《合情推理》课件 (4)

1、高二数学 选修2-2 第二章 推理与证明12.1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理合情推理引言引言 “推理与证明推理与证明”是数学的基本思维过程，是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括合情推理和演绎推理在本式推理一般包括合情推理和演绎推理在本章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法的基本方法,

2、,包括直接证明的方法（如分析法、包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。几个著名的猜想：几个著名的猜想：歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想费马猜想费马猜想地图的地图的”四色猜想四色猜想”歌尼斯堡七桥猜想歌尼斯堡七桥猜想黎曼猜想黎曼猜想卡拉比猜想卡拉比猜想费马猜想费马猜想法国数学家费马提出猜想法国数学家费马提出猜想:任何形如任何形如 的数都是质数的数都是质数.)( 12*2Nnn

3、 每幅地图都可以用四种颜色着色，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的使得有共同边界的国家着上不同的颜色。颜色。 地图的地图的”四色猜想四色猜想” 卡拉比猜想源于卡拉比猜想源于代数几何代数几何，是由意大利著名，是由意大利著名几几何学何学家卡拉比在家卡拉比在1954年年国际数学家大会国际数学家大会上提出的上提出的:在封闭的空间，有无可能存在没有物质分布的在封闭的空间，有无可能存在没有物质分布的引引力场力场?卡拉比认为是存在的，可是没有人能证实，卡拉比认为是存在的，可是没有人能证实，包括卡拉比自己。包括卡拉比自己。 数学家数学家丘成桐丘成桐27岁攻克几何学上难题岁攻克几何学上

4、难题“卡拉比卡拉比猜想猜想”，并因此在，并因此在1982年年(33岁岁)获得数学界的获得数学界的“诺贝尔奖诺贝尔奖”菲尔兹奖菲尔兹奖卡拉比猜想卡拉比猜想歌尼斯堡七桥猜想歌尼斯堡七桥猜想18世纪在哥尼斯堡城世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒今俄罗斯加里宁格勒)的的普莱格尔河上有普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图所示。城中的居民经常沿河过桥岸连结，如图所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。始地点。 在

5、数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。拓扑学的英文名是问题。拓扑学的英文名是Topology，直译是地志，直译是地志学，学，拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的学又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大

6、小、面积、体积等度量性质研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。和数量关系都无关。 歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想( (GoldbachGoldbach Conjecture) Conjecture)任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇质数之和的偶数都等于两个奇质数之和不小于不小于6 6的偶数奇质数奇质数的偶数奇质数奇质数世界近代三大数学难题之一世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想( (GoldbachGoldbach Conjecture) Conjecture)世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位

7、中学教师，也是一位著名的数学家，生于中学教师，也是一位著名的数学家，生于16901690年，年，17251725年当选为俄国彼得堡科学院院士。年当选为俄国彼得堡科学院院士。17421742年，哥年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于德巴赫在教学中发现，每个不小于6 6的偶数都是两的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6 63 33 3，12125 57 7等等。等等。公元公元17421742年年6 6月月7 7日哥德巴赫日哥德巴赫( (GoldbachGoldbach) )写信给当时写信给当时的大数学家欧拉的大数学家欧拉(Euler)(Eul

8、er)，提出了以下的猜想，提出了以下的猜想: : (a) (a) 任何一个任何一个=6=6之偶数，都可以表示成两个奇质之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。数之和。 (b) (b) 任何一个任何一个=9=9之奇数，都可以表示成三个奇质之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在6 6月月3030日给他的回信中说，日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这

9、个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 : 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,1

10、6 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 5 + 13, . . . . 等等。有人对等等。有人对3333108108以内且大过以内且大过6 6之偶数一之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想一进行验算，哥德巴赫猜想(a)(a)都成立。但严格的数学证明尚待都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。数学家的努力。目前最佳的结果是中国数学家陈景润於目前最佳的结果是中国数学家陈景润於19661966年证明的，年证明的，称为陈氏定理称为陈氏定理(Chen(Chens Theorem) s Theorem) “任何充份大的偶数都任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两

11、个质数是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。的乘积。” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 1 + 2 + 2 ”的形式。的形式。3710，31720，131730， 改写为改写为:1037，20317，30131763+3， 1000100029+97129+971，83+5， 1002=139+863,105+5, 125+7，147+7，165+11,， 根据上述过程根据上述过程, ,歌德巴赫大胆地猜想歌德巴赫大胆地猜想: :任何一个不小于任何一个不小于6 6的偶的偶数都等于两个奇质数之和数都等于两个奇质数之和歌德巴赫猜想的提出过

12、程：歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫提出猜想的推理过程歌德巴赫提出猜想的推理过程: :通过对一些偶数的验证，发通过对一些偶数的验证，发现它们总可以表现成两个奇质数之和（而且没有反例），于现它们总可以表现成两个奇质数之和（而且没有反例），于是猜想：任何一个不小于是猜想：任何一个不小于6 6的偶数都等于两个奇质数之和。的偶数都等于两个奇质数之和。 这种由某类事物的这种由某类事物的对象具有某些特征，推出该类对象具有某些特征，推出该类事物的事物的对象都具有这些特征的推理，或者由对象都具有这些特征的推理，或者由事实事实概括出概括出结论的推理，称为结论的推理，称为（简称（简称）.简言之：归纳推理是由特殊到

13、一般的推理归纳推理是由特殊到一般的推理例如：例如： 金受热后体积膨胀，金受热后体积膨胀， 银受热后体积膨胀，银受热后体积膨胀， 铜受热后体积膨胀，铜受热后体积膨胀， 铁受热后体积膨胀，铁受热后体积膨胀，金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受金、银、铜、铁是金属的部分小类对象，它们受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从此距离加大，从而导致体积而导致体积膨膨胀胀 所以，所有的金属受热后都体积膨胀。所以，所有的金属受热后都体积膨胀。 例例1.已知数列已知数列an的第的第1项项a1=1，且，且（n=1 , 2 , ),试归纳出这个数列的

14、通项公式试归纳出这个数列的通项公式.11nnnaaa分别把分别把n=2,3,4代入代入 得得:11nnnaaa观察可得：数列的前观察可得：数列的前4项都等于相应项数的倒数。项都等于相应项数的倒数。1nan 211112a31211213a41311314a由此猜想由此猜想（归纳）（归纳）这个数列的通项公式为：这个数列的通项公式为：归纳推理的一般步骤：归纳推理的一般步骤： 检验猜想。检验猜想。 提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想； 对有限的资料进行观察、分析、对有限的资料进行观察、分析、 归纳整理；归纳整理；根据图中根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律个图形及相应点的

15、个数的变化规律,试猜测第试猜测第n个图形中有个图形中有 个点个点.(1)(2)(3)(4)(5)21nn12313414511)1(2 nnnnn个图形的点数个图形的点数第第1.1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿虫的牙齿, ,发明了锯发明了锯2.2.仿照鱼类的外型和它们在水仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮原理中沉浮原理, ,发明了潜水艇发明了潜水艇. .除了归纳除了归纳,在人们在人们 的创造发明活动中的创造发明活动中,还常用类比还常用类比.3.“火星上是否有生命火星上是否有生命”地球地球火星火星行星行星行星行星围绕太阳运行围绕太阳运行,绕轴自转绕轴自转围绕太阳运行围

16、绕太阳运行,绕轴自转绕轴自转有大气层有大气层有大气层有大气层一年中有季节的变更一年中有季节的变更一年中有季节的变更一年中有季节的变更温度适合生物的的生存温度适合生物的的生存大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些生物的生存球上某些生物的生存.有生命存在有生命存在火星上也可能有生命存在火星上也可能有生命存在在两类不同事物之间进行对比在两类不同事物之间进行对比, ,找出若干相同或找出若干相同或相似点之后相似点之后, ,推测在其他方面也可以存在相同或推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式相似之处的一种推理模式, , 称为称为类比推理类比推理.(.(简简称称; ;类比类比)

17、)二二. .类比推理的几个特点类比推理的几个特点: :1.1.类比推理是从特殊到特殊的推理类比推理是从特殊到特殊的推理; ;3.3.类比推理以旧的知识作基础类比推理以旧的知识作基础, ,推测新的结果推测新的结果, ,具有具有发现的功能发现的功能. .4.4.类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似的特征楚定义的类似的特征, ,所以进行类比推理的关键是所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征明确地指出两类对象在某些方面的类似特征. .2.2.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,

18、 ,推测正在被研究中的事物的特征推测正在被研究中的事物的特征, ,所以类比推理所以类比推理的结果具有猜测性的结果具有猜测性, ,不一定可靠不一定可靠. .一一.类比推理的概念类比推理的概念:简言之简言之,类比推理是从特殊到特殊的推理类比推理是从特殊到特殊的推理圆的概念和性质圆的概念和性质球的概念和性质球的概念和性质与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离相等的两弦相等与圆心距离不相等的两弦不相与圆心距离不相等的两弦不相等等, ,距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长以点以点(x(x0 0,y,y0 0) )为圆心为圆心, r, r为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+

19、(y-+(y-y y0 0) )2 2 = r= r2 2圆心与弦圆心与弦( (非直径非直径) )中点的连线中点的连线垂直于弦垂直于弦球心与不过球心的截面球心与不过球心的截面( (圆面圆面) )的圆点的连线垂直于截面的圆点的连线垂直于截面与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离相等的两截面面积相等与球心距离不相等的两截面面积与球心距离不相等的两截面面积不相等不相等, ,距球心较近的面积较大距球心较近的面积较大以点以点(x(x0 0,y,y0 0,z,z0 0) )为球心为球心, r, r为半为半径的球的方程为径的球的方程为(x-x(x-x0 0) )2 2+(y-+(y-y y0 0) )2

20、2+(z-z+(z-z0 0) )2 2 = r= r2 2利用圆的性质类比得出球的性质利用圆的性质类比得出球的性质球的体积球的体积3 34 4V = RV = R3 3球的表面积球的表面积2 2S = 4RS = 4R圆的周长圆的周长 S = 2RS = 2R圆的面积圆的面积2 2S =RS =R例例2类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征特征, ,从而得出一个猜想；从而得出一个猜想； 检验猜想。检验猜想。例例3 3：类比平面内

21、直角三角形的勾股定理，：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想试给出空间中四面体性质的猜想a ab bc co oA AB BC Cs s1 1s s2 2s s3 3c c2 2=a=a2 2+b+b2 2S S2 2ABC ABC =S=S2 2AOBAOB+S+S2 2AOCAOC+S+S2 2BOCBOC猜想猜想: :探究探究你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象面体的类比对象?D 合情推理合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再

22、进行归纳、类比，然后提出猜分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。想的推理，我们把它们统称为合情推理。 通俗地说，合情推理是指通俗地说，合情推理是指“合乎情理合乎情理”的推理。的推理。 合情推理的应用合情推理的应用数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论。常常能帮助我们猜测和发现结论。证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向们提供证明的思路和方向两个推理两个推理的过程的过程:从具体问从具体问题出发题出发观察观察,分析分析,比

23、较比较,联想联想归纳归纳,类比类比提出提出猜想猜想 在印度，有这么一个古老的传说：在世界在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的片金片，这就是所谓地穿好了由大到小的片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不

24、管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根和众生也都将针上时，世界针上移到另外一根和众生也都将针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇同归于就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇同归于尽。尽。 如果考虑一下把片金片，由一根针上移到另一如果考虑一下把片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次根针上，并且始终保持上小下大的顺序。这需要多少次移动呢移动呢?f(64)= 264-1=18446744073709551615 假如每秒钟一次，

25、共需多长时间呢？一个平年假如每秒钟一次，共需多长时间呢？一个平年365天有天有 31536000 秒，闰年秒，闰年366天有天有31622400秒，平均每年秒，平均每年31556952秒，计算一下，移完这些金片需要秒，计算一下，移完这些金片需要5845亿年亿年以上，而地球存在至今不过以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了据说也就是数百亿年。真的过了5845亿年，不说太阳亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭。等，都早已经灰飞烟灭。 例例: :如图有三根针和套在一根针上的若干金属片如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. . 按下列规则按下列规则, ,把金属片从一根针上全部移到另一根针上把金属片从一根针上全部移到另一根针上. . 1.1.每次只能移动每次只能移动1 1个金属片个金属片; ; 2.2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面较大的金属片不能放在较小的金属片上面. .试推测试推测; ;把把n n个金属片从个金属片从1 1号针移到号针移到3 3号针号针, ,最少需要移动多少次最少需要移动多少