积分公式与高阶导数.

1、3.3 柯西积分公式柯西积分公式一、柯西积分公式一、柯西积分公式二、平均值公式二、平均值公式三、最大模原理三、最大模原理000()()ddCzzfzfzzzzzzz闭 路 变 形 原 理0,zD设若若 f f ( (z z) ) 在在D D内解析，则内解析，则分析：分析： 00f zf z 00001()d2().zzf zzif zzzDC0zDC一、柯西积分公式一、柯西积分公式G G 0z定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，)(zf证明证明( (思路思路) ),d)(21)(000 zzzzfizf左边左边| 右边右边 左边左边 |则则,d| )()(|2100

2、szzzfzfz( (跳过跳过?)?)如图，以如图，以 为圆心，为圆心， 为半径作圆为半径作圆 G G，则，则0z,d)(21d)(2100 Czzzzfizzzzfi右边右边在边界在边界 C 上连续，上连续，,0Dz 一、柯西积分公式一、柯西积分公式定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，D G GC0z)(zf,0Dz 证明证明( (思路思路) ), 221(当当 充分小时充分小时) | 右边右边 左边左边 |,d| )()(|2100 szzzfzf即只要即只要 足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，足够小，所证等式两边的差的模可以任意小，故等式成立。故等式成立。

3、z在边界在边界 C 上连续，上连续， 则则一、柯西积分公式一、柯西积分公式定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，内解析，D G GC0z)(zf,0Dz 意义意义zz. )(,d)(21)(DzzfizfC 解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定。 换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种换句话说，解析函数可用其解析区域边界上的值以一种特定的积分形式表达出来。特定的积分形式表达出来。 则上式变为则上式变为将将 换成换成 ，积分变量，积分变量 换成换成 ，0zzz 在边界在边界 C 上连续，上连续， 则则是多连域。是多

4、连域。一、柯西积分公式一、柯西积分公式注意注意 柯西积分公式柯西积分公式中的区域中的区域 D 可以可以应用应用 推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。推出一些理论结果，从而进一步认识解析函数。其边界为其边界为 ， 21CCC. )(,d)(21d)(2100021DzzzzzfizzzzfiCC zDC10z2C 反过来计算积分反过来计算积分. )(2d)(00zfizzzzfC 则则 Czzzzfizfd)(21)(00比如对于二连域比如对于二连域 D ,在在 上解析上解析1| z ,dcos CzzzI其中其中 C 为：为：例例 计算计算;1|:1 zC.1| 2|:2 zC(1)(2

5、)C1C2210(1)解解 1dcosCzzzI.2 i (2) 2dcosCzzzI( (柯西积分定理柯西积分定理) ).0zzcos( (函数函数 在在 上解析上解析) )1| 2| z( (柯西积分公式柯西积分公式) )0cos2 zziC1C2令令解解,12)(2zzzzf 令令 C1：,31| z C2：,31| 1| z.4 i ,d122 CzzzzI其中其中 C 如图所示。如图所示。例例 计算计算C201则则 21d)(d)(CCzzfzzfI( (复合闭路定理复合闭路定理) )101221122 zzzzizzi( (柯西积分公式柯西积分公式) )则则,)1(12)( zzz

6、zf 21d112d112)()(CCzzzzzzzz C20i 3 3解解.d)(92|2)( zzizzzI.5 试考虑积分路径为试考虑积分路径为 的情况。的情况。4| zizzzi 292二、平均值公式二、平均值公式如果函数如果函数 在在 内解析，内解析，定理定理 ( (平均值公式平均值公式) )(zfRzz |0在在 上连续，上连续，Rzz |0.d)(21)(2000e iRzfzf xRy0zzC证明证明 由柯西积分公式有由柯西积分公式有.d)(21200e iRzf Rzzzzzzfizf|000d)(21)( (连续函数的平均值连续函数的平均值) )则有则有 iiiiRRRzf

7、i200d)(21eee D三、最大模原理三、最大模原理如果函数如果函数 在在 D 内解析，且不为常数，内解析，且不为常数，定理定理 ( (最大模原理最大模原理) )(zf证明证明 ( (略略) )理解理解 如图，函数如图，函数 在解析区域在解析区域)(zf G G 0zG G 0zG GD 内任意一点内任意一点 的函数值是的函数值是0z以该点为圆心的圆周上所有以该点为圆心的圆周上所有点的函数值的平均值，点的函数值的平均值， 因此，因此， 不可能达到最大，不可能达到最大，| )(|0zf除非除非 为常数。为常数。)(zf0z则在则在 D 内内 没有最大值。没有最大值。| )(|zf三、最大模原

8、理三、最大模原理在区域在区域 D 内解析的函数，如果其模在内解析的函数，如果其模在 D 内达到最大值，内达到最大值，推论推论 1则此函数必恒为常数。则此函数必恒为常数。若若 在有界区域在有界区域 D 内解析，在内解析，在 D 上连续，则上连续，则推论推论 2在在 D 的边界上必能达到最大值。的边界上必能达到最大值。)(zf| )(|zf| )(|zf在在 上的最大值上的最大值rz |必在必在 上取得，上取得，rz |因此，当因此，当 时，有时，有21rr . )(| )(|max| )(|max)(2|121rMzfzfrMrzrz 即即 是是 r 的单调上升函数。的单调上升函数。)(rM即即

9、P70 例例3.11 由最大模原理及其推论可知，由最大模原理及其推论可知，证证. | )(|max| )(|max)(|zfzfrMrzrz 3.4 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数一、高阶导数定理一、高阶导数定理二、柯西不等式二、柯西不等式三、刘维尔定理三、刘维尔定理一、高阶导数定理一、高阶导数定理分析分析则由则由柯西积分公式柯西积分公式有有. )(,d)(21)(DzzfizfC )1()( !1dd)( nnnznzz ,)(!1 nzn 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，在内解析，在 上连续，上连续，)(zfCDD 又又,)()(dd21 zzz ,)(2)(dd3122

10、 zzz 一、高阶导数定理一、高阶导数定理则则 的各阶导数均在的各阶导数均在 D 上解析，上解析，)(zf证明证明( (略略) )意义意义 解析函数的导数仍解析解析函数的导数仍解析。应用应用 推出一些理论结果。推出一些理论结果。且且( (进入证明进入证明?)?)( )1!( )( )d ,2nnCnffzzDiz定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，在内解析，在 上连续，上连续，)(zfCDD 反过来计算积分反过来计算积分. )(!2d)()(0)(10zfnizzzzfnCn . ),2,1( n 高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用, , 不在于通过积分来求导不在于通过积分

11、来求导, , 而在于利用求导计算积分而在于利用求导计算积分. .ii cos 099)(!992e zzi解解 1|3d)(cosizzizz. )(21ee i例例 计算计算.d1|100e zzzz解解 1|100dezzzz.!992 i izzi sco! 22例例解解) (.d 1为为整整数数求求积积分分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在在 zzenz由柯西古萨基本定理得由柯西古萨基本定理得 1; 0dznzzze, 1)2( n由柯西积分公式得由柯西积分公式得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i , 1)3( n Cnnzzzzfinzfd)()(2!

12、)( 100)(根据公式根据公式 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni22) 1()(e zzfz(1) 令令解解 .d)1(2|22e zzzzI例例计算计算 212222)(d)()(d)(eeCzCzizzizizziz则则 21d)(d)(CCzzfzzfI( (复合闭路定理复合闭路定理) )C2C1C2 i i如图，作如图，作 C1 , C2两个小圆，两个小圆，记为记为.21II .)()(22eizizz 解解 .d)1(2|22e zzzzI例例计算计算C2C2 iC1 i(2) 1221)(d)(eCzizzizIizzizi e2)(! 12

13、( (高阶导数公式高阶导数公式) ).)1(2eii .)1(2e2iiI 同样可求得同样可求得(3)21III ee)1()1(2iiii . )41sin(2i 二、柯西不等式二、柯西不等式定理定理设函数设函数 在在 内解析，且内解析，且 )(zfRzz |0,| )(|Mzf 则则,!| )(|0)(nnRMnzf . ),2,1( n( (柯西不等式柯西不等式) )证明证明,0:11RRR 函数函数 在在 上解析，上解析，)(zf10|Rzz ,!1nRMn 令令 即得即得,1RR ,!| )(|0)(nnRMnzf . ),2,1( n,d)()(2!)(10|100)( Rzznn

14、zzzzfinzf. ),2,1( n 10|100)(d| )(|2!| )(|Rzznnszzzfnzf三、刘维尔定理三、刘维尔定理定理定理设函数设函数 在全平面上解析且有界，则在全平面上解析且有界，则 为一常数。为一常数。)(zf)(zf设设 为平面上任意一点，为平面上任意一点，证明证明0z函数函数 在在 上解析，且上解析，且)(zfRzz |0,0 R,| )(|Mzf 根据根据柯西不等式柯西不等式有有,| )(|0RMzf 令令 即得即得,R,0)(0 zf由由 的任意性，知在全平面上有的任意性，知在全平面上有0z,0)( zf则则 为一常数。为一常数。)(zf证证( (反证法反证法

15、) ) 设函数设函数,)(0111azazazazfnnnn 其中，其中， n 为正整数，为正整数，例例,0 na( (代数基本定理代数基本定理) )证明方程证明方程 在全平面上在全平面上0)( zf至少有一个根。至少有一个根。假设假设 在全平面上无根，即在全平面上无根，即0)( zf, )(0)(zzf ,0 nnzznnlim (z)lima zaza za 11101又又故故 在全平面上有界，在全平面上有界，)(z 根据根据刘维尔定理刘维尔定理有有Cz )( ( (常数常数) )，1)(Czf ( (常数常数) )， 与题设矛盾。与题设矛盾。则函数则函数 在全平面上解析，在全平面上解析，

16、)(1)(zfz 证证(1) 任取正数任取正数,2 r则函数则函数 在在 内解析，内解析，)(zfrz |由由高阶导数公式高阶导数公式有有( (注意注意 在在 上的性态不知道上的性态不知道) )(zf2| z,d)(21)0(|2 rzzzzfif,d|)(|21| )0(|2 rzszzzzff,d)(21| )0(|2 rzzzzzzfif证证 (1) rzrzszszzf|2d|121d|2|121| )0(|,12)2(21| )0(|2 rrrf,d|)(|21| )0(|2 rzszzzzff(2) 由由,|2|1|)(|zzzf 有有,221d) |2(|121|2rrszzrz

17、 证证(2) ,d|)(|21| )0(|2 rzszzzzff(1)(3) 令令 得得1 r.2| )0(| f12)2(21| )0(|2 rrrf,1)2(1 rr证证(1) 由于由于 在在 内解析，根据内解析，根据高阶导数定理高阶导数定理可得可得)(zf2| z2| z在在 内，内， 也解析；也解析；)(zf (2) 由由 可得可得| 2)(|zzf 在在 内，内， ，2| z0)( zf)()(zfzfz 在在 内解析；内解析；2| z(3) 根据根据柯西积分公式柯西积分公式有有证证(4) 由由, | 2)(|zzf ;2)0( f;)0()0(2ff 即得即得. )0(d)()(1

18、1|)(fzzzfzfziz 0)()()(12 zzfzfzii 1|d)()(1)(zzzzfzfzi,0| 2)0(| f 高阶导数公式是复积分的重要公式高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本同时表明了解析函数与实变函数的本质区别质区别.高阶导数公式高阶导数公式小小 结结( )1!( )( )d ,2nnCnffzzDiz练习练习 CzzzzzzgzC.d)()( , 302400求求的简单闭曲线的简单闭曲线是不通过是不通过设设答案答案 ; 0)(

19、, 00 zgCz外外在在 . )16(2)( , 2000izzgCz 内内在在重点：重点：难点：难点：1. 复积分的基本定理；复积分的基本定理；2. 柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算复合闭路定理与复积分的计算重点和难点重点和难点复积分复积分积分的性质积分的性质柯西积分定理柯西积分定理牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式复合闭路复合闭路 定定 理理柯西积分柯西积分公公 式式高阶导数高阶导数公式公式内容提要内容提要 休息一下附：附：连续函数的平均值连续函数的平均值( (以平均气温为例以平均气温为例) )设某时间段内的温度函数为设某时间段内的温度函数

20、为, )(btatTT 将将 n 等份，等分点为等份，等分点为,ba,210btttatn 记记,nabt 即即,1abtn t)(tTabkt1 kt0tnt平均气温平均气温 nkkntTnT0)(1lim nkktttTab00)(1lim.d)(1 battTab( (返回返回) )平均气温平均气温01( ).nkkTT tn附：附：高阶导数定理的证明高阶导数定理的证明. )(,d)()(2!)(0100)(DzzzzzfinzfCnn 定理定理 如果函数如果函数 在区域在区域 D 内解析，在内解析，在 上连续，上连续，)(zf则则 的的各阶导数均在各阶导数均在 D 上解析上解析，且，且CDD )(zf证明证明由函数由函数 在在 上连续，有上连续，有)(zfCDD 在在 上有界，即上有界，即| )(|zfCDD .| )(|Mzf 设边界设边界 C 的长度为的长度为 L。(1) 先证先证 的情形的情形，即证，即证.d)()(21)(200 Czzzzfizf1 n附：附：高阶导数定理的证明高阶导数定理的证明证明证明(1) 先证先证 的情形的情形，即证，即证.d)()(21)(200 Czzzzfizf1 n根据根据柯西积分公式柯西积分公式有有,d)(21)(00 Czzzzfizfzzfzzfzf )()(