圆锥曲线的参数方程

1、2022-5-28郑平正 制作二二.圆锥曲线圆锥曲线的参数方程的参数方程高二数学高二数学 选修选修4-4高二数学高二数学 选修选修4-4 第二讲第二讲 参数方程参数方程1.1.椭圆的参数方程椭圆的参数方程一、知识回顾222()()xaybr问题:圆的参数方程是什么?是怎样推导出来的?122rbyraxsincos:rbyrax令)(sincos:为参数得rbyrax问题问题:你能仿此推导出椭圆你能仿此推导出椭圆 的参数方程吗？的参数方程吗？12222byax12222byax122byaxsincosbyax令)(sincos为参数byax这就是椭圆的参数方程这就是椭圆的参数方程椭圆参数方程的

2、推导11xxayyb 从几何变换的角度看，通过伸缩变换22222211.xyxyab则椭圆的方程可以变成cos()sinxy 利用圆的参数方程为参数cos()sinxayb可以得到椭圆的参数方为为参数程 如下图，以原点如下图，以原点O为圆心，分别以为圆心，分别以a，b（ab0）为）为半径作两个同心圆，设半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点与小圆交于点B ，过点，过点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的的轨迹参数方程轨迹参数方程. OAMxyNB分析：

3、分析：点点M的横坐标与点的横坐标与点A的横坐标相同的横坐标相同,点点M的纵坐标与点的纵坐标与点B的纵坐标相同的纵坐标相同. 而而A、B的坐标可以通过的坐标可以通过引进参数建立联系引进参数建立联系. 设设XOA=OAMxyNB解：解：设设XOA=, M(x, y), 则则A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由已知由已知:即为即为点点M M的轨迹的轨迹参数方程参数方程. . sinbycosax)( 为参数为参数 消去参数得消去参数得: :,bya12222x即为即为点点M M的轨迹的轨迹普通普通方程方程. . 如下图，以原点如下图，以原点O为圆心，分别以为圆心，分别

4、以a，b（ab0）为）为半径作两个同心圆，设半径作两个同心圆，设A为大圆上的任意一点，连接为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点与小圆交于点B ，过点，过点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求当半径，求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的的轨迹参数方程轨迹参数方程. 1 .参数方程参数方程 是椭圆的参是椭圆的参 数方程数方程.cosxasinyb2 .在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分分别是椭圆的长半轴长和短半轴长别是椭圆的长半轴长和短半轴长. ab另外另外, 称为称为离心角离心角,规定参数规定参数的取值范围是的取值范围

5、是0,2 )cos ,sin .xaXyb焦点在 轴cos ,sin .xbYya焦点在 轴OAMxyNB知识归纳知识归纳椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :12222byax椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义: :)(sinbycosa为为参参数数 xxyO圆的标准方程圆的标准方程: :圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2)(sinycos为为参参数数 rrx的几何意义是的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :是是AOX=,不是不是MOX=.圆的参数方程圆的参数方程与与椭圆的参数方程椭圆的参数方程中中参数的几何意义参数的几何意义MOXYN

6、(x,y)(sincos为参数ayax)(sincos为参数byaxABOXYNM(x,y) 为为OX轴逆时针旋转到与轴逆时针旋转到与OM重合时所转过的角度重合时所转过的角度 并非并非为为OX轴逆时针旋转到轴逆时针旋转到与与OM重合时所转过的角度重合时所转过的角度是是AOX=,不是不是MOX=.【练习【练习1】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2 cos(1)3sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1y

7、x22925(3)1yx练习练习2：已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 ( 是是参数参数) ，则此椭圆的长轴长为（，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为），短轴长为（ ），焦点坐标是（），焦点坐标是（ ），离心率是），离心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3例例1、如图，在椭圆如图，在椭圆x29+y24=1上求一点上求一点M，使，使M到直线到直线 l：x+2y-10=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆相切，切点即为所求.22204936xymxy000,M(,)mxy消元，利用，求出及切点0025

8、xymdM(3cos ,2sin ),设|3cos4sin -10|5d则小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。例例1、如图，在椭圆如图，在椭圆x29+y24=1上求一点上求一点M，使，使M到直线到直线 l：x+2y-10=0的距离最小的距离最小.分析分析23cos()2sinxy椭圆参数方程为：为参数34|5cossin-10|555（）0|5cos-10|5（）00034cos,sin55其中满足05d当=0时, 取最小值，0098coscos,

9、2sin2sin55此时339 8M( , )210055 5Mxy时，点与直线的距离取最小值。22,122516xyx yzxy与简单的线性规划问题进行类比，你能在实数满足的前提下，求出的最大值和思考：最小值吗？(5cos ,4sin )M设是椭圆上的一点，5cos8sinz则089cos()0cos() 1,1 89, 89z 例例2、如图，在椭圆如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P，使，使P到直线到直线 l：x-y+4=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1：),y,y(288P设设2882|4yy|d则则分析分析2：),sin,cos(P 22设设222|4sincos|

10、 d则则分析分析3：平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆相切，切点即为所求.小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。例例2.已知椭圆已知椭圆 ,求椭圆内接矩形面积求椭圆内接矩形面积的最大值的最大值.22221(0)xyabab解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为( cos , sin )ab4cossinSab矩形()24kkZSab矩形当时，最大。所以椭圆内接矩形面积的最大值为所以椭圆内接矩

11、形面积的最大值为2ab.2sin2ab2ab练习练习3已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。22110064xy:10cos ,8sinA解 设20cos,16sin20 16 sincos160 sin2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX例例3:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭在第一象限的椭圆弧上求一点圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yx:解 由椭圆参数方程，设点P(3cos

12、 ,2sin)PAB即求点到直线的距离的最大值。,ABCABPS面积一定 需求 S最大即可132xy直线AB的方程为：22|cossin6 |23d6662 sin()1413,d当=时有最大值 面积最大.4322P这时点 的坐标为(, 2)2360 xy练习练习41、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切实数时，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C.

13、直线直线 D. 线段线段B设中点设中点M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin22y249x3cos ,2sinxy236cos6sinxy6 2sin()41(3cos ,2sin ).(2,3).(3,0).(1,3).(0,)2PABCD、当参数 变化时，动点所确定的曲线必过点 点 点 点它的焦距是多少？它的焦距是多少？B2 5练习练习53 17cos()_,8sin2_.xy2.椭圆为参数 的中心坐标为准线方程为(3, 2)289315x 2224 cos2 sin3cos0 xyxy解：方程2224 cos2 sin3cos0,()_?xyxy3.已知圆的方程为为

14、参数 ，那么圆心的轨迹的普通方程为22(2cos )(sin )1xy可化为2cos()sinxy圆心的参数方程为为参数2214xy化为普通方程是2214xy小结小结（1）椭圆的参数方程与应用）椭圆的参数方程与应用12222byax)(sincos为参数byax注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意义不同。（2）椭圆与直线相交问题）椭圆与直线相交问题2.2.双曲线的参数方程双曲线的参数方程aoxy)MBABA双曲线的参数方程双曲线的参数方程探究：双曲线探究：双曲线 的参数方程的参数方程22221xyabb12,Oa bC C以原点 为圆心，

15、为半径分别作同心圆1,ACOAOxOA设 为圆上任意一点，作直线设为始边，为终边的角为1AC过点 作圆 的切线AA与x轴交于点A ,22.CC过圆与x轴的交点B作圆的切线BB与直线OA交于点B过点A ,B分别作y轴,x轴的平行线A M,BM交于点M.aoxy)MBABA双曲线的参数方程双曲线的参数方程b( , )M x y设( ,0),( , ).A xB b y则1AC点 在圆上A(acos ,asin ).OAAAOA AA 又,=02cos (cos )( sin )0axaacosax解得：又点B在角 的终边上，tan.yb由三角函数定义有：tanyb1seccos记secxaxaMy

16、bsec()tan点点的的轨轨迹迹的的参参数数方方程程是是为为参参数数AA=(x-acos ,-asin )sec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3 ,2 )22o通 常 规 定且，。 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比较而得到，所以双曲线的参数方程相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换的实质是三角代换.说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同.aoxy)MBABAb双曲线的参数方程双曲

17、线的参数方程例例2、2222100 xyMabOabMABMAOB(,) 如如图图，设设为为双双曲曲线线任任意意一一点点，为为原原点点，过过点点作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线，分分别别与与两两渐渐近近线线交交于于 ， 两两点点。探探求求平平行行四四边边形形的的面面积积，由由此此可可以以发发现现什什么么结结论论？OBMAxy.byxa 双曲线的渐近线方程为：解：解：不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标（asec ,btan为）,b将y=x代入，解得点A的横坐标为aAax = （sectan ）2.Bax = （se同理可得，点B的横坐cta2标n为）.ba设 AOx= ,则tan

18、.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA|OB|sin2 =ABxxsin2coscos2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。tan(sec ).bybxaMAa 则直线的方程为： 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 sec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b2222221sectan1xyab注意：双曲线：的参数方程实质是由三角恒等式而代换得来的sec()tanyaxb为参数2a222yx-=1(a0,b0)的参数方程为：b为离心角注意:双曲线

19、还有什么参数方程?1()1xtttytt 为参数()ttttxeetyee 为参数3.3.抛物线的参数方程抛物线的参数方程xyoM(x,y)22.(1)ypx设抛物线的普通方程为tan .(2)yx由三角函数的定义可得(1),(2), x y由解出，(1)()这就是抛物线不包括顶点的参数方程1,(,0)(0,),tantt 如果令22()2xpttypt 则为参数有抛物线的参数方程抛物线的参数方程22tan()2tanpxpy得到为参数(0,0)0t ，由参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点当时2(,2()2)xpttyptt 为当时，参数方程就参数表示抛物线。t参数 表示抛物线上除顶点外的任

20、意一点与原点连线的斜率的倒数。M抛物线上任意点 （x,y)MOX220)ypx p抛物线（的参数方程为：22()2xpttypt 为参数t参数 的几何意义-抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数。22(0)?xpy p思考：怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线 的参数方程22tan()2tanxpyp为参数tan,(,)tt 如果令22()2xpttypt为参数t参数 的几何意义-抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率。22(0)xpy p抛物线 的参数方程为：22()2xpttypt为参数抛物线的参数方程22()2xpttypt 为参数t抛物线上除顶点外的任意一点与原点

21、连线参数 的几的斜率何意义：的倒数。220)ypx p（220)ypx p （22()2xpttypt 为参数t抛物线上除顶点外的任意一点与原参点数 的几何意义：连线的斜率。22(0)xpy p22()2xpttypt为参数抛物线的参数方程22(0)xpy p 22()2xpttypt 为参数xyoBAM23,2(0),OA Bypx pOAOB OMABABMM例 、如图 是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点，且并于相交于点，求点的轨迹方程。( , ),M x y解：设点211(2,2),Aptpt222(2,2)Bptpt1212(,0)ttt t且( , ),OMx y 211(2,2),OAptpt222(2,2),OBptpt222121(2 (),2 ()ABp ttp tt,OAOB221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t,OAOB23,2(0),OA Bypx pOAOB OMABABMM例 、如图 是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点，且并于相交于点，求点的轨迹方程。221 21 2(2)(2 )0,pt tp t t1 21.(1)t t ,OMAB2221212()2()0px ttpy tt12(0).(2)yttxx 211(2,2