第四章点和直线的投影

1、HVXOZYW 三投影面体系由三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。三个投影面构成。 H、V、W面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。 HVXZYWOA 点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三点的三面投影图是将空间点向三个投影面作正投影后，将三个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定个投影面展开在同一个面后得到的。展开时，规定V面不动，面不动，H面向下旋转面向下旋转90 ，W面向右旋转面向右旋转90 。a aa Ha

2、aa VWXOZYWYHa aa XOZYWYH通常不画出投影面的范围通常不画出投影面的范围HVXZYWOayaxazxyza aa Ha aa VWXOZYWYHaxayazay3. 点的三面投影与直角坐标的关系点的三面投影与直角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定，点的投影）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系。yAxAzAHVXZYWOay

3、axazxyza aa a aa XOZYWYHaxayazay 点的点的V面投影与面投影与H面投影之间的连线垂直于面投影之间的连线垂直于0X轴，即轴，即aa0X ；点的点的V面投影与面投影与W面投影之间的连线垂直面投影之间的连线垂直0Z轴，即轴，即a a“0Z；点；点的的H面投影到面投影到0X轴的距离及点的轴的距离及点的W面投影到面投影到0Z 轴的距离两者相等轴的距离两者相等，都反映点到，都反映点到V面的距离。面的距离。 长对正长对正 高平齐高平齐 宽相等宽相等OXb bc cHVOXCcca bBb Aaa a 投影面上的点 投影轴上的点 与原点重合的点ZYHXYWOa a aXOZYa

4、a ab b bBA 两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。 XZYWYHOa a ab bb cc(d)da(b)abAB 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。XYHZYWOc(d)ba(b)acda b c d 判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。a a aXZYWYHOb bb 121064.2 直线的投影直线的投影OXZY1 1 直线的三面投影直线的三面

5、投影ABbb a b aa ZXa b aOYYa bb 空间任何一直线可由直线上任意两点所确定，直线在某一投影面的投影可由该直线上某两点的同面投影所确定。2 2 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置 1.1.投影面平行线投影面平行线 平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线平行于某一投影面，与另外两个投影面倾斜的直线 (1)(1) 水平线水平线 (2)(2) 正平线正平线 (3)(3) 侧平线侧平线 2.2.投影面垂直线投影面垂直线 垂直于某一投影面的直线垂直于某一投影面的直线 (1)(1) 铅垂线铅垂线 (2)(2) 正垂线正垂线 (3)(3) 侧垂线侧垂线 3.3.一般位置直

6、线一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线 水平线水平线 平行于水平投影面的直线平行于水平投影面的直线XZYOaababb Xa b ab OzYHYWbaAB投影特性：1. ab OX ; ab OYW 2. ab=AB 3. 反映、 角的真实大小XZYO正平线 平行于正面投影面的直线Xabab baOZYHYWAB 投影特性：投影特性： 1、ab OX ; a b OZ 2、a b =AB 3、反映、反映 、 角的真实大小角的真实大小aababbXZYO侧平线 平行于侧面投影面的直线XZOYHYWa b babaAB投影特性：投影特性： 1、a b OZ ; ab O

7、YH 2、a b =AB 3 、反映、反映 、 角的真实大小角的真实大小aa b a bbOXZYZb Xa ba(b)OYHYWa投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2、 a bOX ; a b OY 3、 a b = a b = AB铅垂线 垂直于水平投影面的直线ABb a(b)a ab正垂线 垂直于正面投影面的直线OXZY投影特性：投影特性： 1、 a b 积聚积聚 成一点成一点 2 、 ab OX ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABABzXab baOYHYWabbababa侧垂线 垂直于侧面投影面的直线OXZYAB投影特性：投影特性： 1、a b

8、积聚积聚 成一点成一点 2 、 ab OYH ; a b OZ 3 、 ab = a b =ABbaababZXabbaOYHYWabOXZY 一般位置直线ABbbabaaZXabaOYHYWabb投影特性：投影特性：1、a b、 a b 、a b 均小于实长均小于实长 2 、a b、a b 、a b 均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 3 、 不反映不反映 、 、 实角实角直线上的点具有两个特性： 1 从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。 2 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。即A C: C B = a

9、 c : c b= ac : cb = ac : c b 利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。 3 3 直线上的点直线上的点ABbbaaXOccCcb Xa abcc 例例3 已知线段已知线段AB的投影图，试将的投影图，试将AB分成分成1：2两段，求分点两段，求分点C的投影。的投影。O 一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投一般位置线段在投影图上反映不出线段的实长及对投影面的倾角。影面的倾角。 1.几何分析几何分析 2.作图要领作图要领 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两

10、端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。 3.直角三角形直角三角形的四个要素的四个要素 实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。四要素中的任意两个，便可确定另外两个。4 一般位置线段的实长及对投影面的倾角一般位置线段的实长及对投影面的倾角|zA-zB |ABABbbaaCXO|zA-zB

11、|XaabbABab|zA-zB|OaXa bAOBb0bb0bb0b b XbaadbbccABCDXbaabdcdc1. 两直线平行OO 空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同同面投影面投影必相互平行，反之亦然。必相互平行，反之亦然。abcdc a b d 例例1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直对于一般位置直线，只要有两个同名线，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CDxb d c a cbadd b a c 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相只有两个同名投影互相平行，空间

12、直线不一定平行，空间直线不一定平行。平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？bXaabkcddckXBDACKbbaaccddkkOO 若空间两直线相交，则其同面投影必相交，若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。且交点的投影必符合空间一点的投影规律。cabb a c d k kd例例3：过：过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影ox思考：如果给出CD的长度，解题过程有何变化？d b a

13、 abcdc1 (2 )3(4 ) 两直线交叉两直线交叉投影特性投影特性： 同面投影可能相交，同面投影可能相交，但但 “交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律一个点的投影规律。 “交点交点”是两直线上是两直线上的一的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮助判断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置。的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。为什么？为什么？123 4 两直线相交吗？两直线相交吗？XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)43341 2 12 判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之

14、不可见，不可见点的投影加括号表示。bbcddcXaa3(4)34121(2)例例7 7 判断两直线重影点的可见性判断两直线重影点的可见性OAHBCacbcXbacba 互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面互相垂直（相交或交叉）的两直线其中一条为投影面平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相平行。平行线时，则两直线在投影面上的投影必定互相平行。 反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其反之，若两直线在某一投影面上的投影成直角，且其中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定平行。中一条直线平行于该投影面时，则空间两直线一定平行。ObbaaOfeefX例例8 8 过点过点A A

15、作作EF EF 线段的垂线线段的垂线ABAB。求点求点E E 到水平线到水平线ABAB的距离。的距离。XOababeeddyD-yE所求距离例例10 作三角形作三角形ABC， ABC为直角，使为直角，使BC在在MN上，且上，且BC AB=2 3。bbcABab|yA-yB|bc=BCcnmaaXmnO 1.1.熟练掌握点在第一分角中的投影规律及点熟练掌握点在第一分角中的投影规律及点的投影与该点直角坐标的关系；掌握两点的相的投影与该点直角坐标的关系；掌握两点的相对位置及重影点可见性的判别。对位置及重影点可见性的判别。 2.2.熟练掌握各种位置直线的投影特性和作熟练掌握各种位置直线的投影特性和作图方法；掌握直线上的点的投