第7讲 微积分发展史

1、第7讲 微积分发展史微积分是近代自然科学和工程技术中广泛应用的一种基本数学工具，它创立于17世纪后半叶的西欧，是适应当时社会生产发展和理论科学的需要而产生的，同时又深刻地影响着生产技术和自然科学的发展。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。一、微积分产生的背景微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊数学家、力学家阿基米德的著作圆的测量和论球与圆柱中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲面的体积等问题中就隐含着近代积分的思想。极限理论作为微积分的基础，也早在我国的古代就有非常详尽的论述，但当时人们习惯于研究常量和有限的对象，遇

2、到无穷时往往束手无策。生产力和科学技术的不断发展，为微积分的诞生创造了条件。1492年哥伦布发现了新大陆，由此证实了大地是球形；1543年，哥白尼发表的天体运行论确立了“日心说”；开普勒在1609年提出了有关行星绕日运动的第一、第二定律，1618年他又提出了第三定律；1609年，伽利略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向遥远的地方。这些科学家拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的巨变。16世纪，西欧出现资本主义的萌芽，产生了新的生产关系，社会生产力有了很大的发展。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，在航海、天文、矿山建设、军事技术等方面有许多课题需要解决，

3、数学也开始进入了“变量数学”时代。通过这些向数学提出了如下4个问题：（1）由距离和时间的关系求瞬时速度和瞬时加速度；反之，由速度求距离，由加速度求速度。（2）确定物体运动方向（切线方向）或光学中曲线的切线问题。（3）求最大、最小值问题。（4）一般的求积（面积、体积）问题，曲线长问题，以及物体的质量、重心等问题。在17世纪30年代创立的解析几何学里，可以用字母表示流动坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数演算代替对几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来。这种新的数学方法取代了古老的欧几里得几何的综合方法，这种数学发展中的质变，为17世纪下半叶微

4、积分的出现准备了条件。1615年，开普勒在他的测量酒桶体积的新科学中采用微元的方法研究了面积、体积等问题，例如，他认为面积就是无穷多条线段之和，而线段可以看作无穷小的面积，用无穷多个同维的无穷小元素之和来确定曲边形的面积和曲面体的体积是开普勒方法的精华。伽利略的学生卡瓦列里的最大贡献是提出了“不可分原理”。1635年，卡瓦列里出版的用新的方法推进连续体的不可分量的几何学中认为，面积是无数个等距平行线段构成的，体积是无数个平行的平面构成的，他分别把这些元素叫做面积和体积的不可分量，这种思想基本上就是微积分的思想了。他运用“不可分原理”算出了一些面积和体积的结果，得到了等价于的结果。“不可分原理”

5、的著名命题是“卡瓦列里原理”，在我国称作“祖暅原理”。1638年，费马首次引用字母表示“无限小量”，并运用它来解决极值问题，之后，他又提出了一个与现代求导过程实质相同的求切线方法，并由此解决了一些与切线有关的问题和极值问题。后来，格列哥利、华利斯继续费马的工作，用符号“o”表示无限小量，并用它来进行求切线的运算。牛顿的老师巴罗是剑桥大学的数学教授，他的几何讲义对微积分的创立是一个巨大贡献。他的几何方法的特点是利用微分三角形来构造切线，即以自变量增量与函数增量为直角边构造直角三角形，该三角形中包含了微积分的精华，它的两个直角边的商可决定变化率，即导数。巴罗甚至还指出了求切线和求体积的互逆性，但他

6、不喜欢代数方法，认为自己的结果是对古典几何的完善化，从而失去了创立微积分的机会。1669年，巴罗将教授席位让给牛顿，并对牛顿的微积分创立工作施以很大的影响。二、微积分的创立1牛顿的工作牛顿的微积分研究大体可以分为三个阶段：第一阶段的工作以运用无穷多项的分析学（1669年）为标志。其方法举例说明如下：设有一条曲线，它下面的（曲边梯形）面积可表为（为有理数）。当横坐标获得瞬（无限小增量）时，产生的面积瞬为（面积增量）。新面积为由二项展开式（以牛顿命名）得：两端消去相等的部分（）并除以得：略去含的项得：这就是曲边梯形的曲边表达式。这个结果表明，若面积由给出，则曲边梯形的曲边为；反之，若曲线由，则曲边

7、梯形的面积为。这不仅给出了求（瞬时）变化率的方法，而且还揭示了求积与求变化率之间的互逆关系。第二阶段的工作主要体现在1671年成书，1736年出版的流数法和无穷级数一书中。书中牛顿把随时间而变的量称为流量，用字母、等表示，而把流量的变化速度（流量对时间的变化率）称为流数，记为、等。前一阶段出现的“瞬”仍保留，它表示一个无限小时间间隔，仍记为。该书主要解决下面两个问题：（1）已知流量之间的关系（即）求它们的流数比：（实际上，即求对的变化率）。（2）已知一含流数的方程，求流量之间的关系（简单情况即求原函数积分问题，一般情况为微分方程问题，它们是（1）的逆问题）。牛顿指出，流数法（即微积分）“不仅可

8、以用来求作任何曲线的切线，而且可以用来解决曲度（曲率）、面积、曲线长、重心等深奥问题。”这个认识把握住了微积分的普遍意义，是前人不可能企及的。第三阶段的工作，可以从1676年写成1704年发表的论文曲线求积术中看到。在该文中，牛顿为了排除前一阶段人为地“略去含有的项”而使用了“最初比”和“最后比”的提法。以为例。设由“流动”而变成，于是将：称为最初比，令消失得称为最后比。这个“最后比”是在（逐渐）消失后得到的，因此牛顿已有极限概念模糊的影子。尽管如此，牛顿对“）消失后得到的，因此牛顿已有极限概念模糊的影子。尽管如此，牛顿对“”（即无穷小）的处理始终处于一种似是而非的直觉中，正如马克思所说的是“

9、魔术般”地丢掉，是武力“镇压”。（见马克思数学手稿）。2莱布尼兹的工作戈特弗里德·莱布尼兹（公元16461716年）是德国十七、十八世纪之交的大哲学家、数学家。1646年6月21日生于莱比锡。从小就显露出“神童”般才华。15岁进入莱比锡大学学法学，毕业时成绩很好，但莱比锡大学以他过于年轻为借口，拒绝授予他法学博士学位。因此他转到了纽伦堡的阿尔特多夫大学,1667年在这里获得博士学位，年仅二十一岁。随后他到美因兹选帝侯的政府中任职。1672年他作为外交官出使巴黎，遇到了惠更斯。第二年去伦敦结识了奥尔登伯格和其他一些数学家。在巴黎居住的四年时间，是他数学创造的“黄金时代”。在这段时间，他

10、已构想出他的微积分方法的大致轮廓。1676年返回德国后，在汉诺威的布龙斯威克公爵那里任职。1700年他创办了柏林科学院并出任第一任院长。1716年11月14日逝世于汉诺威城。莱布尼兹的主要职业是法律和外交，但他的历史性的贡献则是数学和哲学。在哲学上，他是客观唯心主义的代表人物。他的单子论是他的哲学基础。在数学上，他除了独立地创立微积分而外，还开创了符号逻辑的研究，制造过计算机。莱布尼兹在微分学的历史和起源（1714年）这篇短文中，指出他的微积分思想起源于他早期关于数列之和或差的研究。1673年他写的论组合的艺术中，研究了数列及其一阶差、二阶差、三阶差等。例如：数列：0，1,2，3,4，一阶差1

11、,1,1，1，二阶差0,0，0,又如：数的平方序列：0,1，4,9，16，一阶差：1,3，5,7，二阶差：2,2,2，三阶差：0,0，莱布尼兹将离散量的研究推广到与几何曲线相联系的连续变量的研究，数列变成变量，一阶差变成一阶微分，高阶差变为高阶微分。这个思想是非常微妙和深刻的，因为差值和微分在极限过程中是等价的。不仅如此，莱布尼兹还从差与和的关系，发现了微分与积分的关系。例如，在平方序列中，一阶差前3个的和1359，前n个的和连续化，则有，则有（最初莱布尼兹用表示积分，而未用）莱布尼兹在研究切线斜率时也利用微分三角形。他说：“微分三角形的各边是不可分量或微分量”。如果是任意的，可由确定。从微分

12、三角形出发，又得出微分是莱布尼兹微积分的基点，积分是作为反微分（微分和）来研究的。莱布尼兹在数学上的微分和他在哲学上的单子是相适应的。他认为“单子乃是自然的真正原子，简言之，是事物的元素。”“单子必须有一些性质，否则它就不会是存在物了。单纯的实体之间没有性质上的差别，就无法觉察事物中的任何变化，。”“单子如果没有性质，也就不能彼此区别。”微分就是数学上的单子，各种微分是有内容、有区别的。这种单子式论的微积分，在现代产生的非标准分析中已得到逻辑论证。莱布尼兹的数学符号是相当优越的，他的微积分符号、等，抓住了他的微积分本质，使符号和概念融为一体，直到今天还被我们使用着。利用他深邃的概念和优越的符号

13、，莱布尼兹最早得出微分的和、差、积、商、幂、根等公式。除微积分而外，数学上的很多术语也是由莱布尼兹引进的。例如：函数、坐标、代数曲线、超越曲线，等等。三、优先权之争微积分的创立是数学发展史上的重大事件，恩格斯曾经高度评价了这一成就，他说：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看做人类精神的最高胜利了。”正因为如此，在18世纪的欧洲，曾有一场关于建立微积分优先权问题的争论。“优先权”之争是由局外人搬弄是非引发的。1699年一位瑞士数学家N.F.德丢勒在一本小册子中提出“牛顿是微积分的第一发明人”，莱布尼兹则是“第二发明人”，“曾从牛顿那里有所借鉴”，尤其后面这句话，使

14、得德国人十分不满.1712年，英国皇家学会还专门成立一个“调查委员会”，并于第二年公布了一份通报，宣布“确认牛顿为第一发明人。”这种事态引起了莱布尼兹的申诉，双方争论越演越烈，指责对方的话说得十分难听。这实在是“科学史上最不幸的一页”，使得18世纪英国数学家与欧洲大陆数学家分道扬镳，英国数学坚持牛顿原始创新的那种传统不肯改进，远离了数学分析逐渐完善的主流，分析数学的主流与中心移到了德国与法国，不必要的“优先权”之争使英国数学受到了损失。关于微积分发明的优先权之争使牛顿和莱布尼兹两位微积分的领袖人物光彩受损，其实应该说是各自在差不多相同的时间内的独立创造，不宜非得分出个我先你后。在人类科学的历史

15、上，一些重大的发现往往是历史条件成熟时由不同国度不同的人物相互独立得出的。就微积分而言，牛顿在1687年以前并未公开发表任何有关微积分的文章，而莱布尼兹则于1684年和1686年分别先于牛顿发表了关于微分与积分的两篇重要文章，可见文章的发表莱布尼兹先于牛顿，但牛顿对微积分的发现确实领先于莱布尼兹，而且莱布尼兹对牛顿有很高的评价。1701年在柏林王宫的宴会上，当普鲁士王问莱布尼兹如何评价牛顿时，莱布尼兹答：“综观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作。”牛顿对莱布尼兹也有公正的评价，牛顿在原理的前言中称：“十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼兹的信中曾指出：我发现了一种新方法，可以用来求极大值

16、、极小值、作切线以及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数。这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法给我看了。他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别。可见牛顿也承认莱布尼兹与他同时发现了微积分。尽管牛顿在1665年到1687年间，已经取得了微积分的重要成就，特别是他的分析学一文曾经在他的老师巴罗和朋友之间流传，但是在1687年以前，他没有发表任何与此有关的文章和著作。莱布尼兹1673年曾出使伦敦，在那里他结交了一批数学家，并获得巴罗的几何讲义，也了解牛顿的分析学，于是英国人认为莱布尼兹已知牛顿的工作情况，并认为他剽窃了牛顿的成果。牛顿的支持

17、者有著名数学家泰勒和马克劳林，莱布尼兹的维护者则是著名数学家贝努利兄弟，这场争论把欧洲科学家分成势不两立的两派英国派和大陆派，并因此使双方停止了学术交流。由于牛顿的代表著作自然哲学的数学原理中主要使用的几何方法，所以在牛顿去逝后的100多年中，英国人继续以几何为主要工具，沿用牛顿的落后记号，以致使英国数学开始落后于大陆。两人工作的不同点：（1）在建立微分学的出发点上，牛顿主要从力学出发，以速度为模型，而莱布尼兹则主要从几何出发，从作曲线在一点的切线开始建立了微分学。（2）在积分学问题上，牛顿偏重于求微分的反运算，即今天的不定积分概念；而莱布尼兹则侧重于把积分了解为求微分的“和”，实际上他把这种

18、算法叫“求和计算”，也就是今天的定积分概念。（3）对无穷小的理解也不尽相同。牛顿的无穷小不分阶数，而莱布尼兹试图定义高阶微分，并对其间的关系作过生动的比喻（如恒星、地球、砂粒等）。由此可见，莱布尼兹的微分有许多层次，在这一点上比牛顿深刻。（4）二人采用的符号不同。比如牛顿用“点”，而莱布尼兹用“d”等，并由于他精心设计，反复改进，系统地提出了至今仍沿用的符号，这对微积分的发展起到了积极作用。（5）他们二人的学风也不尽相同。作为科学家的牛顿学风严谨，小心谨慎，重视实际。作为哲学家的莱布尼兹则比较大胆，富于想象，勇于推广，因为他不赞成因过分的细密而阻碍了最好的创造。四、微积分的发展与完善如果把十七

19、世纪称为天才的世纪，那么十八世纪则是一个充满创造活力的世纪。十七世纪引进了卓越的微积分基本概念，十八世纪在此基础上发展并增进微积分的威力。在物理学、天文学及数学本身的激励下，新的数学分支：无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何及变分法，如雨后春笋，不断涌现。这些分支（包括以后发展起来的复变函数、实变函数、泛函分析）形成了数学中一个广阔的领域，泛称分析学。综合几何与代数在十八世纪只有较小的扩展。十八世纪是一个分析的世纪。十八世纪分析学发展的特点是与实践紧密相依，与物理学同步前进。数学成了达到物理目的的一种方法，物理引导着数学前进，并时常提供一些物理意义上的论据，以补数学论证的不足。人们用数学

20、结论在物理上的正确性来保证它在数学上的正确性。数学的逻辑性较差。十八世纪的数学家在没有逻辑支持的情况下，如此勇敢地向前冲杀，使十八世纪成了数学的“英雄世纪”。第二次数学危机的阴影虽然总跟在数学的后面，但并没有阻碍数学的前进。不过十九世纪和二十世纪的人们常常贬低十八世纪的成就，只把它看作粗糙的归纳性工作。十八世纪最伟大的数学家是欧拉。此外，还有贝努利家庭及法国学派各名家（蒙日、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、卡诺、克雷罗、傅里叶等）。十八世纪的分析遗留了很多问题，正象阿贝尔（公元18021829年）在1826年的一封信中所说：“人们在分析中确实发现了惊人的含糊不清之处。这样一个完全没有计划和体系的分

21、析，竟有那么多人能研究它，真是奇怪。最坏的是从来没有严格对待过分析。人们到处发现这种从特殊到一般的不可靠的推理方法。而非常奇怪的是这种方法只导致极少几个所谓的悖论。”为了改变分析的这种“没有计划和体系”的局面，建立它的严格的逻辑基础，波尔察诺、阿贝尔、柯西、狄里赫勒作了基础性的工作，后来维尔斯特拉斯进一步予以发展。其中以柯西和维尔斯特拉斯的成就最为显著。1函数概念的发展解析几何出现以后，有了变量，这为函数概念的产生与发展提供了条件，而自然科学的发展需要人们研究函数。微积分产生之后，函数的研究就成为必然，初等函数已经被充分认识。牛顿用“流量”一词表示变量之间的关系，莱布尼兹用“函数”一词表示任何

22、一个随曲线上的点的变动而变动的量。1734年，欧拉使用记号表示函数。这个时期的函数概念，是由解析表达式（有限或无限的）所给出，是运算的组合，函数要与曲线联系起来。1807年，傅里叶由于研究热的传导问题，发现了不能用单个（有限的）解析式表达的函数，如，他的这一发现是函数概念发展的一个转折点。虽然欧拉等人也有类似傅里叶的思想，但只是在傅里叶对热传导深入研究引起人们注意时，他关于函数的这个发现才对人们有所震动。1821年，柯西在他关于分析学的著作中给出函数一个新的定义：若干个有联系的变量之间，当给定了其中一个变量的值，就可以决定所有其它变量的值。该定义基本上摆脱了“解析表达式”的要求，侧重于关于变量

23、间关系的认识，但仍未揭示出变量之间的对应关系这一函数概念的本质。更进一步的定义是德国数学家狄利克雷在1837年给出的：如果对于给定区间的每一个的值，有唯一的一个的值与之对应，那么就是的一个函数。他还举出一个著名函数的例子，以说明函数概念的一般性，这就是“狄利克雷函数”：当是有理数时，取值1；当是无理数时，取值0。这个函数是不可能写出任何解析表达式来的。2函数的极限极限的思想自古以来就有，但直到柯西时，才使它有了一个明确的定义。他在1821年的代数分析教程中这样说的：当一个变量逐次所取得的值无限趋向一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多么小就有多小，则该定值就叫做这些值的极限。柯西的定义与前人

24、不同的是，他摆脱了几何图形及几何量的任何牵连，只用了“变量”的“数”或函数，没有几何或力学的直观。在此基础上，柯西很自然的定义了“无穷小量”及“无穷大量”，他把无穷小量看成是以0为极限的变量，这就澄清了对无穷小量“似零非零”的模糊认识，把它从物理的、几何的原形中抽象成为一个纯数学概念。由柯西建立起来的这个分析体系，极限是最基本的概念，使用它给出了微分、积分、收敛、连续等几乎所有的概念。但是，柯西的定义中这样一些描述性的词语，如：“无限接近”、“要多小就多小”等，其数学意义是不确切的，还留有物理过程的直观痕迹，没有达到算术化程度，因此这样的极限论还是初步的、不精确的。1850年左右，魏尔斯特拉斯

25、为排除极限概念中的几何直观性，提出了关于极限的纯算术定义，用他发明的所谓语言来表达极限概念，也就是我们现今使用的定义，它与柯西的定义不同的是：其中没有任何或明或暗地含有几何、运动的含义，完全算术化了。没有“变量”、“变化”、“趋向”等动态的词，是一个静态的定义，它说明极限的本质是“静态”的。柯西定义中“要多小有多少”这种词是一种定性的描述，现在量化了。没有涉及“无穷小量”，从而可以彻底地在微积分中排除“无穷小”概念。3关于导数1817年和1823年，波尔察诺与柯西分别定义了导数，都是按照函数增量与自变量增量之比的极限来定义的。与导数有关的严密化问题，有下面几点：柯西给出导数定义后，又把定义为任

26、一有限量，而把定义为，从而导数概念与莱布尼兹的微分统一起来，并可以通过导数定义微分。1797年，拉格朗日给出“拉格朗日中值定理”，1823年，柯西给出了中值定理的证明，并且用它阐明了与之间的关系。可微性与连续性的关系花了几十年时间才被人们弄清楚。柯西认为，连续函数一定是可微的。虽然波尔察诺在1834年就已经知道连续性与可微性有区别，并且构造出连续但在任何点都没有导数的函数来，但是他没有发表。1854年，黎曼给出处处连续但在很多点没有导数的例子，这也没有引起人们的注意。连续性与可微性之间惊人的区别，是由瑞士人塞莱里埃指出的，1860年他给出处处连续但处处不可微的函数（是正整数），此后魏尔斯特拉斯

27、也给出这样的例子，连续性不蕴含可微性的发现有重大意义，它使人们更加不敢依赖直观和几何的思考方式了。4积分学的严密化过程牛顿的积分本质上是微分法的逆运算，也可以说是“不定积分”；莱布尼兹把面积看成矩形微元的和，实际上是定积分。他们的这种模糊不清的概念和关系延续了100多年之后才被柯西等人弄清楚了。1823年，柯西对定积分做了开创性的工作，即他对连续函数下了定积分的定义，并对积分的理论进行了下列建设性的工作。他证明连续函数的积分必存在，并强调在使用积分前先解决这个问题，这说明他对存在性是很重视的。由于没有一致连续性的概念，他的证明是有缺陷的。证明了微积分基本定理。证明了全体原函数彼此之间仅相关一个

28、常数，且定义了不定积分为变上限的定积分，由此开始，人们把不定积分与原函数区分开了。定义了无穷区间上的积分及无界函数的积分。用极限定义了区域的面积、曲线的长、立体的体积等概念。1854年，黎曼从考虑傅里叶级数和积分公式出发，认为被积函数的条件应该放宽，因此他把积分定义推广到有界函数上，不再要求连续性，即所谓黎曼积分.1875年，达布引入了“达布和”，给出了可积性充要条件。至此，黎曼积分的理论基本上得到了完善。5无穷级数微积分的发展与无穷级数的研究密不可分。牛顿在他的的流数论中自由运用无穷级数，他凭借二项式定理得到了和等许多函数的级数。泰勒级数则提供了将函数展开成无穷级数的一般方法。在18世纪，各

29、种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具。数学家在早期运用无穷级数时，没有对收敛和发散问题引起足够重视。到了18世纪末，由于应用无穷级数得到了一些可疑的有时甚至是完全荒谬的结果，如无穷级数到底等于什么？当时人们认为一方面；另一方面，那么岂非？这种矛盾曾使傅里叶这样的大数学家也困惑不解，甚至于让欧拉也在此犯下了可笑的错误。他在得到后，在令时，得出。由此可见当时数学界中的混乱局面。当时几乎无人过问分析中一些比较细致的问题，如级数、积分的收敛性等，显然，无穷级数运算的合法性亟待有人来研究。1811年，傅里叶首先给出了级数收敛的严格定义，而第一个对无穷级数的

30、收敛性质作出研究的是数学大师高斯。1812年，他在无穷级数的一般研究的著作中研究超几何级数时，把级数的使用限制在它的收敛范围内，同时，他引入了高斯级数的概念，除了证明这些级数的性质外，还通过对它敛散性的讨论开创了关于级数敛散性的研究。1821年，柯西在分析教程一书中给出了著名的柯西准则以及比值判别法和根式判别法。他在1853年认识到，要使得连续函数的级数的和一定连续，必须有一致收敛的条件，但他仍然没有看出在使用级数的逐项积分时也要求一致收敛。是魏尔斯特拉斯引入了一起被忽视的一致收敛的概念，从而消除了微积分中不断出现的各种异议和混乱现象。他利用一致收敛的概念给出了逐项积分和在积分号下求微分的条件

31、。由于他对一致收敛的研究使得微积分日趋严密，他也因此成为分析严格化的最大贡献者，并被誉为“现代分析之父”。调和级数的讨论引引起了对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果，特别是利用发散级数而获得一些著名的数值逼近公式。18世纪通过研究发散级数获得的一个重要常数“欧拉常数”，是欧拉讨论如何利用对数函数来逼近调和级数时得到的，它最简单的表示形式为：.欧拉曾计算出的近似值为0.577 218，但迄今我们还不能判定究竟是有理数还是无理数。五、微积分发现的伟大意义1自从有了解析几何和微积分，就开辟了变量数学的时代，因而数学开始描述变化，描述运动。微积分改变了整个数学世界的面貌。牛顿、莱布尼兹17世纪创立的

32、微积分还存在着明显的逻辑缺陷，但是这种缺陷并未抑制它旺盛的生命力。18世纪的数学家们在微积分提供的思维和工具的基础上阔步前进，迅速创立了许多数学分支，诸如微分方程，无穷级数，变分法等。在进入19世纪之后，还有诸多与微积分直接相关的数学分支产生，原有的一些数学分支也开始利用微积分的方法，前者包括复变函数，微分几何等，后者包括数论，概率论等。可以说，在有了微积分之后的两、三百年时间，数学获得了极大的发展，获得了空前的繁荣。微积分的严密逻辑基础也在19世纪完善地建立起来。微积分基本定理的表现形式在多维空间和一般拓扑空间中也获得了拓广，在更广阔的领域中延伸，进一步显示了它在数学领域里的普遍意义。2对其

33、他自然科学和工程技术的作用有了微积分，整个力学、物理学都得以它为工具加以改造，微积分成了物理学的基本语言，而且，许多物理学问题要依靠微积分来寻求解答。“数理不分家”，这句话在有了微积分之后就具有了真实的意义，离开了微积分不可能有现代物理，无论是力学、电学还是光学、热学。微积分的创立得到了天文学的启示，此后，天文学再也离不开微积分。19世纪上半叶可能还认为化学只需要简单的代数知识，而生物学基本上与数学没有联系。现在，化学、生物学、地理学等都必须深入地同微积分打交道。3对人类物质文明的影响工程技术是最直接影响人类物质生活的，然而工程技术的基础即数理科学，也可以说，现代工程技术少不了微积分的支撑，从

34、机械到材料力学，从大坝到电站的建设，都要利用微积分的思想和方法。如果说在落后的生产方式之下，只需要少量的几何、三角知识就可以工作的话，如今，任何一个未学过微积分的人都不可能从事科学技术工作。在有了微积分和万有引力原理之后，人们就预见了人造卫星及宇宙飞行的可能，并且早已利用微积分计算出了宇宙速度。今日满天飞行的人造卫星早在微积分产生之初就已在学者们的预料之中。在今天人类广泛的经济活动、金融活动中，微积分也成了必不可少的工具。微积分诞生之初的主要背景是物理学和几何学，而今，它几乎成为一切领域所运用。它对人类物质生活的影响是越来越大。4对人类文化的影响只要研究变化规律就要用上微积分，在天文、社会科学

35、领域亦如此，因而微积分也浸透于人文、社会科学，用它来描述和研究规律性的东西。哲学尤其关注微积分，那是因为微积分给了哲学许多的启示，它不仅影响了哲学方法，也影响到世界观。辩证唯物主义更关注微积分。六、主要数学家介绍1牛顿-微积分的创始人2莱布尼茨-微积分的创始人戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm von Leibniz，1646年7月1日1716年11月14日）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一位举世罕见的科学天才，和牛顿（1643年1月4日1727年3月31日）同为微积分的创建人。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。公元1646年7月1日，戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨出生于德