圆锥曲线复习讲义教师版

1、江苏省丹阳高级中学高一数学创新班圆锥曲线复习讲义圆锥曲线复习讲义2填空题:21、设P是双曲线乞2 a2Z=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y = 0, Fl、F2分别是9双曲线的左、右焦点，若IPF1 h5，则I PF2 |=2、设椭圆的两个焦点分别为 Fi、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点巳若 FiPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 72-1抛物线3、已知点A(2,0)、B(3,0)，动点P(x,y)满足PA卩B = y 29、椭圆=1的焦点为F1和F2,点P在椭圆上，如果线段 PF中点在y轴上，那么|PF1|123是|PF2|的，则点P的轨迹是4、如果椭圆xl+xlr

2、n的弦被点(4，92)平分，则这条弦所在的直线方程是X + 2y-8 = 03625、对于椭圆x1622+y rn和双曲线x972y =有下列命题:9椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点双曲线与椭圆共焦点；椭圆与双曲线有两个顶点相同其中正确命题的序号是>b丸)的两个焦点分别为Fi,F2，点P在椭圆上，且满足PFi PF2tanNPF1F2 =2，则该椭圆的离心率为7、抛物线y = -X2上的点到直线4x + 3y - 8 = 0的距离的最小值是C: y 2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐210.若曲线Xa 42+ y =1的焦点为定点，

3、则焦点坐标是a +5(0,± 3)11、在 ABC 中,AB=BC , cos B=-.若以A, B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的18离心率e =12、设O是坐标原点，F是抛物线y2 =2 px(p >0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60°，则|OA|为721 -Tp2 213、已知F1、F2是椭圆X + y=1(5 <av 10)的两个焦点，B是短轴的一个端点，贝忆a2(10 a)2FiBF2的面积的最大值是100392 2X y.222214、P是双曲线一-L =1的右支上一点，M N分别是圆(X + 5) + y= 4和(X 5)

4、+ y= 1上916的点，贝y |PM| - |PN|的最大值为二、解答题: 15、已知三点 P (5, 2)、F1 (-6, 0)、F2 (6, 0)。(I)求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆的标准方程;(n)设点P、F1、F2关于直线y= X的对称点分别为P'、F；、F2，求以F；、F2为焦点且 过点P'的双曲线的标准方程.解：(I )由题意，可设所求椭圆的标准方程为2a=|PF1 | +| PF2 | =112 +22 +12 +22 =652 X2a+十R(a>bA0)，其半焦距6。 a = 3J5b22 2=a -C =45 -36 =9，故所求椭圆的标准方程为

5、2 2X- 145+9(II )点 P (5 , 2)、F1F1' (0, -6)、F2' (0,(-6,6)2x2ai2y-b12设所求双曲线的标准方程为=| P' F1'| I P'F2'|-、1 +22aibi2f2 (6, 0)关于直线y= X的对称点分别为：P'(2,5)、=1A 0, b, A 0)，由题意知半焦距G = 6 .a1 = 2J5无=4j52y22=c1 -a1二36-20"6，故所求双曲线的标准方程为 20 - 162x=10已知抛物线y2 =4x，焦点为F， FQ的中点，求点 M的轨迹方程.16、顶

6、点为O,点P在抛物线上移动，Q是OP的中点，M是解析:设 M( x, y ), P ( xi,yi)(1, 0)v M是FQ的中点，Q ( X2,y2)，易求 _1 +X2十2_X. X2= 2 X -1y2p! =2y八2/ = 4x的焦点F的坐标为,又Q是OP的中点=7 =卜叫_y1 b =2y2_2轨迹方程为y2x2y2"x2， P在抛物线 y2=4x上,/=4y(4y)2 =4(4x 2)，所以 M点的1=X 217、已知椭圆的一个焦点为Fi(0, - 2 J2)，对应的准线方程为y =_9O，且离心率e满足:4l，e，3成等差数列。("求椭圆方程;(2)是否存在直

7、线丨，使丨与椭圆交于不同的两点 M N,且线段MN恰被直线x = -1平分,2若存在，求出丨的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。(1)解：依题意 e=刍叵，：f _c 二色 _2恵座.a= 3, c= 2&2 , b= 1,3c44又F1(0，- 2血)，对应的准线方程为y4椭圆中心在原点，所求方程为x2+1v2 =191（2）假设存在直线I，依题意I交椭圆所得弦 mN被x = -1平分2直线I的斜率存在。设直线I:y = kx + m ,由;kxm消去y,整理得,x 4 =19(k2+ 9)x2 + 2km升 m 9 = 0, / I与椭圆交于不同的两点 A = 4k2m 4( k

8、2+ 9)( m 9) > 0即 m k2 9< 0设 M(xi, yi), N(x2, y2)X1 +x2-km2=k2 旳1 k2 +9-m =2 2k把代入式中得（k2+9）k > 或 k< 222_(k +9) cO， 4k二直线I倾斜角d,2匸，竺）3 22318、已知椭圆 最小值为1 .C的中心在坐标原点，焦点在 （I）求椭圆C的标准方程；x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为 3,I :y =kx +m与椭圆C相交于A , B两点（A, B不是左右顶点），且以 AB为（n）若直线直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线I过定点，并求出该定点的坐标._ 2【标

9、准答案】（I）由题意设椭圆的标准方程为笃+=1（aAbA0）a b2 2a+c=3,a-c=1 , a =2,c = lb2 = 31.43i y =kx +m(II)设 A(X1，y1),B(X2, y2)，由 j 2 y2j 4 =1U 3(3+4k2)x2 +8mkx + 4(m2 -3) = 0, =64m2k2 -16(3+4k2)(m2 -3) aO, 3 + 4k22-m >0.2丄8mk4(m-3)=Xt +x2 =2 ,x1=厂.123+4k2 1 代3+4k22y12 =(kxi +m) (kx2 +m) =k xixmk(x<x2) +m3(m4k3+4k2T

10、以AB为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), kAD kBD=y1 ” y2 =1,xi 2 X2 2当mk时,7综上可知，直线2I过定点，定点坐标为(0).19、已知椭圆E的中心在原点，焦点在X轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为J2-1 ,离心率为e止2(I)求椭圆E的方程;M竺点O,0作直线"交E于p、Q两点，试问:MP MQ为定值？若存在，求出这个定点 M的坐标;在X轴上是否存在一个定点M , 若不存在，请说明理由2 2解：(I )设椭圆E的方程为 务宅=1, 由已知得:a b|a-c=72Tr 厂L 証Mar2.b2 =a2 -c2m.椭a晋g2圆E的方程为+y12(n

11、)法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设P(xyJ'Qa 2，y 2)，贝U：TTMP =(xi -m,yi),MQ =(X2 -m, y2),MP MQ =(xi -m) g -m)十丫伉2=x1xm(x<*-x2p*'m +y1y2当直线I的斜率存在时，设直线I的方程为：y =k(x -1)，则2 p 2.J +y =12 丄22由 4 2得 X +2k (X -1) 2 =0ly =k(x -1)(最好是用向量点乘来)yiy2 +XiX2 -2(Xi +X2)+4 =0，2 2 2卅+加+器+4=0，7m2 +16mk +4k2 = 0 ,解得 m-2k,m2

12、k，且满足 3 + 4k2 -m2 a0.l : y = k(x-2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾;o2l:y=k(x7)'直线过定点(7,0).2 2炖2 =k(X1 1)(X2 1) =k X1X2 -(X1 +X2) +1=-r 2 , 2k +12k22(2k2+1)X24k2X+(2k22)=0X1+X2=2k,X1X2=2k2+1k2所以 MP MQ=2k "2MP MQ为定值，所以2k2 +1-m ”一22k2 +14k2+m2 一十-2k2 +12k2+12252m -4m +1 =2(m -2)，得 m =,4（2m-41）+（m-2）对于任意的k值,

13、所以 M(5,0),M? MQ =-47165M存在，起坐标为（,0） 当 PM取得最小值当直线I的斜率不存在时，直线l: X =1,X1 +x2 =2,X1X2 =1,y2 =-丄2由m =5得 m?mq= -综上述知，符合条件的点4162 22°、我们把由半椭圆尹糾（x A 0）与半椭圆 £+4=（Xw 0）合成的曲线称作“果圆”，其中2 2 2a =b +c , a>0, b>c>0.如图，设点Fo , Fi , F2是相应椭圆的焦点，Ai , A2和B , B2是“果圆”与x , y轴的交点，M是线段A1A2的中点.若 F0F1F2是边长为1的等边

14、三角形，求该“果圆”的方程;22设P是“果圆”的半椭圆 与+ X_ 1（X w 0）上任意一点求证:b2 c2时,P在点B, B2或A处;若P是“果圆”上任意一点，求PM取得最小值时点P的横坐标.解:二 |F0F2|=&bFjrc2"/, I F1F2I =2jb2 -c2 =1，于是 c2 =3, a2 =b2 +c2 =£所求“果圆”方程为4X2 +y2 =1 (x> 0) , y2+fx2 =1 (xw 0).73(2)设 P(x,y)，则| PM i"* J +y2 4 V F (a c)x+¥ +b2' cw x w 0，1-b2<0，二|PM|2的最小值只能在x=0或x=Y处取到.c即当PM 取得最小值时，P在点B, B2或A,处.2 2|AM |=|MA2| ,且Bi和B2同时位于“果圆”的半椭圆x y2(x > 0)和半a b2 2椭圆y+右T (Xw 0)上，所以，由(2)知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆2 2尹右=1( X > 0)上的情形即可.| PM |2 =fx-HKy2=c2x-a(a；c)l +b2 +I 2 丿 y a2 2c2(a-c)2 a2(a-c)24c22当x=葺严w a，即a w 2c时，|PM I2的最小值在-a (a