振动力学最终版-2008[1].5.15

1、现代设计及转子系统教育部重点实验室现代设计及转子系统教育部重点实验室机械振动概述机械振动概述教学内容教学内容l 1.1 机械振动的定义及研究内容机械振动的定义及研究内容l 1.2 机械振动的分类机械振动的分类l 1.3 机械振动的表达方法机械振动的表达方法机械振动概述机械振动概述l 1.1 机械振动的定义及研究内容机械振动的定义及研究内容u定义定义从广义上讲，如果表征某一种运动的物理量作时而增大时而从广义上讲，如果表征某一种运动的物理量作时而增大时而减小的反复变化，就可以称这种运动为减小的反复变化，就可以称这种运动为振动振动。机械振动机械振动是一种特殊形式的运动。在这种运动过程中，机械是一种特

2、殊形式的运动。在这种运动过程中，机械系统将围绕平衡位置作往复运动。从运动学的观点看，机械系统将围绕平衡位置作往复运动。从运动学的观点看，机械振动是指机械系统的某些物理量振动是指机械系统的某些物理量(位移、速度、加速度位移、速度、加速度)，在某一数值附近随时间在某一数值附近随时间t的变化关系。的变化关系。（油膜振动是机械振动吗？）（油膜振动是机械振动吗？）（汽轮发电机组、航空发动机、火箭等的振动）（汽轮发电机组、航空发动机、火箭等的振动）机械振动概述机械振动概述“振动力学是研究机械振动的运动学和动力学的一门课程振动力学是研究机械振动的运动学和动力学的一门课程” -这句话说明了本书的特色。这句话说

3、明了本书的特色。许多情况下振动是有害的。许多情况下振动是有害的。它常常是造成机械和结构恶性破坏和失效的直接原因。它常常是造成机械和结构恶性破坏和失效的直接原因。例如：例如：l 桥身扭转振动和上下振动而坍塌。桥身扭转振动和上下振动而坍塌。l 日本海南电厂日本海南电厂66千瓦的汽轮发电机组，因发生异常而全千瓦的汽轮发电机组，因发生异常而全 机毁坏（机毁坏（ 1972年）。美国西屋公司年）。美国西屋公司300MW机组等。机组等。l 我国秦岭电厂我国秦岭电厂200MW机组等、出口伊朗机组等、出口伊朗300MW机组机组 等事故。等事故。机械振动概述机械振动概述振动也有可利用的一面。振动也有可利用的一面。

4、例如：例如： 工业用的振动筛、振动沉桩、振动输送等。工业用的振动筛、振动沉桩、振动输送等。u机械振动研究内容机械振动研究内容 在工程技术问题中最普遍的振动问题属于在工程技术问题中最普遍的振动问题属于振动设计振动设计，即在己，即在己知输入情况下，设计系统的振动特性，使得它的动态响应能知输入情况下，设计系统的振动特性，使得它的动态响应能满足一定的要求；此外，还有通过已知的输入和输出来研究满足一定的要求；此外，还有通过已知的输入和输出来研究系统的特性，称为系统的特性，称为系统识别系统识别；已知系统的特性和输出来研究；已知系统的特性和输出来研究输入，称为输入，称为环境预测环境预测。系统：系统：系统是一

5、个宽泛的概念，通常我们研究的系统是一个宽泛的概念，通常我们研究的对象对象都可称都可称为系统。振动问题的对象则称为为系统。振动问题的对象则称为振动系统振动系统或或机械系统机械系统，它表，它表征系统征系统固有的振动特性固有的振动特性，可以是零部件、机器、工程结构等。，可以是零部件、机器、工程结构等。机械振动概述机械振动概述机械振动概述机械振动概述机械振动概述机械振动概述机械振动概述机械振动概述机械振动概述机械振动概述l 1.2机械振动的分类机械振动的分类 按微分方程的形式可分为：按微分方程的形式可分为：线性振动线性振动-描述其运动的方程为线性微分方程，相应的系描述其运动的方程为线性微分方程，相应的

6、系 统称为线性系统。（满足线性叠加原理）统称为线性系统。（满足线性叠加原理）非线性系统非线性系统-描述其运动的方程为非线性微分方程，相描述其运动的方程为非线性微分方程，相 应的系统称为非线性系统。（不满足叠加原理应的系统称为非线性系统。（不满足叠加原理）按激励的有无和性质可分为：按激励的有无和性质可分为：固有振动固有振动-无激励时系统所有可能的运动的集合。不无激励时系统所有可能的运动的集合。不 是现实的振动，它反映系统关于振动的是现实的振动，它反映系统关于振动的固有属性固有属性。机械振动概述机械振动概述 自由振动自由振动-激励消失后系统所作的振动。激励消失后系统所作的振动。 强迫振动强迫振动-

7、系统在外界激励下所作的振动。系统在外界激励下所作的振动。 随机振动随机振动-系统在非确定性的随机激励下所作的振动。系统在非确定性的随机激励下所作的振动。 （ 如行驶在公路上的汽车）如行驶在公路上的汽车）自激振动自激振动-系统受到其自身运动诱发出来的激励作用而系统受到其自身运动诱发出来的激励作用而 产生和维持的振动。产生和维持的振动。 （油膜振荡、琴弦发出乐声、机床颤振、机翼颤动）（油膜振荡、琴弦发出乐声、机床颤振、机翼颤动） 参数振动参数振动-激励因素以系统本身的参数随时间变化的形激励因素以系统本身的参数随时间变化的形 式出现的振动。（如秋千受到的激励以摆长式出现的振动。（如秋千受到的激励以摆

8、长 随时间变化的形式出现）随时间变化的形式出现）机械振动概述机械振动概述更详细的解释供参考：更详细的解释供参考： u1.2.1 按系统的输入类型：按系统的输入类型： 自由振动自由振动系统受初始干扰或原有的外激振力取消后产系统受初始干扰或原有的外激振力取消后产 生的振动生的振动 （锤击法）（锤击法） 强迫振动强迫振动系统在外激振力作用下产生的振动系统在外激振力作用下产生的振动 （电脑机箱风扇振动、转子不平衡激励）（电脑机箱风扇振动、转子不平衡激励） 自激振动自激振动系统在输入和输出之间具有反馈特性，并有系统在输入和输出之间具有反馈特性，并有 能源补充而产生的振动。能源补充而产生的振动。 （油膜振

9、荡、琴弦发出乐声、机翼颤动）（油膜振荡、琴弦发出乐声、机翼颤动）u 1.2.2 按系统的输出按系统的输出(振动规律振动规律)： 简谐振动简谐振动振动量为时间的正弦或余弦函数振动量为时间的正弦或余弦函数 机械振动概述机械振动概述周期性振动周期性振动振动量为时间的周期函数，故可用振动量为时间的周期函数，故可用谐波分析谐波分析的的 方法展开为一系列简谐振动的叠加方法展开为一系列简谐振动的叠加 （谐波分析谐波分析-傅立叶级数展开，周期振动和简谐振动关系，傅立叶级数展开，周期振动和简谐振动关系，可参考教材可参考教材1.2节节） 瞬态振动瞬态振动为时间的非周期函数，通常只在一定的时间内存为时间的非周期函数

10、，通常只在一定的时间内存 在在 （爆炸爆炸） 随机振动随机振动振动量不是时间的确定性函数，只能用概率统计振动量不是时间的确定性函数，只能用概率统计方法来研究方法来研究 （车辆行驶、地震车辆行驶、地震）u 1.2.3 按系统的自由度可分为按系统的自由度可分为: 单自由度系统振动单自由度系统振动用一个独立坐标就能确定的系统振动用一个独立坐标就能确定的系统振动 （单质量弹簧系统，（单质量弹簧系统， P36 图图2-1（b） 多自由度系统振动多自由度系统振动用多个独立坐标才能确定的系统振动用多个独立坐标才能确定的系统振动 （多质量弹簧系统多质量弹簧系统 ， P162 图图4-1）机械振动概述机械振动概

11、述 弹性体振动弹性体振动须用无限多个独立坐标须用无限多个独立坐标(位移函数位移函数)才能确定的系才能确定的系统振动，也称为统振动，也称为无限自由度系统无限自由度系统振动，以区别振动，以区别于上述单自由度于上述单自由度 和多自由度系统振动和多自由度系统振动 (有限自有限自由度系统振动由度系统振动) （自由度如何理解）（自由度如何理解）自由度自由度完全描述系统一切部位在任何瞬时的位置所需要完全描述系统一切部位在任何瞬时的位置所需要的独立坐标的数目。的独立坐标的数目。1.2.4按描述系统的微分方程可分为按描述系统的微分方程可分为: 线性振动线性振动用常系数线性微分方程来描述，它的惯性力、用常系数线性

12、微分方程来描述，它的惯性力、 阻尼力及弹性力只分别与加速度、速度及位移阻尼力及弹性力只分别与加速度、速度及位移 成正比。（成正比。（重要特性重要特性线性叠加原理线性叠加原理） 非线性振动非线性振动要用非线性微分方程来描述，即微分方程中要用非线性微分方程来描述，即微分方程中 出现非线性项。（出现非线性项。（不满足线性叠加不满足线性叠加）机械振动按运动的表现形式可分为周期振动和非周期振动。机械振动按运动的表现形式可分为周期振动和非周期振动。本节重点介绍周期振动的表示方法。本节重点介绍周期振动的表示方法。1.3.1 简谐振动的表示简谐振动的表示u 简谐振动是周期振动中最简单的一种，可以用正弦函数简谐

13、振动是周期振动中最简单的一种，可以用正弦函数 表示为：表示为： A为振幅，为振幅， 为圆频率（为圆频率（以后简称频率以后简称频率），）， 为初相位。为初相位。 又称角频率，它与频率、周期的关系：又称角频率，它与频率、周期的关系：机械振动概述机械振动概述l 1.3机械振动的表示方法机械振动的表示方法sin()xAt2=2fT机械振动概述机械振动概述简谐振动的速度和加速度只要对位移表达式求一阶和两阶简谐振动的速度和加速度只要对位移表达式求一阶和两阶导数即得：导数即得：可见，只要位移是简谐函数，速度和加速度也是简谐函可见，只要位移是简谐函数，速度和加速度也是简谐函数，而且与位移具有相同的频率。数，而

14、且与位移具有相同的频率。但是，速度的相位比位移的相位超前但是，速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移超前位比位移超前/2cos()sin()2vxAtAt22sin()sin()axAtAt 因：因： 得：得：即加速度大小与位移成正比，但方向总与位移相反，始终即加速度大小与位移成正比，但方向总与位移相反，始终指向平衡位置。指向平衡位置。机械振动概述机械振动概述2xx 2sin()xAt u 简谐振动可以用平面上的旋转矢量表示简谐振动可以用平面上的旋转矢量表示 旋转矢量的模就是简谐振动的振幅，它的旋转角速度旋转矢量的模就是简谐振动的振幅，它的旋转角速度就是简谐振动的圆频率。

15、就是简谐振动的圆频率。图图 a 中中OM表示一个长度为表示一个长度为A，以，以 角开始以等角度速角开始以等角度速 逆时针绕原点旋转的矢量。任一瞬时逆时针绕原点旋转的矢量。任一瞬时OM在纵轴上的投影即在纵轴上的投影即简谐振动：简谐振动：机械振动概述机械振动概述sin()xAt机械振动概述机械振动概述图图 b 是简谐振动的矢量的表示图。是简谐振动的矢量的表示图。图图 c 描述了位移、速度、加速度之间的矢量关系。描述了位移、速度、加速度之间的矢量关系。式中式中 为为z的虚部。的虚部。机械振动概述机械振动概述u简谐振动也可以用复数表示。简谐振动也可以用复数表示。()cos()sin()itzAtiAt

16、Ae表示了表示了复平面复平面上模为上模为A，从，从 角开始以角速度角开始以角速度 逆时逆时针旋转的一个矢量，它在虚轴上的投影表示了简谐振动。针旋转的一个矢量，它在虚轴上的投影表示了简谐振动。位移位移x与它的复数表示与它的复数表示z的关系可写为：的关系可写为：Im( )xzIm( )z机械振动概述机械振动概述复数表示的速度及加速度为：复数表示的速度及加速度为：()()2ititzi AeAe 2()2()ititzAeAe 所以有：所以有：Im( )xzIm( )xz简谐振动的复数表示方法便于分析，在以后解运动微分方简谐振动的复数表示方法便于分析，在以后解运动微分方程时会常用到复数法。程时会常用

17、到复数法。机械振动概述机械振动概述以下讨论几个简谐振动的合成情况。以下讨论几个简谐振动的合成情况。（a) 两个相同频率的简谐振动的合成仍然是简谐振动，并两个相同频率的简谐振动的合成仍然是简谐振动，并 且保持原来的频率。且保持原来的频率。 可用复数方法证明：可用复数方法证明：111222sin()sin()xAtxAt1212()()1212)1211221122ImIm()(coscos)Im(sinsin)Im()sin()ititiiititiitxxxA eA eA eA eeAAi AAeAeet 机械振动概述机械振动概述当一个简谐振动是由两个当一个简谐振动是由两个同频同频 率率的的简

18、谐振动简谐振动所合成，则这个所合成，则这个简谐振动可以用两个代表原简简谐振动可以用两个代表原简谐振动的旋转矢量的合成矢量谐振动的旋转矢量的合成矢量来表示。来表示。22 1/211221122(coscos)(sinsin) AAAAA111221122sinsintancoscosAAAA其中其中（b）频率不同的两个简谐振动的合成不再是简谐振动。频）频率不同的两个简谐振动的合成不再是简谐振动。频率比为有理数时，合成为周期振动；频率比为无理数时，合率比为有理数时，合成为周期振动；频率比为无理数时，合成为非周期振动。成为非周期振动。设频率比为有理数：设频率比为有理数：式中式中m、n是互质整数。上式

19、可写为：是互质整数。上式可写为： 设设 记记机械振动概述机械振动概述12mn1222mn1222Tmn12xxx则：则：机械振动概述机械振动概述121222()()()x tTx tmx tn可见可见T就是合成的周期，两者合成为周期振动。就是合成的周期，两者合成为周期振动。（c）频率很接近的两个简谐振动的合成会出现）频率很接近的两个简谐振动的合成会出现拍拍现现象。象。 设设11112222sin()sin()xAtxAt12( )( )( )x tx tx t令令则则机械振动概述机械振动概述12212121122121122sin()sin()2sin()sin()2AAxxxttAAtt仅考

20、虑仅考虑A1与与A2相近的情况，上式右端第二项可略去：相近的情况，上式右端第二项可略去：上式表示一个频率为上式表示一个频率为 的变幅振动，振幅在的变幅振动，振幅在（A1+A2)与零之间缓慢的变化。包络线由下式给出：与零之间缓慢的变化。包络线由下式给出：1212121212()cos()sin()222xxxAAtt1212( )()cos()2A tAAt122机械振动概述机械振动概述12121212()cos()sin()222xAAtt上式表达了一种特殊的振动现象，称为拍，拍的周期为上式表达了一种特殊的振动现象，称为拍，拍的周期为机械振动概述机械振动概述1.3.2 周期振动的表示周期振动的

21、表示周期振动是工程中常见的振动形式之一。周期振动是工程中常见的振动形式之一。u可用时域上的波形表示：可用时域上的波形表示：如图：如图：toxT机械振动概述机械振动概述u 也可用频域上的幅频和相频图表示：也可用频域上的幅频和相频图表示： 设设x(t)信号，可以通过富里叶级数展开为：信号，可以通过富里叶级数展开为：0111( )(cossin)2nnnax tantbnt0112( )2( ) cos2( )sinTTnTnax t dtTax tntdtTbx tntdtT其中其中称为基频称为基频12T机械振动概述机械振动概述oCn11213on11213左上图表示周期信号的左上图表示周期信号的

22、振幅频谱图，左下图表振幅频谱图，左下图表示相位频谱图。示相位频谱图。14151415机械振动概述机械振动概述 课程安排课程安排机械振动概述机械振动概述 主要参考书主要参考书l 倪振华，振动力学，西安交通大学出版社，倪振华，振动力学，西安交通大学出版社，1988.l 郑兆昌，机械振动（上册），机械工业出版社，郑兆昌，机械振动（上册），机械工业出版社，1982.l方同、薛璞，振动理论及应用，西北工业大学出版社，方同、薛璞，振动理论及应用，西北工业大学出版社， 1998.l 吴成军，现代振动控制技术概论，西安交大校内讲义，吴成军，现代振动控制技术概论，西安交大校内讲义， 2004单自由度系统的振动单

23、自由度系统的振动l 2.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动l 2.2 计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法l 2.3 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度l 2.4 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动l 2.5 系统对简谐激励的响应系统对简谐激励的响应l 2.6 振动的隔离振动的隔离l 2.7 简谐强迫振动理论的应用简谐强迫振动理论的应用l 2.8 等效粘性阻尼等效粘性阻尼l 2.9 系统对周期激励的响应系统对周期激励的响应l 2.10系统对任意激励的响应系统对任意激励的响应单自由度系统的振动单自由度系统的振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动l 2.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动一个系统只

24、在起始时受到外界干扰，例如用力将质量块偏离一个系统只在起始时受到外界干扰，例如用力将质量块偏离静平衡位置后突然释放，或者给质量块以突然一击使之得到静平衡位置后突然释放，或者给质量块以突然一击使之得到一个初始速度，然后就靠系统本身的弹性恢复力维持的振一个初始速度，然后就靠系统本身的弹性恢复力维持的振动，称为自由振动。动，称为自由振动。单自由度的自由振动是一种简谐振动。单自由度的自由振动是一种简谐振动。令令x为位移，以质量块的静平衡为位移，以质量块的静平衡位置为坐标原点，位置为坐标原点， 为静变形为静变形当系统受到系统扰动时，由牛当系统受到系统扰动时，由牛顿第二定律，得：顿第二定律，得：()smx

25、mgkxs单自由度系统的振动单自由度系统的振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动在静平衡位置：在静平衡位置：smgk0mxkx令：令：nkm固有圆频率，以后也称为固有频率固有圆频率，以后也称为固有频率单位：弧度单位：弧度/秒秒则有：则有：20nxx通解：通解：12cos()sin()sin()nnnxctctAt微分方程：微分方程：C1,C2:由初始条件决定的常数由初始条件决定的常数振幅：振幅： 初相位：初相位：A 2212c +c112ctgc单自由度系统的振动单自由度系统的振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动sin()nxAt20nxx微分方程微分方程: 解：解：:n,:A系统固有的数值特征，与

26、系统的振动状态无关系统固有的数值特征，与系统的振动状态无关（与什么有关）（与什么有关）不是系统的固有属性的数字特征，它们与系统过去所受到不是系统的固有属性的数字特征，它们与系统过去所受到的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关。的激励和考察开始时刻系统所处的状态有关。单自由度系统的振动单自由度系统的振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动考虑系统在初始扰动下的自由振动12cos()sin()sin()nnnxctctAt设设t=时刻时刻：令：令：则有：则有：( ),( )xxxx112212cossinsinsnnnncbbcbb co 12( )cos()sin()nn

27、x tbtbt12nxbxb单自由度系统的振动单自由度系统的振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动时刻之后的自由振动解：时刻之后的自由振动解：( )cos()sin()nnnxx txtt零时刻的初始条件：零时刻的初始条件：00(0)(0)xxxx零初始条件下的自由振动：零初始条件下的自由振动：00( )cossinsin()nnnnxx txttAt2200()nxAx100nxtgx单自由度系统的振动单自由度系统的振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动例例2-1(P39)：提升机系统提升机系统重物重量重物重量 钢丝绳的弹簧刚度钢丝绳的弹簧刚度重物以重物以 的速度匀速下降的速度匀速下降求：绳的上端被

28、卡住时，求：绳的上端被卡住时，（1）重物的振动频率，）重物的振动频率，（2）钢丝绳中的最大张力）钢丝绳中的最大张力51.47 10WN45.78 10kN cm15minVm单自由度系统的振动单自由度系统的振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动解：解： 振动频率振动频率 重物匀速下降时处于静平衡重物匀速下降时处于静平衡位置，若将坐标原点取在绳位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所在位置被卡住瞬时重物所在位置 则则 时，有：时，有： 振动解：振动解：19.6ngkrad sW0t 00 x 0 xv( )sin()1.28sin(19.6 )()nnvx tttcm单自由度系统的振动单自由度系统的

29、振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动绳中的最大张力等于静张力绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和：与因振动引起的动张力之和：max5551.47100.74102.2110 ()sTTkAWkAN由于由于nvkAkv km为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度为了减少振动引起的动张力，应当降低升降系统的刚度单自由度系统的振动单自由度系统的振动/无阻尼自由振动无阻尼自由振动预备知识预备知识: 转动惯量转动惯量刚体对转轴的转动惯量不仅与刚体的质量有关，还与轴刚体对转轴的转动惯量不仅与刚体的质量有关，还与轴的位置有关。它是一个标量，单位是：的位置有关。它是一个标量，单位是：kg.

30、m2移轴定理：移轴定理：刚体对任一轴刚体对任一轴z的转动惯量，等于刚体对于的转动惯量，等于刚体对于质心并与该轴平行的轴质心并与该轴平行的轴z的转动惯量加上刚体的质量的转动惯量加上刚体的质量m与与这两轴间距离这两轴间距离d平方的乘积。平方的乘积。2zi iJmr刚体对转轴刚体对转轴Z的转动惯量等于刚体各质点的质量与质点到的转动惯量等于刚体各质点的质量与质点到该轴垂直距离平方的乘积之和，即：该轴垂直距离平方的乘积之和，即：2 zzJJmd单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法简单均质形体的转动惯量简单均质形体的转动惯量(理论力学教科书）理论力学教科书）单

31、自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法例例2-2(P42例例2-3)：复摆：复摆 刚体质量刚体质量m 重心重心C 对悬点的转动惯量对悬点的转动惯量I0求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微 分方程和固有频率分方程和固有频率单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法解：解：由牛顿定律：由牛顿定律：因为刚体做微振动：因为刚体做微振动：所以振动微分方程可表达为：所以振动微分方程可表达为：固有频率：固有频率：0sin0Imgasin00Imga0/nmga I若已测得物体的固有频率若已测

32、得物体的固有频率 ，则可以求得转动惯量，则可以求得转动惯量 ，再由移轴定理，可得物体绕质心的转动惯量：再由移轴定理，可得物体绕质心的转动惯量：以上是实验确定复杂形状物体的转动惯量的一种方法以上是实验确定复杂形状物体的转动惯量的一种方法20cIIman0I单自由度系统的振动单自由度系统的振动教学内容教学内容l 2.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动l 2.2 计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法l 2.3 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度l 2.4 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动l 2.5 系统对简谐激励的响应系统对简谐激励的响应单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率

33、的方法计算系统固有频率的方法l 2.2 计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法 在系统作自由振动时，不论受到什么样的初始干扰，均将以在系统作自由振动时，不论受到什么样的初始干扰，均将以一定的频率作振动。这种频率只决定于系统本身固有的物理一定的频率作振动。这种频率只决定于系统本身固有的物理性质，称为固有频率。性质，称为固有频率。固有频率是振动问题中的一个重要参数。固有频率是振动问题中的一个重要参数。 简谐振动的圆频率为简谐振动的圆频率为 ，称为固有圆频率：，称为固有圆频率： nKm122nKfm12mTfK固有频率为固有频率为f:周期为周期为T:n由以上各式可以看出：由以上各式可以看出：（

34、1）自由振动的固有频率和周期仅决定于系统本身的自由振动的固有频率和周期仅决定于系统本身的物理性质，如系统刚度物理性质，如系统刚度 K 和振动块质量和振动块质量 m。（2）刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。质量相同的两个系统，则弹质量小的系统固有频率高。质量相同的两个系统，则弹簧刚度小的固有频率低，弹簧刚度大的固有频率高。簧刚度小的固有频率低，弹簧刚度大的固有频率高。即固有频率是和加速度的平方根成正比的，所以导致固即固有频率是和加速度的平方根成正比的，所以导致固有频率高。有频率高。2sin()nnaxAt 系统加速度：

35、系统加速度：单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法l 2.2.1 静变形法静变形法假如不知道系统的弹簧刚度假如不知道系统的弹簧刚度k，可以对上式进行变换。，可以对上式进行变换。将式：将式：12nsgf122nnKfm固有频率为固有频率为f: 利用上式只要知道弹簧在质量块作用下的利用上式只要知道弹簧在质量块作用下的静变形静变形 ， 就可以直接计算出系统的固有频率。就可以直接计算出系统的固有频率。单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法ssWmgK代入上式得：代入上式得：固有频率固有频率f:s单自由度系统的振动单

36、自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法例例2-3（补充）：（补充）：设有一悬臂梁。设有一悬臂梁。长度为长度为 ，抗弯刚度为，抗弯刚度为 ，自由端有一集中，自由端有一集中质量质量m。梁本身重量可忽略不计。梁本身重量可忽略不计。lEJ求：求： 系统的固有频率。系统的固有频率。解：解：悬臂梁自由端由集中质量悬臂梁自由端由集中质量mgmg引起的静挠度为：引起的静挠度为： 利用静变形法的公式可得系统固有频率为：利用静变形法的公式可得系统固有频率为：如上述悬臂梁是变截面的，因而不易用计算方法得到静挠如上述悬臂梁是变截面的，因而不易用计算方法得到静挠度，可实测梁的静挠度度，可实测梁的

37、静挠度 。单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法33smglEJ3132nEJfmls单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法例例2-4（P40）：）：重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞，梁长重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞，梁长 ，抗弯刚度抗弯刚度求：梁的自由振动频率和最大挠度求：梁的自由振动频率和最大挠度lEJ单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法解：解： 以梁承受重物时的静平衡位以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系置为坐标原点建立坐标系静变形：静变

38、形：s由材料力学：由材料力学：348sm glE J自由振动频率为：自由振动频率为：348nsgEJml单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法撞击时刻为零时刻，则撞击时刻为零时刻，则t=0时，有：时，有：0sx 02xgh则自由振动振幅为：则自由振动振幅为：222002ssnxAxh梁的最大挠度：梁的最大挠度：maxsAl 2.2.2 能量法能量法当弹簧质量系统作自由振动而忽略阻尼不计时，它就没有当弹簧质量系统作自由振动而忽略阻尼不计时，它就没有能量损失。根据机械能守恒定律，整个振动过程任一瞬时能量损失。根据机械能守恒定律，整个振动过程任一瞬时机械能

39、应保持不变。机械能应保持不变。 式中式中T T为系统中运动质量所具有的动能，为系统中运动质量所具有的动能，U U为系统由于弹性为系统由于弹性变形而储存的弹性势能，或由于重力作功而产生的重力势变形而储存的弹性势能，或由于重力作功而产生的重力势能。能。利用这个关系，适当选择两个瞬时位置，就可用来直接计利用这个关系，适当选择两个瞬时位置，就可用来直接计算系统的固有频率。这对于比较复杂的系统常常是一种计算系统的固有频率。这对于比较复杂的系统常常是一种计算系统固有频率的简便方法。算系统固有频率的简便方法。 单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法即即: :+co

40、nstT U 简谐振动：简谐振动： 则速度：则速度：单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法弹簧质量系统弹簧质量系统sin()xAtcos()xAt静平衡位置：静平衡位置：最大位移处：最大位移处：动能：动能：势能为零势能为零222maxmax1122TmxmA22maxmax1122UKxKA势能：势能：动能为零动能为零由能量守恒得：由能量守恒得：2221122mAKA所以：所以：12nKfm例例2-5（补充）：（补充）： 如图所示为低频振幅传感器元件如图所示为低频振幅传感器元件-无定向摆。摇杆一端为铰链，另一端无定向摆。摇杆一端为铰链，另一端为质量块

41、为质量块m。弹簧刚度为。弹簧刚度为K/2。系统对转轴系统对转轴O的转动惯量为的转动惯量为单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法221.76 10.3.540.03/0.08564OIkg cmacmKkg cmWNlcm 求：系统固有频率求：系统固有频率解：解： 此摇杆做间歇摆动，以角位移此摇杆做间歇摆动，以角位移 为参数：为参数： 则则 单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法sin()nAtcos()nAt在静平衡位置，系统具有最大动能：在静平衡位置，系统具有最大动能：222maxmax1122OOnTI

42、I A在最大角位移处，系统包在最大角位移处，系统包括弹性势能和重力势能：括弹性势能和重力势能：22221maxmax122UKaKa A2 maxmax22max(1cos)/ 2/ 2UmglmglmglA 由由 ： 单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法maxmax1max2max=TUUU2222201122OI AKa AmglA代入数据得：代入数据得：得得 ：202nKamglI22120.033.540.085640.77z21.7610nf例例2-6（补充）：（补充）： 铅垂平面滑轮铅垂平面滑轮-质量质量-弹簧系统弹簧系统 滑轮为均质圆

43、柱，绳子不可伸滑轮为均质圆柱，绳子不可伸 长，且与滑轮间无滑动，绳长，且与滑轮间无滑动，绳 右下端与地面固结。右下端与地面固结。 求：系统振动的固有频率求：系统振动的固有频率单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法解解:取广义坐标为质量块的垂直位移取广义坐标为质量块的垂直位移x则：则： 在静平衡位置只有动能：在静平衡位置只有动能：在最大位移处势能最大：在最大位移处势能最大： 单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法222221111 1()()()2222 2213()28xTmxMxMRRmM x222212

44、111111()()22224Uk xkxkk x由由得：得：所以系统固有频率：所以系统固有频率： 单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法maxmaxTU22max21max1311()()2824mM xkk x2211311()()2824nmMkkmaxmaxnxx218283nkkmMl 2.2.3 瑞利法瑞利法在以上两种方法中，均忽略了弹簧的质量对系统的影响。但在以上两种方法中，均忽略了弹簧的质量对系统的影响。但有些工程问题中，弹簧本身质量占系统总质量一定比例，如有些工程问题中，弹簧本身质量占系统总质量一定比例，如被忽略，会造成计被忽略，会

45、造成计 算出的固有频率偏高。算出的固有频率偏高。为此可以运用为此可以运用能量原理能量原理，把一个分布质量系统简化为一个单，把一个分布质量系统简化为一个单自由度系统，从而把弹簧分布质量对系统振动频率的影响考自由度系统，从而把弹簧分布质量对系统振动频率的影响考虑进去，可得到了相当准确的虑进去，可得到了相当准确的 固有频率值。固有频率值。利用动能计算把分布质量等效为集中质量，加在原来的惯性利用动能计算把分布质量等效为集中质量，加在原来的惯性元件上，作为单自由度系统处理，这种方法称为元件上，作为单自由度系统处理，这种方法称为瑞利法瑞利法。 单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计

46、算系统固有频率的方法 由：由： 可得：可得： 单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法例如：例如： 弹簧质量系统弹簧质量系统设弹簧的动能：设弹簧的动能：212ttTm xtm为弹簧等效为弹簧等效质量质量系统最大动能：系统最大动能：222maxmaxmaxmax111222ttTmxm xmmx系统最大势能：系统最大势能：2maxmax12Vkxmaxmaxnxxtnkmm为弹簧单位长度的质量为弹簧单位长度的质量设质量块设质量块m的速度为：的速度为：则微段则微段 的速度为：的速度为：单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有

47、频率的方法x dxl整个弹簧的动能：整个弹簧的动能：22011()22 3lxlTdxl质量块经过静平衡位置时：质量块经过静平衡位置时：2maxmax1)23lTmx由由 ，得，得maxmaxTU22maxmax11)232lmxK x 单自由度系统的振动单自由度系统的振动/计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法对于简谐振动：对于简谐振动：22maxmax11)232lmxK x maxmaxsin()nnxAtxAxA代入得：代入得：222)3nmmAKAml3nKmm结论：结论： 只要把三分之一弹簧质量当作一个集中质量加只要把三分之一弹簧质量当作一个集中质量加 到质量块上去，就可以把

48、弹簧对系统的固有频率到质量块上去，就可以把弹簧对系统的固有频率 的影响考虑到。这种近似解法的精度比较高。的影响考虑到。这种近似解法的精度比较高。单自由度系统的振动单自由度系统的振动教学内容教学内容l 2.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动l 2.2 计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法l 2.3 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度l 2.4 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动l 2.5 系统对简谐激励的响应系统对简谐激励的响应单自由度系统的振动单自由度系统的振动/等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度l 2.3 等效质量与等效刚度等效质量与等效刚度 瑞利法中将弹性元件的分布质量等效为集中质

49、量，从而瑞利法中将弹性元件的分布质量等效为集中质量，从而使一个较复杂的系统简化为弹簧质量系统。工程中有许使一个较复杂的系统简化为弹簧质量系统。工程中有许多复杂的单自由度系统都可以简化为弹簧质量系统。简多复杂的单自由度系统都可以简化为弹簧质量系统。简化的方法有两种。一种是能量法，另一种是利用定义。化的方法有两种。一种是能量法，另一种是利用定义。单自由度系统的振动单自由度系统的振动/等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度方法一：能量法方法一：能量法选定广义位移坐标选定广义位移坐标x后，将系统的动能和势能写成如下形式：后，将系统的动能和势能写成如下形式：212eTM x当当 分别取最大值时，分别取最大

50、值时，T及及U取最大值：取最大值：可得简化后的系统的固有频率为：可得简化后的系统的固有频率为：212eUK xeneKM：简化系统的：简化系统的等效刚度等效刚度eK：简化系统的：简化系统的等效质量等效质量eM这里等效的含义是指简化前后系统的动能和势能是分别这里等效的含义是指简化前后系统的动能和势能是分别相等的。相等的。x x 、maxmax,TU单自由度系统的振动单自由度系统的振动/等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度方法二：定义法方法二：定义法等效刚度：等效刚度： 使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要 在此坐标方向上施加的力，叫系统在此坐标在此坐标方向

51、上施加的力，叫系统在此坐标 系上的等效刚度。系上的等效刚度。等效质量：等效质量： 使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需 要在此坐标系上施加的力，叫系统在此坐标要在此坐标系上施加的力，叫系统在此坐标 系上的等效质量。系上的等效质量。单自由度系统的振动单自由度系统的振动/等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度例例2-8：(P54例例2.9)如图所示：两个弹簧串联起来，刚度分别为如图所示：两个弹簧串联起来，刚度分别为K1，K2悬挂物体的质量为悬挂物体的质量为m，求系统的等效刚度。，求系统的等效刚度。（a）（b）单自由度系统的振动单自由度系统的振动/等效质量和等效

52、刚度等效质量和等效刚度解：解： 对质量对质量m施加力施加力P，对于（，对于（a）系统。）系统。 弹簧的变形分别为：弹簧的变形分别为： 由于串联，弹簧的总变形为：由于串联，弹簧的总变形为： 根据定义，等效刚度为：根据定义，等效刚度为：12PPKK1211(PKK1212eK KPKKK对于（对于（b）系统，两弹簧的变形相同都为）系统，两弹簧的变形相同都为 ，受力分别为：受力分别为：1122PKPK由力的平衡：由力的平衡：根据定义，等效刚度为：根据定义，等效刚度为：1212PPPKK12ePKKK由以上计算可以得到如下结论：由以上计算可以得到如下结论：对于系统（对于系统（a），属于串联弹簧系统，）

53、，属于串联弹簧系统，等效刚度的倒数是每个弹簧刚度的倒数等效刚度的倒数是每个弹簧刚度的倒数之和。之和。对与系统（对与系统（b），属于并联弹簧系统，），属于并联弹簧系统，等效刚度为每个弹簧刚度的总和。等效刚度为每个弹簧刚度的总和。单自由度系统的振动单自由度系统的振动/等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度单自由度系统的振动单自由度系统的振动/等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度例例2-9：杠杆系统：杠杆系统(P54例例2.10）杠杆是不计质量的刚体杠杆是不计质量的刚体求：系统对于求：系统对于 坐标的等效质量和等效刚度坐标的等效质量和等效刚度x单自由度系统的振动单自由度系统的振动/等效质量和等效刚度等

54、效质量和等效刚度解法解法1：能量法：能量法动能：动能：2221211122lTm xmxl22212211()2lmmxl等效质量：等效质量：221221elMmml势能：势能：2222331212211111()222llVk xkxkkxll等效刚度：等效刚度：231221elKkkl固有频率：固有频率：eneKM设系统在设系统在x方向产生单位位移需要施加方向产生单位位移需要施加力力P，则在，则在 处将产生弹性恢复力，处将产生弹性恢复力，对支座取矩对支座取矩单自由度系统的振动单自由度系统的振动/等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度解法解法2：定义法：定义法设系统在设系统在x方向产生单位加速

55、度需要方向产生单位加速度需要施加力施加力P，则在，则在 上产生惯性上产生惯性力，对支座取矩力，对支座取矩12m m21112211lPlmlmll221221elMPmml3111231(1)()lPlklkll231221elKPkkl12k k 所以等效刚度：所以等效刚度：单自由度系统的振动单自由度系统的振动教学内容教学内容l 2.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动l 2.2 计算系统固有频率的方法计算系统固有频率的方法l 2.3 等效质量和等效刚度等效质量和等效刚度l 2.4 有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动l 2.5 系统对简谐激励的响应系统对简谐激励的响应l 2.4 有阻尼的自由振动有

56、阻尼的自由振动 前述的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统前述的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响，实际系统的机械能不可能守恒，因为存在各种各样的阻力。的机械能不可能守恒，因为存在各种各样的阻力。振动中将阻力称为振动中将阻力称为阻尼阻尼，例如摩擦阻尼、电磁阻尼等。实，例如摩擦阻尼、电磁阻尼等。实际系统中阻尼的物理本质很难确定。最常用的一种阻尼力际系统中阻尼的物理本质很难确定。最常用的一种阻尼力学模型是学模型是粘性阻尼粘性阻尼，或称为，或称为粘滞阻尼粘滞阻尼，在流体中低速运动，在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常认为受到了粘性阻尼。或沿润滑表面滑动的物体，通常认为受到了粘性阻尼。

57、粘性阻尼与相对速度成正比，即：粘性阻尼与相对速度成正比，即：单自由度系统的振动单自由度系统的振动/有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动 Pd为粘性阻尼力，为粘性阻尼力，v为相对速度，为相对速度， c 称为称为粘性阻尼系数粘性阻尼系数，单位为：，单位为：Ns/m。粘性阻尼由于它与速度成正比，又称粘性阻尼由于它与速度成正比，又称线性阻尼线性阻尼。线性阻尼在。线性阻尼在分析振动同题时使求解大为简化，所以我们一开始以粘性阻分析振动同题时使求解大为简化，所以我们一开始以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。如果遇到非粘性的阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。如果遇到非粘性的阻尼，我们将在后面的介绍中引进一个等

58、效粘性阻尼来作近似尼，我们将在后面的介绍中引进一个等效粘性阻尼来作近似计算。计算。单自由度系统的振动单自由度系统的振动/有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动dPcv以静平衡位置为原点。设以静平衡位置为原点。设x坐标向下坐标向下为正。受力分析后，利用牛顿运动定为正。受力分析后，利用牛顿运动定律得运动方程：律得运动方程：单自由度系统的振动单自由度系统的振动/有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动0mxcxkx220nxnxx2cnm2nkm令：令：(截塔截塔)上式变为：上式变为：令：令：n成为衰减系数，成为衰减系数， 为相应的无阻尼时的固有频率为相应的无阻尼时的固有频率n微分方程：微分方程：nn220nnx

59、xx单自由度系统的振动单自由度系统的振动/有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动解二次方程：解二次方程：两个特征根为：两个特征根为：21,21nns 通解为：通解为：221112()nnntttxec ec e stxe220nnxxx令：令：得到特征方程：得到特征方程：2220nnss（1）当）当 时，称为时，称为过阻尼状态过阻尼状态（2）当）当 时，称为时，称为欠阻尼状态欠阻尼状态（3）当）当 时，称为时，称为临界阻尼状态临界阻尼状态单自由度系统的振动单自由度系统的振动/有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动特征方程：特征方程：动力学方程：动力学方程：取不同值时，微分方程有不同性质的解。取不同值时，微

60、分方程有不同性质的解。220nnxxx2220nnss111l 2.4.1 欠阻尼状态欠阻尼状态 单自由度系统的振动单自由度系统的振动/有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动1欠阻尼欠阻尼振动解振动解令令12( )(cossin)ntddx tectct21dn设初始条件：设初始条件：00(0)(0)xxxx其中：其中：( )sin()ntdx tAet22000()ndxxAx1000dnxtgxx则振动解为：则振动解为：单自由度系统的振动单自由度系统的振动/有阻尼的自由振动有阻尼的自由振动1 欠阻尼欠阻尼振动解：振动解：( )sin()ntdx tAetnT阻尼固有频率：阻尼固有频率：21dn阻