高中数学所有公式(非常有用)

1、高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系x AxCuA,xCuAxA.2. 德摩根公式Cu(ADB) CuAUCuB；Cu(AUB) CuAdCuB.3. 包含关系A% A AUb B A BCu B Cu AaDcuBCuaUb r4集合ai,an的子集个数共有2n个；真子集有2n - 1个; 非空子集有2n - 1个；非空的真子集有2n - 2个.5.二次函数的解析式的三种形式(1) 一般式 f (x)(2) 顶点式f (x)(3) 零点式f (x)2ax bx c(a 0);2a(x h) k(a 0);a(x x,)(x x2)(a 0).6.闭区间上的二次函数的 最值二次函数

2、f (x) ax2 bx c(a 0)在闭区间p, q上的最值只能在x 处 2a及区间的两端点处取得，具体如下：(1) 当 a0 时， 假 设 x p,q , 那么 2af(X)minf (亍)，f(X)max max f(P), f(q)；假设 x p,q ,2a2af (p), f(q),f(x)minmin f (P), f (q).f(x) max max当a0 , p是一个无理数，那么-P表示一个确定的实数.上述有理指数幕的运算性质，对于无理数指数幕都适用17.指数式与对数式的互化式log - Nb -b N (-0,-1,N0).18.对数的换底公式log- Ng( -0,且-1,

3、 m 0,且 m 1, N 0).logm-推论 log .m bn log-b(-0,且-1 , m,n 0 ,且 m 1, n 1, N 0).m19. 对数的四那么运算法那么假设-0,-工 1, e0, N0,那么(1) log-(MN) log- M log- N ;(2) log-M log - M log - N ;N(3) log - M n n log-M(n R).20. 等差数列的通项公式* -n -| (n 1)d dn 印 d(n N )；其前n项和公式为n(ai a.)n(n 1)snd2 2dn2 (a1】d) n.2 221. 等比数列的通项公式n 1 ai n*

4、an aiq q (n N );q其前n项的和公式为內(1 qn) qSnq1 qna1,q 122. 常见三角不等式1假设 x (0,-)，那么 sin x x tan x .2(2) 假设 x (0,)，那么 1 sin x cosx 、2 .2(3) |sinx| | cosx | 1.23. 同角三角函数的根本关系式22sin丄丄sin cos 1， tan =， tan cot 1.cos24. 正弦、余弦的诱导公式 奇变偶不变符号看象限25.和角与差角公式sin() sin coscos sin ;cos() cos cos “in sin ;,、 tantantan()1 十 t

5、an tana sin bcos = , a2 b2 s in()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定，tan).a26. 二倍角公式sin2sin cos .2cos21 1 2sin2cos2cos2 sin22 ta n tan 2厂.1 tan27. 三角函数的周期公式函数 y sin( x ) , x R 及函数 y cos( x ), x R(A, 3 ,为常数,且Am0,3 0)的周期T函数 y tan( x ) , x k ,k Z (A, 3, 为常数，且 2 0,3 0)2的周期T -.28. 正弦定理2R.R是外接圆的半径a b csi nA sin B sinC29

6、. 余弦定理a2 b2 c2 2bccosA;222b c a 2cacosB;222cab 2abcosC .30. 面积定理1S2S*ha21 absin C211亠bhbchc ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高.221bcsin A21 casin B.231.三角形内角和定理在厶 ABC中，有 AC _ A B2 2 2(A B)2C 22(A B).32.向量的数量积的运算律：(1)a b= b a交换律；a b=a b= a b= a(3)a+b c= a c +b c.b33. 平面向量根本定理如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任 向量，

7、有且只有一对实数入1、入2,使得a=X e+入总.不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底.34. a与b的数量积(或内积)a b=| a| b|cos B.数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 |b|cosB的乘积.35. 平面向量的坐标运算(1) 设 a=(x1,yj ,b=(X2,y2)，那么 a+b=(x紅屮y2).(2) 设 a=(x1,yj ,b=(X2,y2)，那么 a-b=(x畑屮y?).设 A(x1,yJ，B(X2,y2),那么 AB OB OA (x?为必 yj. 设 a=(x, y), R，贝U a=( x, y).(5)设 a=(xi

8、, yi) , b=(X2,曲，贝U a b=(xiX2 yy).36. 两向量的夹角公式cosX1X2y22222Xiyi X2y2(a=(Xi,yi), b=(X2,y2).37. 平面两点间的距离公式dA,B = | AB| VAB AB(X2 Xi)2 (y2 yi)2 (A(Xi,yi) , B(X2, y?).38. 向量的平行与垂直设 a=(Xi,yi), b=(X2,y2)，且 b 0,那么 a| b b= X a Xi y2 x2yi 0 .a b(a 0)a b=0xix2 yi y2 0.39. 线段的定比分点公式_设R(xi,yi),乌(/A) , P(x, y)是线段

9、RP?的分点,是实数，且PPPP2，那么OPOR OP2%y2iiOP tOPi (i t)OP2 ti40. 三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为Agyi)、Bgh)、C(x3，y 3),那么厶ABC的重心的坐标是G( iX2X3yiy2y3).33O为ABC的重心OAOB OC 0.4i.点的平移公式1x x hX1Xhop op ppy y kyyk注：图形F上的任意一点P(x, y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y), 且PP的坐标为(h,k).42. “按向量平移的几个结论i点P(x, y)按向量a=(h,k)平移后得到点P (x h, y k).(2) 函数y f(

10、x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象c,那么c的函数 解析式为y f(x h) k.(3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,假设C的解析式y f(x),那么 C的函数解析式为y f (x h) k . 曲线C: f(x, y) 0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,那么C的方程为 f(x h, y k) 0.(5)向量m=(x, y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为 m=(x, y).43. 常用不等式：1a,b Ra2 b2 2ab(当且仅当 a= b 时取“=号).2a,b R. ab (当且仅当a= b时取“=号).23a3b3c33abc(a0, b0

11、,c0).4柯西不等式：(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2,a,b,c,d R.5abab ab .44. 最值定理积定和最小 x,y都是正数，那么有1假设积xy是定值p，那么当x y时和x y有最小值2 p ;2假设和x y是定值s，那么当x y时积xy有最大值丄s2.4 推广x,y R，那么有(x y)2 (x y)2 2xy1假设积xy是定值,那么当| x y |最大时，|x y |最大； 当| x y |最小时,| x y |最小.2假设和| x y |是定值,那么当|x y |最大时，|xy|最小； 当| x y |最小时，|xy |最大.45.指数不等1式与对数不等式(

12、1)当 a1时，af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0lOgaf (x) log a,g(x)g(x)0f(x)g(x)(2)当 0a 1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);f(x)0lOg af (x) loga g(x)g(x)0f(x)g(x)46.斜率公式y2yiX2XiPi(xi, yi)、F2(X2, y2)47. 直线的五种方程1点斜式y2斜截式yyi k(x Xi)(直线I过点P(xi,yi)，且斜率为k). kx b(b为直线I在y轴上的截距).3两点式y yiy2yix x (yi y2)( P(Xi, yi)、 P2(X2,y2)( xi X2).(4)

13、截距式 丫 i(a、b分别为直线的横、纵截距，a b 0) a b5一般式Ax By C 0(其中A、B不同时为0).48. 两条直线的平行和垂直假设 li: y kix bi， l2: y k?x d li |l2kik2,bi b2； 11I2kik2i.49. li到l2的倒角公式(i)tank?kiik?ki(li： ykixbi， l2: y k2X b2, kik2i)50. 两种常用直线系方程(1) 平行直线系方程：与直线Ax By C 0平行的直线系方程是Ax By 0 (0)，入是参变量.(2) 垂直直线系方程：与直线 Ax By C 0 (A工0，B0)垂直的直线系 方程是

14、Bx Ay 0,入是参变量.5i.点到直线的距离d 1 AXj 2By0(点 P(X0,y),直线 l : Ax By C 0).A2 B252. Ax By C 0或 0所表示的平面区域设直线l : Ax By C 0，那么Ax By C 0或0所表示的平面区域是：I假设B 0，当B与Ax By C同号时，表示直线l的上方的区域；当B与 Ax By C异号时，表示直线l的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.2假设B 0，当A与Ax By C同号时，表示直线l的右方的区域；当A与 Ax By C异号时，表示直线l的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.53.圆的四种方程1圆的标准方程(x

15、 a)2(y2 2b) r .2圆的一般方程2 2x yDxEy F 0( D2 E2 4F 0)3圆的参数方程x ar cosy br sin直线Ax By C0与圆(xdr相离0；dr相切0；dr相交0.其中dAa Bb CJa b254.直线与圆的位置关系a)2(y b)2r2的位置关系有三种4圆的直径式方程(x x1)(x x2) ( y y1)(y y2) 0 (圆的直径的端点是 A(xi,yj、B(X2, y2).x a cos y bsi n椭圆的的内外部2 21点 P(xo, y)在椭圆2 告 1(aa b2 22点P(xo,y。)在椭圆笃 笃 1(aa bb 0)的内部b 0

16、)的外部2Xq2 a2 Xo 2 ayob22yob22 255. 椭圆笃与1(a b 0)的参数方程是a b2 256. 双曲线 笃 笃1(a 0,b 0)的焦半径公式 a b22aaPF1 |e(x )|，PF2 |e(x)|.cc双曲线的内外部(1)点P(x0, y)在双曲线2 x22y.21(a0,b0)的内部a2b2(2)点P(x0, y。)在双曲线x2 ay1(a0,b0)的外部2X2y。12 ab222X0y012.2ab双曲线的方程与渐近线方程的关系2 y 孑b xa2(1丨假设双曲线方程为笃a(2)假设渐近线方程为2假设双曲线与冷a0，焦点在y轴上.焦点在x轴上,2渐近线方程

17、：笃a1有公共渐近线,2 y b2双曲线可设为可设为2 X2 a2Xa2y_J57. 抛物线y2 2px的焦半径公式抛物线y2 2px(p 0)焦半径CF X。-. 2过焦点弦长CD x1 x2 x1 x2 p .2 258. 直线与圆锥曲线相交的 弦长公式AB 7(1 k2)(x2x1)2 | xi x21 tan2 | y1 y2 | cot2弦端点 A(x1, y1), B(x2, y2)，由方程kx b 消去得到 ax2 bx c 0，F(x,y) 00,为直线AB的倾斜角，k为直线的斜率.59 证明直线与直线的平行 的思考途径1转化为判定共面二直线无交点；2转化为二直线同与第三条直线

18、平行;3转化为线面平行；4转化为线面垂直；5转化为面面平行.证明直线与平面的平行 的思考途径1转化为直线与平面无公共点；2转化为线线平行；3转化为面面平行.证明平面与平面平行 的思考途径1转化为判定二平面无公共点;2转化为线面平行；3转化为线面垂直.证明直线与直线的垂直 的思考途径1转化为相交垂直；2转化为线面垂直；3转化为线与另一线的射影垂直；4转化为线与形成射影的斜线垂直.证明直线与平面垂直 的思考途径1转化为该直线与平面内任一直线垂直；2转化为该直线与平面内相交二直线垂直；3转化为该直线与平面的一条垂线平行；4转化为该直线垂直于另一个平行平面；5转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.证明

19、 平面与平面的垂直 的思考途径1转化为判断二面角是直二面角；2转化为线面垂直.60. 平面向量加法的平行四边形法那么向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和， 等于以这三个向量为棱的平 行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.61. 共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b丰0 ), a/ b 存在实数入使a=入b.P、A B 三点共线AP | AB AP tAB OP (1 t)OA tOB .AB|CD AB、CD共线且AB CD不共线 AB tCD且AB CD不共线.62. 共面向量定理向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x, y,使p ax by .推论：

20、空间一点P位于平面MAB内的 存在有序实数对x,y ,使MP xMA yMB ,或对空间任一定点0 ,有序实数对x, y ,使OP OM xMA yMB .63. 对空间任一点 O和不共线的三点A、B、C,满足OP xOA yOB zOCx y z k，那么当k 1时，对于空间任一点O,总有P、A、B、C四点共面； 当k 1时，假设O 平面ABC贝U P、A B C四点共面；假设O 平面ABC那么 P、A、B、C四点不共面._A B、C、D四点共面 AD与AB、AC共面 AD xAB yACOD (1 x y)OA xOB yOC O 平面 ABC .64. 空间向量根本定理如果三个向量a、b

21、、c不共面，那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有 序实数组 x, y, z,使 p = xa+yb+ zc.推论 设O A、B C是不共面的四点，那么对空间任一点 P,都存在唯一的 三个有序实数x, y, z,使OP xOA yOB zOC .65. 向量的直角坐标运算设 a= (ai, 92,33) , b= (b),b2, b3)那么 a+ b=(aibi,a2b2,a3b3);(2) a b=(aibb2,a3b3);(3) 入 a ( ai, a2, a3)(入 R)；(4) a b aibi a2b2 a3b3 ;设 A(xi,yi,zi) , B(X2,y2,Z2)，那么AB

22、OB OA= (X2 Xi, y2 yi, Z2 Zi).66. 空间的线线平行或垂直all b(x,yi,zi)，a b(bb (X2.y2.Z2)，那么0)a ba b 0XiX2yiy2ZiZ20.67.夹角公式设 a (ai, a2, a3),b (b1.b2.b3)，那么cos a b=a4a2b2a3b32 21 a2a； b2b；th推论aQ a2b2a3b3)2(ai22 2 2a2 a3)(bi68.异面直线所成角cos | cos【a,b .： |=|a b| XiX2yiy2；必|a|b|-Xi22yiZi2 21. X22y22Z2XiyiZiX2y2 ；Z2b； ba

23、，此即三维柯西不等式.其中 0 向向量90 :为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方69.直线AB与平面所成角1- 卜m arcs inm为平面 的法向量.|AB|m|70.二面角 丨 的平面角I I arc cos m n 或 arc cos V n m , n为平面 ,的法向量|m| n|m| n|71. 空间两点间的距离公式假设 A(xi,yi,zJ , B(X2,y2,Z2)，那么dA,B = |AB| v AB AB.化Xi)2卜2一yi)2Zi)2 .72. 点Q到直线I距离7|a |b|2点P在直线丨上，直线丨的方向向量a= PA，向量|a|b=PQ).73.

24、异面直线间的距离d LCDA|ii,i2是两异面直线，其公垂向量为n ， C、D分别是Ii,l2上任|n|点，d为丨仆丨2间的距离.74.点B到平面的距离d 竺凹n为平面 的法向量，AB是经过面 的一条斜线，A 丨. |n|75.异面直线上两点距离公式d 、 h2m22mn cos.EA,AF两条异面直线上分别取两点E、a、F，b所成的角为B,其公垂线段 AA的长度为h.在直线 aea、b76.三个向量和的平方公式a b c2-22-2a b c22a bc 2a b 2b c 2c a2 | a | | b | cos，.a,b, 2 | b | |c|cos：b, c. 21 c| |a|

25、cos；. c, a77.面积射影定理ISS.cos平面多边形及其射影的面积分别是S、s，它们所在平面所成锐二面角的为.78. 欧拉定理欧拉公式V F E 2简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F.iE=各面多边形边数和的一半.特别地，假设每个面的边数为n的多边形，那么1面数F与棱数E的关系：E丄nF ;2E - mV .22假设每个顶点引出的棱数为 m，那么顶点数V与棱数E的关系:79. 球的半径是R,那么 其体积V 4 R3,3 其外表积S 4 R2 .1V锥体-Sh S是锥体的底面积、h是锥体的高380.组合数公式mAC n(n 1) (n m 1)= CF=1 2 m m!(n m)!(

26、n N , m N，且 mn).性质：(1)(2)m n mCn =Cnm m 1Cn +Cnm=Cn 1 .注:规定c0C0 CnC2Cncn 2n.81. n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率Pn(k) C；Pk(1 P)n k.82. 离散型随机变量的分布列的两个性质1P0(i1,2,)；2RP21.83.数学期望ExFX2&XnPn数学期望的性质：1E(ab) aE( ) b.2假设 B(n, p),那么 E np . 假设 服从几何分布,且P( k) g(k, p) qk 1 p，那么E .P84.方差DX2 2 2EP1X2 EP2XnEPn标准差 =D.方差的性质：(1)2D a b a D ;(2假设 B(n, p)，那么 Dnp(1 p).假设 服从几何分布,且P( k) g(k, p) qk 1 p，那么D方差与期望的关系：D85