最新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.4解直角三角形

1、2014.122014.12第四节第四节 解直角三角形解直角三角形bABCac北师大版九年级数学下册北师大版九年级数学下册2014.122014.12事实上，在直角三角形的六个元素中，除直事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素元素ABabcC解直角三角形解直角三角形: :在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程在解直角三角

2、形的过程中，一般要用到下面一些关系：在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：解直角三角形解直角三角形2014.122014.123.边角之间的关系边角之间的关系caAAsin 斜边斜边的对边的对边cbBBsin 斜边斜边的对边的对边cbAAcos 斜边斜边的邻边的邻边caBBcos 斜边斜边的邻边的邻边baAAAtan 的邻边的邻边的对边的对边abBBBtan 的邻边的邻边的对边的对边ABabcC在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：2.直角三角形两锐角的关系直角三角形两锐角的关系:两锐角互余两锐角互余 A+ B=900.1.直

3、角三角形三边的关系直角三角形三边的关系: 勾股定理勾股定理 a2+b2=c2.4.互余两角互余两角之间的三角函数关系之间的三角函数关系:sinA=cosB. tanAtanB=15.同角同角之间的三角函数关系之间的三角函数关系:sin2A+cos2A=1.AcosAsinAtan 2014.122014.12特殊角的三角函数值表特殊角的三角函数值表三角函数三角函数锐角锐角正弦正弦sin余弦余弦cos正切正切tan30045060021233322221232132014.122014.12在直角在直角ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其

4、他元素吗？角形的其他元素吗？由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做素的过程，叫做解直角三角形解直角三角形。做做一一做做ABabcC2014.122014.12在直角在直角ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？三角形的其他元素吗？在直角三角形的在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，这个三角形的所有元素就可以确定下来。条边和第三个元素，这个三角形的所有元素就可以确定下来。ABabcC2014.122014

5、.12随堂练习随堂练习在在RtABC中，中，C=90，根据下列条件求出直角三角形，根据下列条件求出直角三角形的其他几个元素（角精确到的其他几个元素（角精确到1）（1）已知）已知b=10， B=60（2）已知）已知c=20， A=603320, 3310,301caA）（10, 310,302baB）（2014.122014.12知识技能知识技能45,45,191BAb）（60,30,212)2(BAc2014.122014.123.3.如图如图, ,工件上有一工件上有一V V型槽型槽, ,测得它的上口宽测得它的上口宽20mm,20mm,深深19.19.2mm.2mm.求求V V型角型角(ACB

6、)(ACB)的大小的大小( (结果精确到结果精确到1 10 0 ).).问题解决问题解决2014.122014.12问题：问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角地面所成的角a一般要满足一般要满足50a75.现有一个长现有一个长6m的梯子，的梯子，问：问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到墙（精确到0.1m）（2）当梯子底端距离墙面）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地时，梯子与地面所成的角面所成的角a等于多少（精确到等于多少（精确到1）？这时人）？这时人是否能

7、够安全使用这个梯子？是否能够安全使用这个梯子？这样的问题怎么解决这样的问题怎么解决问题解决问题解决4ABC解：如图，在解：如图，在Rt ABC中，中，C=90 (1)由题可知，当由题可知，当A75，对边，对边BC的长度就攀上的长度就攀上的最高高度。的最高高度。 sinA= BCAB BC=ABsinA=6sin7560.975.8 使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m 2014.122014.12问题：问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角地面所成的角a一般

8、要满足一般要满足50a75.现有一个长现有一个长6m的梯子，的梯子，问：问：（1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到墙（精确到0.1m）（2）当梯子底端距离墙面）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地时，梯子与地面所成的角面所成的角a等于多少（精确到等于多少（精确到1）？这时人）？这时人是否能够安全使用这个梯子？是否能够安全使用这个梯子？这样的问题怎么解决这样的问题怎么解决问题解决问题解决4ABC解：解： (2)由题可知，当由题可知，当 AC2.4m，AB=6m。 cosA= ACAB = 2.46 =4 由计算器可得由计算器可得 66 梯子与地面

9、所在的角大约是梯子与地面所在的角大约是 66 由由 要满足要满足 50a75可知， 这时梯子是安全的。可知， 这时梯子是安全的。 2014.122014.12 解决有关比萨斜塔倾斜的问题解决有关比萨斜塔倾斜的问题 设塔顶中心点为设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在（如图），在RtABC中，中，C90，BC5.2m，AB54.5mABCABC解：如图，在解：如图，在 Rt ABC 中，中，C=90 sinA= BCAB = 5.254.5 0.0954 A528 20

10、14.122014.121.（2014四川自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小四川自贡）如图，某学校新建了一座吴玉章雕塑，小林站在距离雕塑林站在距离雕塑 2.7 米的米的 A 处自处自 B 点看雕塑头顶点看雕塑头顶 D 的仰角为的仰角为45，看雕塑底部，看雕塑底部 C 的仰角为的仰角为 30，求塑像，求塑像 CD 的高度 （最后结的高度 （最后结果精确到果精确到 0.1 米，参考数据：米，参考数据： 31.7） 中考链接中考链接解：解：由由题题可可知知，BE=2.7 米米 在在 RtDEB 中，中，DEB=90 DE=BEtan45=2.7 米，米， 在在 RtCEB 中，中，CEB=9

11、0 CE=BEtan30=0.9 3米，米， 则则 CD=DECE=2.70.9 31.2 米米 故塑像故塑像 CD 的高度大约为的高度大约为 1.2 米米 2014.122014.122.（2014珠海）如图，一艘渔船位于小岛珠海）如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东的北偏东 45方向、距方向、距离小岛离小岛 180 海里的海里的 A 处，渔船从处，渔船从 A 处沿正南方向航行一段距离后，处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东到达位于小岛南偏东 60方向的方向的 B 处处 （1）求渔船从）求渔船从 A 到到 B 的航行过程中与小岛的航行过程中与小岛 M 之间的最小距离（结之间的最小距

12、离（结果用根号表示） ；果用根号表示） ； 中考链接中考链接解： （解： （1）过点）过点 M 作作 MDAB 于点于点 D， AME=45，AMD=MAD=45， AM=180 海里，海里， MD=AMcos45=90 2（海里） ，（海里） ， 答：渔船从答：渔船从 A 到到 B 的航行过程中与小岛的航行过程中与小岛 M之间的最小距离是之间的最小距离是 90 2海里。海里。 D A B 2014.122014.122.（2014珠海）如图，一艘渔船位于小岛珠海）如图，一艘渔船位于小岛 M 的北偏东的北偏东 45方向、距方向、距离小岛离小岛 180 海里的海里的 A 处，渔船从处，渔船从 A

13、 处沿正南方向航行一段距离后，处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东到达位于小岛南偏东 60方向的方向的 B 处处 （2）若渔船以）若渔船以 20 海里海里/小时的速度从小时的速度从 B 沿沿 BM 方向行驶，求渔船方向行驶，求渔船从从 B 到达小岛到达小岛 M 的航行时间（结果精确到的航行时间（结果精确到 0.1 小时） （参考数据：小时） （参考数据：21.41， 31.73， 62.45） 中考链接中考链接解： （解： （2）在）在 RtDMB 中，中，ADM=90 BMF=60，DMB=30， MD=90 2海里，海里，MB= MD cos30 =60 6， 渔船从渔船从 B

14、到达小岛到达小岛 M 的航行时间的航行时间为为 60 620=3 6=32.45=7.357.4（小时） ，（小时） ， 答：渔船从答：渔船从 B 到达小岛到达小岛 M 的航行时间约为的航行时间约为 7.4小时小时 D A B 2014.122014.12 3 如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中， AB=2，CD=1， A= 60， D= B= 90，求此四边形求此四边形ABCD的面积。的面积。ACDB2601A2014.122014.12ABCDE260132BE3DE323312132221CDEABEABCDSSS四边形ABBEA tanDECDE tan2014.122014.

15、12的长，求线的平分，中，如图，在BCABADAACCABCRt34690. 2BACD34612233461cos0301030B12sinBACAB补充习题补充习题2014.122014.12的长，求的面积为，边上一点，为中，在ABACDCDADBDBCDABC33012146ABCDE，的延长线于，交解：如图，作ECBCBAE 12, 33021CDAECDSACD又35AE，中，在14ADADERt11)35(142222AEADED5611BDEDBE105)35(2222EBAEABABERt中，在614123552014.122014.12的长，求的面积为，边上一点，为中，在AB

16、ACDCDADBDBCDABC33012146ECBAE于点解：如图，作12, 33021CDAECDSACD又35AE，中，在14ADADERt11)35(142222AEADED17611BDEDBE91217)35(2222EBAEABABERt中，在ABCDE6141235112014.122014.12ABC例例3 .如图，如图，ABC中，中， B=45， C=30， AB=2，求，求AC的长的长.解：过A作ADBC于D， 在Rt ABD中,B=45,AB=2，2222D45302AD= sinB =ABAD在RtACD中，C=30ABsinB=2sin45=2AC=2AD=2220

17、14.122014.12 如图，在小岛上有一观如图，在小岛上有一观察察站站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏北偏西西45450 0的方向，灯塔的方向，灯塔C C在在B B正东方向，且相距正东方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察与观察站站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C处在观察站处在观察站A A的什么方向？的什么方向？解：过点解：过点C C作作CD AB,CD AB,垂足为垂足为D D北A A B BC CD D21052210F灯塔灯塔B在观察站在观察站A北偏西北偏西45的方向的方向 B=45sinB =CBCDCD

18、=BCsinB=10sin45=10 =22在在RtDAC中，中， sin DAC=ACCD2102521 DAC=30CAF=BAF -DAC=45-30=154545灯塔灯塔C处在观察站处在观察站A的北偏西的北偏西15的方向的方向252014.122014.12 如图，在小岛上有一观察站如图，在小岛上有一观察站A.A.据测，灯塔据测，灯塔B B在观察站在观察站A A北偏北偏西西45450 0的方向，灯塔的方向，灯塔C C在在B B正东方向，且相距正东方向，且相距1010海里，灯塔海里，灯塔C C与观察与观察站站A A相距相距10 10 海里，请你测算灯塔海里，请你测算灯塔C C处在观察站处

19、在观察站A A的什么方向？的什么方向？北A BC解：过点解：过点A A作作AEBCAEBC，垂足为，垂足为E,E,E21021010设CE=x在在RtRtBAEBAE中，中，BAE=45BAE=45AE=BE=10+xAE=BE=10+x在在RtRtCAECAE中，中，AEAE2 2+CE+CE2 2=AC=AC2 2x2+(10+x)2=(10)22即：x2+10 x-50=0355, 35521xx(舍去)355灯塔灯塔C C处在观察站处在观察站A A的北偏西的北偏西1515 的方向的方向sin CAE=ACCE210355CAE15452014.122014.124.（2014扬州）如图

20、，在四边形扬州）如图，在四边形 ABCD 中，中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60，点，点 M、N 分别在分别在 AB、AD 边上，若边上，若 AM：MB=AN：ND=1：2，则，则 tanMCN=（ ） A. 3 313 B.2 511 C. 2 39 D. 52 A E 中考链接中考链接O 242014.122014.12w例例1 如图如图:在在RtABC中中,B=900,AC=200,sinA=0.6.w求求:BC的长的长. 例题欣赏例题欣赏请你求出请你求出cosA,tanA,sinC,cosC和和tanC的值的值.200ACBw解解:在在RtABC中中, B=900ACBCAsin .1206 . 0200AsinACBC 1201602014.122014.12A 中考链接中考链接B 2014.122014.12D 图3中考链接中考链接D E 2014.122014.12A 中考链接中考链接ABC2014.122014.12D E 中考链接中考链接532014.122014.122中考链接中考链接解解：四边形四边形 ABCD 是菱形，是菱形，AD=AB， cosA=35 ，BE=4，DEAB， 设设 AD=AB=5x，AE=3x， 则则 5x3x=4，x=2，即