川师 概率论第一章习题解答

1、习题一详细解答1、某工人加工了三个零件，设事件为 “加工的第个零件是合格品”（），试用表示下列事件：（1）只有第一个零件是合格品；（2）只有一个零件是合格品；（3）至少有一个零件是合格品；（4）最多有一个零件是合格品。解：（1）（2）（3）（4）2、一名射手连续向某个目标射击三次，设表示“该射手第次射击时击中目标”（）。试用文字叙述下列事件：；解：=表示前两次均未击中目标；表示三次射击中至少有一次击中目标；表示第三次击中但第二次未击中；表示后两次中至少有一次未击中目标；表示三次射击中至少有两次击中目标。3、设和是同一试验的两个随机事件，求证：证明： 由概率的性质和事件的运算律，可得：4、已知,

2、（1）当互斥时，;（2）当时，求；（3）当时，求.5、已知,求,. 解 由，得 .6、设有事件,已知，,求中至少有一个发生的概率.解 由，得，因此，. .7、袋中有均匀的5个红球和3个黄球，从中任取两个球，求摸出的两个球都是红球的概率。解：设“摸出的两个球都是红球”，则8、将一枚均匀的色子抛掷两次，求两次出现的点数之和等于8的概率。解：设A=“两次出现的点数之和等于8”，9、将个人等可能地分配到间房的每一间中去，试求下列事件的概率：（1）某指定的间房中各有一人；（2）恰有间房各有一人解：因为把每一个人分配到间房去都有种分法，所以样本空间中含有个基本事件。（1） 设=“某指定的间房中各有一人”，

3、则有种分法。所以；（2）设=“恰有间房各有一人”，则需要先从间房中选出间房，再把它们分配给个人，所以有种分法。所以10、一副扑克牌52张（没有大小王），从中任意抽取13张，求至少有1张“J”的概率？ 解：设“任意抽取的13张中至少有1张是J”，样本空间中样本总数为。直接计算很 麻烦，所以由对立事件来计算，则=“任意抽取的13张中没有1张是J”.而中的样本 点数是。故 11、在一个池中有3条鱼甲、乙、丙，这三条鱼竞争捕食。设甲或乙竞争到食物的机会是， 甲或丙竞争到食物的机会是，且一次竞争的食物只能被一条鱼享用。求哪条鱼是最优的捕食 者？ 解：设分别表示鱼甲、乙、丙竞争到食物的事件。由题意得： 因

4、此， 又由题意知， 由上面三个式子解得：. 所以丙鱼是最优的捕食者。 12、将C,C,E,L,I,N,S等7个字母随机排成一排，求恰好排成英文单词SCIENCE的概率？ 解：设“排成英文单词SCIENCE”。 由于两个E可以交换，两个C可以交换，所以事件A的概率为： 13、设有任意两数和满足，求的概率。解：试验的样本空间为区域，为一个正方形，面积为1，设所求事件为，则，的面积为所以14、设某地区在历史上从某次特大洪水发生后30年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%。现该地区已30年无特大洪水，问未来10年内该地区发生特大洪水的概率是多少？解：设“该地区从某次特大洪

5、水发生后30年内无特大洪水”。设“该地区从某次特大洪水发生后40年内无特大洪水”,则所求概率为.又,由条件概率的计算公式和性质，得：15、设是随机事件，互不相容，求解：由互不相容，则又，得 由条件概率的定义得： 16、一批灯泡共100只，次品率为10%。不放回地抽取3次，每次一只，求第三次才取到合格品的概率。解：记=第i次取得合格品（）所求概率为17、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是，第二台出现废品的概率是，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，求任意取出的零件是合格品的概率？解：设事件表示“取出的零件是第i台车床加工的零件”（），事件表示“取

6、出的零件是合格品”，则 由全概率公式，得：18、根据美国的一份资料报道，在美国患肺癌的概率为。在普通人群中有20%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为，求不吸烟者患肺癌的概率为多少？解：以记“患肺癌”，以记“吸烟”。由已知得,，故所求概率为,由全概率公式，有19、一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，每个车间生产量分别占总产量的25%、35%、40%，每个车间中二等品分别占50%、40%、20%。今全厂的该种产品中随机抽取一个，发现是二等品，它恰是由甲、乙、丙车间生产的概率分别是多少？解：记=抽到产品是甲车间生产的， =抽到产品是乙车间生产的， =抽到产品是丙车间生产的，以记“抽到螺钉为二等品

7、”，。由题意知：由贝叶斯公式，得随机抽取一个螺钉发现是二等品，它恰是由甲、乙、丙车间生产的概率分别为：20、设有4张同样的卡片，1张涂上红色，1张涂上黄色，1张涂上绿色，1张涂上红、黄、绿三种颜色。现在从这4张卡片中任取一张，用分别表示事件“取出的卡片上涂有红色”，“ 取出的卡片上涂有黄色”，“ 取出的卡片上涂有绿色”。试判断三个事件相互独立吗？解：由已知得：所以有，故三个事件是两两独立的。但是，所以三个事件不是相互独立的。21、假定每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，混合100个人的血清，求此混合血清含肝炎病毒的概率。解：记=第个人的血清中含病毒，。由经验可以判定间是相互独立的，题

8、目需求，因间显然不是两两相斥的，用加法公式计算就很麻烦，我们可以用对偶原理，将事件的并的运算转化为事件的交的运算，从而改用乘法公式。即=1（10.004）=0.33。22、设在独立重复试验中每次试验成功的概率是，问需要进行多少次试验，才能使至少成功一次的概率不小于？解：设需要进行次独立重复试验，则在次试验至少成功一次的概率为由题意得不等式：解得：所以 23、一射手对同一目标进行四次射击，若至少命中一次的概率为，求该射手的命中率？ 解：设该射手的命中率为，由贝努里概型的计算公式，得： 24、设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知两件中有一件是不合格品， 求另一件也是不合格品的概率？ 解：设“已知两件中