必修四21向量的基本概念

1、情境情境 速度是既有大小又有方向的量速度是既有大小又有方向的量结论：猫的速度再结论：猫的速度再快快也没用，因为也没用，因为方向方向错了。错了。 50ms10ms傻傻猫猫 （1 1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量）定义：既有大小又有方向的量叫做向量. . 一一 相关概念相关概念 有向线段有向线段带有方向的线段带有方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长度有向线段的三要素：起点、方向、长度 AB 以以A A为起点、为起点、B B为终点的有向线段记作为终点的有向线段记作 AB（2）表示方法：）表示方法： 几何表示法：几何表示法：用有向线段表示用有向线段表示代数表示法：代数表示法： 用用 、 、

2、 等小写字母表示；或用表示有等小写字母表示；或用表示有向线段的起点和终点字母表示，如向线段的起点和终点字母表示，如 .ABabc （3 3）模的概念：）模的概念： 向量向量 的大小即叫做向量的大小即叫做向量 的长度（或称模）的长度（或称模） ABAB记作：记作：| | AB例：力、位移、速度等例：力、位移、速度等 数量数量只有大小，是一个代数量，可代数运算、只有大小，是一个代数量，可代数运算、 可比较大小；可比较大小； 向量向量有方向、大小双重性，可代数运算，有方向、大小双重性，可代数运算， 不能比较大小，但模能比较大小。不能比较大小，但模能比较大小。 数量与向量的区别：数量与向量的区别：向量

3、与有向线段的区别与联系：向量与有向线段的区别与联系：数学中的数学中的向量向量是是自由向量自由向量，只有大小与方向两个要，只有大小与方向两个要素。与起点无关。只要大小和方向相同，则这两个素。与起点无关。只要大小和方向相同，则这两个向量就相同。向量就相同。有向线段有向线段有起点，大小和方向三个要素。起点不同，有起点，大小和方向三个要素。起点不同，尽管大小与方向相同，也是不同的有向线段。尽管大小与方向相同，也是不同的有向线段。向量可以用有向线段来表示。向量可以用有向线段来表示。区别区别联系联系两个特殊向量两个特殊向量1.1.零向量零向量: :长度（模）为长度（模）为0 0的向量，记作：的向量，记作：

4、 0规定：规定： 的方向在平面内是任意的。的方向在平面内是任意的。0在实际问题中单位向量的方向由题给定或做题者依题自定在实际问题中单位向量的方向由题给定或做题者依题自定2.单位向量单位向量:长度（模）为长度（模）为1个单位长度的向个单位长度的向 量叫做单位向量。量叫做单位向量。二二 向量的关系向量的关系规定：零向量与任一向量平行规定：零向量与任一向量平行记作： / / /abc1.平行向量平行向量：方向相同或相反的：方向相同或相反的非零非零向量叫做平向量叫做平行向量。如下图：行向量。如下图： 平行平行cba,abc零向量与零向量相等零向量与零向量相等2.2.相等向量：相等向量：长度相等长度相等

5、且且方向相同方向相同的向量叫做相的向量叫做相等向量。等向量。向量向量 与与 相等，记相等，记：abba 任两相等的非零向量都可用同一有向线段任两相等的非零向量都可用同一有向线段表示，与起点无关。表示，与起点无关。一切向量都可以在一切向量都可以在不改变它大小和方向不改变它大小和方向的的前提下，将它平移到任何位置前提下，将它平移到任何位置。 二二 向量的关系向量的关系 3.3.共线向量共线向量：任一组平行向量都可移到同一任一组平行向量都可移到同一条直线上条直线上 ，所以，所以平行向量也叫共线向量平行向量也叫共线向量。共线向量一定要在同一条直线上吗？共线向量一定要在同一条直线上吗？abcOABcab

6、c一切向量都可以在一切向量都可以在不改变它大小和方向不改变它大小和方向的的前提下，将它平移到任何位置前提下，将它平移到任何位置。例例1：判断下列命题真假或给出问题的答案：判断下列命题真假或给出问题的答案2、不相等的向量一定不平行、不相等的向量一定不平行 1、平行向量一定方向相同、平行向量一定方向相同 3、与零向量相等的向量是什么向量？、与零向量相等的向量是什么向量？4、与任何向量都平行的向量是什么向量？、与任何向量都平行的向量是什么向量？ 5、若两个向量在同一直线，则这两个向量一、若两个向量在同一直线，则这两个向量一 定是什么向量？定是什么向量？ 6、两个非零向量相等的充要条件是什么？、两个非

7、零向量相等的充要条件是什么？ 7、共线向量一定在同一直线上、共线向量一定在同一直线上 零向量零向量零向量零向量平行平行 (共线共线)向量向量 方向同方向同大小等大小等练习练习1 判断下列各组向量是否行？判断下列各组向量是否行？ab ab ABCABC平行平行平行平行平行平行平行平行例例2.如图，设如图，设O是正六边形是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与的中心，分别写出图中与 相等的向量。相等的向量。 OA OB OC 、 、OABCDEFOACBDO ：解解OBDCEO OCABEDFO abcd e例例3.如图，某人想要从点如图，某人想要从点A出发绕阴影部分走一圈，他可按图中出发绕阴

8、影部分走一圈，他可按图中提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为提供的向量行走，则将这些向量按顺序排列为 。ABCDE, , , ,a e d c b （1）下列各量中是向量的是（）下列各量中是向量的是（ ） A动能动能 B加速度加速度 C质量质量 D长度长度练习练习2（2）物理学中的作用力和反作用力）物理学中的作用力和反作用力B是模是模_且方向且方向_的共线的共线向量向量 相等相等相反相反 bacbcacacbbaDCABABCDbaba/,/,/5;,4,32,1. 4则若则若；则四边形是平行四边形中，若四边形同；们的起点相同，终点相若两个向量相等，则它则？判断下列命题是否正确例 ABCD

9、EFO123OABCDEFFEFEOABC 例5.已知 为正六边形的中心，在图中所标出的向量中：（）试找出与共线的向量；（ ）确定与相等的向量；（ ） 与相等吗？1,(2)(3)OA BCBC 解：（）因为方向相反，所以不相等.45,ABABAB 例6.在达到方格中有一个向量以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个？AB相等的有相等的有7个个长度相等长度相等的有的有15个个练习练习3 1.下列情形中,向量终点构成什么图形?(1)把所有单位向量移到同一个起点;(2)把平行于某一直线的所有单位向量平移到同一起点;(3)把平行于一直线的一切向量平移到同一起点;单位圆长为2的线段的两个端点一条直线ABCDACBDPFADBCEFPABEF /BCAD BDAC PFPE PFEP ED 2. 等腰梯形等腰梯形 中，对角线中，对角线 与与 相交于点相交于点 ，点，点 、 分别在两腰分别在两腰 、 上，上， 过点过点 且且 ，则下列等式，则下列等式 正确的是（正确的是（ ） A B C D ABDCPEF 3. 已知a、b是任意两个向量,下列条件: a=