第四章 多自由度系统

1、第四章 多自由度系统主讲：王林鸿教授、博士机械与汽车学院引言从数学上完整叙述多自由度系统振动理论；从数学上完整叙述多自由度系统振动理论；固有频率与振型理论；固有频率与振型理论；求解系统响应的振型叠加方法和变换方法。求解系统响应的振型叠加方法和变换方法。4.1 运动微分方程耦合耦合:不是对角矩阵不是对角矩阵列向量列向量方阵方阵解耦是关键解耦是关键刚度矩阵各元素的意义i i是维持力的自由度的序号是维持力的自由度的序号J J是假设位移自由度的序号是假设位移自由度的序号列列例4.1 定义刚度矩阵从定义出发列出三矩阵；从定义出发列出三矩阵；意义明确但比较麻烦意义明确但比较麻烦每一步得到刚度矩阵一个列每一

2、步得到刚度矩阵一个列用能量法求三个矩阵用能量法求三矩阵简单易行用能量法求三矩阵简单易行能量法是最普遍的方法能量法是最普遍的方法三矩阵的对称性矩阵的正定性用能量法求例4.1的矩阵用线性变换法求解方程求解的关键是解耦求解的关键是解耦解耦的关键是矩阵对角化解耦的关键是矩阵对角化对角化的关键是找变换矩阵对角化的关键是找变换矩阵线性变换把耦合的旧坐标线性变换把耦合的旧坐标变换到解耦的新坐标变换到解耦的新坐标解决变换矩阵的存在问题解决变换矩阵的存在问题新旧坐标系的能量新旧坐标系的能量量不变、形式改变量不变、形式改变由能量形式改变导出由能量形式改变导出新旧坐标系三矩阵与新旧坐标系三矩阵与变换矩阵的关系变换矩

3、阵的关系新坐标代入老坐标方程新坐标代入老坐标方程利用新旧坐标三矩阵利用新旧坐标三矩阵新坐标运动微分方程新坐标运动微分方程注意：新坐标下激励注意：新坐标下激励由老坐标初始条件导出由老坐标初始条件导出新坐标初始条件新坐标初始条件实现了新老坐标定解问题的变换实现了新老坐标定解问题的变换结论：存在所寻找的变换矩阵结论：存在所寻找的变换矩阵4.2固有频率与振型解决变换矩阵解决变换矩阵具体内容问题具体内容问题途径：解固有振动途径：解固有振动特征值问题特征值问题频率方程频率方程解得解得n个固有频率个固有频率回代特征方程解得回代特征方程解得n个对应向量个对应向量式不式不固有频率 固有振型所谓固有，就是与外界激

4、励无关所谓固有，就是与外界激励无关完全决定于质量和刚度矩阵。完全决定于质量和刚度矩阵。与单自由度固有频率类比。与单自由度固有频率类比。振型的正规化人为规定一个人为规定一个比较大小的基准比较大小的基准模态质量归一法模态质量归一法正规化就是归一化正规化就是归一化在新坐标下归一在新坐标下归一最大振型归一法最大振型归一法振型的正交性振型正交性的物理意义振型正交性的物理意义正交的振型与正交的坐标基相似正交的振型与正交的坐标基相似正交的振型可以用作正交的坐标基正交的振型可以用作正交的坐标基振型的正规正交化条件为表达方便为表达方便引入记号引入记号单位矩阵单位矩阵最大振型正交归一法最大振型正交归一法模态质量正

5、交归一法模态质量正交归一法两种正规正交化方法刚度矩阵对角化刚度矩阵对角化模态质量正交归一法模态质量正交归一法质量矩阵对角化质量矩阵对角化最大振型正交归一法最大振型正交归一法质量、刚度矩阵对角化质量、刚度矩阵对角化实现质量、刚度矩阵的对角化梦里寻她千百度，慕然回首，梦里寻她千百度，慕然回首，答案却是振型矩阵能使质量刚度矩阵对角化！答案却是振型矩阵能使质量刚度矩阵对角化！踏遍千山万水，历尽千辛万苦，踏遍千山万水，历尽千辛万苦， 总算找到它了！总算找到它了！全体振型向量组的线性无关性全体振型向量组线性无关全体振型向量组线性无关基、线性表出、振型坐标展开定理能够解耦的新坐标就是振型坐标能够解耦的新坐标

6、就是振型坐标展开定理的矩阵形式至此为了方程解耦而苦苦寻找的：至此为了方程解耦而苦苦寻找的：线性变换线性变换变换矩阵变换矩阵=振型矩阵振型矩阵新坐标新坐标=振型坐标振型坐标全部水落石出。全部水落石出。振型坐标下的运动微分方程用寻找到的结论重新书写解耦运动方程：用寻找到的结论重新书写解耦运动方程：线性变换线性变换变换矩阵变换矩阵=振型矩阵振型矩阵新坐标新坐标=振型坐标振型坐标模态质量归一法模态质量归一法最大振型归一法最大振型归一法n个单自由度定解问题的组合个单自由度定解问题的组合通过线性变换解耦 物理空间物理空间( )( )0ttMuKu耦合耦合模态空间模态空间解耦解耦( )( )0iiiiM q

7、 tK q t( )( )ttuq( )( )ttuq模态叠加法模态叠加法现实社会问题现实社会问题“中国梦中国梦”(1)121 1km11x 22x 31x x第一阶固有振型:(2)10123km31x 11x 20 x x第二阶固有振型:(3)111 32km11x 21x 31x x第三阶固有振型:节点多自由度无阻尼自由振动解的特征振型图反映了各自由度之间的振动规则（章法）振型图反映了各自由度之间的振动规则（章法）固有振型固有振型固有振型1st1st水平弯曲水平弯曲2nd2nd水平弯曲水平弯曲1st1st扭转扭转2nd2nd扭转扭转1st1st垂直弯曲垂直弯曲2nd2nd垂直弯曲垂直弯曲固

8、有振型膜的各阶固有振型膜的各阶固有振型固有振型典型模态分析实例激励力可测激励力可测汽车、工程机械、发动机、卫星等汽车、工程机械、发动机、卫星等变时基法测量大型结构变时基法测量大型结构铁路桥、飞船发射平台、超重训练机等铁路桥、飞船发射平台、超重训练机等激励力不可测激励力不可测桥梁、楼房、井架等桥梁、楼房、井架等运行中的机车运行中的机车实例1(火箭发动机,卫星,雷达)实例2(汽车,工程机械)实例3(龙洗、编钟、模型、集中质量梁)实例4(大型结构,锤击)航天员超重训练机 铁路桥 飞船发射平台(750T)实例5(桥梁)上海卢浦大桥目前世界上最大跨径钢拱、梁组合体系中承式系杆拱桥 超低频,频率密集,振型

9、耦合强分析了前12阶模态，包括对称和反对称的竖弯、侧弯、扭转等实例6中旅大厦 西宁北川河桥 井架 运行中的机车4.3 动力响应分析多自由度系统的强迫振动多自由度系统的强迫振动阻尼耦合与解耦已经解决：质量矩阵和刚度矩阵对角化问题：找振型矩阵已经解决：质量矩阵和刚度矩阵对角化问题：找振型矩阵还需解决：阻尼矩阵的对角化问题：人为近似处理。还需解决：阻尼矩阵的对角化问题：人为近似处理。振型叠加法求解步骤老坐标定解问题老坐标定解问题通过齐次方程求固有振动得通过齐次方程求固有振动得振型矩阵，用振型矩阵作线振型矩阵，用振型矩阵作线性变换性变换矩阵坐标定解问题的形式矩阵坐标定解问题的形式阻尼耦合与模态阻尼矩阵

10、对角化问题模态阻尼矩阵模态阻尼矩阵Rayleigh阻尼的对角化通过振型矩阵对角化通过振型矩阵对角化老坐标下阻尼矩阵老坐标下阻尼矩阵振型矩阵无法对角化的人为强行规定人为规定新坐标下的人为规定新坐标下的阻尼矩阵为对角矩阵阻尼矩阵为对角矩阵人为强行规定对角化的三种方法人为规定新坐标下的人为规定新坐标下的阻尼矩阵为对角矩阵阻尼矩阵为对角矩阵解耦后的定解问题及解法变成变成n个单自由度方程个单自由度方程逐个求解后，振型坐标下叠加逐个求解后，振型坐标下叠加激励振型阶数的取舍响应振型阶数的取舍前十阶振型足矣！前十阶振型足矣！动力响应举例第第j行不为行不为0的列向量的列向量第第j阶振型阶振型新坐标下每个解耦运动

11、方程的解变成变成n个单自由度方程个单自由度方程每个方程第每个方程第j行元素非行元素非0每个方程的单位脉冲响应每个方程的单位脉冲响应旧坐标下系统总响应与单个自由度的响应n个振型的线性组合，是个列向量个振型的线性组合，是个列向量取上边列向量的第取上边列向量的第i行行,是个函数是个函数多自由度单位脉冲响应矩阵传感器位置传感器位置锤击位置锤击位置振动模态试验振动模态试验系统固有特性：由固有系统固有特性：由固有频率和固有振型构成频率和固有振型构成4.4 动力响应分析中的变换方法拉普拉斯变换法变换关系傅里叶变换法传递函数矩阵元素的意义频响函数矩阵元素的意义与脉冲响应函数互为变换对传递函数频响函数与模态参数

12、的关系受简谐激励的振动系统当激励受简谐激励的振动系统当激励频率接近系统的固有频率时会产频率接近系统的固有频率时会产生共振。生共振。为减少振动，要改变系统的固为减少振动，要改变系统的固有频率，或者增加系统的阻尼。有频率，或者增加系统的阻尼。如果受实际条件的限制，系统如果受实际条件的限制，系统的固有频率不能改变，而增加阻的固有频率不能改变，而增加阻尼后仍嫌响应过大，则可考虑采尼后仍嫌响应过大，则可考虑采用动力吸振器。用动力吸振器。4 4、动力吸振器动力吸振器隔振与减振措施二自由度动力吸振器精心选择字子系统参数精心选择字子系统参数李代桃僵李代桃僵动力吸振曲线动力吸振曲线动力吸振器与阻尼夹在两座大山之

13、间，夹在两座大山之间，要格外小心要格外小心第四章知识点核心问题是耦合与解耦；主要规律是固有振动。核心问题是耦合与解耦；主要规律是固有振动。耦合方程向解耦方程的形式转变；刚度矩阵元素的物理意义；广义特征耦合方程向解耦方程的形式转变；刚度矩阵元素的物理意义；广义特征值问题；频率方程；振型正规化（归一化）；两种归一化方法；模态质值问题；频率方程；振型正规化（归一化）；两种归一化方法；模态质量、模态刚度；正规正交化条件；量、模态刚度；正规正交化条件；n个振型向量构成个振型向量构成n维向量空间一个基；维向量空间一个基；n个阵型线性表出；振型坐标（主坐标）；展开定理；振型坐标系下的个阵型线性表出；振型坐标（主坐标）；展开定理；振型坐标系下的运动微分方程形式；阻尼矩阵人为对角化的方法；多自由度系统的单位运动微分方程形式；阻尼矩阵人为对角化的方法；多自由度系统的单位脉冲响应；动力吸振器。脉冲响应；动力吸振器。基本算法：基本算法：解频率方程得解频率方程得n个固有频率；个固有频率；分别回代分别回代n个固有频率至广义特征值问题；个固有频率至广义特征值问题；分别解相应的广义特征值问题得分别解相应的广义特征值问题得n个振型；个振型；由由n个振型构成阵型矩阵即是能使方程解耦的变换矩阵