统计学8-教学方案

1、教 学 方 案授课题目3.2集中趋势课 型讲授课 次8教学目的、要求：一、 了解集中趋势的涵义教学重点及难点：重点： 难点：教学过程设计：1、 回顾上节课的主要知识内容及体系2、 承接上节内容，用问卷的案例引入本节内容3、 讲授第二节 集中趋势的测定二、 集中趋势的涵义(一)总体分布的特征总量指标与相对指标只是为认识总体，进行分析提供基础数据，然而，在有些情况下，人们并不满足于这种直观的认识，而是将次数分布概括为三、四个数量特征值，并用一定的测定指标将其描述出来。一般来说，将这几个数量特征称之为集中趋势、离中趋势、分布形态（偏态和峰度）。集中趋势离中趋势 分布趋势 图31 总体分布的数量特征集

2、中趋势是次数分布的第一个也是最为重要的数量特征，它能够揭示总体中众多个观察值所围绕与集中的中心，是总体中的共性特征的反映。离中趋势是指次数分布中各个观察值的分散程度或与中心位置的离中程度，它从另一个侧面来说明总体的次数分布特征，进而描述总体的数量规律性。集中趋势与离中趋势是认识总体现象数量特征的两个方面，然而在实际研究时仍要考虑总体次数分布的形态。这是因为分布形态不同，集中趋势与离中趋势所反映的含义不同，集中趋势与离中趋势所发生的作用不同，算术平均数的代表性也不同。图31中的下图便反映了不同的分布形态。一般来说，用偏态与峰度来描述总体次数分布的形态。（二）集中趋势的涵义集中趋势是指一组数据向某

3、一点集中的情况。测定集中趋势也就是寻找数据一般水平的代表值。常用的测定集中趋势的特征量有数值平均数和位置平均数两大类。数值平均数即统计数列中任何一项数据的变动，都将在一定程度上影响到平均数结果，也就是根据所有变量值来计算的，如算术平均数。位置平均数，通常不是对数列中的所有各项数据进行计算的结果，而是根据总体中处于特殊位置上的个别单位或部分单位的标志值来确定的代表值，因此，某些数据的变动，不一定会影响到位置平均数的水平，如中位数、众数。尽管如此，位置平均数对整个总体仍具有非常直观的代表性。三、 算术平均数(一) 算术平均数的涵义算术平均数的基本计算公式是：算术平均数 （3.6） 由于算术平均数表

4、明各总体单位的一般水平，所以要具有名数，即与标志值相同的计量单位。(二) 算术平均数的计算方法1、简单算术平均数简单算术平均数的计算公式可表示如下： （3.7）2加权算术平均数在计算算术平均数时，如果资料已经分组，则不能简单地将各组标志值直接相加作为总体标志总量，而是将各组标志值乘以相应的各组单位数或权数求出各组标志总量，然后将其加和求得总体标志总量，同时把各组单位数或权数相加求出总体单位总量，最后用总体标志总量除以总体单位总量。用这种方法计算的算术平均数称为加权算术平均数。加权算术平均数的计算公式为： （3.8）权数按其确定方式不同可分为客观权数和主观权数。前者是指客观存在的，具有一定具体内

5、容的权数。例如平均工资中的工人数，平均价格中的销售量，平均亩产量的土地面积等。后者是根据某种研究目的和现象的性质，人为地规定各标志值的重要程度。主观权数在实践中具有独特的应用价值，如经济效益的评定，价格指数的编制等。权数按其表现形式不同又分为绝对权数和相对权数，前者是总量指标，后者是结构相对指标或称为比重。如果使用相对权数，其计算公式可以写成： （3.9）(三) 切尾算术平均数在有些情况下，次数分布中会存在着一个或几个极大值或极小值，这些极端数值会影响到平均指标的代表性，因而使平均指标不能很好的描述总体分布的集中趋势，也不能充分地代表总体的一般水平。然而，对于一个总体次数分布来说，通常与中间位

6、置越近，其数值分布越集中，而与中间位置越远，数值越分散，有时甚至会产生极值。为了消除极端数值的影响，可以从总体的两侧去掉一定比例的数据进行调整，从而使其分布状态更加对称和均匀，以便使平均指标更具有代表性。对这样调整后的数据所计算的平均指标称为切尾算术平均数。(四) 算术平均数的数学性质1、 各变量值与算术平均数的离差之和等于零表明以算术平均数为中心的正离差之和等于负离差之和。简单算术平均数02、 变量值与算术平均数离差平方之和为最小值。根据此性质，若对同一现象所得的多次测定数不能一致时，可取其算术平均数为代表。这在科学工作上具有重要作用。简单算术平均数 最小值加权算术平均数 最小值四、 调和平

7、均数(一) 调和平均数的概念调和平均数是标志值倒数的算术平均数的倒数，又称倒数平均数，有简单调和平均数和加权调和平均数两种。(二) 调和平均数的计算在社会经济统计中，主要使用的是权数为特定形式（mx ）的加权调和平均数。这里，我们把调和平均数作为算术平均数的变形使用，它仍然是依据算术平均数的基本公式标志总量除以总体单位总量来计算。其计算公式和它与算术平均数的关系如下： （3.10）见书上例题五、 几何平均数(一) 几何平均数的概念几何平均数是与算术平均数和调和平均数不同的另一种平均指标，它是几何级数（等比级数）的平均数。在社会经济现象中，有些现象是按照类似于几何级数的形式变动的，例如人口的自然

8、变动；有些现象是按照一定的比率变动的，例如，在复利条件下本利和的变动；我国国民经济的发展速度变动等。在所有这些情况下，计算等比级数的平均数，或平均比率和平均速度，不能采用算术平均数或调和平均数的方法，而应采用几何平均数方法。例3-5某机械厂有4个连续作业的车间：毛坯车间（一车间）、粗加工车间（二车间）、精加工车间（三车间）和装配车间（四车间）。本月份，各个车间的产品合格率为：一车间95%，二车间90%，三车间92%，四车间85%。求4个车间的平均产品合格率。对于这个问题，不能采用算术平均数或调和平均数的方法。因为，各个车间产品合格率的总和并不等于全厂产品的总合格率。由于第二车间的产品合格率是在

9、第一车间合格产品的基础上计算的，第三车间的产品合格率是在第一、二车间合格产品的基础上计算的，如此等等。因而，全厂产品的总合格率应等于各个车间合格率的连乘积。在这种情况下，计算平均数应当采用几何平均数的方法。(二) 几何平均数的计算方法1、简单几何平均数简单几何平均数是n个变量值连乘积的n次方根，其公式为： (3.11)以前述3-5某机械厂的资料为例，则4个车间的平均产品合格率为： 90.426%2.加权几何平均数当各个变量值出现的次数不同时，计算几何平均数应采用加权的形式。加权几何平均数的公式为： (3.12) 六、 众数(一) 众数的概念众数是指总体中出现次数最多的数值。它表示被研究现象中最

10、普遍、最常见的标志值，反映该现象的一般水平。在实际工作中，众数的应用是比较广泛的。例如，为了掌握某班级统计学原理的学习水平，可以用最普遍的统计学成绩为依据。假定，该班有75%的学生取得85分，这85分即反映了他们成绩达到的一般水平。再如，反映某地区农作物通常达到的单位面积产量也可以应用众数方法。众数一般用m0表示。(二) 众数的计算1、未分组资料的众数，是指出现次数最多的那个数值。例如：有5人的年龄分别为30岁、28岁、30岁、32岁、33岁，这一未分组资料的众数是30岁。2、利用分组资料计算众数的方法一般有两种。一是根据单项式次数分布计算众数，二是根据组距式次数分布计算众数。根据单项式次数分

11、布计算众数，方法比较简单，一般用直接观察的方法，根据分配数列中次数出现最多的标志值便可确定为众数。在组距式次数分布情况下，最多次数所对应众数组的值并不是一个单一数而是一组数值，所以假定众数组组距内的所有数值是均匀分布的。由此，便可得出众数的两个计算公式：众数下限公式： m0L+ (3.13)众数上限公式： m0U (3.14)式中：m0 表示众数； L 表示众数组下限数值； U 表示众数组上限数值；1 表示众数组次数与其前一组次数之差；2表示众数组次数与其后一组次数之差； 表示众数组组距 例3-8 根据下列资料计算众数。七、 中位数和分位数(一) 中位数1. 中位数的概念将总体中的全部数值按从

12、小到大顺序排列，居于中间位置的数值便是中位数。中位数也是平均指标的一种。由于中位数不需要计算总体的全部数值，而是从位置上去反映总体中数值的共同倾向，所以中位数也称位置平均指标。中位数一般用me表示。2. 中位数的计算首先要把全部数值按顺序排列，其次要确定中间位置，最后确定中间位置的数值。中位数的计算方法，一般来说可分为两种情况：一是未经分组的统计资料，另一种是经过分组的统计资料。由于二者情况不同，其确定中位数的方法也不同。（1）由未分组资料确定中位数 在未分组资料条件下，首先把总体单位的标志值按顺序大小排列，以便确定中位数的位置。中位数的位置可按公式来确定（其中n为项数），然后再确定中位数数值

13、。如果数据资料是奇数项，则中间位置上的数值便是中位数数值。 例3-10 某种股票的一星期收盘价如下所示，求中位数。 数据： 24.1 22.6 21.5 23.7 22.6 排序： 21.5 22.6 22.6 23.7 24.1 位置： 1 2 3 4 5 这里，n5，则中间位置是3。因为是奇数项，则第3项数值便是中位数。此例中： me 22.6元 按公式确定中位数位置时，如为偶数项，中间位置便没有数值，应取中间位置两边的数值的简单算术平均数作为中位数。 例3-11 在市场调查中，六名采价员对某种商品的采价如下：则该种商品的价格的中位数是： 数据： 10.3 4.9 8.9 11.7 6.3

14、 7.7 排序： 4.9 6.3 7.7 8.9 10.3 11.7 位置： 1 2 3 4 5 6 这里n6,中间位置是3.5显然，在3.5位置上是没有数值的，于是我们应该取第3项和第4项数值的简单算术平均作为中位数，即：中位数 8.30元（2）由分组资料计算中位数在标志值已分组的情况下，由于多数数值不止一次出现，所以变量次数分布以代替来确定中位数的位置，计算出，再由累计次数来确定中位数组，然后按比例推算中位数。由于分组资料又分为单项式次数分布和组距式次数分布，所以二者在计算中位数的方法上也略有不同。根据单项式次数分布计算中位数时，应先计算各组的累计次数，然后根据中点位置找到中位数。在组距式

15、次数分布情况下，其中点位置所对应的并不是一个单一的数值，而是一个组距。在这个组距中分布着许多数值，如果假定在这个组距内各数值是均匀分布的，便能得到在组距条件下计算中位数的公式。下限公式为： (3.15)上限公式为： (3.16)例3-12 某集团各地区彩电销售额资料如表39所示，计算中位数。利用下限公式： 680.77万元利用上限公式： 680.77万元可见，同一资料按上限公式和按下限公式所计算的结果是完全一致的。如果把资料中的总量指标改成相对次数，计算结果也完全相同。八、 算术平均数、中位数、众数的特点算术平均数、中位数、众数都是反映总体分布的集中趋势的测定指标，都能够代表总体中各总体单位的

16、一般水平。但是，这三种平均指标也存在着许多不同之处. （一）三种平均指标的涵义不同算术平均数是应用最广泛的一种平均指标，它的数值是整个总体次数分布的中心或重心，这个中心点的两边具有相等的标志值之和，即相等的。由于它反映了整个总体的次数分布，所以既体现了各标志值的作用，也反映了各标志值次数的影响。中位数是一种位置平均指标，它从各标志值的顺序出发，将所有标志值分成相等的两部分，一部分数值比它大，一部分数值比它小。众数只表明曲线峰顶下的数值，即出现次数最多的数值。可见，所使用平均指标不同，对最后结果的解释也各不相同。（二）三种平均指标受极值影响的程度不同当总体中出现极大值或极小值时，算术平均数所受影

17、响最大，中位数次之，而众数根本不受极值影响。例3-15 某小组7名工人加工零件数如下： 12、14、15、15、16、18、19 算术平均数15.57件 中位数位置4 中位数me15件15是出现次数最多的数值，则众数mo15件可见，由于各标志值比较均匀，所以三种平均指标数值也比较接近，如果在这个小组中加上一名生产零件为25件的工人，则其数值为： 12、14、15、15、16、18、19、25 算术平均数16.75件 中位数me 15.5件 众数mo15件由于出现了一名生产零件的工人，所以使算术平均数和中位数都相应地增加一些，而众数并没有发生变化。如果在这个小组中所加的不是生产25件零件的工人，

18、而是生产100件的工人，其数值为：12、14、15、15、16、18、19、100算术平均数=21.125件中位数Me=15.5件众数Mo=15件可见，算术平均数所受影响最大，而中位数只考虑个数值的位置，即中位数与单位数多少有关，与极值无关，而众数则不受极值的影响。所以，在有极值出现的情况下，算术平均数并不是一个理想的平均指标，而中位数和众数则可以用来代表总体水平。(一) 三种平均指标受非对称分布的影响程度不同在非对称的钟形分布情况下，平均指标、众数、中位数三者的差别取决于非对称的程度。非对称的程度越大，它们之间的差别愈大；如果存在非正常的极端标志值，那么次数分布就产生偏斜。这些极端标志值对这三种平均指标的影响是不同的。众数不受其极端值的影响，中位数只受数值