第4章 非线性方程求根

1、第4章 非线性方程求根4.1 实根的对分法实根的对分法4.2 迭代法迭代法4.3 牛顿牛顿-雷扶生迭代法雷扶生迭代法4.4 弦截法弦截法4.5 非线性方程组的牛顿方法非线性方程组的牛顿方法 本章小结本章小结 思考题思考题问题问题的引入的引入 我们知道在我们知道在多项式方程中，求根公式有多项式方程中，求根公式有一、二、三、四次方程，当一、二、三、四次方程，当n大于大于4已经证明没有计算公式；在已经证明没有计算公式；在工程和科学技术中许多问题常常归结为工程和科学技术中许多问题常常归结为求解非线性求解非线性方程的方程的问题问题，因此非线性，因此非线性方程的方程的解法需要解法需要给出一给出一种数值解法

2、，种数值解法，本章来讨论这个问题。本章来讨论这个问题。 实根实根的对分法的对分法 所谓对分法对我们并不陌生，在所谓对分法对我们并不陌生，在VB中学习编程时应该学到。即设有中学习编程时应该学到。即设有非线性方程非线性方程 0)(xf0)()(bfaf则函数在则函数在a,b 上至少有一个零点。计算中通过对分区间，逐步缩小有根上至少有一个零点。计算中通过对分区间，逐步缩小有根区间，搜索零点的位置。区间，搜索零点的位置。4.1 实根的对分法非线性方程的数值解法有量大类，对分法和迭代法。非线性方程的数值解法有量大类，对分法和迭代法。为为 a,b 上的连续函数，且上的连续函数，且第第1步：步：)(2/ )

3、(,111111xfbaxbaba的的函函数数值值，计计算算区区间间中中点点记记如果如果 即即为为所所求求的的根根，则则110)(xxf0)()(11xfaf则根一定在则根一定在区间区间 ， ,2211baxa于是我们得到长度缩小一半的含根区间于是我们得到长度缩小一半的含根区间,22baab(x1)具体步骤为：具体步骤为：如果如果 ,1xa记记内内否否则则一一定定在在区区间间,2211babx即即 )(21)(21, 0)()(112222abababbfaf 设已经完成了第设已经完成了第1，第，第2，第，第k-1步，得到分半计算步，得到分半计算的含的含根区间根区间,2211kkbababa且

4、满足：且满足： , 0)()(*kkkkbaxbfaf)(21)(211111abababkkkk直至满足直至满足 )(211ababkkk为止。为止。 对分法求根算法对分法求根算法内的一个实根内的一个实根，于区间于区间21 01)(6xxxf且要求精度满足小数点第三位。即要求且要求精度满足小数点第三位。即要求)10213* xxk1、输入求根区间和误差控制量、输入求根区间和误差控制量,ba，定义函数，定义函数 。)(xfexitthenbfafif0)()(2、bawhile 例：求方程例：求方程1、输入求根区间和误差控制量、输入求根区间和误差控制量,ba)(xfexitthenbfafif

5、0)()(2、bawhile，定义函数，定义函数 。2.1 计算中点计算中点 以及函数值以及函数值 ；2bax)(xf2.2 分情况处理分情况处理)(xf0)()(xfaf0)()(xfbfendwhile3、输出近似解、输出近似解 。x停止计算转向停止计算转向3修正区间修正区间,baxa修正区间修正区间,babx 注意：注意：1、若函数、若函数 有几个零点，二分法只能算出一个零点；有几个零点，二分法只能算出一个零点； )(xf注意：注意：2、在实际操作中，常用、在实际操作中，常用0)()(bfsignafsign代替代替 ，以避免数值溢出。，以避免数值溢出。0)()(bfaf返回本章返回本章

6、4.2 迭代法迭代法 4.2.1 方程的等价形式方程的等价形式 4.2.2 迭代法迭代法返回本章返回本章4.2.1 方程的等价形式方程的等价形式0)(xf)(xgx 设非线性方程设非线性方程，我们总可以，我们总可以将它转化为等价将它转化为等价形式形式 。 例例 : 求求方程方程05 . 0sin)(xxxf的等价的等价形式。形式。)(5 . 0sin1xgxx解解 ： (a)(b) )()5 . 0arcsin(2xgxx 迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程、超越方程及方迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程、超越方程及方程组的一种基本方程，但存在收敛性及收敛快慢问题。程组的一种基本方

7、程，但存在收敛性及收敛快慢问题。 为了使用迭代法，需要将方程变形成等价形式。为了使用迭代法，需要将方程变形成等价形式。 如何使用迭代法求解方程呢？如何使用迭代法求解方程呢？4.2.2 迭代法迭代法定义定义 设设方程为方程为 )(xgx （1）选取方程根的一个初始近似值）选取方程根的一个初始近似值 ，0 x且按下述逐次代入法，构造一近似解序列：且按下述逐次代入法，构造一近似解序列：)()()(11201kkxgxxgxxgx这种方法称为迭代法。这种方法称为迭代法。)(xg称为迭代称为迭代函数。函数。 如果迭代收敛，即如果迭代收敛，即)(limlim1kkkkxx，则，则 满足满足)(0)(f所以

8、所以 为方程的根。为方程的根。例：例：对上例中对上例中的方程，考察用迭代法求根：的方程，考察用迭代法求根：)(5 . 0sin1xgxx)()5 . 0arcsin(2xgxx（a）(b) 0 . 10 x, 2 , 1 , 0),(),(2111kxgxxgxkkkk解解：取初始值取初始值，分别代入迭代公式分别代入迭代公式 计算结果计算结果如下表。如下表。事实上，事实上，1limkkx)(limkkx)lim(kkx)()()(kkxbxak0 1.0 1.01 1.341471 0.5235992 1.473820 0.0236013 1.495301 -0.4965554 1.49715

9、2 -1.4877615 1.4972896 1.4973007 1.497300 kx 由由计算看出，我们选取的两个迭代函数构造的计算看出，我们选取的两个迭代函数构造的序列序列 不一样，为此不一样，为此，我们需要解决一个问题：，我们需要解决一个问题： ？如何如何选取迭代函数，使迭代过程收敛选取迭代函数，使迭代过程收敛。的收敛情况的收敛情况让让我们再看迭代我们再看迭代方程方程 来进行分析：来进行分析：)(xgx )(xgy xy 发现，发现，方程方程 的的根可以看成是曲线根可以看成是曲线与直线与直线的的交交。y=xy=g(x)x*)(xgx 例：例： 我们从图形上找出作出迭代序列：我们从图形上

10、找出作出迭代序列：y=xy=g(x)x0 x1x*x2;)(,()(0000QxyxxgxPxgy与与一一点点方方向向前前进进交交轴轴出出发发，沿沿着着平平行行于于上上一一点点从从曲曲线线P0Q0。点点的的横横坐坐标标就就是是显显然然，点点，于于轴轴方方向向前前进进交交点点，沿沿平平行行于于再再从从)()(01110 xgxPPxgyyQ .*xxxkk收收敛敛于于序序列列况况下下，且且从从几几何何上上观观察察知知情情继继续续这这个个过过程程就就得得到到列列P1P2Oxy 通过图示观察，我们发现迭代收敛与否于迭代函数的形状有密通过图示观察，我们发现迭代收敛与否于迭代函数的形状有密切的关系，那么

11、迭代函数要满足什么条件能使迭代收敛呢？切的关系，那么迭代函数要满足什么条件能使迭代收敛呢？ 定理：定理： 设有方程设有方程 ,若满足下面三个条件：若满足下面三个条件：)(xgx )(xg1:1:设迭代函数设迭代函数于于a,b上一阶导数存在；上一阶导数存在；,bax;,)(baxg2:2:当当时，有时，有)(xg1)(Lxg,bax满足条件满足条件，当，当3：则有则有 1：)(xgx ,ba*x迭代方程迭代方程在在上有惟一解上有惟一解 2：对于任意选取的初始值：对于任意选取的初始值 ,0bax 迭代方程迭代方程 )(1kkxgx*limxxkk收敛收敛 即即3：), 2 , 1(101*kxxL

12、Lxxkk考察：考察：定理有三个结论。定理有三个结论。)(xgx ,ba*x1）迭代）迭代方程方程在在上有惟一解上有惟一解分析：我们只需构造一个函数分析：我们只需构造一个函数)()(xgxx，验证，验证)(x在区间在区间,ba上满足闭区间连续函数的性质：上满足闭区间连续函数的性质：0)(, 0)(ba则函数至少有一个零点，则函数至少有一个零点，*,xx 关于关于唯一性证明，不妨设有两个零点唯一性证明，不妨设有两个零点)(, 0)()(*xgxxgxx，只需证明，只需证明*xx 可以利用中值定理得到。可以利用中值定理得到。kkkxxLxx1*112）对于）对于任意选取的初始值任意选取的初始值 ,

13、0bax 迭代方程迭代方程 )(1kkxgx*limxxkk收敛收敛 即即只需考察只需考察*1xxk而这是显然的。而这是显然的。3）), 2 , 1(101*kxxLLxxkk只需变形不等式：只需变形不等式：由迭代公式由迭代公式)(1kkxgx)()()(111kkkkkkxxcgxgxgxx可以推得可以推得1kkxxL)()(*xgxgk*12xxLk*xxLk)()(*1xgxgLk?0*01 kkxxLL) 1 (), 2 , 1(11LkxxLxxkkkk即即kkxx1于是于是kkxxLxx*即即由（由（1）（）（2）有）有 11*111kkkkkxxLLxxLxx2121kkxxLL

14、011xxLLk至此，定理的分析完毕，证明过程请大家看书。至此，定理的分析完毕，证明过程请大家看书。)(1*kkxxxx1*kkxxxx)2()1 (*kxxL注意注意：对定理中：对定理中的假设条件的假设条件1)(Lxg等价形式等价形式 ，而，而 ，由，由 的连续性，一定存在一个邻域的连续性，一定存在一个邻域在其上有在其上有可能对于大范围的含根区间可能对于大范围的含根区间难于满足难于满足，而在根的邻近是成立的。事实上，如果而在根的邻近是成立的。事实上，如果 是是 的零点，若能构造的零点，若能构造 *x)(xf)(xx1)(* x)(x),(*xx1)(Lx，这时若初值，这时若初值),(*0 x

15、xx，则迭代收敛。，则迭代收敛。整理一下：迭代收敛整理一下：迭代收敛 的两个要素为的两个要素为1、等价形式应满足、等价形式应满足1)(*Lxg2、初始值初始值 必须在根的充分小的邻域内。必须在根的充分小的邻域内。0 x例：求代数方程例：求代数方程 在在 附近的实根。附近的实根。0523 xx20 x解：解：5 . 2 , 5 . 1 , 1)(,)52(131)(3/2xxxx所以构造的迭代收敛。所以构造的迭代收敛。3135252) 1xxxxk取取20 x094550. 2094543. 2094494. 2094217. 2,09235. 2,08008. 2654321xxxxxx而准确

16、解为而准确解为00945514815. 2x5 . 2 , 5 . 1 , 123)(25)(,25223231xxxxxxxnn2）将迭代格式写出）将迭代格式写出所以迭代不能保证收敛。所以迭代不能保证收敛。返回返回本节本节4.3 牛顿-雷扶生方法 牛顿牛顿-雷扶生方法是一种将非线性函数线性化的方法，例如将高次多雷扶生方法是一种将非线性函数线性化的方法，例如将高次多项式化成一次多项式；牛顿项式化成一次多项式；牛顿-雷扶生方法的优点是在单根附近具有较高的雷扶生方法的优点是在单根附近具有较高的收敛速度收敛速度；牛顿；牛顿-雷扶生方法可用来计算方程的实根，也可计算代数方程雷扶生方法可用来计算方程的实

17、根，也可计算代数方程的复根的复根 。我们先来看牛顿法的几何意义：我们先来看牛顿法的几何意义： x1x*x0返回本章返回本章x2我们推导牛顿我们推导牛顿-雷复生迭代公式。雷复生迭代公式。)(xfy （1）求过曲线）求过曲线 )(xfy 上的点上的点P )(,(00 xfx的切线的切线方程：方程： )()(000 xxxfxfy（2）切线）切线近似代替曲线，切线的零点近似代替曲线，切线的零点 1x近似近似代替代替 的根的根 *x0)(xf0)()(000 xxxfxf解解x得到得到)()(0001xfxfxxx重复上述的过程，得到牛顿重复上述的过程，得到牛顿-雷扶生计算公式雷扶生计算公式, 2 ,

18、 1 , 0)()(10kxfxfxxxkkkk迭代迭代函数：函数： )()()(xfxfxxx牛顿迭代式是否收敛呢？即牛顿迭代式是否收敛呢？即 在根附近是否成立？在根附近是否成立？考察考察说明：牛顿迭代公式还可以通过泰勒公式一阶展开得到，并且还可以考察公说明：牛顿迭代公式还可以通过泰勒公式一阶展开得到，并且还可以考察公式的误差问题。式的误差问题。1)()()()(2 xfxfxfx设设 ，即，即 是方程是方程 的单根，则的单根，则0)(f0)(xf0)(, 0)(ff则有则有0)(因此只要初值因此只要初值 充分的靠近充分的靠近 ，有，有0 x1)( x所以牛顿迭代法收敛。所以牛顿迭代法收敛。

19、1)( x例：例： 用牛顿法计算用牛顿法计算 01)2()(4xexfx的根的根 解：容易看出，解：容易看出，0)2()0( ff，方程方程在在0，2内有一根。内有一根。4)6()(4xexfx所以牛顿法的计算公式为所以牛顿法的计算公式为, 1 , 04/ )6(1)2(4/4/1kxexexxkxkxkkkk10 x80 x（1）取）取（2）取）取，两次计算的果见下表，两次计算的果见下表：kxkkxk0 1 0 81 -1.155999 1 34.7781072 0.189438 2 869.15193 0.714043 4 0.7825425 0.7835956 0.783598收敛收敛发

20、散发散例：用牛顿迭代法求方程例：用牛顿迭代法求方程03 .152 .197 . 7)(23xxxxf在在 附近的根。看书。附近的根。看书。10 x牛顿牛顿迭代法的局限性迭代法的局限性： 1）要求初始值在根的附近；有时发生从一个根附近跳向另一根）要求初始值在根的附近；有时发生从一个根附近跳向另一根附附近，尤其在导数近，尤其在导数 数值很小时，如下图。数值很小时，如下图。 2）如果函数没有实根，初始值是实数，迭代序列不收敛。）如果函数没有实根，初始值是实数，迭代序列不收敛。)(0 xf *x*x0 x牛顿迭代算法：牛顿迭代算法：, 2 , 1 , 0)()()(10kxxfxfxxxkkkkk1、

21、定义函数及迭代函数、定义函数及迭代函数 ，初始值，初始值 ，控制精度，控制精度 。)(),(xxf0 x2、10) 1()01()0(1, 1 , 0 xxelsethenxforxxifxxMAXiforL输出输出x1，结束，结束3、输出近似值附近无根。、输出近似值附近无根。返回本章返回本章为什么？为什么？又由导数又由导数的近似计算公式的近似计算公式11)()()(kkkkkxxxfxfxf代入牛顿迭代代入牛顿迭代式得到：式得到： )()(1kkkkxfxfxx)()()()(111kkkkkkkxxxfxfxfxx4.4 弦截法想一想：想一想：牛顿迭代法是不断的用曲线切线的零点逼近曲线的零

22、点，而切线又可以牛顿迭代法是不断的用曲线切线的零点逼近曲线的零点，而切线又可以用割线来逼近，因此可以对牛顿法改造，得到另一种迭代公式。用割线来逼近，因此可以对牛顿法改造，得到另一种迭代公式。已知牛顿迭代公式已知牛顿迭代公式, 2 , 1kX*x0 x1x2给出给出初始值初始值 x0、x1，算出，算出近似值近似值 x2。几何意义：几何意义：算法描述：算法描述：根据牛顿迭代算法，自己分析并写出。根据牛顿迭代算法，自己分析并写出。函数无近似根函数无近似根输出输出退出退出输出近似根输出近似根算出迭代函数算出迭代函数初始值初始值）定义函数）定义函数弦截法算法：弦截法算法：:)4,)()()()()(,

23、2 , 1)3)(),()2;,),xxxxelsexxfifxxxfxfxfxxMAXiforxfxfxxxf返回本章返回本章设二阶方程组设二阶方程组4.5 非线性方程组的牛顿方法yxXyxfyxfXF,),(),()(21量形式量形式为方便记，将方程组向为方便记，将方程组向0),(0),(21yxfyxf为自变量为自变量其中，其中，yx,附近做二元泰勒附近做二元泰勒在点在点将将),(),(),(0021yxyxfyxfyyxfyyxyxfxxyxfyxfyyxfyyxyxfxxyxfyxf),()(),()(),(),(),()(),()(),(),

24、(002000200022001000100011，并取其线性部分，并取其线性部分整理：整理：与非线性方程的迭代一样，这里与非线性方程的迭代一样，这里我们也寻求迭代法：我们也寻求迭代法：2211)1(00)0(yxyxXyxX0),()(),()(),(0),()(),()(),(0),(0),(002000200020010001000121yyxfyyxyxfxxyxfyyxfyyxyxfxxyxfyxfyxf令令则有则有令令,00yyyxxx),(),(),(),(),(),(000020020010010012yxfyyyxfxxyxfyxfyyyxfxxyxfyxyfxfyfxfyx

25、J,0),(221100，解出，解出取取，从而可求出，从而可求出 。11yxyyxxyxXyxX0011)1(00)0(得出得出由由类似的，由类似的，由yyyxxx0101,),(),(),(),(),(),(111121121111111112yxfyyyxfxxyxfyxfyyyxfxxyxf解出解出11,yyyxxx得出得出yyxxyxX1122)2(),(),(),(21kkkkkkyxfyxfyxyxJ继续做下去，每一次迭代都是解一个方程组继续做下去，每一次迭代都是解一个方程组为止。为止。一直做到一直做到|,|maxyxyfxfyfxfyxJkk2211),(其中其中kkkkyyyx

26、xx11即即整理一下：整理一下：例：求解线性方程组例：求解线性方程组01),(04),(2221yeyxfyxyxfx7 . 11)0(X解：解：yfxfyfxfyxJ2211),(122xeyx171828. 24 . 32)7 . 1, 1 (J所以有所以有由由01828. 011. 0),(),(,0020010yxfyxfXF方程组为：方程组为：01828. 071828. 211. 04 . 32yxyx解之：解之：029849. 0004256. 0yxX即：即：729849. 1004256. 1029849. 0004256. 07 . 1100)1(XyxX),(),(),(),(),(),(000020020010010012yxfyyyxfxxyxfyxfyyyxfxxyxf又将方程组：又将方程组：)(),(),(),(11200100XFyxfyxfXyxJ写成矩阵形式：写成矩阵形式：其中其中)0()1(00110101XXyxyxyyxxyxX)(),(),(),(),(100112001100XFyxJyxfyxfyxJX所以所以继续做下去，直至继续做下去，直