称尼柯尔斯图）二、频率特性的表示方法：2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering200)(P)(Q)()(A11)(2ssssG一、极坐标频率特性曲线（又称奈魁斯特曲线） 它是在复平面上用一条曲线表示 由 时的频率特性。即用矢量 的

20、端点轨迹形成的图形。 是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。0)(jG由于 是偶函数，所以当 从 和 变化时，奈魁斯特曲线对称于实轴。| )(|jG00根据上面的说明，可知：频率特性曲线是S平面上变量s沿正虚轴变化时在G(s)平面上的映射。2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering21二、对数频率特性曲线（又称波德图） 它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度：q 横坐标分度：它是以频率 的对数值 进行分度的。所以横坐标（称为频率轴）上

21、每一线性单位表示频率的十倍变化，称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：logDecDecDecDec12012.log0.0100.1110100由于 以对数分度，所以零频率线在 处。2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering22q 纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以 或 表示。其单位分别为贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将 或 值标注在纵坐标上。 )(logA)(log20A)(logA)(log20A 相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。 一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个

22、横坐标（频率轴）。 当幅制特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：)log(20幅值增益 20151086420增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值)(A二、对数频率特性曲线（又称波德图）2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering23优点： 可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。 可以将乘法运算转化为加法运算。纵坐标是以 所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐进线）近似表示。 对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。)(log20wA二、对数频率特性曲线（又称波德图）2022年6月11日星期六Sichuan University of Science and Engineering24对数坐标系对数坐标系横轴没有零横轴没有零从左到右从稀到密从左到右从稀到密一个单位长度中一个单位长度中粗线上粗线上一个单位长度一个单位长度每扩大十倍横轴就增加每扩大十倍横轴就增加标值标值刻度以刻度以以以关于