平面向量的数量积及菘应用(二)

1、4.24.2平面向量的数平面向量的数量积及其应用量积及其应用（二）（二）1.1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用（1 1）常解决的平面几何问题：平面向量在平）常解决的平面几何问题：平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、数量积解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题夹角等问题. .（2 2）解决常见平面几何问题用到的向量知识）解决常见平面几何问题用到的向量知识问题类型问题类型所用知识所用知识公式表示公式表示线平行、线平行、点共线问点共线问题题共线向量共线向量定理定理ab_其中其中a=(x=(

2、x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2) )垂直问题垂直问题数量积的数量积的运算性质运算性质ab_a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2) )夹角问题夹角问题数量积数量积的定义的定义coscos = = （为向量为向量a, ,b的夹角）的夹角）a=b( (b0) )x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0ab=0=0 x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=0=0| | |aba b_（3 3）用向量方法解决平面几何问题的）用向量方法解决平面几何问题的“三步法三步法”平面几何问题平面几何问题 向量问题

3、向量问题 解决向量问题解决向量问题 解决几何问题解决几何问题设向量设向量运算运算还原还原2.2.平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用（1 1）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们）由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的减法和加法相似，可以用向量的的分解与合成和向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决知识来解决. .(2)(2)物理学中的功是一个标量，是力物理学中的功是一个标量，是力F与位移与位移s的数量积的数量积, ,即即W=W=Fs=|=|F|s|cos (|cos (为为F与与s的夹角）的夹角）. . 考点考点 1 1 向量在平面几何中的应用向量在

4、平面几何中的应用例例1 1（1 1）平面上）平面上O,A,BO,A,B三点不共线，设三点不共线，设 则则OABOAB的面积等于的面积等于( )( )（2 2）若等边）若等边ABCABC的边长为的边长为 平面内一平面内一点点M M满足满足OA,OB ，ab 222222222222A B11C D22a baba baba baba bab12CMCBCAMAMB _.63 ，则2 3 ，【规范解答【规范解答】（1 1）选）选C.C.设设a，b的夹角为的夹角为，由条件得，由条件得22222OAB22222222cos ,sin 1 cos1 ()1,| | |11Ssin 122| |1| |

5、|2| |1.2aba bababa ba baba ba ba baba ba ba ba bab（2 2）以）以BCBC的中点为原点，的中点为原点，BCBC所在直线为所在直线为x x轴建立如图所示的平轴建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件可知面直角坐标系，根据题设条件可知A(0A(0，3)3)， B3,0 ,C3,0 .设设M(x,yM(x,y) )，则，则 由由 得得, ,x=0 x=0，y=2,y=2,点点M M的坐标为的坐标为(0,2).(0,2).答案：答案：-2-2CMx3,y，CB2 3,0 CA3,3 . ，12CMCBCA63 12x3,y2 3,0(3,3)3,2

6、,63 MA01 MB32MAMB2. ， ， 【拓展提升【拓展提升】平面几何问题的向量解法平面几何问题的向量解法（1 1）坐标法）坐标法. .把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了相关点与向量具体把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了相关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决题得到解决. .(2)(2)基向量法基向量法. .适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于未知量的方程来进行求解关于未知量的方程来进行求解. .【提醒【提醒】

7、 用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用坐标法解题时，建立适当的坐标系是解题的关键，用基向量解题时要选择适当的基底用基向量解题时要选择适当的基底. .练习练习(1)(1)如图，如图，O O，A A，B B是平面上的三点，是平面上的三点，向量向量 C C为线段为线段ABAB的中点，的中点，设设P P为线段为线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线CPCP上任意一点，上任意一点，向量向量 若若 =( )=( )(A)8 (B)6 (A)8 (B)6 (C)4 (C)4 (D)0(D)0OA=OB= ，abOP ，p42 ，则abp a b【解析【解析】选选B.B.由由 知知| |p- -b|

8、=|=|p- -a| |，| |p- -b| |2 2=|=|p- -a| |2 2，p2 2-2-2pb+ +b2 2= =p2 2-2-2pa+ +a2 2，得得2 2pa-2-2pb= =a2 2- -b2 2=16-4=12=16-4=12，p( (a- -b)=6.)=6.BPAP ，(3)(3)已知已知ABCABC的三边长的三边长AC=3AC=3，BC=4BC=4，AB=5AB=5，P P为为ABAB边边上任意一点，则上任意一点，则 的最大值为的最大值为_._.【解析【解析】方法一：方法一：( (坐标法坐标法) )以以C C为原点，建立平面直角坐标系为原点，建立平面直角坐标系如图，

9、设如图，设P P点坐标为点坐标为(x,y(x,y) )且且0y3,0 x4,0y3,0 x4,则则 当当y=3y=3时，取得最大值时，取得最大值9.9.CP (BABC)uur uuu ruurgCP CA(x,y) (0,3)3y，uur uuu rggCP (BABC)uur uuu ruurg方法二：方法二：( (基向量法基向量法) ) cosBACcosBAC为正且为定值，为正且为定值，当当 最小即最小即 =0=0时，时， 取到最大值取到最大值9.9.答案：答案：9 9CPCAAPBABCCA，uuruuu ruuruuu ruuruuu rQ2CP (BABC)(CAAP) CACA

10、AP CA9AP AC9 |AP| |AC| cos BAC93|AP| cos BAC, uur uuu ruuruuu ruur uuu rgguuu ruur uuu ruur uuu rgguuruuu rgguurg|AP|uur|AP|uurCP (BABC)uur uuu ruurg考点考点 2 2 向量与三角函数知识的综合应用向量与三角函数知识的综合应用例例2 2(1)(1)已知向量已知向量a=(m,n=(m,n) )，b=(cos,sin=(cos,sin ) )，其中，其中m,n,Rm,n,R. .若若| |a|=4|=4|b| |，则当，则当ab2 2恒成立时实数恒成立时

11、实数的取值范围是的取值范围是( )( ) A22 B22C22 D22 或 或 (2)(2)已知已知A(1,1),B(1,1),C( cosA(1,1),B(1,1),C( cos , sin ) , sin )(R(R) )，O O为坐标原点为坐标原点. .若若 = = ，求，求sin 2sin 2的值；的值；若实数若实数m,nm,n满足满足求求(m-3)(m-3)2 2+n+n2 2的最大值的最大值. .|BC BA| mOA nOB OC ，222【规范解答【规范解答】(1)(1)选选B.B.由已知得由已知得| |b|=1|=1，所以，所以| |a|= =4,|= =4,因此因此ab=m

12、cos +nsin=mcos +nsin = sin(+= sin(+)=4sin(+)=4sin(+)4,)4,由于由于ab2 2恒成立，故恒成立，故2 24 4，解得，解得2 2或或-2.-2.22mn22mn(2)(2) =( cos=( cos -1) -1)2 2+( sin -1)+( sin -1)2 2= (sin +cos= (sin +cos )+4, )+4, (sin +cos (sin +cos )+4=2, )+4=2,即即sin +cossin +cos = =两边平方得两边平方得1+sin 2= 1+sin 2= ，sin 2=sin 2=由由 得得(m+n,m

13、-n)=( cos(m+n,m-n)=( cos , sin ), , sin ),22|BC BA| |AC| 222 22 22,2121.2mOA nOB OC 22m n2cos ,m n2sin , (m-3)(m-3)2 2+n+n2 2=m=m2 2+n+n2 2-6m+9-6m+9= (sin +cos )+10= (sin +cos )+10=-6sin(+ )+10,=-6sin(+ )+10, 当当sin(sin(+ )=-1+ )=-1时，时，(m-3)(m-3)2 2+n+n2 2有最大值有最大值16.16.2mcos sin ,22ncos sin ,2解得3 24

14、4【互动探究【互动探究】在本例题（在本例题（2 2）的第）的第小题中，若将条件小题中，若将条件“ ”“ ”改为改为“ ”“ ”，则如何解答？，则如何解答？【解析【解析】由条件知由条件知由由 得得tan =-1.tan =-1.BC BA2 BC OA BC2cos 1, 2sin 1 OA1,1 （），BCOA 2cos 12sin 1 0 ，2222sin cos 2tan sin 22sin cos 1.sincostan1(2)(2)设设ABCABC三个角三个角A A，B B，C C的对边分别为的对边分别为a,b,ca,b,c，向量，向量p=(a,2b),=(a,2b),q=(sinA,

15、1),=(sinA,1),且且pq. .(1)(1)求角求角B B的大小；的大小；(2)(2)若若ABCABC是锐角三角形，是锐角三角形，m=(cosA,cosB=(cosA,cosB),),n=(1,sinA-cosAtanB),=(1,sinA-cosAtanB),求求mn的取值范围的取值范围. .【解析【解析】(1)(1)p=(a,2b),=(a,2b),q=(sinA,1),=(sinA,1),且且pq, ,a-2bsinA=0,a-2bsinA=0,由正弦定理得由正弦定理得sinA-2sinBsinA=0.sinA-2sinBsinA=0.00A,B,CA,B,C, , 得得 或或1

16、sinB,2B65B.6(2)(2)ABCABC是锐角三角形，是锐角三角形，于是于是由由A+C=-B= A+C=-B= 及及0 0C C , ,得得结合结合 得得B,633(cosA,),(1,sinAcosA),23mn33cosA(sinAcosA)23m n13cosAsinAsin(A).22656255AC(,).6360A,A,232 2A,26333sin(A) 1,1.262即m n考点考点 3 3 向量与解析几何知识的综合应用向量与解析几何知识的综合应用例例3 3（1 1）已知两点）已知两点M(M(3 3，0)0)，N(3N(3，0)0)，点，点P P为坐标平面为坐标平面内一

17、动点，且内一动点，且 则动点则动点P(xP(x，y)y)到点到点M(M(3 3，0)0)的距离的距离d d的最小值为的最小值为( )( )(A)2 (B)3 (A)2 (B)3 (C)4 (C)4 (D)6(D)6（2 2）在平行四边形）在平行四边形ABCDABCD中，中，A(1A(1，1)1)， =(6,0)=(6,0)，点，点M M是是线段线段ABAB的中点，线段的中点，线段CMCM与与BDBD交于点交于点P.P.若若 =(3,5)=(3,5)，求点，求点C C的坐标；的坐标；当当 时，求点时，求点P P的轨迹的轨迹MN MPMN NP 0 ，AB AD AB |AD| 【规范解答【规范解

18、答】（1 1）选）选B.B.因为因为M(-3M(-3，0)0)，N(3N(3，0)0)，所以，所以由由 化简得化简得y y2 2=-12x=-12x，所以点，所以点M M是抛物线是抛物线y y2 2=-12x=-12x的焦点，所以点的焦点，所以点P P到点到点M M的的距离的最小值就是原点到距离的最小值就是原点到M(-3M(-3，0)0)的距离，所以的距离，所以d dminmin=3.=3.MN6,0 MN6,MPx 3,y ,NPx 3,y . ，22|MN| MPMN NP 0 6x 3y6 x 30 ，得（2 2）设点设点C C的坐标为的坐标为(x(x0 0，y y0 0) )，又又即即

19、(x(x0 01 1，y y0 01)1)(9(9，5)5)，x x0 01010，y y0 06 6，即点，即点C(10,6).C(10,6).设设P(x,yP(x,y) )，则则=(x-7,y-1)=(x-7,y-1)， AC AD AB356095 ， ， ，BP AP ABx 1,y 1(6,0) 平行四边形平行四边形ABCDABCD为菱形为菱形 (x (x7 7，y y1)1)(3x(3x9 9，3y3y3)3)0 0，即即(x(x7)(3x7)(3x9)9)(y(y1)(3y1)(3y3)3)0.0.xx2 2y y2 210 x10 x2y2y22220 0即即(x-5)(x-5

20、)2 2+(y-1)+(y-1)2 2=4.=4. 1AC AM MCAB 3MP211AB 3(APAB) 3AP AB223 x 1 3 y 1603x 93y 3 ， ， ABAD ，BPAC ，又当又当y=1y=1时，点时，点P P在在ABAB上，与题意不符上，与题意不符, ,故点故点P P的轨迹是以的轨迹是以(5(5，1)1)为圆心，为圆心，2 2为半径的圆且去掉与直线为半径的圆且去掉与直线y=1y=1的两个交点的两个交点【拓展提升【拓展提升】向量在解析几何中的向量在解析几何中的“两个两个”作用作用（1 1）载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于）载体作用：向量在解析几何问题中出

21、现，多用于“包包装装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向向量外衣量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题. .(2)(2)工具作用：利用工具作用：利用abab=0,=0,aba=b（b0）, ,可可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.

22、.练习练习(1)(1)已知点已知点A(-1,0)A(-1,0)，B(1,0)B(1,0)，动点，动点M M的轨迹的轨迹C C满足满足AMB=2AMB=2， 并写出轨迹并写出轨迹C C的方程的方程. .2AM BMcos3AMBM ，求的值，【解析【解析】设设M(x,yM(x,y) )，在，在MABMAB中，中，|AB|=2|AB|=2，AMB=2AMB=2，根据余弦定理得根据余弦定理得22222AMBM2AM BMcos 24,AM |BM|2AM BM 1 cos 24,AM |BM|4AM BMcos4. 22AM BMcos3AMBM4 3 4,AMBM4. ，而又又因此点因此点M M的

23、轨迹是以的轨迹是以A,BA,B为焦点的椭圆为焦点的椭圆( (去掉去掉x x轴上的两点轴上的两点),a=2),a=2，c=1.c=1.所以轨迹所以轨迹C C的方程为的方程为AM |BM| 4 2AB ，22xy1 y 0 .43(2)(2)已知已知O O是坐标原点，点是坐标原点，点A A（-1-1，1 1）, ,若点若点M M（x x，y y）为）为平面区域平面区域 上的一个动点，则上的一个动点，则 的取值范的取值范围是围是( )( )(A)(A)-1,0-1,0 (B)(B)0,10,1(C)(C)0,20,2 (D)(D)-1,2-1,2x y 2,x 1,y 2 OAOM 【解析【解析】选

24、选C.C.由题意，不等式组由题意，不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：表示的平面区域如图阴影部分所示：由向量数量积的坐标运算易得：由向量数量积的坐标运算易得：令令-x+y=z,-x+y=z,即即y=x+z,y=x+z,易知目标函数易知目标函数y=x+zy=x+z过点过点B B（1 1，1 1）时，）时，z zminmin=0,=0,目标函数目标函数y=x+zy=x+z过点过点C(0,2)C(0,2)时，时，z zmaxmax=2,=2,故故 的取值范围是的取值范围是0,20,2. .x y 2,x 1,y 2 OAOMx y ，OAOM 练习练习: :已知向量已知向量m=(2x-2,2-

25、y)=(2x-2,2- y)，n=( y+2,x+1),=( y+2,x+1),且且mn, =(x,y)(O, =(x,y)(O为坐标原点为坐标原点).).(1)(1)求点求点M M的轨迹的轨迹C C的方程；的方程；(2)(2)是否存在过点是否存在过点F(1F(1，0)0)的直线的直线l与曲线与曲线C C相交于相交于A A、B B两两点，并且曲线点，并且曲线C C上存在点上存在点P P，使四边形，使四边形OAPBOAPB为平行四边形？为平行四边形？若存在，求出若存在，求出平行四边形平行四边形OAPBOAPB的面积；若不存在，说明理由的面积；若不存在，说明理由. .33OM 【解析【解析】(1)(1)m=(2x-2,2- y),=(2x-2,2- y),n=( y+2,x+1),=( y+2,x+1),且且mn, ,(2x-2)(x+1)-(2- y)( y+2)=0,(2x-2)(x+1)-(2- y)( y+2)=0,整理，得整理，得(2)(2)设设A(xA(x1 1,y,y1 1) )、B(xB(x2 2,y,y2 2),),由题意知由题意知l的斜率一定不为的斜率一定不为0 0，故不妨设，故不妨设l:x:x=my+1.=my+1.代入椭圆的方程中整理得代入椭圆的方程中整理