射频微波电路导论 课件(西电版)第7章

1、第7章 射频/微波滤波器滤波器的基本原理 频率变换及滤波器的实现耦合线带通滤波器耦合谐振带通滤波器7.1 滤波器的基本原理 1. 历史简述 微波滤波器研究始于二战前几年，先驱有Mason、Sykes、Darlinton、Lawson和Richards。滤波器设计的镜像参量法是在20世纪30年代后期开发的，用于无线电和电话的低频滤波器中。在20世纪50年代初期，在斯坦福研究所由G. Matthaei，L. Yong，E. Jones，S. Cohn等人组成的科研组成为微波滤波器和耦合器开发的最活跃人物。滤波器和耦合器方面的多卷本手册是由这些工作得来的，如Microwave Filters, Im

2、pedance-Matching Networks一书已成为经典的有价值的参考书。现今，大多数微波滤波器设计是用基于插入损耗法的复杂CAD软件包来进行的。使用分布元件的网络综合法的不断改进、低温超导的应用、在滤波器电路中使用有源器件(可重构滤波器设计)、新技术的引入(异向介质)和新应用的需求(WiFi、Wimax、UWB等)，使得微波滤波器的设计至今仍是一个活跃的研究领域。2. 滤波器的功能及技术指标 滤波器功能：二端口网络，通带内提供信号传输并在阻带内实现信号传输抑制。 技术指标：n工作频率：3dB带宽(相对)、插损带宽(绝对、常用)n插入损耗：电阻性损耗及反射损耗n带内波纹：插损在带内的波

3、动范围n带外抑制：滤波器矩形度的一种描述n承受功率：决定了滤波器的实现形式和选材3. 应用插损法设计滤波器 插损法是一种系统的综合方法，可高度的控制整个通带和阻带内的振幅和相位特性，可以计算出满足应用需求的最好响应。如要求插损小，可用二项式响应；而切比雪夫响应能满足锐截止的需要；若可牺牲衰减率的话，则能用线性相位滤波器设计法获得好的相位响应。插损法使滤波器性能提高的最为直接的方法便是增加滤波器的阶数，滤波器的阶数等于元件的个数。 插损表征插损(插入衰减)定义为 若源和负载都是匹配的，则PLR是|S21|2的倒数(工作衰减)。已知|()|2是的偶函数，因此可表示为2的多项式 因此 物理上可实现的

4、滤波器，其插损必须取(7-3)的形式，设定的插损同时制约着反射系数()。2loadinc)(11PPPLR传送到负载的功率来自源的可用功率 (7-1) (7-2) (7-3) A. 最平坦 该特性也成为二项式或巴特沃兹响应，对给定的滤波器复杂性及阶数情况下，它可提供可能有的最平坦响应。对于低通滤波器，它设定为 其中N为滤波器阶数(元件数)，c为截止频率，通带从=0延伸到=c。在带边插损为1+k2。若选择此点作为3dB点，有k=1。当c，衰减随着频率单调上升，如图7.1所示；当c，PLRk2(/c)2N，它表明插损增加率为20N dB/十倍频程。在=0处，(7-4)的前(2N-1)阶导数都是零。

5、 (7-4) 图7.1 最大平坦和等波纹低通滤波器响应(N=3)B. 等波纹 采用切比雪夫多项式设定N阶低通滤波器的插入损耗响应为 如此会得到一个较陡的截止响应，但同时通带响应具有1+k2的波纹，如图7.1所示。当|x|1，TN(x)在1之间振荡，所以k2决定通带波纹高度，对于大的x， TN(x)(2x)N/2，所以对于c，插损为 其上升率也是20N dB/十倍频程，但在任意给定频率c处，切比雪夫情况插损是(22N)/4，大于二项式响应。C. 椭圆函数 (7-5) 图7.2 椭圆函数低通滤波器响应 最平坦低通滤波器原型综合 网络综合是网络分析的逆过程，是根据预先给定的工作特性指标，运用一定的数

6、学方法，求出物理上可实现的网络结构，以满足其工作特性。 低通原型指标有四个参数：LAr(通带内最大衰减) ， 1(截止频率) LAs(阻带最小衰减) 和s(阻带边频)。其插入衰减函数为 式中归一化频率 由 确定了和n后，由双端口网络综合法，就可以综合出滤波器的梯形电路。一般取=1( 处插入衰减为3dB)，令s=j，则 于是 (7-6) (7-7) (7-8) (7-9) ArAssLL ,111111 (7-10) (7-11) 式中 和 分别是位于s左半平面分子和分母多项式的根， 和 分别是位于s右半平面分子和分母多项式的根，P(s)和Q(s)是根在左半平面的多项式，而 是根在右半平面的多项

7、式， (s)可取(7-12)中P和P中的一个作分子，而分母必须取Q(s)，才能保证将来求得的输入阻抗是可以综合的，即输入阻抗是正实函数(a) 当s为实数时，Zin(s)必为实数；(b) 当Res 0时，ReZin(s) 0)。 此外，(s)还可以加上“”号，这样虽然得到的阻抗不同，但它们互为对偶。此处规定 求得(s)后，便可得归一化输入阻抗为 最后，利用辗转相除法将其化为连分式，便可综合出无耗双端口网络的梯形网络结构。 对于低通滤波器而言，可取P(s)=sn，Q(s)左半平面的根为 (7-12) (7-13) (7-14) 左半平面的根为sk (k = 1,2,n)，如图7.3所示，则 于是

8、，若取负号，则得到归一化输入导纳为 利用辗转相除法，由上式可得到 归一化元件值为 (7-14) 图7.3 左边平面的根 (7-15) (7-16) (7-17) (7-18) 图7.4(a)示出了其梯形电路，可看出gk(k = 1,2,n)为归一化电感或电容，gn+1为归一化负载电阻或电导(并联时为电阻，串联时为电导)，n为滤波器元件总数。若在正号，则得 ，与(7-16)具有相同的形式，因此两者具有如(7-18)示出的相同元件值，并对应如图7.4(b)电感输入式梯形电路，gn+1=1，因为处要求LA()=0，即全功率传输。此外，最平坦低通原型元件值具有对称性 最后对归一化元件值针对Z0和1进行

9、反归一。图7.4 低通原型的梯形电路结构 等波纹低通滤波器原型综合 等波纹型低通滤波器原型的插入衰减函数为 式中Tn()是n阶第一类Chebyshev多项式 Tn()在=01之间是一余弦函数，故衰减呈现等波纹变化； =1时， Tn(1)=1，衰减达到最大值LAr，即 ，于是 故LAr是波纹幅度， 是波纹因数，越小，带内波纹越小，此外，带内最小衰减为0。在1的阻带区域，Tn()是一双曲余弦函数，衰减随增大而单调增加。设在阻带频率 上衰减为LAs，则 于是电抗元件数目为 (7-19) (7-20) (7-21) (7-22) (7-23) Chebyshev多项式还具有如下性质 表明：N为奇数时，

10、滤波器插入衰减为0dB，g0= gn + 1= 1 ， 并 且 元 件 也 具 有 对 称性 ； N为偶数时，即 ，且此时元件值不再具有对称性。 已知和n，应用与最平坦网络类似的方法，可综合出梯形电路(形式和约定仍如图7.4所示)及其归一化值 其中 (7-24) 0)1lg(10)0(AL101ngg为偶数为奇数nnTn, 1, 0)0( (7-25) 最平坦和等波纹型低通滤波器原型特性比较及小结n两种原型的综合过程一致，最平坦型在带内有平滑的衰减特性，而等波纹型在带内有波纹抖动形式的衰减；在带外，等波纹型较最平坦型有更大的衰减，即有更良好的衰减度。n两种低通原型具有相同的梯形等效电路；最平坦

11、型具有对称的元件值分布，且负载阻抗等于源阻抗，等波纹型仅当元件数为奇数时与最平坦型有相似的特性，而当元件数为偶数时，元件值分布不对称且负载阻抗不等于源阻抗。ngn+1当串接时为归一化电导，并接时为归一化电阻。n最平坦型和等波纹型低通滤波器原型其归一化元件值常作为复杂滤波器的设计基础，通过适当的频率变换可以实现多种不同形式的滤波功能，比如多频带、超宽带、交叉耦合实现的锐截止特性等等，归一化元件值可通过查表或编程计算求得。n通常设计最平坦型低通滤波器时，都选取3dB带宽，即令=1。【例1】利用微带开路、短路短截线设计低通滤波器，指标为：截止频率f1=5GHz，通带最大衰减LAr=0.1dB，在fs

12、=10GHz上，阻带衰减大于30dB，输入、输出线的特性阻抗为50。【解】Step.1 确定低通原型 由于最平坦低通原型3dB带宽的限制，选用等波纹型低通原型根据(7-21)和(7-23)可计算出n=5，可查表知元件值为 反归一元件值，选用电感输入式 Step.2 选微带基板参数 r=9.6，h=0.8mm (Al2O3) Step.3 采用微带高阻线设计电感 微带高阻线一般选在100左右，再高，线太细，功率容量低。此处选择Z0h=90.96，则微带线宽度W1=0.16mm，e=5.93，于是微带线波长为(7-21)(7-23)mSmSmSmSmSmSmSpF485. 242 CCpF485.

13、 242 CCpF485. 242 CCpFCC873. 042mSmSmSmS 图7.5示出了高低阻抗线T型和型等效电路，高阻时，如图7.5所示，对于线长l e/4 ，XLZ0，Bc0，于是 Step.4 采用微带低阻线设计电容 图7.5可同时表示低阻线等效电路，此时对于线长l e/4 ，BcY0，XL0，于是选定低阻为33.87 可计算出尺寸为 图7.5 高低阻抗线的等效电路mmvYCllpLL58. 102429 . 6eL9 . 6eL11111014. 1103eLpLv Step.5 修正不连续性的影响 为修正电容线开路端的边缘电容效应，通常将线缩短1，对于氧化铝陶瓷基片有经验公式

14、1=0.33h=0.264mm。 为修正十字接头对电感线的影响，通常将电感线增长2 ，对于氧化铝陶瓷基片，有经验公式2=0.2 W2=0.32mm，于是修正后各线段长度为 Step.6 全波仿真验证及优化 图7.6 微带线低通滤波器1.频率变换 低通源型可以完成截止频率为1，源内阻也为1的低通滤波器。实际的滤波器不仅截止频率和源内阻不一定为1，通带特性也不一样。除了低通外，还有高通、带通和带阻。利用频率变换和阻抗变换可以从低通原型的元件值得到任何一种实际的滤波器的结构和元件值。由低通原型出发的实际滤波器综合过程如图7.7所示，重点介绍低通至带通的频率变换。图7.7 实际滤波器设计过程7.2 频

15、率变换及滤波器的实现 低通至带通频率变换 设低通原型的频率变量为(即x=/1)，带通滤波器的频率变量为，两者的响应特性如图7.8所示，由图，若在以下五点上衰减相同，就可进行频率变换，即FrequencyTransformation图7.8 由低通至带通的频率变换 式中0是带通滤波器的中心频率，2是上边带频率， 1是下边带频率，设低通到带通的频率变换式为 此式满足条件(1)和(5)，为满足(2)、(3)和(4)，由计算知 最终可得频率变换式 或 若低通原型中有电感L，经(7-26)变换为 式中 低通原型中的电感L变换到带通滤波器为电感Ls和电容Cs相串联的串联电路，元件值如(7-27)确定。若L

16、=gk，定义归一化带通滤波器，即(7-24)(7-25)(7-26)(7-27) 1=1， 0=1，于是串联电路的电感和电容的归一值为 至于低通原型中的电容C，变换到带通滤波器中有 式中 可见，低通原型中的电容变换到带通滤波器为电感Lp和电容Cp的并联电路，元件关系由(7-29)确定。若低通原型中电容C等于归一值gk ，则变换到归一带通滤波器(1=1， 0=1)中，于是并联电路中的电感和电容的归一值为(7-28)(7-29)(7-30) 图7.9示出了由归一低通原型到归一带通滤波器的电路变换情况。 有了归一化带通滤波器电路，即可施行元件的反归一化，从而得到真实的元件值。图7.9 由低通原型变换

17、成归一带通滤波器电路串联支路并联支路 低通至带阻频率变换 或FrequencyTransformation图7.10 由低通至带通的频率变换图7.11 由低通至带阻的频率变换 低通至高通频率变换 或FrequencyTransformation图7.12 由低通至高通的频率变换图7.13 由低通至高通的频率变换2. 滤波器的实现 微波频率下的集总元件滤波器会出现两个问题：第一，集总元件如电感或电容仅有有限值可供选择，且在微波频率下会存在不可避免的寄生频率效应；第二，滤波器中各元件间的距离不可忽略。理查德变换可将集总元件变换成传输线段，而科洛达恒等关系可用传输线段分割滤波器各元件，因添加的传输线

18、段并不影响滤波器响应，所以这类设计称为冗余滤波器综合。 低通至带通频率变换 变换将平面映射到平面，它以周期l/vp=重复出现，此变换是P. Richard为了用开路和短路传输线来综合LC网络而引入的。于是 意即域内的电感可由域内的特性阻抗为L的短路短截线代替，并且域内的电容可由域内的特性阻抗为1/C的开路短截线代替。设定滤波器阻抗为1。(7-31)(7-32a)(7-32b) 对于滤波器低通原型，截止产生在单位频率处；为使经Richard变换的滤波器获得同样的截止频率，有 要求短截线的长度为/8，此处是传输线在截止频率c下的波长，意即域内的截止频率c变换到域内的归一截止频率。在频率0= 2c处

19、，传输线的长度将是/4，在这里将发生衰减的极点。在频率远离c时，短截线的阻抗不再与原集总元件阻抗匹配，意即等衰减条件不再满足，此时，滤波器的响应将不同于所希望的原型响应。此外，该响应是随频率周期变化的，每4c重复一次。(7-33)图7.14 理查德变换 (a)电感变为短路短截线 (b)电容变为开路短截线 科洛达恒等变换 四个科洛达恒等关系式(如表7.1所示)使用冗余传输线段，得到在实际上更容易实现的微波滤波器，这可通过如下操作的任意一个来完成：l使传输线短截线在物理上分隔开。l串联短截线转换成并联短截线，反之亦然。l把不实际的特征阻抗变为一种较易实现的特征阻抗。附加的传输线段称为单位元件(un

20、it elements)，它在c处长度为/8，与用于实现原型设计的电感和电容的短截线相对应。与表7.1(a)相对应的科洛达恒等变换如图7.15所示，其中方框代表单位元件，要使两者完全等效，由A矩阵相等可以推出等效图7.15 表7.1(a)中的恒等关系表7.1 四个科洛达恒等关系(n2=1+Z2/Z1)【例2】设计一个用微带线制作的低通滤波器，其特性是，截止频率4GHz、3阶、阻抗50和3dB等波纹特性。【解】Richard变换加冗余段Kuroda Identity 阻抗频率反归一微带实现图7.16 例2中集总元件和分布元件低通滤波器的振幅响应 阻抗和导纳倒相器 科洛达恒等关系可使滤波器只含串联

21、或并联元件，另一种可能是用阻抗(K)或导纳(J)倒相器，这种倒相器特别适用于窄带宽(10%)的带通或带阻滤波器。图7.17 K倒相器及J倒相器及其A矩阵表示图7.18 用四分之一波长实现K或J倒相器图7.19 用混合元件实现K或J倒相器图7.20 用电容网络实现K或J倒相器 已采用平行耦合线来设计定向耦合器，其也能用于设计多种类型的滤波器，例如要制作带宽小于20%的微带或带状线型多节带通滤波器是容易办到的。更宽的带宽通常需要很紧密的耦合线，这给制造增加了困难。 耦合线段的滤波特性激励的奇偶模分解7.3 耦合线带通滤波器 图7.21 耦合线节:(a) 用端口电压、电流定义(b) 用偶模和奇模定义

22、 (c) 有带通响应的二端口耦合线段 (7-34a)(7-34b)(7-34c)(7-34d) 首先考虑用i1电流源在偶模下驱动此线，并假定其余端口开路，于是端口1或端口2的输入阻抗为 在两导带上任意点的电压可表示为 因此在端口1或端口2处的电压是 由(7-35)和(7-37)求出 并代入(7-36)中可得 同理i3驱动下的偶模电压是(7-35)(7-36)(7-37)(7-38)(7-39) 同样可以计算奇模驱动时的导带电压。 i2驱动下的奇模电压是 i4驱动下的奇模电压是 根据线性电路的叠加定理，端口1处的总电压是 其中=l，将(7-34)代入上式可得(7-40)(7-41)(7-42)(

23、7-43) (7-43)表征四端口耦合线节阻抗矩阵Z的第一行，由对称性知 一个二端口网络可由平行耦合线节形成，方法是把四个端口中的两个端口终端开路或短路，有十种可能的组合，对于带通滤波器，我们感兴趣的是图7.21(c)所示的情况，此时I2=I4=0，四端口阻抗矩阵方程式简化为 用Z参量表示的镜像阻抗为(7-44a)(7-44b)(7-44c)(7-44d)(7-45a)(7-45b)(7-46) 当耦合线长为/4(=/2)时，镜像阻抗可简化为 这是一个正数，因为偶模阻抗一般大于奇模阻抗；但是当 或时， ，表明是阻带。镜像阻抗实部如图7.22所示。此处，截止频率可由式 (7-46) 求解 此外，

24、传播常数为 这表明对于 ，是实数。(7-47)图7.22 图7.21(c)所示带通网络的镜像阻抗实部(7-48)(7-49) 耦合线带通滤波器设计 首先证明图7.21(c)中的单段耦合线可与7.23所示的网络等效。 此等效网络的A矩阵为 其镜像阻抗为 在中心频率q=p/2处，该式简化为图7.23 图7.21(c)所示带通网络的等效网络(7-50)(7-51)(7-52) 其传播常数为 由(7-47)和(7-49)与(7-52)和(7-53)对应相等有 于是可解出偶模和奇模线阻抗为 现考虑N+1个耦合线级联组成的带通滤波器，如图7.24所示，每段耦合线的等效电路如图7.23所示。(7-53)(7

25、-54)(7-55)图7.24 N+1条耦合线带通滤波器布局图7.25 对每条耦合线使用图7.23所示的等效网络 任意两个倒相器间2q的传输线段，它可作如下等效 意即在中心频率附近，2q 线长度接近半波长，可用并联LC谐振器等效 对于图7.25的电路最后一段亦需做不同的处理，线是与Z0匹配的，可忽略 (7-56a)(7-56b) J变换器的等效为如下图所示，匝数比为JZ0，l/4线仅产生一个相移，仍可忽略。 至此可作出N=2时的等效电路，如图7.26所示 下面再证明倒相器有把并联LC谐振器转换到串联LC谐振器的作用，最终可以等效为 图7.26 N=2时图7.24和图7.25所示的等效电路 图7

26、.27 N=2时带通滤波器的集总元件电路 参考图7.26，滤波器输入导纳为 参考图7.27，此时集总元件滤波器的输入导纳为 (7-57)和(7-58)两式在形式上完全相同，因此这两个电路是等效的(7-57)(7-58)(7-59a)(7-59b)(7-59c) 由(7-56a、b)已知了Ln和Cn，而从低通原型的集总元件值，经过阻抗和频率变换可定出 和 为 式中=(2-1)/0是滤波器的相对带宽，于是由(7-59)可解出 求得Jn之后，每个耦合线的奇偶模阻抗可由(7-55)计算得出。(7-60a)(7-60b)(7-60c)(7-60d)(7-61a)(7-61b)(7-61c) 由N=2的情

27、况进行推广，可得任意段数和ZLZ0(或gn+11，如N为偶数等波纹响应的情况)的更普遍的结果，一般的对于N+1段的耦合线段的带通滤波器设计公式为 然后可用(7-55)计算出奇模和偶模的特征阻抗。(7-62)7.4 耦合谐振器滤波器 用四分之一波长谐振器的带阻和带通滤波器 已知l/4开路或短路传输线段，可分别等效为串联或并联谐振器，若用l/4的传输线段作为导纳倒相器来连接这种串、并联谐振器，可实现带通或带阻滤波器，如图7-28所示。注意在中心频率0处所有传输线长均为l/4，且导纳倒相器的作用是使并联谐振器转换为串联谐振器。图7.28 并联传输线谐振器的带阻和带通滤波器 (a) 带阻滤波器 (b)

28、 带通滤波器 重点分析7.28(a):如图7.29所示，当开路短截线接近90时，可等效为串联LC谐振器。若开路线特性阻抗为Z0n，其输入阻抗为 对于0有qp/2。若令0，其中0，则qp/2(1 /0)，所以(763)可化为 对于在0附近的频率，串联LC电路阻抗是 式中LnCn=1/02。比较式(764)和(765)知 若将并联短截线间的l/4波长线段考虑为理想的导纳倒相器，则图7.28(a)所示的带阻滤波器可用如图7.29(b)所示的等效电路表示，进一步，该等效电路的电路元件与图7.29(c)所示的带阻滤波器原型的集总元件相关。(7-63)(7-64)(7-65)(7-66)图7.29 7.2

29、8(a)中带阻滤波器的等效电路: (a) 开路短截线q接近p/2时的等效电路 (b) 用谐振器和导纳倒相器的等效滤波电路 (c)等效的集总元件带阻滤波器 参考图7.29(b)，向L2C2谐振器看去的导纳Y是 而图7.29(c)中电路对应点的导纳是 若要如上两式对应相等，则需满足如下条件(7-67a)(7-67b)(7-68a)(7-68b) 因为LnCn=LnCn=1/02，所以由7.68可解出Ln： 结合(7.66)可知 式中，(21)/0是滤波器的相对带宽。易看出，带阻滤波器的特征阻抗的一般结果是(7-69a)(7-69b)(7-70a)(7-70b)(7-71) 用于短路短截线的带通滤波

30、器的相应结果是 这些结果只适用于输入和输出阻抗为Z0的滤波器，所以不能用于N为偶数的等波纹设计。用电容性耦合串联谐振器的带通滤波器 N阶滤波器使用N个串联谐振的传输线段，其间有N+1个电容性缝隙，如图7.30所示，在中心频率0处谐振器的长度近似为l/2，已证明该谐振器近似为一并联连接的LC谐振器，见式(7.56)。在串联电容两侧用负长度传输线段来重新画出图7.30(b)所示的等效电路，如图7.30(c)所示，此时 并有fi 0，此时串联电容和负长度传输线的组合形成了导纳倒相器的等效电路，此时要求(7-71)(7-72)(7-73)(7-74) 最终，电容性缝隙耦合滤波器可用7.30(d)模拟，经比较发现7.30(d)与耦合线带通滤波器等效电路7.25一致，因此可以利用耦合线带通滤波器的分析结果来完成当前问题，即利用7.62式由低通原型值(gi)和相对带宽求出导纳倒相器常数Ji，然后利用7.74求出第i个耦合缝的电纳Bi，最终，谐振器段的电长度可由(7.72)和(7.73)求解(7-75)图7.30 电容性缝隙耦合谐振腔带通滤波器与7.25所示的耦合线带通滤波器有等效的演化过程： (a) 电容性缝隙耦合谐振腔带通滤波器 (b) 传输线模型 (c) 用导纳倒相器形成的负长度的传输线模型(fi/