第5章 测量误差及其处理的基本知识

1、 测量实践中可以发现，测量结果不可避免的测量实践中可以发现，测量结果不可避免的存存在误差在误差，比如：，比如：1 1、对同一量多次观测，其观测值不相同。、对同一量多次观测，其观测值不相同。2 2、观测值之和不等于理论值：、观测值之和不等于理论值： 三角形三角形 + + +180180 闭合水准闭合水准 h0测量误差（观测误差、真误差）：测量误差（观测误差、真误差）：观测值（观测值（Li）与真实值（）与真实值（X）（真值）之间的差异。）（真值）之间的差异。niXLii,2, 1一、一、 等精度观测：观测条件相同的各次观测。等精度观测：观测条件相同的各次观测。 不等精度观测：观测条件不相同的各次观

2、测。不等精度观测：观测条件不相同的各次观测。1. 1. 仪器误差仪器误差2. 2. 观测误差观测误差3. 3. 外界条件的影响外界条件的影响观测条件观测条件二、二、 根据性质不同，测量误差分为：根据性质不同，测量误差分为：粗差粗差 、系统误差、系统误差 、偶然误差、偶然误差 每次观测值得误差可认为是这三类误差的总和。每次观测值得误差可认为是这三类误差的总和。gsaasgi二、二、 粗差的发现及避免：粗差的发现及避免：进行必要的重复观测；进行必要的重复观测；观测成果计算中进行必要的检核、验算；观测成果计算中进行必要的检核、验算；增加约束条件（增加约束条件（“多余多余”观测）及时发现和避观测）及时

3、发现和避免粗差。免粗差。 1 1、粗差粗差 （错误）：因读错、记错、测错（错误）：因读错、记错、测错造成的错误。造成的错误。发现粗差，发现粗差，重新测量重新测量。g二、二、 在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现在相同的观测条件下，无论在个体和群体上，呈现出以下出以下特性特性： 误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化；误差的绝对值为一常量，或按一定的规律变化； 误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化；误差的正负号保持不变，或按一定的规律变化； 误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。误差的绝对值随着单一观测值的倍数而积累。 2 2、系统误差、系统误差 ：在一定的观测条件下进行一系列的

4、观测，测量误差在一定的观测条件下进行一系列的观测，测量误差的符号和大小保持不变，或者按一定的规律变化。的符号和大小保持不变，或者按一定的规律变化。 钢尺钢尺尺长、温度、倾斜改正尺长、温度、倾斜改正 水准仪水准仪 i角角 经纬仪经纬仪 c角、角、i角角 注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。注意：系统误差具有累积性，对测量成果影响较大。 1 1）校正仪器；）校正仪器； （2 2）观测值加改正数；）观测值加改正数； （3 3）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。）采用一定的观测方法加以抵消或削弱。 在相同的观测条件下，对某个固定量作在相同的观测条件下，对某个固定量作一系列的观测，如果观测结果

5、的差异一系列的观测，如果观测结果的差异在正在正负号及数值上，都没有表现出一致的倾向，负号及数值上，都没有表现出一致的倾向， 即没有任何规律性即没有任何规律性，这类误差称为偶然误，这类误差称为偶然误差。差。 3 3、偶然误差、偶然误差 偶然误差的特性偶然误差的特性真误差：真误差： =l -X= l -1800 观测值与理论值之差观测值与理论值之差 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等；绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等；（对称性）（对称性） 同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平 均值，随着观测次数的增加而趋近于零，均值，随着观测次数的增加而趋近于

6、零， 即：即： 0limnn在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超 过一定的限度过一定的限度; ;（有界性）（有界性）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机 会要多；（密集性）会要多；（密集性）（抵偿性）（抵偿性）1 1、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。、粗差：舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。2 2、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵、系统误差：按其产生的原因和规律加以改正、抵 消和削弱。消和削弱。3 3、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据、偶然误差：根据误差特性合理的处理观测数据 减少

7、其影响。减少其影响。返回精度：精度：又称精密度，指在对某量进行多又称精密度，指在对某量进行多 次观测中，其误差分布的次观测中，其误差分布的密集密集或或 离散离散程度。程度。评定精度的指标评定精度的指标 中误差中误差 容许容许/ /极限误差极限误差 相对误差相对误差一、一、 中误差中误差 定义定义 在相同条件下，对某量（真值为在相同条件下，对某量（真值为X X）进行进行n n次独立观测，观测值次独立观测，观测值l l1 1， l l2 2，l ln n，真误差真误差1 1，2 2，n n，则中误差，则中误差mm的定义为：的定义为：nmxliin,.2232221式中式中式中：例：试根据下表数据，

8、分别计算各组观测值的中例：试根据下表数据，分别计算各组观测值的中误差。误差。解：第一组观测值的中误差：解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差：第二组观测值的中误差： ，说明第一组的精度高于第二组的精度。，说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越说明：中误差越小，观测精度越高高5 . 210) 4(2) 1() 2(34) 3(12022222222221 m2 . 310) 1() 3(017) 1(0) 6(2) 1(22222222222 m21mm 定义定义 由偶然误差的特性可知，在一定的观由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一

9、测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（极限）误定的限值。这个限值就是容许（极限）误差。差。二、容许误差（极限误差）二、容许误差（极限误差） 测量中通常取测量中通常取2 2倍或倍或3 3倍中误差作为偶然倍中误差作为偶然误差的容许误差；误差的容许误差； 即即容容=2=2m m 或或容容=3=3mm 。极限误差的作用：极限误差的作用： 区别误差和错误的界限。区别误差和错误的界限。3极限偶然误差的绝对值大于中误差偶然误差的绝对值大于中误差9 9的有的有1414个，占个，占总数的总数的35%35%，绝对值大于两倍中误差，绝对值大于两倍中误差18 18 的只的只有一个，占总数的有

10、一个，占总数的4.5%4.5%，而绝对值大于三倍中，而绝对值大于三倍中误差的没有出现。误差的没有出现。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。中误差、真误差和容许误差均是绝对误差。 相对误差相对误差K K 是中误差的绝对值是中误差的绝对值 mm 与相与相应观测值应观测值 D D 之比，通常以分母为之比，通常以分母为1 1的分式的分式 来表示，称其为相对（中）误差。即来表示，称其为相对（中）误差。即: :mDDmK1三、三、 相对误差相对误差 : :角度、高差的误差用角度、高差的误差用mm表示，表示， 量距误差用量距误差用K K表示。表示。 例例 已知：已知：D D1 1=100m, m=100m

11、, m1 1=0.01m0.01m，D D2 2=200m, m=200m, m2 2=0.01m0.01m，求：，求： K K1 1, K, K2 2解：解：20000120001. 010000110001. 0222111DmKDmK返回 概念 误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值误差传播定律：阐述观测值的中误差与观测值 函数中误差的关系的定律。函数中误差的关系的定律。 函数形式函数形式倍数函数倍数函数 D=MD=M* *d d和差函数和差函数 h=a-bh=a-b线性函数线性函数 S=s/nS=s/n一般函数一般函数 三角函数三角函数设非线性函数的一般式为：设非线性函数的一般式为：

12、式中：式中： 为独立观测量；为独立观测量； 为独立观测值的中误差。为独立观测值的中误差。 求函数的全微分，并用求函数的全微分，并用“”“”替代替代“d”“d”，得得),(321nxxxxFz ixnmmmm,321 nxnxxZxFxFxF )()()(2121式中：式中： 是函数是函数F F对对 x xi i的偏导数，的偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：因此上式是线性函数，其中误差为：ixF), 2 , 1(ni 22222221212)()()(nnZmxFmxFmxFm 2222222121)()()(nn

13、ZmxFmxFmxFm 误差传播定律的一般形式误差传播定律的一般形式 1. 1.列出观测值函数的表达式：列出观测值函数的表达式： 2.2.对函数式全微分，得出函数的真误差与对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值真误差之间的关系式：观测值真误差之间的关系式： 式中，式中， 是用观测值代入求得的值。是用观测值代入求得的值。 ),(21nxxxFZ nxnxxZdxFdxFdxFd)()()(2121 )(ixF 求观测值函数中误差的步骤：求观测值函数中误差的步骤：二、二、 运用误差传播定律的步骤运用误差传播定律的步骤 3 3、根据误差传播率计算观测值函数中误差：、根据误差传播率计算观测值函数中误

14、差： 注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观注意：在误差传播定律的推导过程中，要求观 测值必须是独立观测值。测值必须是独立观测值。 22222221212)()()(nnZmxFmxFmxFm 函数名称函数名称函数式函数式函数的中误差函数的中误差倍数函数倍数函数和差函数和差函数线性函数线性函数一般函数一般函数nxxxz21nnxkxkxkz2211),(21nxxxFZ kxz xzkmm22221nzmmmm2222222121nnzmkmkmkm2222222121)()()(nnZmxFmxFmxFm 返回 重复测量形成了多余观测，加之观测值必然重复测量形成了多余观测，加之观测值必然含

15、有误差，这就产生了观测值之间的矛盾。为了含有误差，这就产生了观测值之间的矛盾。为了消除这种矛盾，就必须依据一定的数据处理准则，消除这种矛盾，就必须依据一定的数据处理准则，采用适当的计算方法，对有矛盾的观测值加以必采用适当的计算方法，对有矛盾的观测值加以必要而又合理的调整，给以适当的改正从而求得观要而又合理的调整，给以适当的改正从而求得观测量的最佳估值，同时对观测进行质量评估。人测量的最佳估值，同时对观测进行质量评估。人们把这一数据处理的过程称做们把这一数据处理的过程称做“测量平差测量平差”。 平差结果是得到未知量最可靠的估值，最接平差结果是得到未知量最可靠的估值，最接近其真值，称近其真值，称“

16、最或是值最或是值”。 设在相同的观测条件下对未知量观测了设在相同的观测条件下对未知量观测了n n次，次，观测值为观测值为l l1 1、l l2 2l ln n，中误差为，中误差为mm1 1、 mm2 2 mmn n，则其算术平均值（最或然值、似真，则其算术平均值（最或然值、似真值）值）x x 为：为： nlnlllxn 21一、一、 求最或然值求最或然值 设未知量的真值为设未知量的真值为x x，可写出观测值的真误差，可写出观测值的真误差公式为公式为 （i=1i=1，2 2，n n）将上式相加得将上式相加得 或或故故 nxlllnn )(2121nxl xnln推导过程：推导过程：xlii 由偶

17、然误差第四特性知道，当观测次数由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，无限增多时， 即即 （算术平均值）（算术平均值） 说明，说明，n n趋近无穷大时，算术平均值即为真值。趋近无穷大时，算术平均值即为真值。 0limnn nlxn,二、精度评定二、精度评定 第一公式第一公式 第二公式第二公式 （白塞尔公式）（白塞尔公式）条件：观测值真值条件：观测值真值 X X已知已知条件：观测值真值条件：观测值真值X X 未知，算术平均值未知，算术平均值x x已知已知nm1nVVm其中其中 观测值改正数，观测值改正数，iViilxV 0lnxv 因为因为 式中，式中，1n为常数。由于各独立观测为常数。由于各独立观测值的精度相同，设其中误差均为值的精度相同，设其中误差均为m。 设平均值的中误差为设平均值的中误差为mL，