振动波动习题二(1)

1、振动与波动 讨论与辅导 简谐运动定义与判据简谐运动定义与判据 定义：物体运动时，离开平衡位置的位移按定义：物体运动时，离开平衡位置的位移按余弦（或正弦）函数的规律随时间变化的运余弦（或正弦）函数的规律随时间变化的运动。动。 判据判据 动力学判据动力学判据: 受到与对平衡位置的位移成正比受到与对平衡位置的位移成正比而反向的合外力作用。而反向的合外力作用。 能量判据：动能与势能不断相互转化，总能量能量判据：动能与势能不断相互转化，总能量不变。不变。 运动学判据：位置随时间变化符合正弦或余弦运动学判据：位置随时间变化符合正弦或余弦形式。形式。2 简谐运动的判断（满足其中一条即可）2）简谐运动的动力学

2、描述1）物体受线性回复力作用3）简谐运动的运动学描述kxF-=0dd222=xtx)cos(j=tAx（或物体受线性回复力矩作用 ）kM-=简谐运动的描述简谐运动的描述 数学形式数学形式x= A cos ( t+j j) 基本特征量基本特征量 角频率角频率 振幅振幅A 初相初相j j 能量能量 动力学方程动力学方程2222121)(21kAkxdtdxmEEEpk=02022=xdtxdkmTmk2,=-=0022020arctan,xvvxAj4简谐运动的合成简谐运动的合成 同方向的两个同频率振动同方向的两个同频率振动 合振动振幅决定于两个振动振幅和相差合振动振幅决定于两个振动振幅和相差 同

3、方向不同频率振动同方向不同频率振动 频率差很小时存在拍现象，拍频为分振动频率差频率差很小时存在拍现象，拍频为分振动频率差 相互垂直的两个同频率振动相互垂直的两个同频率振动 圆、椭圆或线段圆、椭圆或线段 相互垂直的两个不同频率的振动相互垂直的两个不同频率的振动 利萨如图利萨如图55、阻尼运动与受迫振动220220d xdxxdtdt=22022cosd xdxxhtdtdt=2202arctanj-=-阻尼系数；0 -振动系统的固有角频率阻尼运动：过阻尼、欠阻尼以及临界阻尼运动受迫振动共振现象幅频特性和相频特性12222220()4hA =-)cos(212212221j jj j- - = =

4、AAAAA)cos()cos(221121j j j j = = = =tAtAxxx仍为简谐运动,其中:同相:k=0,1, 2, 3.22112211coscossinsintanj jj jj jj jj jAAAA = = j jj jk212= =- -21AAA = =反相: j jj j)12(12 = =- -k21AAA- -= =k=0,1, 2, 3.8机 械 波一、平面简谐波波函数：)(2cos)(cos)cos(),(00 xTtAuxtAkxtAtxy=(1).当x=x0时：)2(cos)(00 xtAty-=(2).当t=t0时：2)cos()(00 xtAxy-=

5、波动方程222221tyuxy=9波速：横波波速纵波波速G为剪切模量Yu =1Gu =2Y为杨氏模量Tu =弦线中的波速T为弦中的张力波的能量平均能流密度（波的强度）uAI2221=kxtAdVdEw-=222sin=TAwdtTw022211能量密度平均能量密度10驻波特点：txAcos2cos2=(1).相邻的波节（腹）之间的距离是/2。任意两节点间的距离为n/2。(2).相邻节点间各点振动同相，一节点两侧各点振动反相。(3).没有能量的定向传播，两波节之间能量守恒。半波损失形成条件：,.3 , 2 , 1)2(=nnl二、波的干涉j=tAyyycos21j=cos2212221AAAAA

6、式中j=cos22121IIIIIjjj1210202rr -=jn2=j12 =n21AAA=21AAA-=加强减弱 ( n = 0 1 2) 相位差113、波源观测者同时相对介质运动0, 0RsvvSsRSsRRvuuTuuvvvvv-=-=01. 波源静止，观察者相对介质运动0, 0=Rsvv2、观测者静止, 波源相对于介质运动 )0, 0(=RsSsSsRvuuTuuuvvv-=-=SRSRRRRvuvuuuTuuv=vvvv1电磁波的多普勒效应：SRccvvv-=SRccvvv-=接近：远离：三、多普勒效应例例 一质量为一质量为m = 10 g的物体作简谐振动，振幅为的物体作简谐振动

7、，振幅为A = 10 cm ,周期周期T = 2.0 s。若。若t = 0时，位移时，位移xo= - 5.0 cm，且，且物体向负物体向负x方向运动，方向运动，试求：试求：（1）t = 0.5 s时物体的位移；时物体的位移；（2）t = 0.5 s时物体的受力情况；时物体的受力情况；（3）从计时开始，第一次到达）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间；所需时间；（4）连续两次到达）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。处的时间间隔。【解解】0.10mA=12Ts-= = （1 1）由已知可得简谐振动的振幅）由已知可得简谐振动的振幅角频率角频率振动表达式为振动表达式为 0.1

8、0cosoxtj= 0t = 时0.10cos0.05moxj= -0.05 sin0oj= -vx0.1O-0.050t =23oj= 由旋转矢量法可得由旋转矢量法可得 振动方程振动方程 0.1cos23xt= 0.5st =时物体的位移时物体的位移 0.1cos230.1cos 0.5230.0866mxt= = = -（2）由（）由（1）得）得 220.010.099km= =故故t t = 0.5 s = 0.5 s时物体受到的恢复力为时物体受到的恢复力为 0.0086NFkx= -=（3）从计时开始，第一次到达）从计时开始，第一次到达x = 5.0 cm所需时间；所需时间；（4）连续

9、两次到达）连续两次到达x = 5.0 cm处的时间间隔。处的时间间隔。x0.1O-0.050t =0.05153231stj- =第一次到达第一次到达x=5.0cm=5.0cm时的相位为时的相位为 53j= 故故 第一次达到此处所需时间为第一次达到此处所需时间为 2230.67stj=连续两次到达连续两次到达x = 5.0 cm处的相位差为处的相位差为 23j= 例例2 2 两轮的轴相互平行相距为两轮的轴相互平行相距为2 2d d，两轮的转速相同而，两轮的转速相同而转向相反。现将质量为转向相反。现将质量为m m的一匀质木板放在两轮上，木的一匀质木板放在两轮上，木板与两轮之间的摩擦系数均为板与两

10、轮之间的摩擦系数均为 。若木板的质心偏离。若木板的质心偏离对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周对称位置后，试证木板将作简谐振动，并求其振动周期期. .2dNA0 xxCABNBmgfAfB【解解】如图以两轮位置的中点（对称位如图以两轮位置的中点（对称位置）为坐标原点建立坐标轴，设置）为坐标原点建立坐标轴，设木板的质心位置坐标为木板的质心位置坐标为x以以A A处为轴有处为轴有 2()BdNmg dx=()2Bmg dxNd=以以 B处为轴有处为轴有 2()AdNmg dx=-()2Amg dxNd-=ABABmgFffNNxd=-=-= -合()2Bmg dxNd=()2Amg dxN

11、d-=22d xmgmxdtd= -即即 故木板作简谐振动。故木板作简谐振动。 gd=22dTg=例例3 3 一匀质细杆质量为一匀质细杆质量为m m，长为，长为l l，上端可绕悬挂轴无，上端可绕悬挂轴无摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为摩擦的在竖直平面内转动，下端与一劲度系数为k k的轻的轻弹簧相联，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生形变。弹簧相联，当细杆处于铅直位置时，弹簧不发生形变。求细杆作微小振动是否是简谐振动。求细杆作微小振动是否是简谐振动。O【解解】mgf222d(sin )(sincos )23dgFmglmlMMMkllt=-很小时很小时 2222d30d2mglkltml

12、=细杆微小振动是简谐振动细杆微小振动是简谐振动取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向取细杆铅直位置为坐标零点，垂直纸面向外为正方向例例4 已知：已知：x = 0点振动曲线如图，画出旋转矢量。点振动曲线如图，画出旋转矢量。【解解】yt-TTA0设平面波简谐波向设平面波简谐波向+x方向传播，方向传播，0yA0点初相位为点初相位为- /2画出：画出： t = 0 时波形曲线。时波形曲线。 O点振动的点振动的旋转矢量表示为旋转矢量表示为yx0t = 0 t 00点初相位为点初相位为- /2A-A - - 波向波向+x方向传方向传播时，原点向播时，原点向+y方向运动方向运动t = 0 时波形曲线

13、为时波形曲线为yx0t = 0 t 0讨论：讨论：yt-TTA0设平面波简谐波向设平面波简谐波向-x方向传播，方向传播，已知：已知：x = 0点振动曲线仍如图所示，点振动曲线仍如图所示，0yA0点初相位点初相位仍为仍为- /2试画出：试画出： t = 0 时波形曲线。时波形曲线。A-A - - 向向+y方向运动方向运动0点初相位也是点初相位也是- /2例例5 5 一平面简谐波沿着一平面简谐波沿着x x轴正向传播，速度为轴正向传播，速度为u u，已知，已知t t时刻的波形曲线如图所示，时刻的波形曲线如图所示，x x1 1处质元位移为处质元位移为0 0。试求：。试求：（1 1）原点）原点O O处质

14、元的振动方程；处质元的振动方程；（2 2）该简谐波的波函数。）该简谐波的波函数。xyOx1-Aut t时刻原点处质元振动的相位为时刻原点处质元振动的相位为- -/2/22otj= -2otj= -11cos()cos()2oouuyAtAttxxj=-则振动的初相为：则振动的初相为：所以振动方程可以写出：所以振动方程可以写出：【解解】12utx= -由图可知由图可知12uux=（2 2）在）在x x轴上任意选取一点轴上任意选取一点P P，坐标为，坐标为x x，如图所示。，如图所示。P P点振动相点振动相位落后于原点位落后于原点O O11222xOPxxxj=1cos()2puxyAttxu=-

15、 -OPxx11cos()cos()22uuxyAttAttxxuj=-=- -时间修正时间修正相位修正相位修正1cos()2ouyAttx=-例例6.一列波长为一列波长为 的平面简谐波沿的平面简谐波沿x 轴正方向传播。轴正方向传播。 已知在已知在 x = /2 处处 振动表达式为振动表达式为 y =A cos t ,（1）求该平面简谐波的波函数）求该平面简谐波的波函数;（2）若在波线上）若在波线上 处放一反射面处放一反射面,)2( = =LLx,2211uu 求反射波的波函数。求反射波的波函数。【解解】（1）入射波的波函数）入射波的波函数/2cos ()xyAtu-=-cos(2)xAt=-

16、,2211uu 0Lx2 x画出示意图画出示意图找任意一点找任意一点 x)2/2cos( - - -= =xtAy反射有半波损失，反射有半波损失，到达到达L处的振动方程为处的振动方程为cos(2)LyAt=-,2211uu 0Lx2 x)2cos( xtAy- - = =已求得入射波的波函数已求得入射波的波函数L处反射的振动方程处反射的振动方程cos(2)LyAt=-反射波的波函数反射波的波函数cos ()2LLyAtxu-=)(24cosLxxLtAy - -= = 得得(2)合成波即驻波的表达式合成波即驻波的表达式;(3)波腹、波节的位置。波腹、波节的位置。例例7.设入射波的表达式为设入射

17、波的表达式为 . 在在 x =0 处发生反射处发生反射,反射点反射点 为一固定端为一固定端,设反射波与入射波振幅近似相等，设反射波与入射波振幅近似相等， = = xTtAy2cos1【解解】 （1 ）入射波在）入射波在 x =0 处引起的振动为处引起的振动为反射点为固定端，这点必是波节，有半波损失，反射点为固定端，这点必是波节，有半波损失， - -= = xTtAy2cos1有人，反射波的表达式为有人，反射波的表达式为 = =TtAy2cos1对不对？对不对？x0入射波入射波反射波反射波(1)反射波的表达式反射波的表达式;求求:(2)合成波即驻波的表达式合成波即驻波的表达式反射波反射波)cos

18、()(2cos1 - -= = - -= = kxtAxTtAy 入射波入射波)cos(2cos1kxtAxTtAy = = = = 合成波合成波11yyy = =)cos()cos( - - = =kxtAkxtA 绝对值为振幅绝对值为振幅初相为初相为 /2)2cos()2cos(2 - -= =tkxAy 得得若用旋转矢量分析：若用旋转矢量分析：反射波反射波)cos(1 - -= = kxtAy 入射波入射波)cos(1kxtAy = = t =0 时的旋转矢量时的旋转矢量y0kx-kxy1y1AA )2cos(2kxA- -振幅振幅 初相初相 /2)2cos()2cos(2 - -= =tkxAy 所以有所以有（与前相同）（与前相同）(3)波腹、波节的位置。波腹、波节的位置。)2cos()2cos(2 - -= =tkxAy 驻波的表达式驻波的表达式波腹的位置波腹的位置;2nkx= =- -AkxA2)2cos(2= =- -, 2 , 1 , 0=