第一章数值计算方法

1、曹党生数值计算方法-与计算机相结合的数学学习目的学习目的 现代计算机的出现，研究适用于计算机的数值现代计算机的出现，研究适用于计算机的数值计算方法。计算方法。 数值计算方法揭示了包含在多种多样的数值方数值计算方法揭示了包含在多种多样的数值方法之间的结构和原理。法之间的结构和原理。 数值计算方法成为进行科学计算必不可缺少的数值计算方法成为进行科学计算必不可缺少的起码常识。起码常识。 如行列式解法的如行列式解法的Cramer法则可用来求解线性方法则可用来求解线性方程组程组,用这种方法解一个用这种方法解一个n元方程组元方程组,要算要算n+1个个阶行列式的值阶行列式的值,总共需要总共需要n!(n-1)

2、(n+1)次乘法；次乘法； 当当n=20时时,其乘除法运算次数约其乘除法运算次数约1021次方次方,即使用即使用每秒千亿次的计算机也得需要上百年每秒千亿次的计算机也得需要上百年,而用高而用高斯（斯（Guass）消去法约需消去法约需2660次乘除法运算次乘除法运算,并并且愈大且愈大,相差就愈大。相差就愈大。研究和选择好的算法是非常重要的研究和选择好的算法是非常重要的p本课程的基本要求本课程的基本要求n 掌握数值方法的基本原理掌握数值方法的基本原理n 掌握常用的科学与工程计算的基本方法掌握常用的科学与工程计算的基本方法n 能用所学方法在计算机上算出正确结果能用所学方法在计算机上算出正确结果 本章内

3、容本章内容1 引言引言2 误差的来源及分类误差的来源及分类 3 误差的度量误差的度量 4 误差的传播误差的传播 5 减少运算误差的原则减少运算误差的原则 第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差要求掌握的内容要求掌握的内容第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差p概念概念 包括有效数字、绝对误差包括有效数字、绝对误差、绝对误差绝对误差限限、相对误差、相对误差相对误差、相对误差限等限等p误差误差截断误差、舍入误差的详细内容，误差种截断误差

4、、舍入误差的详细内容，误差种类等类等p分析运算误差的方法和减少运算误差的若分析运算误差的方法和减少运算误差的若干原则干原则1.1 引言引言 数值分析又称计算方法数值分析又称计算方法, 它是研究各种数它是研究各种数学问题的数值解法及其理论的一门学科。学问题的数值解法及其理论的一门学科。p数值分析的任务实际问题实际问题数学模型数学模型数值计算方法数值计算方法程序设计程序设计上机计算上机计算数值结果数值结果任务根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机算出结果1. 1. 对于要解决的问题建立数学模型对于要解决的问题建立数学模型2. 2. 研究用于求解该数学问题近似解的算法研究用于求解该数学问

5、题近似解的算法和过程和过程3. 3. 按照按照2 2进行计算，得到计算结果进行计算，得到计算结果建立数建立数学模型学模型转化为转化为数值公式数值公式进行计算进行计算数值方法解题的一般过程数值方法解题的一般过程 数值计算以及计算机模拟，已经是数值计算以及计算机模拟，已经是在工程技术研究和经济、社会科学中广泛应在工程技术研究和经济、社会科学中广泛应用的方法。用的方法。天气预报与亿次计算机天气预报与亿次计算机波音波音777777的无纸设计的无纸设计、核磁共振核磁共振计算流体力学与爆炸工程计算流体力学与爆炸工程能源问题与大型计算能源问题与大型计算第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与

6、误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差计算作为计算作为工程技术工程技术研究方法研究方法p计算方法课程主要讨论如何构造求数学模计算方法课程主要讨论如何构造求数学模型近似解的算法，型近似解的算法，p算法的数学原理、算法的数学原理、p误差和复杂性，误差和复杂性，p配合程序设计进行计算试验配合程序设计进行计算试验p并分析试验结果。并分析试验结果。第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差与纯数学的理论方法不同，用数值计算方法所与纯数学的理论方法不同，用数值计算方法所求出的结果一般不是解的精确值或者准

7、确的解求出的结果一般不是解的精确值或者准确的解析表达式，而是所求真解的某些近似值或近似析表达式，而是所求真解的某些近似值或近似曲线。曲线。 例如方程例如方程 x x2 2=2sinx=2sinx，在区间在区间(1,2)(1,2)内有唯一内有唯一根根, , 但找不出求根的解析式但找不出求根的解析式, , 只能用数值计算只能用数值计算方法求其近似解。方法求其近似解。第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差1.2 1.2 误差的来源及分类误差的来源及分类 在做热力学实验中，从温度计在做热力学实验中，从温度计上读出的温度是

8、上读出的温度是23.423.4度，就不是一度，就不是一个精确的值，而是含有误差的近似个精确的值，而是含有误差的近似值。如量体裁衣，量与裁的结果都值。如量体裁衣，量与裁的结果都不是精确无误的，都含有误差。不是精确无误的，都含有误差。p在用数值方法解题过程中可能产生的误差在用数值方法解题过程中可能产生的误差归纳起来有如下几类：归纳起来有如下几类：n1. 1. 模型误差模型误差n2. 2. 观测误差观测误差n3. 3. 截断误差截断误差n4. 4. 舍入误差舍入误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差p用数学方法解决

9、一个具体的实际问题，首用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立数学模型，这就要对实际问题进先要建立数学模型，这就要对实际问题进行行抽象抽象、简化简化，因而数学模型本身总含有，因而数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误差误差，这种误差叫做模型误差p数学模型是指那些利用数学语言模拟现实数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关量的描述而建立起来的有关量的描述p数学模型的准确解与实际问题的真解不同数学模型的准确解与实际问题的真解不同1. 模型误差模型误差区别区别实际问题的真实际问题的真解解数学模型的真数学模型的真解解为减化模型忽略次要因素为减化模型忽略次要因素定理在特定条件下建立与

10、实际条定理在特定条件下建立与实际条件有别件有别p在数学模型中通常包含各种参变量，如温度、在数学模型中通常包含各种参变量，如温度、长度、电压等，这些参数是通过观测得到的，长度、电压等，这些参数是通过观测得到的，因此带来了误差，这种误差叫观测误差因此带来了误差，这种误差叫观测误差p模型中的参数和数据，是由观测和试验得到；模型中的参数和数据，是由观测和试验得到；p由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制限制,使数据含有误差使数据含有误差,这类误差叫做这类误差叫做观测误差；观测误差；p根据实际情况可以得到误差上下界；根据实际情况可以得到误差上下界；p需了解观

11、测误差需了解观测误差,以便选择合理的数值方法以便选择合理的数值方法2. 观测误差观测误差p 精确公式用近似公式代替时精确公式用近似公式代替时,所产生的误差叫所产生的误差叫截断截断误差误差 例如例如, 函数函数f(x)用泰勒用泰勒(Taylor)多项式多项式3. 截断误差截断误差nnnxnfxfxffxp!)0(! 2)0(! 1)0()0()()(2 1) 1()!1()()()()(nnnnxnfxpxfxR（介于0与x之间）近似代替，则数值方法的截断误差是近似代替，则数值方法的截断误差是p 截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算截断误差的大小直接影响计算结果的精度和计算 工作量，是数值

12、计算中必须考虑的一类误差工作量，是数值计算中必须考虑的一类误差p 在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算在数值计算中只能对有限位字长的数值进行运算p 需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长需要对参数、中间结果、最终结果作有限位字长的处理工作，这种处理工作称作舍入处理的处理工作，这种处理工作称作舍入处理p 用有限位数字代替精确数，这种误差叫做用有限位数字代替精确数，这种误差叫做舍入误舍入误差差，是数值计算中必须考虑的一类误差，是数值计算中必须考虑的一类误差4. 舍入误差舍入误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方法与误差第一章计算方

13、法与误差 例例如在计算时用如在计算时用3.141593.14159近似代替近似代替 ，产生的误差产生的误差R= R= -3.14159=0.0000026-3.14159=0.0000026就是舍入误差。就是舍入误差。 上述种种误差都会影响计算结果的准确上述种种误差都会影响计算结果的准确性，因此需要了解与研究误差，在数值计算性，因此需要了解与研究误差，在数值计算中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它们的传播与积累作出分析们的传播与积累作出分析误差的度量误差的度量 绝对误差和绝对误差限绝对误差和绝对误差限 定义定义1.1 1.1 设精确值设精确值x x的近似

14、值的近似值 x x* * ，称差称差 e(xe(x* *) ) = =x-xx-x* * 近似值近似值x x* *的的绝对误差绝对误差，简称，简称误差误差。 e(xe(x* *) )又记为又记为e e* * 当当e e* *00时，时，x x* *称为弱近似值，当称为弱近似值，当e e* *00时，时，x x* *称称为强近似值为强近似值| |e e* *| |越小，越小， x x* *的精度越高的精度越高误差限由于精确值一般是未知的,因而e* 不能求出来, 但可以根据测量误差或计算情况设法估计出它的取值范围，即误差绝对值的一个上界或称误差限。二、误差的度量二、误差的度量 定义定义1.2 设存

15、在一个正数，使设存在一个正数，使则称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。则称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度。 实际应用中经常使用这个量来衡量误差限实际应用中经常使用这个量来衡量误差限, 这这就是说就是说, 如果近似数如果近似数 的误差限为的误差限为 , 则则表明准确值表明准确值 x 必落在必落在 上上, 常采用下面的写常采用下面的写法法*xxe*x*xxx*,xx* xx来表示近似值的精度或准确值来表示近似值的精度或准确值x所在的范围。所在的范围。（电压、电流表示）（电压、电流表示）四舍五入的误差限是多少？四舍五入的误差限是多少？a-a-a+a+a aA例例1 1 设x =3.14

16、15926 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.001 592 6，有 x-x*=0.0015926 0.002=0.210-2例例2 又近似值x* =3.1416，它的绝对误差是 0.0000074，有 x-x*=0.0000074 0.000008=0.810-5例例3 3 而近似值x* =3.1415，它的绝对误差是 0.0000926，有 x-x*=0.0000926 0.0001=0.110-3可见，可见，绝对误差限绝对误差限 * *不是唯一的，但不是唯一的，但 * *越小越好越小越好相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限 只用绝对误差还不能说明数的近似程度只用绝对误差还

17、不能说明数的近似程度, ,例如甲打字每例如甲打字每100100个错一个个错一个, ,乙打字每乙打字每10001000个个错一个错一个, ,他们的误差都是错一个他们的误差都是错一个, ,但显然乙要但显然乙要准确些准确些, ,这就启发我们除了要看绝对误差外这就启发我们除了要看绝对误差外, ,还必须顾及量的本身。还必须顾及量的本身。定义定义1.3 1.3 绝对误差与精确值绝对误差与精确值x的比值的比值 xxxxexer*)(称为相对误差。称为相对误差。 简记为简记为*re)(*xer相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限 相对误差越小相对误差越小, ,精度就越高精度就越高, ,实际计算时实际计算时

18、, ,x通常是不知道的通常是不知道的, ,因此可用下列公式计算相因此可用下列公式计算相对误差对误差*xxxxeer定义定义1.4 1.4 设存在一个正数设存在一个正数 ，使，使 )(*xr)(*xxxxxxeerr则称则称 为近似值为近似值 的相对误差限。的相对误差限。 简记为简记为 )(*xr*x)(*xr*r相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限例例4.4. 甲打字每甲打字每100100个错一个，乙打字每个错一个，乙打字每10001000个个 错一个，求其相对误差错一个，求其相对误差解：解： 根椐定义根椐定义: :甲打字时的相对误差甲打字时的相对误差 乙打字时的相对误差乙打字时的相对误差

19、 00*11001re00*1.010001re有效数字有效数字定义定义1.5 1.5 设设x的近似值的近似值 *120 .1 0mnxx xx 其中其中 是是0 0到到9 9之间的任一个数之间的任一个数, ,但但n是正整数是正整数, , m是整数是整数, ,若若 ixnix, 3 , 2 , 1, 01nmxx1021*则称则称 为为x的具有的具有n位有效数字的近似值，位有效数字的近似值， 准确到准确到第第n位，位， 是是 的有效数字。的有效数字。 *x*xnxxx21.*x有效数字有效数字例例5. 3.1425. 3.142作为作为的近似值时有几位有效数字的近似值时有几位有效数字解：解：

20、3.141592 3.141592= 0.3141592= 0.3141592 3.142 = 0.3142 3.142 = 0.3142 m = 1 = 1 | |-3.142 |=|0.3141592-3.142 |=|0.3141592 -0.3142 -0.3142 | | 0.000041 0.000041 0.0005= 0.0005= m n =1=1n =-3 =-3 所以所以 n =4=4，具有具有4 4位有效数字位有效数字11011011011011021310例例6. 6. 当取当取3.1413.141作为作为 的近似值时的近似值时 - -3.1413.141= = 0.

21、31415920.3141592 10101 1 - -0.31410.3141 10101 1 0.0000592 0.0000592 10101 1 0.0005=1/2 0.0005=1/2 10 10-2-2 m- -n=1-=1-n=-2 =-2 所以所以n=3=3具具有有3 3位位有效数字有效数字推论推论 如果如果近似数近似数x* *误差限是某一位的半个单位误差限是某一位的半个单位, , 由该位到由该位到x* *的第一位非零数字一共有的第一位非零数字一共有n位位 x* *就有就有n位有效数字位有效数字, ,也就是说准确到该位也就是说准确到该位再如再如3.14163.1416作为作为

22、 的近似值时的近似值时 - -3.1416 3.1416 = = 0.3141592 0.3141592 10101 1- -0.314160.31416 10101 1 0.00000074 0.00000074 10101 1 0.00000740.00005 0.00000740.00005 0.5 0.5 10 10-4-4 m- -n=1-=1-n=-4 =-4 所以所以 n=5=5x* *= = 3.14163.1416有有5 5位有效数字位有效数字关于有效数字说明关于有效数字说明 用用四舍五入取准确值的前四舍五入取准确值的前n n位位x x* *作为近似值作为近似值, ,则则 x

23、* *必有必有n位有效数字位有效数字。如。如3.1423.142作为作为 的近似值的近似值 有有4 4位有效数字，而位有效数字，而3.1413.141为为3 3位有效数字位有效数字 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定 相同。例如，设相同。例如，设x1 1* *=12345,=12345,设设x2 2* *=12.345,=12.345,两者两者 均有均有5 5位有效数字但绝对误差不一样位有效数字但绝对误差不一样 x- - x1 1* * = =x- 12345- 12345 0.5= 0.5= 1/2 1/2 10 100 0 x- - x2 2*

24、 * = =x- 12.345- 12.3450.0005=0.0005=1/21/2 1010-3-3 把任何数乘以把任何数乘以1010p( (p=0,=0, 1,1,) )不影响有效位数不影响有效位数 准确值具有无穷多位有效数字准确值具有无穷多位有效数字, ,如三角形面积如三角形面积 S=1/2 S=1/2ah=0.5=0.5ah 因为因为0.50.5是真值是真值, ,没有误差没有误差 * *=0,=0,因此因此n n, ,准确值具有无穷位有效数字准确值具有无穷位有效数字 注意注意: : 已知有效数字已知有效数字, ,求相对误差用公式求相对误差用公式 已知相对误差已知相对误差, ,求具有几

25、位有效数字公式求具有几位有效数字公式)1(1*10)1(21nrxe)1(1*1021nrxe有效数字越多，相对误差就越小有效数字越多，相对误差就越小 1.4.1 函数运算误差函数运算误差 函数运算误差可用泰勒展开式来分析函数运算误差可用泰勒展开式来分析 设一元函数设一元函数f(x)，自变量自变量x的近似值的近似值x*，f(x)的近似值的近似值f(x*)，其误差限记为其误差限记为 f(x*) ，对，对f(x) 在近似值在近似值x* 附近泰勒展开附近泰勒展开1.4 1.4 误差的传播2*2*)(! 2)()()()()(! 2)()()()(fxfxfxfxxfxxxfxfxf 介于介于x,xx

26、,x* *之间之间多元函数亦类似，用泰勒展开即可推导出来多元函数亦类似，用泰勒展开即可推导出来*)()()()()(xfxfxfxfxfr一元函数误差限的传播：一元函数误差限的传播：三、误差传播规律三、误差传播规律例例11 11 已测得某场地长已测得某场地长L L的值的值L L* *=110m,=110m,宽宽d d的值的值 d d* *=80m,=80m,已知已知 L-LL-L* * 0.2m, 0.2m, d-dd-d* * 0.1m0.1m 求场地面积求场地面积S=Ld S=Ld 的的绝对误差限和相对误差限绝对误差限和相对误差限解：解：mldsmdlsddsllssldsdlslds11

27、0,80)()()(,*%31. 0880027)()()(*dlssssr其中其中 (d*)=0.1m , (L*)=0.2m绝对误差限绝对误差限 (s*)(800.2+110 0.1)m2=27m2相对误差限相对误差限算术运算误差算术运算误差 计算机的数值运算主要是加、减、乘、除四计算机的数值运算主要是加、减、乘、除四则运算，带有误差的数在多次运算过程中会进则运算，带有误差的数在多次运算过程中会进行传播。使计算结果产生误差。行传播。使计算结果产生误差。 误差的变化可以用微分简单描述。注意到准误差的变化可以用微分简单描述。注意到准确值确值x x与其近似值通常很接近，其差可认为是较与其近似值通

28、常很接近，其差可认为是较小的增量，即可以把差看作微分，由此可得误小的增量，即可以把差看作微分，由此可得误差的微分近似关系式。差的微分近似关系式。xdxdxxxxxexedxxxxerln)()(* 即即x x的微分表示的微分表示x x的绝对误差，的微分表示的绝对误差，的微分表示x x的相对误差，利用这两个关系式及微分运算的相对误差，利用这两个关系式及微分运算可以得到一系列有关四则运算的误差结果。可以得到一系列有关四则运算的误差结果。 算术运算误差算术运算误差 由由d( xd( xy)=y)=dxdxdydy 可得两数之和可得两数之和( (差）的差）的误差等于两数的误差之和（差）；误差等于两数的

29、误差之和（差）； 由由 可得两数之积可得两数之积的相对误差等于两数的相对误差之和；的相对误差等于两数的相对误差之和； 由由 可得两数商的相可得两数商的相对误差可看作是被除数与除数的相对误差之差对误差可看作是被除数与除数的相对误差之差。 ydxdyxdlnln)ln(ydxdyxdlnlnln例例12 12 正方形的边长约为正方形的边长约为100100cm,cm,怎样测量才能使其怎样测量才能使其 面积误差不超过面积误差不超过1 1cmcm2 2 ? ?解：解： 设正方形边长为设正方形边长为x cm, cm,测量值为测量值为x* *cm,cm,面积面积 y= =f( (x)=)=x2 2 由于由于

30、 f ( (x)=2)=2x 记自变量和函数的绝对误差分别是记自变量和函数的绝对误差分别是e* *、e( (y* *),),则则 e* *= =x- -x* * e( (y* *)=)=y- -y* * f ( (x* *)()(x- -x* *)=2x)=2x* *e* *=200=200e* * 现要求现要求 e(e(y* *) ) 200e 200e* * 1 , 1 ,于是于是 e e* * （1/2001/200）cm=0.005cmcm=0.005cm 要使要使正方形面积误差不超过正方形面积误差不超过1 1cmcm2 2，测量边长时测量边长时绝对误差应不超过绝对误差应不超过0.00

31、50.005cmcm。四、减少运算误差原则四、减少运算误差原则 误差是用来衡量数值方法好与坏的重要标志误差是用来衡量数值方法好与坏的重要标志 为此对每一个算法都要进行误差分析为此对每一个算法都要进行误差分析(1)(1)两个相近的数相减，会严重损失有效数字两个相近的数相减，会严重损失有效数字 例如例如x =1958.75x =1958.75，y =1958.32y =1958.32都具有五位都具有五位 有效数字，但有效数字，但x-y=0.43x-y=0.43只有两位有效数字只有两位有效数字 通常采用的方法是改变计算公式通常采用的方法是改变计算公式, ,例如当与例如当与 很接近时很接近时, ,由于

32、由于2121lglglgxxxx用右端代替左端公式计算用右端代替左端公式计算, ,有效数字就不会损失有效数字就不会损失 四、减少运算误差原则四、减少运算误差原则当当x很大时可作相应的变换很大时可作相应的变换 xxxx111) 1(11) 1(xxarctgarctgxxarctg则用右端来代替左端。则用右端来代替左端。 减少运算误差若干原则减少运算误差若干原则当当x接近接近0 0时时 xxxxsin1sinsincos1一般情况，当一般情况，当f(x)f(xf(x)f(x* *) )时，可用泰勒展开时，可用泰勒展开 2*)(! 2)()()()(xxxfxxxfxfxf取右端的有限项近似左端。

33、取右端的有限项近似左端。 如果计算公式不能改变，则可采用增加有效位如果计算公式不能改变，则可采用增加有效位数的方法保证精度数的方法保证精度 （2 2）防止大数）防止大数“吃掉吃掉”小数小数例例 求二次方程求二次方程x x2 2-10-105 5x+1=0 x+1=0的根的根 解：按二次方程求根公式解：按二次方程求根公式 x x1 1=(10=(105 5+(10+(101010-4)-4)1/21/2)/2)/2 x x2 2=(10=(105 5-(10-(101010-4)-4)1/21/2)/2)/2 在在8 8位浮点数计算得位浮点数计算得 x x1 1=(10=(105 5+10+10

34、5 5 )/2=10)/2=105 5 ( (正确）正确）, , x x2 2=(10=(105 5-10-105 5 )/2=0 ()/2=0 (错误）错误）p 产生错误的原因产生错误的原因 出现大数出现大数10101010吃掉小数吃掉小数4 4的情况的情况 分子部分出现两个相近数相减而丧失有分子部分出现两个相近数相减而丧失有 效数位常称为灾难性的抵消效数位常称为灾难性的抵消（3）绝对值太小的数不宜做除数）绝对值太小的数不宜做除数当分母为两个相近数相减时当分母为两个相近数相减时, ,会丧失有效数字会丧失有效数字)(100001. 0)(1455. 01456. 0)(4分子分子分子这里分子的

35、误差被扩大这里分子的误差被扩大104104倍倍, ,再如再如若将分母变为若将分母变为0.0011,0.0011,即分母只有即分母只有0.00010.0001的变化的变化时时, ,计算结果却有了很大变化计算结果却有了很大变化 减少运算误差若干原则减少运算误差若干原则5 .3141001. 01415. 39 .28550011.01415.3例例1.8 1.8 计算计算0135. 00125. 00003. 00012. 00143. 00005. 0D 解解: 分子分母分别计算后相除分子分母分别计算后相除(取取9位小数位小数)A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*

36、0.0012 =0.000000009(有舍入有舍入)B=0.0003*0.0125*0.0135=0.00000375*0.0135 =0.000000051(有舍入有舍入)D=A/B=0.17647真值为真值为0.16948148，所以所以D只准确到小数后一位只准确到小数后一位减少运算误差若干原则减少运算误差若干原则例：例： 计算计算 算法算法2。分成三组因子。每组只取六位小数计算。分成三组因子。每组只取六位小数计算 a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入有舍入) b=0.0143/0.0125=1.144000 c=0.0012/0.0135=0.088889 (有舍入

37、有舍入) D=a*b*c=1. 666667* 1.144000* 0.088889 =0.169482,准确到小数后准确到小数后5位。位。0135.00125.00003.00012.00143.00005.0Db bc ca a减少运算误差若干原则减少运算误差若干原则（4 4）简化计算步骤，减少运算次数）简化计算步骤，减少运算次数 x255255= =xx2 2x4 4x8 8x1616x3232x6464x128128 原先要做原先要做254254次乘法现只需次乘法现只需1414次即可次即可 又如计算多项式又如计算多项式 p( (x)=)=an nxn n an-1n-1xn-1 n-1

38、 a1 1x a0 0 的值的值 若直接计算若直接计算ak kxk k, ,再逐项相加，一共要做再逐项相加，一共要做 n+(+(n-1)+-1)+2+1=+2+1=n( (n+1)/2+1)/2次乘法和次乘法和n次加法次加法 减少运算误差若干原则减少运算误差若干原则如果将前如果将前n n项提出项提出x x，则有则有 p( (x)=)=（an nxn-1n-1 an-1n-1xn-2 n-2 a1 1 ）x a0 0 =(=(an nxn-2n-2 an-1n-1xn-3n-3 a2 2) )x a1 1）x a0 0 =(=( (an nx an-1n-1) )x a2 2) )x a1 1)

39、 )x a0 0写成递推公式写成递推公式 减少运算误差若干原则减少运算误差若干原则nknkkabnkaxbb01),2,1(于是于是 , ,这种多项式求值的算法称为秦九这种多项式求值的算法称为秦九韶算法韶算法, ,只做只做n次乘法和次乘法和n次加法次加法, ,程序实现简单程序实现简单 nbxP)(控制递推公式中误差的传播控制递推公式中误差的传播 对于一个数学问题的求解往往有多种数值方法对于一个数学问题的求解往往有多种数值方法在选择数值方法时，要注意所用的数值方法不应将在选择数值方法时，要注意所用的数值方法不应将计算过程中难以避免的误差放大的较快，造成计算计算过程中难以避免的误差放大的较快，造成计算结果完全失真。结果完全失真。例例13 1