第四章 向量和矩阵范式

1、记笔记记笔记 为了研究线性方程组近似解的误差估计为了研究线性方程组近似解的误差估计和迭代法的收敛性和迭代法的收敛性, 有必要对向量及矩阵的有必要对向量及矩阵的“大小大小”引进某种度量引进某种度量-范数的概念。向量范数的概念。向量范数是用来度量向量长度的范数是用来度量向量长度的,它可以看成是它可以看成是二、三维解析几何中向量长度概念的推广。二、三维解析几何中向量长度概念的推广。用用Rn表示表示n维实向量空间。维实向量空间。记笔记记笔记定义定义4.2 对任一向量对任一向量X Rn, 按照一定规则确定一个实按照一定规则确定一个实数与它对应数与它对应, 该实数记为该实数记为|X|, 若若|X|满足下面

2、三个满足下面三个性质性质:(1) |X| 0；|X|=0当且仅当当且仅当X=0；(2) 对任意实数对任意实数 ， | X|=| | |X|； 对任意向量对任意向量Y Rn，|X+Y| |X|+|Y| 则称该实数则称该实数|X|为向量为向量X的的范数范数记笔记记笔记|max|,.,|,max|)(.|.|X|12121122222121211ininniinniinxxxxXxxxxXxxxx2x 当不需要指明使用哪一种向量范数时，就用记号当不需要指明使用哪一种向量范数时，就用记号|.|泛指任何一种向量范数。泛指任何一种向量范数。 有了向量的范数就可以用它来衡量向量的大小和表示有了向量的范数就可

3、以用它来衡量向量的大小和表示向量的误差。向量的误差。 设设x*为为Ax=b的精确解，的精确解，x为其近似解，则其绝对误差为其近似解，则其绝对误差可表示成可表示成|x- x* |，其相对误差可表示成，其相对误差可表示成的特例范数上述范数都是pnipipxXp11)|(|记笔记记笔记*xxx xxx*或或yxyxyyxyyxxyxyxxxxxxx)()3()2(101:证时，当）（具有以下性质向量范数例例4 4.2 设设x=(1, 0, -1, 2)T, 计算计算 21,xxx解解: =1+0+|-1|+2=41x62) 1(0122222x2)2,1,0 , 1max(x定理定理4.1 4.1

4、对于任意向量对于任意向量x , ,有有证证: : xxppliminixx1maxppinipnipippinixnxxx111111maxmax即即 xnxxpp1当当 p， 11pn xxpplim定义定义4.3 ( 向量序列的极限向量序列的极限 ) 设设 为为 中的中的一向量序列，一向量序列， , 记记 。如果。如果 (i =1,2, n)，则称则称 收敛于向量收敛于向量 ，记为，记为 )(kxnRnRx *Tknkkkxxxx)()(2)(1)(,Tnxxxx*2*1*,*)(limikikxx)(kx*x*)(limxxkk 定理定理4 .2（向量范数的等价性）设（向量范数的等价性）

5、设 为为 上任意两种向量范数上任意两种向量范数, 则存在常数则存在常数C1, C20,使得对任意使得对任意 恒有恒有qpxx,nRnRxpqpxCxxC21（证（证: :略）略） 定理定理7 其中其中 为向量中的任一种范数。为向量中的任一种范数。 *)(limxxkk 0lim*)(xxkk证证 由于由于 *)(limxxkk 0lim*)(xxkk而对于而对于 上的任一种上的任一种 范数范数, 由定理知存在常数由定理知存在常数C1，C2，使，使 nR*)(2*)(*)(1xxCxxxxCkkk于是可得于是可得 0lim0lim*)(*)(xxxxkkkk从而定理得证。从而定理得证。 定义定义

6、4 4.5（矩阵的范数矩阵的范数）如果矩阵）如果矩阵 的某个的某个非负的实值函数非负的实值函数 ，满足，满足 BAABRBABABAAAAAAnn4320001，对任意矩阵三角不等式（齐次性）对任意实数（正定性）时，且仅当nnRAAAN)(则称则称 是是 上的一个矩阵范数上的一个矩阵范数( (或模或模) ) )(ANnnR0maxppxpAxAx矩阵的算子范数定义：矩阵的算子范数定义：xAxAx0max矩阵范数的性质可由向量范数定义直接验证矩阵范数的性质可由向量范数定义直接验证。(1) 设设A0, x0, 使使Ax0, 根据向量范数的性根据向量范数的性 质质 Ax 0, 所以所以xAxAx0m

7、ax0 x0, 使使 Ax =0, 则则=0当当A=0时时, 矩阵范数的性质可由向量范数定义直接验证矩阵范数的性质可由向量范数定义直接验证xAxAx0maxAxAxAxAxxAxAxx00maxmax(2)根据向量范数的性质根据向量范数的性质矩阵范数的性质可由向量范数定义直接验证矩阵范数的性质可由向量范数定义直接验证xBxAxxxBABAxx00max)(max(3)(max0 xAxxAxxBAxBxxAxxx00maxmaxBABA11111max2max8)max(max()(2()0ijnnijinjnijjniTTTTnAaAaAAaAAA AAA AA AfEA A 定 理对 阶

8、方 阵（称 为 的 行 范 数 ）称 为 的 列 范 数 ）称 为 的范 数 ）其 中表 示的 最 大 特 征 值即矩阵范数定义的另一种方法是矩阵范数定义的另一种方法是定义定义4.7（矩阵的谱半径）设（矩阵的谱半径）设 的特征的特征 值为值为 , 称称 为为A的的谱半径。谱半径。例例 4.12 4.12 计算方阵计算方阵 nnRA), 2 , 1(niiiniA1max)(420420001A的三种常用范数的三种常用范数 ), 2 , 1(pAp例例4.12 4.12 计算方阵计算方阵 420420001A的三种范数的三种范数 解解 例例4.12 4.12 计算方阵计算方阵 420420001

9、A的三种范数的三种范数 解解 88 ,4, 1maxmax31311iijjaA66,6,1maxmax3131jijiaA)(max2AAA先计算先计算 3200080001420420001440220001AA所以所以 , ,从而从而 32)(maxAA24322A课本例题4.3定理定理4.8.1 设设A为为n阶方阵阶方阵, 则对任意则对任意矩阵范数矩阵范数都有都有证证: 设设 为为A的特征值，的特征值，x是是 对应于的特征向对应于的特征向 量量,则则 x=Ax。两端取范数并依据其性质。两端取范数并依据其性质 得得AA )(xAAxxx由于由于x0，故，故 ，所以，所以AAA )().(

10、|)( ,任一范数则设特征值上界AARAnn ) )定定理理1 19 9( (.|)( ,2AARAnn则为对称矩阵若 定定理理2 20 0.|11| , , 1|1BBIBIBB且为非奇异阵则满足若方阵 定定理理2 21 14.2 误差分析误差分析4.2.1 方程组的性态方程组的性态 在建立方程组时，其系数往往含有误差在建立方程组时，其系数往往含有误差（如观测误差或计算误差），就是说，所要（如观测误差或计算误差），就是说，所要求解的运算是有扰动的方程组，因此需要研求解的运算是有扰动的方程组，因此需要研究扰动对解的影响。究扰动对解的影响。 例例4 4.13 考察方程组考察方程组 0001. 2

11、0001. 122121xxxx20001.122121xxxx和和 上述两个方程组尽管只是右端项有微小扰动上述两个方程组尽管只是右端项有微小扰动, 但解大不相同但解大不相同, 第第1个方程组的解是个方程组的解是第第2个方程组的解是个方程组的解是 。这类方程组。这类方程组称为病态的。称为病态的。121xx0, 221xx定义定义4.8 A或或b的微小变化的微小变化(又称扰动或摄动又称扰动或摄动)引起方程组引起方程组Ax=b解的巨大变化，则称方程组解的巨大变化，则称方程组为病态方程组，矩阵为病态方程组，矩阵A称为病态矩阵。否则方称为病态矩阵。否则方程组是良态方程组，矩阵程组是良态方程组，矩阵A也

12、是良态矩阵也是良态矩阵 为了定量地刻画方程组为了定量地刻画方程组“病态病态”的程度，的程度，要对方程组要对方程组Ax=b进行讨论，考察进行讨论，考察A（或（或b）微）微小误差对解的影响。为此先引入矩阵条件数的小误差对解的影响。为此先引入矩阵条件数的概念。概念。 定义定义4.9 （矩阵条件数）设（矩阵条件数）设A为非奇异矩阵，为非奇异矩阵，称称 为矩阵为矩阵A条件数。条件数。 1)(AAAcond)()(|)cond( |)cond( |)cond( minmax212211111AAAAAAAAAAAAATT常用的条件数有.,|)cond( n112特征值的绝对值最大和最小的为其中为对称矩阵时

13、当AAAn 条件数的性质：; 1)cond( . 1vAA，都有对任何非奇异矩阵;)cond()cond(0 . 2vvAcAcA ，则非奇异且常数设矩阵;)cond()cond()cond( ; 1)(cond . 32222AARRARAAA为正交矩阵，则为非奇异矩阵，如果为正交矩阵，则如果 我们先来考察常数项我们先来考察常数项b的微小误差对解的影的微小误差对解的影响。设响。设A是精确的是精确的, b有误差有误差 (或扰动或扰动)b, 显然显然,方方程组程组 的解与的解与x有差别有差别, 记为记为即有即有即即 （由设（由设Ax=b0）于是于是 （4.18）又又 Ax=b0，则有，则有 bb

14、xAxxxbbxxA)(bxA)(bAx1xAb bAx1由（由（4 4.18）式及（）式及（4 4.19）式即得如下定理）式即得如下定理 （4.19）或或定理定理 3.12 (b的扰动对解的影响的扰动对解的影响) 设设A非奇异，非奇异， Ax=b0，且，且 则有则有 bbxxA)(bbAAxx1证证: :设设A A精确且非奇异精确且非奇异,b,b有扰动有扰动b,b,使解使解x有扰动有扰动x, 则则 bbxxA)(消去消去Ax=bAx=b，有，有bAx1xAb又又bbAAxx1相比较相比较可得可得 定理定理 3.13 (A3.13 (A的扰动对解的影响的扰动对解的影响) ) 设设A A非奇异，

15、非奇异，Ax=b0Ax=b0，且，且若若 , ,则则 bxxAA)(11AAAAAAAAAAxx111证证 ：略：略我们还可证明更为一般的结论：我们还可证明更为一般的结论： 当方程组的系数矩阵当方程组的系数矩阵A非奇异和常数项非奇异和常数项b为为非零向量时，且同时有扰动非零向量时，且同时有扰动A，b，满，满足足 ，若，若x和和x+x分别是方程组分别是方程组Ax=b 及及 的解的解则则11AAbbxxAA)(bbAAAAAAAAxx111例例4.13 4.13 线性方程组线性方程组 20111121xx的系数矩阵带误差，成为如下方程组的系数矩阵带误差，成为如下方程组 200005.111121xx求方程组系数矩阵的条件数求方程组系数矩阵的条件数, , 并说明方程组的性态并说明方程组的性态 解解 因为因为 1111A0005. 0000A1111211A212)(1AAAcond所以所以 因此方程组是良态的因此方程组是良态的 课本例题课本例题4.44.7.2 精度分析精度分析求得方程组求得方程组Ax=