桥梁—内力影响线

1、桥梁结构内力影响线桥梁结构内力影响线一、影响线的基本概念一、影响线的基本概念（1）移动荷载）移动荷载 移动荷载是指荷载的作用位置在结构上是可以移动的，如：桥梁的移动荷载是指荷载的作用位置在结构上是可以移动的，如：桥梁的车辆、人群荷载，吊车梁的吊钩等，它仍然属于静力问题。车辆、人群荷载，吊车梁的吊钩等，它仍然属于静力问题。（2）最不利荷载位置）最不利荷载位置 工程设计中经常需要确定结构中某指定位置的某项量值工程设计中经常需要确定结构中某指定位置的某项量值S（如反力，（如反力，弯矩、剪力和竖向位移等）在移动荷载作用下产生的最大量值，即研究弯矩、剪力和竖向位移等）在移动荷载作用下产生的最大量值，即研

2、究移动荷载的最不利荷载位置。移动荷载的最不利荷载位置。 （3）影响线）影响线 影响线是指在单位集中移动荷载影响线是指在单位集中移动荷载P=1作用下，某截面内力变化规律作用下，某截面内力变化规律的图形。影响线上某一纵坐标表示单位荷载移动到该位置时，该截面的的图形。影响线上某一纵坐标表示单位荷载移动到该位置时，该截面的某量值的大小。某量值的大小。 影响线是研究移动荷载的最不利位置和计算内力、位移最大值和最影响线是研究移动荷载的最不利位置和计算内力、位移最大值和最小值的有效工具小值的有效工具。 移动荷载通常是由多个间距不变的竖向集中荷载或竖向均布荷载所组移动荷载通常是由多个间距不变的竖向集中荷载或竖

3、向均布荷载所组成，我们可以首先研究一个竖向的单位集中荷载成，我们可以首先研究一个竖向的单位集中荷载P=1在结构上移动时，某一在结构上移动时，某一量值的变化规律，然后根据线性叠加原理进一步研究各种实际移动荷载作量值的变化规律，然后根据线性叠加原理进一步研究各种实际移动荷载作用下，某一截面、某量值变化规律的图形。用下，某一截面、某量值变化规律的图形。 图图1a为一简支梁，当竖向单位集中荷载为一简支梁，当竖向单位集中荷载P=1在梁上移动时，支座反力在梁上移动时，支座反力RA的变化规律及其图形。绘制影响线的基本方法有两种，静力法和机动法。的变化规律及其图形。绘制影响线的基本方法有两种，静力法和机动法。

4、图图 1 ARARBBP1P2RARBBA13/41/21/40123P=1a )b ) 用静力法绘制影响线时，可先把荷载用静力法绘制影响线时，可先把荷载P=1放在任意位置，根据所选坐标放在任意位置，根据所选坐标系，以横坐标系，以横坐标x表示其作用点的位置，然后由静力平衡条件求出所求量值表示其作用点的位置，然后由静力平衡条件求出所求量值S与与荷载荷载P=1作用的位置作用的位置x之间的关系。表示这种关系的方程称为影响线方程。之间的关系。表示这种关系的方程称为影响线方程。根据方程即可做出影响线。根据方程即可做出影响线。 静力法绘制影响线静力法绘制影响线单跨简支梁的影响线单跨简支梁的影响线反力影响线

5、反力影响线求图求图2a所示简支梁反力所示简支梁反力RA的影响的影响线，可取线，可取A为坐标原点，以为坐标原点，以x表示荷表示荷载载P=1距坐标原点距坐标原点A的距离，取全梁的距离，取全梁作为隔离体，由平衡条件作为隔离体，由平衡条件MB=0，设反力向上为正，则：设反力向上为正，则： MB=RA lP(lx)=0 由此可得：由此可得： lxlxlPRA1RARBBA13/41/21/40123P=1a )b )ARARBBP1P2 同理，可绘出反力同理，可绘出反力RB 的影响线方程为：的影响线方程为： 同样可绘出同样可绘出RB 的影响线（图的影响线（图2c）。）。 当当x = 0时，时，RA =

6、1当当x = l 时，时，RA = 0 图图2b即为即为RA的影响线图形，的影响线图形，根据影响线定义，根据影响线定义，RA 影响线中的影响线中的任一纵坐标即代表荷载任一纵坐标即代表荷载P=1作用于作用于该处时反力该处时反力RA 的大小。同时的大小。同时RA 的的影响线只能代表影响线只能代表RA 的变化规律反的变化规律反力力，而不能代表其它任何量值的而不能代表其它任何量值的变化规律，其量值是唯一的。变化规律，其量值是唯一的。 这就是这就是RA的影响线方程。的影响线方程。它是它是 x 的一次函数，故的一次函数，故RA 的影响的影响线是一条直线。只需定出两点即线是一条直线。只需定出两点即可确定这条

7、直线。可确定这条直线。lxRB图图2RB影响线影响线+RARBBAP=1Kxl10b )a )01c )+ykRA影响线影响线yk由此可知，由此可知，MC的影响线在截面的影响线在截面C以左部分为一直线。以左部分为一直线。 当当x = 0时，时，MC = 0当当x = a 时，时， 求图求图3a所示简支梁上某指定截面所示简支梁上某指定截面C的弯矩影响线，取的弯矩影响线，取A为坐标原点，以为坐标原点，以x表示荷载表示荷载P=1距坐标原点距坐标原点A的距离，当的距离，当荷载荷载P=1在截面在截面C以左以左AC段（即段（即x a）移动时，取截面移动时，取截面C以右部分为隔离体，以右部分为隔离体，则：则

8、：2、弯矩影响线、弯矩影响线 blxbRMBClabMC于是可以绘出当荷载于是可以绘出当荷载P=1在截面在截面C以左移动时以左移动时MC的影响线的影响线(图图3b)。 b ) 中跨截面弯矩中跨截面弯矩 Mc 影响线影响线图图3+RARBBAP=1xla0 abl Cabb左直左直线线右直右直线线a )b )当当x = l 时，时， MC = 0 于是可以绘出当荷载于是可以绘出当荷载P=1在截在截面以右移动时面以右移动时MC的影响线的影响线(图图3b)。由图由图3b可知可知MC 的影响线由上述两段的影响线由上述两段alxlaRMAClabMC 通常称截面通常称截面C 以左的直线为左直线，截面以左

9、的直线为左直线，截面C以右的直线为右直线。以右的直线为右直线。 当荷载当荷载P=1在截面在截面C以右以右CB段（即段（即x a）移动时，上面求得的影响线方）移动时，上面求得的影响线方程显然已不再适用。可取截面程显然已不再适用。可取截面C以左部分为隔离体，则：以左部分为隔离体，则： 由此可见，由此可见，MC 的影响线在截面的影响线在截面C 以右部分也为一直线。当以右部分也为一直线。当x = a 时，时，+RARBBAP=1xla0 abl Cabb左直左直线线右直右直线线a )b )直线所组成，为一三角形。三角形的顶点位于截面直线所组成，为一三角形。三角形的顶点位于截面C 的下面，纵坐标的下面，

10、纵坐标 ab/l 。 从上述影响线方程可以看出，左直线可由反力从上述影响线方程可以看出，左直线可由反力RB 的影响线乘以的影响线乘以b得到，得到，而右直线可由反力而右直线可由反力RA的影响线乘以的影响线乘以a得到。因此可以利用得到。因此可以利用RA 和和RB 的影响线的影响线来绘制来绘制MC 的影响线：的影响线： 在水平基线上相应左、右支座处分别取纵坐标在水平基线上相应左、右支座处分别取纵坐标a和和b，分别将其顶点与，分别将其顶点与左、右两支座处的零点用直线相连，则两直线的交点与左、右零点相连的左、右两支座处的零点用直线相连，则两直线的交点与左、右零点相连的部分就是部分就是MC 的影响线（见图

11、的影响线（见图3b）。这种利用已知量值的影响线来作其它）。这种利用已知量值的影响线来作其它量值影响线的方法是非常方便的。量值影响线的方法是非常方便的。 由于竖向单位集中荷载由于竖向单位集中荷载P=1为不带任何单位的无名数。则反力为不带任何单位的无名数。则反力RB的影的影响线的纵矩也是无名数，弯矩影响线纵坐标的单位为长度单位。响线的纵矩也是无名数，弯矩影响线纵坐标的单位为长度单位。 因此，可直接利用因此，可直接利用RA的影响线并截的影响线并截 取取CB段部分，即得段部分，即得QC 影响线的右直线（图影响线的右直线（图3c）。）。 由上可知，由上可知，QC的影响线由两段相互平行的直线组成（图的影响

12、线由两段相互平行的直线组成（图3 c）。）。 3、剪力影响线、剪力影响线 设要绘制截面设要绘制截面C的剪力影响线（图的剪力影响线（图3c）。同上分析，当荷载）。同上分析，当荷载P=1在截面在截面C以左以左AC段（即段（即x a）移动时，取截面）移动时，取截面C以右部分为隔离体，并规定以绕隔离以右部分为隔离体，并规定以绕隔离体顺时针方向转动的剪力为正，则：体顺时针方向转动的剪力为正，则： QC = -RB因此，将因此，将RB的影响线反号并截取的影响线反号并截取AC段部段部分，即得分，即得QC影响线的左直线（图影响线的左直线（图3c）。）。 同样，当荷载同样，当荷载P=1在截面在截面C以右以右CB

13、段段（即（即x a）移动时，取截面）移动时，取截面C以左部分为以左部分为隔离体，并规定以绕隔离体顺时针方向转隔离体，并规定以绕隔离体顺时针方向转动的剪力为正，则：动的剪力为正，则： QC = RA 图图3 3c ) 中跨截面剪力中跨截面剪力 Qc 影响线影响线+RARBBAP=1xl10Cab1左直左直线线右直右直线线_c )a ) bl al 三、伸臂梁的影响线三、伸臂梁的影响线 （1）反力影响线）反力影响线 如图如图4a所示的伸臂梁，仍取所示的伸臂梁，仍取左支座左支座A为坐标原点，横坐标为坐标原点，横坐标x以以向右为正。显然，无论荷载向右为正。显然，无论荷载P=1在在AB部分或是在两支座以

14、外的伸部分或是在两支座以外的伸臂部分上移动时，由平衡条件均臂部分上移动时，由平衡条件均可得到支座反力为：可得到支座反力为：lxRA1lxRB 这与简支梁的反力影响线方程完全相同。因此，只需将简支梁的反这与简支梁的反力影响线方程完全相同。因此，只需将简支梁的反力影响线向两个伸臂部分延长，即可得到伸臂梁的反力影响线，如图力影响线向两个伸臂部分延长，即可得到伸臂梁的反力影响线，如图4b、c所示。所示。 RB影响线影响线+RARBBAP=1Cxl10b )a )01c )+ycRA影响线影响线ycExP=1xbaD图图4 反力影响线反力影响线（2）跨中部分截面内力影响线）跨中部分截面内力影响线 图图4

15、 伸臂梁中跨影响线伸臂梁中跨影响线 为求为求MC 和和QC 的影响线，可将它们表示为反力的影响线，可将它们表示为反力RA 和和RB 的函数。当荷载的函数。当荷载P=1在截面在截面C 以左以左AC 段（即段（即x a）移动）移动时，取截面时，取截面C以右部分为隔离体，则：以右部分为隔离体，则：BCBCRQbRM; 当荷载当荷载P=1在截面在截面C以右以右CB段（即段（即xa）移动时，取截面）移动时，取截面C以以左部分为隔离体，则：左部分为隔离体，则： ACACRQaRM 因为因为RA 和和RB 的影响线方程在伸臂的影响线方程在伸臂梁和简支梁上是完全一样的，故由上述梁和简支梁上是完全一样的，故由上

16、述关系可知，关系可知，MC 和和QC 的影响线方程在这的影响线方程在这两种梁上也完全相同。因此，只需将简两种梁上也完全相同。因此，只需将简支梁上相应的弯矩和剪力影响线向两个支梁上相应的弯矩和剪力影响线向两个伸臂部分延长，即可得到伸臂梁的伸臂部分延长，即可得到伸臂梁的MC 和和QC 力影响线，如图力影响线，如图4d、e所示。所示。 c ) al xQc影响线影响线+RARBBAP=1Cxla0b )a )01+Mc影响线影响线EP=1xbaDb abl 1 bl -+图图5 5 伸臂部分影响线伸臂部分影响线（3）伸臂部分截面的内力影响线）伸臂部分截面的内力影响线 设要绘制截面设要绘制截面K的弯矩

17、和剪力的弯矩和剪力影响线（图影响线（图5a）。为方便起见，改）。为方便起见，改取取K点为坐标原点，并规定横坐标点为坐标原点，并规定横坐标x以向左为正。当荷载以向左为正。当荷载P=1在截面在截面K以以右（右（KE段）移动时，取截面段）移动时，取截面K以左以左部分为隔离体，则显然部分为隔离体，则显然MK和和QK均均等于零，故该二影响线在等于零，故该二影响线在KE部分均部分均与基线重合。当与基线重合。当P=1在截面在截面K以左以左（DK段）时，仍取截面段）时，仍取截面K以左部分以左部分为隔离体，可得：为隔离体，可得： 1KKQxM 据此可以作出据此可以作出DK部分的部分的MK和和QK影响线。综上所述

18、，伸臂梁部分截面影响线。综上所述，伸臂梁部分截面K的的MK和和QK影响线分别如图影响线分别如图5b、c所示。所示。 RARBBACxla )EbaDKdb )c )d1Mk影响线影响线Qk影响线影响线P =1- 对于支座处截面的剪力影响线，对于支座处截面的剪力影响线，须对支座左、右两边的截面分别讨论。须对支座左、右两边的截面分别讨论。因为这两个截面是分别属于伸臂和跨中因为这两个截面是分别属于伸臂和跨中部分。例如：支座部分。例如：支座A左截面的剪力左截面的剪力QA左左的影响线，可由的影响线，可由QK的影响线使截面的影响线使截面K趋趋于支座于支座A的左截面而得到（图的左截面而得到（图5d）；）；

19、对于支座对于支座A右截面的剪力右截面的剪力QA右的右的影响线，则可由影响线，则可由QC的影响线（图的影响线（图4d），），使截面使截面C趋于支座趋于支座A的右截面而得到的右截面而得到（图（图5e）。）。 对于静定结构，其反力和内力影响线方程，都是关于对于静定结构，其反力和内力影响线方程，都是关于x的一次函数，的一次函数，故静定结构的反力和内力影响线均是由直线段所组成。但静定结构的位移、故静定结构的反力和内力影响线均是由直线段所组成。但静定结构的位移、以及超静定结构的各种量值的影响线一般为曲线形式。以及超静定结构的各种量值的影响线一般为曲线形式。 RARBBACxla )EbaDd )e)1QA

20、左左影响线影响线P =11QA右右影响线影响线xP =11+- -图图5 5 伸臂部分影响线伸臂部分影响线四、机动法作单跨静定梁的影响线四、机动法作单跨静定梁的影响线 机动法作影响线的理论依据是理论力学中的虚位移原理，一个体系在力机动法作影响线的理论依据是理论力学中的虚位移原理，一个体系在力系作用下处于平衡的必要和充分条件是：在任何微小的虚位移中，力系所作的系作用下处于平衡的必要和充分条件是：在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和为零；虚功总和为零； 0PAAPR 根据影响线的定义：根据影响线的定义：P=1，则：，则： APAR 为了求解出反力为了求解出反力RA，首先去掉与它相，首先去掉与它

21、相应的联系（即支座应的联系（即支座A处的竖向约束），而处的竖向约束），而以正向的反力以正向的反力RA代替其作用（图代替其作用（图6b）。此）。此时，原结构变为具有一个自由度的机构，时，原结构变为具有一个自由度的机构，使其产生微小的虚位移（图使其产生微小的虚位移（图6b）,以以A和和P分别表示分别表示RA和和P的作用点沿力的作用方向的作用点沿力的作用方向的虚位移。由于该机构在力的虚位移。由于该机构在力RA、RB和和P的的共同作用下处于平衡，因此它们所作的虚共同作用下处于平衡，因此它们所作的虚功的总和应等于零，有：功的总和应等于零，有：图图6RARBlP =1P =1RARBdAdPdP+-a )

22、b )c )1 式中式中A为力为力RA作用点沿其力方向的位移，在给定虚位移的情况下，它作用点沿其力方向的位移，在给定虚位移的情况下，它是一个常数。是一个常数。P为荷载为荷载P=1所沿着所沿着x移动的各点的竖向虚位移图。移动的各点的竖向虚位移图。 令令A =1，则上式成为：，则上式成为： PAR 这表明此时这表明此时P的变化情况就反映了的变化情况就反映了P=1移动时移动时RA的变化规律，即虚的变化规律，即虚位移图位移图P便代表了便代表了RA的影响线。（图的影响线。（图6c），而符号相反。由于），而符号相反。由于P是以与是以与力力P方向一致者为正，故方向一致者为正，故P向下为正。因而可知：当向下为

23、正。因而可知：当P向下时，向下时，RA为负；为负；当当P向上时，向上时，RA为正。这就恰好与在影响线中纵坐标以向上为正相一致。为正。这就恰好与在影响线中纵坐标以向上为正相一致。 由上述可知：要作某一反力或某一内力的影响线时，只需将与该量由上述可知：要作某一反力或某一内力的影响线时，只需将与该量值相应的联系去掉，并使所得机构沿该量值的正方向发生单位位移，则值相应的联系去掉，并使所得机构沿该量值的正方向发生单位位移，则由此得到的虚位移图即代表该量值的影响线。这种绘制影响线的方法，由此得到的虚位移图即代表该量值的影响线。这种绘制影响线的方法，称为机动法。称为机动法。 机动法提供了绘制影响线的另一种途

24、径，其最大优点在于可以不经机动法提供了绘制影响线的另一种途径，其最大优点在于可以不经过具体计算就能够迅速绘出影响线的轮廓。这对于设计工作将有很大的过具体计算就能够迅速绘出影响线的轮廓。这对于设计工作将有很大的帮助，且有利于对静力法所作的影响线进行较核。帮助，且有利于对静力法所作的影响线进行较核。 为进一步说明机动法的应用，下面再举两个例子。如图为进一步说明机动法的应用，下面再举两个例子。如图7a所示简支所示简支梁，用机动法作截面梁，用机动法作截面C的弯矩影响线和剪力影响线。的弯矩影响线和剪力影响线。 （1）截面）截面C弯矩影响线弯矩影响线 首先将与首先将与MC相应的联系去掉，即将截面相应的联系

25、去掉，即将截面C 处改为铰接，并加一对力偶处改为铰接，并加一对力偶Mc代替原有联系的作用（该处便不能传递弯矩，但仍能传递剪力和轴力）。代替原有联系的作用（该处便不能传递弯矩，但仍能传递剪力和轴力）。然后使然后使AC与与BC两部分沿两部分沿Mc的正方向发生虚位移（图的正方向发生虚位移（图7b），虚功方程为：），虚功方程为： 0PCP)(M 故故 )(PMPC 若使若使+=1，即，即AC与与BC两部分的两部分的相对转角等于相对转角等于1，则所得到的虚位移图，则所得到的虚位移图即表示即表示MC的影响线（图的影响线（图7c）。）。 令：影响线顶点至基线的距离为令：影响线顶点至基线的距离为ya，则：，则

26、： aytgc bytgc RBMcMcRABAP =1xlaCaba )b )+a abl bBACba+b=1dpa+b=1yc=c )图图 7 7 1ablyabbaybyaycccc 因此有：因此有：所以所以: lbayc 首先将与首先将与QC相应的联系去掉，即相应的联系去掉，即将截面将截面C处改为用两根水平链杆相联处改为用两根水平链杆相联（该处便不能传递剪力，但仍能传递（该处便不能传递剪力，但仍能传递弯矩和轴力），并以一对正向剪力弯矩和轴力），并以一对正向剪力QC代替原有联系的作用（图代替原有联系的作用（图7d）使机构）使机构沿沿QC的正方向发生虚位移，由虚功原的正方向发生虚位移，由

27、虚功原理得：理得： （2）截面）截面C的剪力影响线的剪力影响线021PcP)CCCC(Q 21CCCCPQPc 故故 图图 7RBQcQcRABAP =1xlCaba )d )BACdpC1C2C1gg 若使若使CC1+CC2=1，即，即AC与与CB两部分沿截面两部分沿截面C方向的相对位移等于方向的相对位移等于1，则所得到的虚位移图即表示则所得到的虚位移图即表示QC的影响线（图的影响线（图7e）。必须注意，由于）。必须注意，由于AC与与CB两部分是两根平行链杆相联，它们之间只能作相对平行移动，故在其虚功两部分是两根平行链杆相联，它们之间只能作相对平行移动，故在其虚功位移图中位移图中AC1与与C

28、2B应为平行直线，也就应为平行直线，也就是是QC影响线的左右两直线相互平行。影响线的左右两直线相互平行。 则则 tgaCC1 tgbCC2因此有因此有 12121 tgltg)ba(CCCCtgbtgaCCCCltg1 所以：所以： laCC 1lbCC 2QcQcRABAP =1xlCaba )d )BACdpe )C1C2C1+101左直左直线线右直右直线线_ bl al gg图图 7五、多跨静定梁的影响线五、多跨静定梁的影响线 对于多跨静定梁，只需分清它的基本结构和附属部分以及这些部分之对于多跨静定梁，只需分清它的基本结构和附属部分以及这些部分之间的传力关系，再利用单跨静定梁的已知影响线

29、，即可顺利完成。间的传力关系，再利用单跨静定梁的已知影响线，即可顺利完成。（1）按静力法）按静力法 图图8a 所示多跨静定梁，图所示多跨静定梁，图8b 为结构拆分的层叠图，作弯矩为结构拆分的层叠图，作弯矩M k的影响的影响线。线。BAP=1Ca )KDEFalBAP=1Cb )KDEF图图8 8 按静力法求多跨静定梁影响线按静力法求多跨静定梁影响线 当当P=1在在CE 段移动时，附属部分段移动时，附属部分EF是不受力的，可将其撤去。基本部是不受力的，可将其撤去。基本部分分AC 则相当于则相当于CE 梁的支座，故此时梁的支座，故此时M k 的影响线与的影响线与CE 段单独作为一伸臂段单独作为一伸

30、臂梁相同。当梁相同。当P=1在基本部分在基本部分AC段移动时，作为段移动时，作为AC 的附属部分的的附属部分的CE是不受力是不受力的，故的，故M k影响线在影响线在AC段的竖坐标为零。最后考虑段的竖坐标为零。最后考虑P=1在附属部分在附属部分EF段移动段移动时的情况，此时时的情况，此时CE 梁相当于在铰梁相当于在铰E处受到力处受到力VE 的作用（图的作用（图8c）。因此）。因此 ，VE =( l - x ) / l 即为即为 x 的一次函数，故此时的一次函数，故此时CE 梁相当于在铰梁相当于在铰E处受到力处受到力VE的作用（图的作用（图8c）。）。图图8 8 按静力法求多跨静定梁影响线按静力法

31、求多跨静定梁影响线xBAP=1Cb )KDEFCKDEFRFVEEP=1alc )图图8 8 按静力法求多跨静定梁影响线按静力法求多跨静定梁影响线BACd )KDEFaaBACe )DEFK1BACf )DEF1M K 影响线影响线Q B左左 影响线影响线R F 影响线影响线 由此可知由此可知M k影响线必为一直线，只需要定出两点即可将其绘出。当影响线必为一直线，只需要定出两点即可将其绘出。当P=1作用于铰作用于铰E处时处时M k值已由值已由CE段的影响线得出；而段的影响线得出；而P=1作用于支座作用于支座F处时有处时有M k=0。于是可绘出。于是可绘出M k的的整个影响线如图（整个影响线如图

32、（ 8d ）所示。）所示。 由上述分析可知，多跨静定梁任一反力或内力影响线的一般作法为：由上述分析可知，多跨静定梁任一反力或内力影响线的一般作法为：1）当）当P=1在量值本身所在的梁段上移动时，量值的影响线与相应的单跨静定梁相同。在量值本身所在的梁段上移动时，量值的影响线与相应的单跨静定梁相同。2）当）当P=1在对于量值所在部分来说是基本部分的梁段上移动时，量值影响线的竖坐标在对于量值所在部分来说是基本部分的梁段上移动时，量值影响线的竖坐标 为为“零零”3）当）当P=1在对于量值所在部分来说是附属部分的梁段上移动时，量值影响线为直线。在对于量值所在部分来说是附属部分的梁段上移动时，量值影响线为

33、直线。 根据在铰处的竖坐标为已知和在支座处竖坐标为零，即可得出。根据在铰处的竖坐标为已知和在支座处竖坐标为零，即可得出。 按上述方法，不难作出按上述方法，不难作出Q B左左和和RF 的影响线如图的影响线如图8e、f 所示。所示。 （2）按机动法）按机动法 按机动法求解多跨静定梁的影响线更为方便。首先去掉与所求反力或内力按机动法求解多跨静定梁的影响线更为方便。首先去掉与所求反力或内力X的相应联系，使所得到的体系沿的相应联系，使所得到的体系沿X 的正方向发生单位位移，此时根据每一刚片的的正方向发生单位位移，此时根据每一刚片的位移图应为一段直线以及在每一竖向支座处竖向位移为零的条件。便可迅速绘出位移

34、图应为一段直线以及在每一竖向支座处竖向位移为零的条件。便可迅速绘出各部分的位移图。如图各部分的位移图。如图9所示。所示。 图图9 机动法求多跨静定梁影响线机动法求多跨静定梁影响线 P=1Q B左左 影响线影响线a+b=1BACa )KDEFalBACb )DEFaBAc)DEFBACd )DEF1M K 影响线影响线R F 影响线影响线MKMKQcQc1六、按机动法求多跨超定梁影响线六、按机动法求多跨超定梁影响线P=1b )Kxl 1l 2lKAB C D 边跨边跨MK影响线影响线支点支点MB影响线影响线反力反力RB影响线影响线反力反力RD影响线影响线D=1+a+b=1- - -+a+P=1a

35、 )Kxl 1l 2lMKKMKa+b=1ab- - -KMKMKa+b=1b- -K+MKMKab+P=1x- -D=1+KAB C D 中跨中跨MK影响线影响线Kc )QKQKQKQKQKQKQKQKD=1D=1D=1D=1中跨中跨QK影响线影响线RB右右影响线影响线RB左左影响线影响线边跨边跨RK影响线影响线+- - - - -+- - -图图10七、利用影响线求量值七、利用影响线求量值 移动活荷载载对桥梁结构的内力影响，对桥梁结构分析是非常重要的，移动活荷载载对桥梁结构的内力影响，对桥梁结构分析是非常重要的，也是桥梁结构所特有的。根据移动活荷载的特性，以影响线作为分析移动也是桥梁结构所

36、特有的。根据移动活荷载的特性，以影响线作为分析移动活荷载量值和最不利荷载位置的工具是简便和有效的。因此，利用影响线活荷载量值和最不利荷载位置的工具是简便和有效的。因此，利用影响线对桥梁结构活荷载的分析，包括两个方面，即移动活荷载量值和最不利荷对桥梁结构活荷载的分析，包括两个方面，即移动活荷载量值和最不利荷载位置。载位置。首先讨论当若干个集中力荷载或分布荷载作用于某已知位置时，如何利用首先讨论当若干个集中力荷载或分布荷载作用于某已知位置时，如何利用影响线来求量值。影响线来求量值。 集中力荷载集中力荷载 设结构某量值设结构某量值S的影响线已绘出，如的影响线已绘出，如图图11所示，有若干个竖向集中荷

37、载所示，有若干个竖向集中荷载P1、P2Pn作用于已知位置，其相应在影响作用于已知位置，其相应在影响线上的纵距分别为线上的纵距分别为y1、y2yn，要求解由，要求解由这些集中荷载作用下所产生的某一量值这些集中荷载作用下所产生的某一量值S 的大小。的大小。+ +P1P2PiPn- -y1y2yiyn图图1111 根据影响线的定义和特点，影响线上的纵距根据影响线的定义和特点，影响线上的纵距y1代表荷载代表荷载P=1作用于该处作用于该处时量值时量值S 的大小，若荷载不是的大小，若荷载不是P=1而是而是P=P1，则，则S 应为应为P1y1。因此，当有若。因此，当有若干集中荷载作用时，根据叠加原理可知，所

38、产生的干集中荷载作用时，根据叠加原理可知，所产生的S值为：值为：iinniinnxPtgtg)xPxPxP(yPyPyPyPS 22112211 图图1212 RP1P2PiPnABO Cay1y2yiyyny1x1x2xixxn 因因Pi xi为各力对为各力对O点的力矩之和，点的力矩之和，根据合力矩定理，它应等于此组荷载的根据合力矩定理，它应等于此组荷载的合力合力P 对对O点之矩，即：点之矩，即： xRxPii代入上式，得代入上式，得 yRtgxRS 式中式中y为合力为合力R 所对应得影响线纵坐标。所对应得影响线纵坐标。（2） （）（） dxyqSxbax2、分布力荷载、分布力荷载 若将任意

39、分布荷载沿其长度分成微段，则每一微段若将任意分布荷载沿其长度分成微段，则每一微段dx上的荷载上的荷载 qxdx都可都可作为集中荷载（图作为集中荷载（图13a），故在），故在ab区段内的分布荷载所产生的量值区段内的分布荷载所产生的量值S为：为： 若若qx为均布荷载为均布荷载 q 时（图时（图13b、13c），则上式为：），则上式为： qdxyqSbax式中式中 表示影响线在均布荷载范围表示影响线在均布荷载范围ab区段内的面积合。区段内的面积合。 由此可见，在均布荷载作用下求量值由此可见，在均布荷载作用下求量值S 时，只需把影响线在荷载分布时，只需把影响线在荷载分布范围内的面积求出，再乘以均布荷载

40、集度即可，应注意：在计算影响线面范围内的面积求出，再乘以均布荷载集度即可，应注意：在计算影响线面积积有正或负时，应为代数合。有正或负时，应为代数合。图图13( a )a b qxdxyxa b q +- -a b q +- -S 影响线影响线S 影响线影响线 S 影响线影响线 +- -dxyx( b )( c )（3） （4 ） 六、利用影响线求最不利荷载位置六、利用影响线求最不利荷载位置 在移动荷载作用下，结构上的各种量值都将随荷载的位置而变化。在结在移动荷载作用下，结构上的各种量值都将随荷载的位置而变化。在结构设计中，求出各量值的最大值（或最小值）是我们的最终目的，以作为设构设计中，求出各

41、量值的最大值（或最小值）是我们的最终目的，以作为设计的依据。首先必须确定使量值发生最大值（或最小值）的最不利荷载位置。计的依据。首先必须确定使量值发生最大值（或最小值）的最不利荷载位置。因此，寻求某一量值的最大值的关键，就是确定其最不利荷载位置，当其位因此，寻求某一量值的最大值的关键，就是确定其最不利荷载位置，当其位置一经确定就可按前述方法求解该量值的最大值（或最小值）。置一经确定就可按前述方法求解该量值的最大值（或最小值）。 1 1、一个集中荷载、一个集中荷载 这是最简单的情况（图这是最简单的情况（图14），由），由S=Py可知，将该可知，将该集中荷载集中荷载P置于置于S影响线的影响线的最大

42、纵坐标处即产生最大纵坐标处即产生Smax值；而将值；而将P置于置于S 影响线的影响线的最小纵坐标处即产生最小纵坐标处即产生Smin值。值。图图14- - -ymax +S 影响线影响线 S 影响线影响线 ( a )( b )P ymin Smax Smin Smin Smax P P P 2、均布荷载、均布荷载 这里是指可以任意截断布置的均布荷载，也称为可动均布荷载（如人这里是指可以任意截断布置的均布荷载，也称为可动均布荷载（如人群荷载）。由式群荷载）。由式 可得：将荷载布满对应影响线所有正号可得：将荷载布满对应影响线所有正号面积的部分，则产生面积的部分，则产生Smax值；反之，将荷载布满对应

43、影响线所有负号面积值；反之，将荷载布满对应影响线所有负号面积的部分，则产生的部分，则产生Smin值；如图值；如图15所示求所示求S的最大、最小值时相应的最不利荷的最大、最小值时相应的最不利荷载位置。载位置。 qdxyqSbax图图15q +- - -+q q Smax Smin S 影响线影响线 q +- - -+q q Smax Smin S 影响线影响线 a )b )三、行列荷载三、行列荷载所谓行列荷载，是指一系列彼此间距不变的移动集中荷载所谓行列荷载，是指一系列彼此间距不变的移动集中荷载（包括均布荷载），如汽车车队等，在此情况下确定最不利荷（包括均布荷载），如汽车车队等，在此情况下确定最

44、不利荷载位置相对比较困难。由最不利荷载位置的定义可知，当荷载载位置相对比较困难。由最不利荷载位置的定义可知，当荷载移动到该位置时，所求量值移动到该位置时，所求量值S为最大，因此荷载由该位置无论向为最大，因此荷载由该位置无论向左或向右移动到邻近位置时，左或向右移动到邻近位置时，S值一定减小。我们可以从荷载移值一定减小。我们可以从荷载移动时动时S的增量变化给予确定。的增量变化给予确定。 设某量值设某量值S的影响线如图的影响线如图16a所示，为一折线线形，其水平所示，为一折线线形，其水平线与各段直线间的倾角为线与各段直线间的倾角为a1、a2an。取坐标轴。取坐标轴x向右为正，坐向右为正，坐标轴标轴y

45、向上为正，倾角向上为正，倾角a以逆时针方向为正。集中荷载组处在图以逆时针方向为正。集中荷载组处在图16b所示位置，其相应的量值以所示位置，其相应的量值以S1表示，若每段直线内各荷载的表示，若每段直线内各荷载的合力为合力为R i（i=1n）,则则S1可表示为：可表示为： nnyRyRyRS22111当整个荷载组向右移动一微小距离当整个荷载组向右移动一微小距离x 时，其相应的量值时，其相应的量值S2为：为： )yy(R)yy(R)yy(RSnnn2221112故故S的增量为：的增量为： iniinnnntgaxRtgaxRtgaxRtgaxRyRyRyRSSS12211221112 其中其中x为一

46、常数，上式可写为：为一常数，上式可写为： iiatgRxS x y a1 R2RnR1a2DxDxDxany1y2ynDy1Dy2Dyna ) b ) 图图 16 量值量值S的增加率和减小率为：的增加率和减小率为：iiatgRxS 使使S成为极大值的条件是：荷载自该位置向左或向右移动时，成为极大值的条件是：荷载自该位置向左或向右移动时，S的数的数值均减小，即值均减小，即S 0。因此，。因此， 当荷载向左移动时，当荷载向左移动时，x 0，有，有 0iiatgRxS即：当荷载先向左、后向右移动时，即：当荷载先向左、后向右移动时， iiatgR必须由正变负，必须由正变负， S才有才有当荷载先向左、后

47、向右移动时，当荷载先向左、后向右移动时， iiatgRiiatgR必须由负变正，必须由负变正，S才有才有可能为极小值。可能为极小值。将能使将能使 变号的荷载称为临界荷载，而把变号的荷载称为临界荷载，而把 iiatgR称为临界荷载的判别式。称为临界荷载的判别式。 可能为极大值。可能为极大值。 （ 5 ） 确定临界荷载一般须通过一系列的试算，判断临界荷载及其对确定临界荷载一般须通过一系列的试算，判断临界荷载及其对应的不利荷载位置可能有几个，这就需将与各临界荷载对应的应的不利荷载位置可能有几个，这就需将与各临界荷载对应的 S 极极值均求出，取其最大值。响应的荷载位置即为最不利荷载位置。值均求出，取其

48、最大值。响应的荷载位置即为最不利荷载位置。上述确定最不利荷载位置的方法，与高等数学中的在导数为零上述确定最不利荷载位置的方法，与高等数学中的在导数为零或变号处函数可能有极值的道理是一致的。在集中荷载作用下，由或变号处函数可能有极值的道理是一致的。在集中荷载作用下，由iiyPS可知可知， S 为为 x 的一次函数的一次函数， 故故 S 的极值一般不发生在的极值一般不发生在0dxds的情况下，而发生在的情况下，而发生在xS变号的情况。而在移动均布荷载作用下变号的情况。而在移动均布荷载作用下， 由由qS可知，可知，S 为为 x 的二次函数，故此时最不利荷载位置可按一的二次函数，故此时最不利荷载位置可按一般求极值的方法用般求极值的方法用0dxds的条件来确定。的条件来确定。00 tg)PR(tgRtgRtg)PR(KbabKabRPaRbRaPRbkabka 式中式中、为水平基线与影响线为水平基