第23章衍射2光栅衍射

1、第23章衍射2光栅衍射2广义地广义地, ,任何具有空间周期性的结构任何具有空间周期性的结构, ,都可作为光栅都可作为光栅. .分类分类:透射光栅、反射光栅、阶跃光栅、全息光栅透射光栅、反射光栅、阶跃光栅、全息光栅作用作用:色散色散(分光分光),光谱分析研究光谱分析研究.2.光栅衍射图样的形成光栅衍射图样的形成 光栅衍射图样是由来自每一个单缝上许多子波以及来光栅衍射图样是由来自每一个单缝上许多子波以及来自各单缝对应的子波相干叠加而形成。因此，它是单缝衍自各单缝对应的子波相干叠加而形成。因此，它是单缝衍射和多缝干涉的总效果。射和多缝干涉的总效果。3 光栅衍射图样的形成光栅衍射图样的形成1) 单缝的

2、夫琅和费衍射单缝的夫琅和费衍射图样与缝在垂直于透镜图样与缝在垂直于透镜 L的光轴方向上的位置无关的光轴方向上的位置无关。衍射角相同的光线，衍射角相同的光线，会聚在接收屏的相会聚在接收屏的相同位置上。同位置上。OaOa换句话说，换句话说，单缝的夫琅和费单缝的夫琅和费衍射图样，不随缝的上下衍射图样，不随缝的上下移动而变化。移动而变化。4ab q qd=a+b q qxf0屏屏衍射角衍射角dsinq q2) 多缝干涉多缝干涉 若干平行的单狭缝所分割的波面具有相同的面积。各若干平行的单狭缝所分割的波面具有相同的面积。各狭缝上的子波波源一一对应，且满足相干条件。狭缝上的子波波源一一对应，且满足相干条件。

3、相邻狭缝对应点在衍射角相邻狭缝对应点在衍射角 q q 方向上的光程差满足：方向上的光程差满足：(a+b)sin q q=k k=0,1, 2, 3 则它们相干加强则它们相干加强，形成明条纹。，形成明条纹。狭缝越多，条纹狭缝越多，条纹就越明亮。就越明亮。多缝干涉明条纹也称为主极大明条纹多缝干涉明条纹也称为主极大明条纹5相邻两缝对应子波，到达屏上的相位差相邻两缝对应子波，到达屏上的相位差=2/（a+b)sinq=2k , k=0,1, 2第第k级级主极大明条纹，对应的相邻两振幅矢量相位差主极大明条纹，对应的相邻两振幅矢量相位差 为：为： k=2k 。同理同理,第第k+1级级主极大对应主极大对应 k

4、+1=2(k+1) 在在 k k+1这种情况下，这种情况下，N个狭缝对应的合成振幅个狭缝对应的合成振幅矢量矢量 Ai 的变化，用的变化，用 N=6为例来说明：为例来说明：A1A2A3A4A5A6332343526所以，在第所以，在第k 级主极大明条纹与第级主极大明条纹与第k+1级级主极大明条纹间主极大明条纹间有（有（N-1)个暗条纹，它们对应的相位差和光程差分别为：个暗条纹，它们对应的相位差和光程差分别为：(a+b)sinq=k /N, k=1, 2 (N-1) (N+1), (N+2), 在相邻暗条纹之间必定有明纹，称为次极大。相邻在相邻暗条纹之间必定有明纹，称为次极大。相邻主极大之间有主极

5、大之间有(N-2)个次极大。个次极大。当当N 很大时，在主极大很大时，在主极大明条纹之间实际上形成明条纹之间实际上形成一片相当宽阔的暗背底。一片相当宽阔的暗背底。 N=2N=6=2 / （a+b)sinq q=k2 /N, k =1, 273)综合综合光栅衍射图样是由光栅衍射图样是由来自每一个单缝上来自每一个单缝上许多子波以及来自许多子波以及来自各单缝对应的子波各单缝对应的子波相干叠加而形成。相干叠加而形成。因此，它是单缝衍因此，它是单缝衍射和多缝干涉的总射和多缝干涉的总效果。效果。也即，光栅衍射图样是多光束干涉光强分布受单缝衍也即，光栅衍射图样是多光束干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制的结果

6、。射光强分布调制的结果。8 衍射角满足主极大的条件衍射角满足主极大的条件,称为称为光栅方程光栅方程. .垂直入射时垂直入射时:(a+b)sin q=k k=0,1, 2, 3 二二. .光栅方程光栅方程ab q qd=a+b q qxf0屏屏G(光栅光栅)衍射角衍射角dsinq q9xf0A.BC.问：若斜入射，则如何？问：若斜入射，则如何？(见教材见教材P50例例23.6)10k=k=1, 1, 2,2, # 缺极时衍射角同时满足：缺极时衍射角同时满足：a sin q=k (a+b) sin q=k 即缺极即缺极条件：条件：k 就是所缺的级次就是所缺的级次.三三.缺级现象及其条件缺级现象及其

7、条件 主极大位置由于同时满主极大位置由于同时满足衍射极小而使该处光强为足衍射极小而使该处光强为零的现象零的现象,叫做缺级叫做缺级.kabak11k=1k=2k=0k=4k=5k=-1k=-2k=-4k=-5k=3k=-3k=6以此类推级主极大缺时级主极大缺时则若.6231, 3，k，kadk=-6缺级：缺级：k=3, 6, 9,.缺级缺级光栅衍射光栅衍射第三级极第三级极大值位置大值位置单缝衍射单缝衍射第一级极第一级极小值位置小值位置12四四. 对光栅衍射图样的几点讨论对光栅衍射图样的几点讨论条纹特点条纹特点:细锐、明亮细锐、明亮. 光谱线光谱线. ( I正比于正比于N2;(N-1)个极小个极小

8、,(N-2)个次极大个次极大.)光栅光谱光栅光谱按波长排列的谱线按波长排列的谱线. 复色光入射复色光入射,不同波长的主极大的角位置不同不同波长的主极大的角位置不同;每一每一k级都有级都有一组一组.(无零级无零级.)光谱的重叠光谱的重叠:当两波长的当两波长的光同时满足：光同时满足：22sin)(qkba11sin)(qkba在该衍射方向上两波在该衍射方向上两波长对应的长对应的 和和 级级重叠重叠，称为，称为重级现象重级现象。1k2k13 氢原子、汞原子、氦原子的发射光谱氢原子、汞原子、氦原子的发射光谱14xf015xf016xf017xf0 实验中常采用实验中常采用“缺级缺级”的方法来克的方法来

9、克服重级现象。如服重级现象。如420nm的第三级谱线与的第三级谱线与630nm 的第二级谱线重叠，可用的第二级谱线重叠，可用 的光栅使其第二级谱线缺级，顺利地对的光栅使其第二级谱线缺级，顺利地对420nm的光谱进行测量。也可用滤色片的光谱进行测量。也可用滤色片将将630nm的光滤掉（即吸收），来避免的光滤掉（即吸收），来避免重级。重级。2/ ad18衍射对干涉的影响衍射对干涉的影响以以N=2双缝为例：由双缝为例：由22220sinsinsinNII qsinaqsin)(ba得：得：2220sin)(sinsin)(sinsinqqbabaNII2220sin)(sinsin)(2sinsin

10、qqbabaI192220sin)(sinsin)(cossin)(sin2sinqqqbababaI)sin(cossin42220qdI2220sin)2(cos4 I式中：式中：)sin(22qd20)sin(22qd可知：可知：（1）若）若 a1sin)sinsin(sin, 0qqaaa则有则有)2(cos420 II（2）若）若a 计宽度，则计宽度，则)2(cossin42220 II即：即：干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制。干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制。双缝干涉！双缝干涉！21单缝衍射单缝衍射Iq q/ ()048-4-8 a=14 d = 56 四四缝衍射中干涉条纹的强

11、度为单缝衍射图样所影响缝衍射中干涉条纹的强度为单缝衍射图样所影响.04 -8-48a= d = 50 q q/() 干涉条纹的强度受单缝衍射的影响小干涉条纹的强度受单缝衍射的影响小22本质上：均为波的叠加；干涉本质上：均为波的叠加；干涉有限列波；有限列波； 衍射衍射无限多子波；无限多子波；现象上：均有强度在空间周期性分布；现象上：均有强度在空间周期性分布； 干涉干涉明纹等光强；明纹等光强； 衍射衍射明纹不等光强；明纹不等光强；方法上：干涉方法上：干涉振幅矢量求和；衍射振幅矢量求和；衍射求积分。求积分。干涉与衍射的区别与联系干涉与衍射的区别与联系举例：举例：23例题例题1. 某单色光垂直入射到一

12、每厘米刻有某单色光垂直入射到一每厘米刻有6000条缝的光条缝的光栅上栅上,如果第一级谱线的偏角为如果第一级谱线的偏角为20,试问入射光的波长如何？试问入射光的波长如何？它的笫二级谱线将在何处？它的笫二级谱线将在何处？解解:由光栅方程由光栅方程 q1sinba）（1k得得 nm570再由再由 q2sin2ba）（2k684. 0sin22sin12qqba得得 9432q24例题例题2 使波长为使波长为480nm的单色光垂直入射到每毫米刻有的单色光垂直入射到每毫米刻有250条狭条狭缝的光栅上，光栅常量为一条缝宽的缝的光栅上，光栅常量为一条缝宽的3倍倍.求求:(1)第一级谱线的角位第一级谱线的角位

13、置置;(2)总共可以观察到几条光谱线总共可以观察到几条光谱线?解解:(1)根据光栅方程根据光栅方程 ,取取k=1,q1sinba12. 0)12. 0arcsin()/arcsin(1dq(2)可见可见k的最大可能值对应的最大可能值对应sin=1.3 . 82/sinmaxdkK只能取整数，故取只能取整数，故取k =8，总共可有，总共可有2k+1=17条明纹条明纹.（加（加1是指中央明纹）再考虑缺级是指中央明纹）再考虑缺级,d=3a,故故3,3,6 6将缺级将缺级. .实际实际将观察到将观察到17-4=1317-4=13条光谱线条光谱线. .25解：设紫光波长为解：设紫光波长为=400nm,=

14、400nm,红光波长红光波长=760nm.=760nm.按光栅方程按光栅方程(a+b)sin(a+b)sin=k=k,对第对第k k级光谱，角位置从级光谱，角位置从k到到k ，要产生完整的，要产生完整的光谱，即要求光谱，即要求（短短）的第的第(k+1)(k+1)级条纹在级条纹在（长长）的第的第k k级条级条纹之后（外侧），亦即纹之后（外侧），亦即1kkqq由由qq) 1(sin)(sin)(1kbakbakk例题例题3 利用一个每厘米刻有利用一个每厘米刻有4000条缝的光栅，在白光垂直照射条缝的光栅，在白光垂直照射下，可以产生多少条完整的光谱？问哪一级光谱中的哪个波长的下，可以产生多少条完整的

15、光谱？问哪一级光谱中的哪个波长的光开始与其它谱线重合？光开始与其它谱线重合？26得得bakbak) 1(或或) 1( kk代入数据代入数据) 1(400760kk只有只有k=1才满足上式，即只能产生一级完整光谱，而第二级才满足上式，即只能产生一级完整光谱，而第二级和第三级光谱即有重叠现象出现和第三级光谱即有重叠现象出现.设第二级光谱中波长为设第二级光谱中波长为（长长）的光的光和第三级光谱开始和第三级光谱开始重叠，即与第三级中重叠，即与第三级中（短短）的的紫光开始重叠，则有紫光开始重叠，则有 kk) 1(2k得得nm6004002323 27例例4. 例例23.6 光栅斜入射光栅斜入射 用每毫米

16、刻有用每毫米刻有500500条栅纹的光栅观条栅纹的光栅观察钠光谱线（察钠光谱线（=589.3nm=589.3nm）. .问（问（1 1）平行光垂直入射时；（）平行光垂直入射时；（2 2）平行光线以）平行光线以3030角斜入射时，最多能看到第几级条纹？角斜入射时，最多能看到第几级条纹？总共能看到多少条条纹？总共能看到多少条条纹？解解：（：（1）垂直入射，由光栅方程）垂直入射，由光栅方程(a+b)sin=k得得qsinbak可见可见k的最大可能值对应的最大可能值对应sin=1.按题意，每毫米刻有按题意，每毫米刻有500条条栅纹，所以光栅常量栅纹，所以光栅常量m102mm50016ba将上值及将上值

17、及、sinsin=1=1代入代入k k式，得式，得4 . 3103 .58910296k28K只能取整数，故取只能取整数，故取k =3，即垂直入射时能看到第三级条，即垂直入射时能看到第三级条纹，总共有纹，总共有2k+1=7条明纹条明纹.（加（加1是指中央明纹）是指中央明纹）（2）以）以斜入射时，光程差的计算应作相应的调整斜入射时，光程差的计算应作相应的调整.从图中看出，在衍射角从图中看出，在衍射角方向上，方向上，相邻两缝对应点的衍射光称差相邻两缝对应点的衍射光称差为：为：)sin)(sin(sin)(sin)(qqqqbababaACBD29)sin)(sin(sin)(sin)(qqqqba

18、babaACBD角角、 的正负号规定：的正负号规定：从光栅平面的法线起，逆时针转向光线时的夹角取正值，反之从光栅平面的法线起，逆时针转向光线时的夹角取正值，反之，顺时针转向光线时的夹角取负值，顺时针转向光线时的夹角取负值.由此得斜入射时的光栅方程为由此得斜入射时的光栅方程为qqkba)sin(sin）（同样，同样，k的最大可能值对应的最大可能值对应sin=1.30在在O点上方观察到的最高级次设为点上方观察到的最高级次设为k1，取取=90，得，得70. 1103 .589)5 . 01 (102)30sin90)(sin(961bak在在O点下方观察到的最高级次设为点下方观察到的最高级次设为k2

19、，取取=-90，得，得取取k1=1.09. 5103 .589)5 . 01(102)30sin90)(sin(961bak取取k2=-5.所以斜入射时总共也观察到所以斜入射时总共也观察到7条明纹条明纹.但最高级次为但最高级次为5.31例题例题5. 波长波长600nm的单色光垂直入射在一光栅上的单色光垂直入射在一光栅上,第二级明条第二级明条纹出现在纹出现在sin=0.20处处,第四级缺级第四级缺级,试问试问:(1)光栅上相邻两缝的间距光栅上相邻两缝的间距(a+b)有多大？有多大？(2)光栅上狭缝可能的最小宽度光栅上狭缝可能的最小宽度a有多大？有多大？(3)按上述选定的按上述选定的a、b值值,试

20、问在光屏上可能观察到的全部级数试问在光屏上可能观察到的全部级数是多少？是多少？分析分析:光栅的多光束干涉主极大光强受单缝衍射光强的调制光栅的多光束干涉主极大光强受单缝衍射光强的调制.干涉主极大位置由光栅方程决定干涉主极大位置由光栅方程决定.干涉主极大与衍射极小在位干涉主极大与衍射极小在位置上重合时置上重合时,该级干涉主极大不存在该级干涉主极大不存在,称为缺级称为缺级.因此因此,缺级可根缺级可根据光栅方程和单缝衍射的暗纹条件求得据光栅方程和单缝衍射的暗纹条件求得.解解:(1)由光栅方程由光栅方程 qkbasin得得 cm106sin4qkba32(2)根据缺级条件根据缺级条件,有有 kkaba取

21、取 1 k,得得 cm105 . 144baa(3)由光栅方程由光栅方程 qkbasin.,2,1,0k令令sin=1 ,解得解得: 10bak即即k=0,1 ,2 ,3,5,6 ,7,9 时出现明条纹时出现明条纹;4, 8 ,缺级缺级;10明条纹在明条纹在=90处处,实际不可见实际不可见.光屏上可观察到的全部主极大谱线数有光屏上可观察到的全部主极大谱线数有15条条.33例例22.4 22.4 使单色平行光垂直入射到一个双缝上（可以把它看成使单色平行光垂直入射到一个双缝上（可以把它看成是只有两条缝的光栅），其夫琅和费衍射包线的中央极大宽度是只有两条缝的光栅），其夫琅和费衍射包线的中央极大宽度内

22、恰好有内恰好有1313条干涉明条纹，试问两缝中心的间隔条干涉明条纹，试问两缝中心的间隔 d d与缝宽与缝宽a a应有何应有何关系？关系？例例22.5 22.5 有一四缝光栅如图所示。缝宽为有一四缝光栅如图所示。缝宽为a a ，光栅常数，光栅常数d=2ad=2a。其中其中1 1缝总是开的，而缝总是开的，而2 2，3 3，4 4缝可以开也可以关闭。波长为缝可以开也可以关闭。波长为 的的单色平行光垂直入射光栅单色平行光垂直入射光栅 。试画出下列条件下，夫琅和费衍射。试画出下列条件下，夫琅和费衍射的相对光强分布曲线的相对光强分布曲线 。（1 1）关闭）关闭3 3，4 4缝；（缝；（2 2）关闭）关闭2

23、 2，4 4缝；（缝；（3 3）4 4条缝全开。条缝全开。0IsinIq34oP焦距焦距 f f缝平面缝平面G G观察屏观察屏透镜透镜L d1234（1 1）光栅缝数为）光栅缝数为2 2，d/a = d/a = ，缺级级次，缺级级次k = k = 中中央极大包线内有央极大包线内有 谱线谱线三种情况缝宽三种情况缝宽a不变，所以夫琅和费衍射包线不变。不变，所以夫琅和费衍射包线不变。22，4，6 , ,三条三条（1 1）关闭）关闭3 3，4 4缝缝（2 2）关闭）关闭2 2，4 4缝缝（2 2）光栅缝数为）光栅缝数为2 2，d/a = d/a = ，缺级级次，缺级级次k = k = 中央极大包线内有

24、中央极大包线内有 谱线谱线44, 8，,七条七条（3 3）4 4条缝全开条缝全开（3 3）光栅缝数为）光栅缝数为4 4，d/a = d/a = ，缺级级次，缺级级次k = k = 中央极大包线内有中央极大包线内有 谱线谱线2，4，6 , ,2三条三条（1）和（）和（3）的区别在的区别在哪里？哪里？ 35sinq q0-2-112( /a)sinq q0-2-112( /a)sinq q0-2-112( /a)0II0IId2d3d4d4d2d8dd2d3d4d36作业：作业：P58 13; 14; 15. 3723.6 X 射线衍射射线衍射 布喇格公式布喇格公式1. X 射线射线AK高压高压1

25、895年德国的伦琴发现年德国的伦琴发现X射线。射线。原子内壳层电子跃迁产生的一种辐射和高速电子原子内壳层电子跃迁产生的一种辐射和高速电子在靶上骤然减速时伴随的辐射，称为在靶上骤然减速时伴随的辐射，称为X 射线。射线。其特点是：其特点是：# 在电磁场中不发生偏转；在电磁场中不发生偏转；# 穿透力强；穿透力强；# 波长较短的电磁波；波长较短的电磁波； 范围在范围在0.001nm10nm之间；之间；# 具有化学、生物反应作用。具有化学、生物反应作用。382. X 射线晶体衍射射线晶体衍射 天然晶体可以看作是光栅常数天然晶体可以看作是光栅常数很小的空间三维衍射光栅很小的空间三维衍射光栅。1912年劳厄

26、的实验装置，如图：年劳厄的实验装置，如图：BCP铅版铅版天然天然晶体晶体乳胶板乳胶板在乳胶板上形成对称分布的在乳胶板上形成对称分布的若干衍射斑点，称为劳厄斑。若干衍射斑点，称为劳厄斑。1913年英国物理学家布喇格年英国物理学家布喇格父子提出一种简化了的研究父子提出一种简化了的研究X射线衍射的方法，与劳厄射线衍射的方法，与劳厄理论结果一致。理论结果一致。393. 布喇格公式布喇格公式同一晶面上相邻原子同一晶面上相邻原子散射的光波的光程差散射的光波的光程差为为 AD-BC= 0， 它们它们相干加强。若要在该相干加强。若要在该方向上不同晶面上原方向上不同晶面上原子散射光相干加强，子散射光相干加强，则必须满足：则必须满足：CDMNPAB123dq3 , 2 , 1kkMPNMqkdsin2即当即当 时各层面上的反射光相干加强，形时各层面上的反射光相干加强，形成亮点，称为成亮点，称为 k 级干涉主极大。该式称为布喇格公式