物理动能定理PPT学习教案

1、会计学1物理动能定理物理动能定理2221PJT （P为速度瞬心）2MdJJCP2222221 21)(2121CCCJvMdMJ22222121)(2121CiiiMvMvvmvmT222221)(2121ziiiiJrmvmT1平动刚体平动刚体2定轴转动刚体定轴转动刚体3平面运动刚体平面运动刚体三刚体的动能三刚体的动能动能的计算动能的计算第2页/共69页3（1）匀质杆，质量为m ，长L， 以角速度 绕O 轴转动。动动 量：量：动量矩：动量矩：动动 能：能：求解求解23OOmLLJ2Cm LPmv222126OmLTJ动能的计算动能的计算第3页/共69页4（2）质量为m ，半径为R 的匀 质圆

2、盘，绕过质心且垂直 于图面的O 轴转动。动动 量：量：动量矩：动量矩：动动 能：能：0P 212OOLJmR2221124OTJmR动能的计算动能的计算第4页/共69页5 Pmvc mR， 方向垂直OC ，指向右方: （注注：这里求 Jo 时应用了平行轴定理）动量矩：动量矩：动动 能：能：（）圆盘绕 O轴转动。动动 量：量：222322OOmRmRLJmR2221324OmRTJ动能的计算动能的计算第5页/共69页6动量：动量：动量矩：动量矩：动能：动能：mRmvpccccmRvmRJL21212222432121cccmvJmvT（）轮做平面运动（纯滚动）动能的计算动能的计算第6页/共69页

3、7题：椭圆规由匀质的曲柄OA、规尺BD 以及滑块B 和D组成，如图所示。已知：规尺BD 长2L，质量是2m1，两滑块的质量是m2，曲柄OA 长L，质量是m1。 曲柄以角速度绕定轴 O 转动。例二例二整个机构的动能求：动能的计算动能的计算第7页/共69页8解：整个机构的动能：等于曲柄OA、滑块B、D 及规尺BD 动能的总和， 即：OABDBDTTTTT（1）曲柄作定轴转动，动能：2221126OAOm LTJ动能的计算动能的计算第8页/共69页9先要用运动学方法分析速度:因为BD 作平面运动，由瞬心法很容易求出：（2）滑块B、D 作平动，规尺BD 作平面运动，要求它们的动能，ABDvLAPL即B

4、D 杆角速度与OA 角速度相同2 cos2cos2 sin2sinBBDDBDvBPLLvDPLL 动能的计算动能的计算第9页/共69页10那么，滑块B、D及杆BD 的动能为：2222222222222222221222211221(2cos )2cos22(2sin )2sin22112222(2 )2443BBDDBDAABDm vmLTm Lm vmLTm LTmvJmLm Lm L2212322OABDBDmTTTTTmL动能的计算动能的计算第10页/共69页11长为长为l，重为，重为P的均质杆的均质杆OA由球铰链由球铰链O固定，并以等角速度固定，并以等角速度 w 绕铅绕铅直线转动，如

5、图所示，如杆与铅直线的交角为直线转动，如图所示，如杆与铅直线的交角为a，求杆的动能。，求杆的动能。 杆杆OA的动能是的动能是22222200dsindsin26llPrPlTTrglg1sinvOBr1ddPmrlg22221ddsind22PrTm vrgl解：取出微段解：取出微段dr到球铰的距离为到球铰的距离为r，该微段的速度是，该微段的速度是微段的质量微段的质量微段的动能微段的动能例三例三OrdrO1PABCOrdrO1PABC动能的计算动能的计算第11页/共69页12 力的功是力沿路程力的功是力沿路程累积效应的度量。累积效应的度量。在一在一无限小位移中力所无限小位移中力所做的功称为做的

6、功称为元功元功 FrFWdsdcosm1N1J1力的功是代数量。在国际单位制中，其单位为焦耳（）常见力的功常见力的功思考思考：A=dA? 什么情况下会等？第12页/共69页13力在全路程上作的功为元功之和，即力在全路程上作的功为元功之和，即210cosMMsddsrFFW ddddxyzFFFxyzFijkrijk则力从M1到M2过程作的功为21)ddd(12MMzyxzFyFxFW常见力的功常见力的功第13页/共69页14rFFFrFRddWnMMMM )(212121rFrFrFdddMMnMMMM 21212121nWWW 21 即即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和在任一路程

7、上，合力的功等于各分力功的代数和。iWW合力的功合力的功 质点M 受n个力 作用 ，合力 ，则合力 的功nFFF,21 iFFRRF常见力的功常见力的功第14页/共69页151重力的功重力的功 )(d211221zzmgzmgzzW 对质点系，重力功为： )()(212112CCiiizzmgzzgmW 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。mgFFFzyx0 重力投影： 常见力的功常见力的功第15页/共69页16弹簧原长弹簧原长 l0，在弹性极限内，在弹性

8、极限内k弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力单位变形时所需的力.00rF)(lrk/rrr02弹性力的功弹性力的功常见力的功常见力的功2121rrrF00mMMMdlrkdW)(2002121 2 )()(lrdkdrlrkWrrrr20r11rrr(r r)()22dddd rdrrrrQ第16页/共69页172211200221020() ()2()() 2rrrrkWk rl drd rlkrlrl 022011lrlr,令)(2 2221kW即弹性力的功只与弹簧的起始变形弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动和终了变形有关，而

9、与质点运动的路径无关。的路径无关。常见力的功常见力的功第17页/共69页18d)(ddttFzmrFsFW21d)( 12FzMW设在绕 z 轴转动的刚体上M点作用有力 ，计算刚体转过一角度 时力所作的功。M点轨迹已知。FFbntFFFF3作用于转动刚体上的力的功，力偶的功作用于转动刚体上的力的功，力偶的功常见力的功常见力的功作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。第18页/共69页1921d12MW若若M= 常量常量, 则则)(1212 MW 注意：功的符号的确定。注意：功的符号的确定。如果作用力偶如果作用力偶M， 且力偶的作用面垂直转轴，则且力偶的作用面垂直

10、转轴，则常见力的功常见力的功第19页/共69页204作用于平面运动刚体上的力的功，力偶的功作用于平面运动刚体上的力的功，力偶的功drdFdFrdFRCCiCCiiMMWW)(2121drdFR12CCCCMW常见力的功常见力的功第20页/共69页21(1) 动滑动摩擦力的功动滑动摩擦力的功2121NtMMMMdsFfdsFWFN=常量时常量时, W= f FN S, 与质点的路径有关。与质点的路径有关。常见力的功常见力的功5摩擦力的功摩擦力的功第21页/共69页220dvrdtC0dvFrdFtWC正压力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移NFSF(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的

11、功圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(3) 滚动摩擦阻力偶滚动摩擦阻力偶M的功的功 RsMMW若若M = 常量则常量则常见力的功常见力的功第22页/共69页236质点系内力的功质点系内力的功 只要只要A、B两点间距离保持不两点间距离保持不变变,内力的元功和就等于零内力的元功和就等于零。不变质不变质点系的内力功之和等于零。点系的内力功之和等于零。BABAWrdFrdFrdFrdF)(BAd(FrrdFBA常见力的功常见力的功思考：对于运动的刚体，其上各质点之间内力的元功之和是多少？思考：对于运动的刚体，其上各质点之间内力的元功之和是多少？第23页/共69页241光滑固定面约束光滑固定面约束)

12、(0rdF rdFNNW2固定铰支座、可动铰支座和向心轴承固定铰支座、可动铰支座和向心轴承7理想约束反力的功理想约束反力的功常见力的功常见力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。第24页/共69页255柔索约束（不可伸长的绳索）柔索约束（不可伸长的绳索）拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。3刚体沿固定面作纯滚动刚体沿固定面作纯滚动4联接刚体的光滑铰链（中间铰）联接刚体的光滑铰链（中间铰）rdFrdFW0rdFrdF常见力的功常见力的功第25页/共69页261质点的动能定理：质点的动能定理：)()

13、()(221dvvd2dvvdd mvmtmt而Wmv)21(d2因此动能定理的微分形式动能定理的微分形式将上式沿路径积分，可得21MM1221222121Wmvmv动能定理的积分形式动能定理的积分形式两边点乘以，有tdvrdrdFdvvddtmtFvdd Fa)(mtm动能定理动能定理第26页/共69页27 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式iWTdWTT12 质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式2质点系的动能定理质点系的动能定理动能定理动能定理式中 T2 表示质点系终了位置的动能； T1 表示质点系起始位置的动能； W12 表示在此过程中所有力的功的总和。dtdW

14、dtdTnii1导数形式第27页/共69页28质点系在某一段路程中始末位置动能的改变量等于作用于质点系上质点系在某一段路程中始末位置动能的改变量等于作用于质点系上所有的力在相应路程中所作功的和。所有的力在相应路程中所作功的和。在理想约束的条件下，质点系在某一段路程中始末位置动能的改变在理想约束的条件下，质点系在某一段路程中始末位置动能的改变量等于作用于质点系上所有的量等于作用于质点系上所有的主动力主动力在相应路程中所作功的和。在相应路程中所作功的和。动能定理动能定理几点注意：几点注意：积分形式积分形式表示：质点系由起始位置运动到终了位置，质点系动能的变化等于作用在质点系上的所有力（主动力、约束

15、力、内力、外力）在此过程中的功的总和。表示：质点系由起始位置运动到终了位置，质点系动能的变化等于作用在质点系上的所有力（主动力、约束力、内力、外力）在此过程中的功的总和。“微分形式微分形式”一般用于理论推导；一般用于理论推导；“积分形式积分形式”常用来求速度、角速度、位移等；常用来求速度、角速度、位移等；“导数形式导数形式”常用来求加速度、角加速度等。常用来求加速度、角加速度等。第28页/共69页29一功率：一功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。tWPd作用力的功率：vFttWPvFrFddd力矩的功率：30dddnMMtMtWPzzz

16、功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。动能定理动能定理第29页/共69页30由 的两边同除以dt 得WTd无用有用输入即PPPPtTtWtTdd ddd分析：起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即稳定阶段（匀速）：即0ddtT0ddtT0ddtT无用有用输入PPP无用有用输入PPP无用有用输入PPP二功率方程：二功率方程：动能定理动能定理第30页/共69页31机器稳定运行时，机械效率0d/dtT%100输入有用PP是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下 。三、机械效率三、机械效率有效功率（有用功率与系统动能变化率 dT/dt 之和）与输入功率之比称为机械效率。100%dT

17、PdtP有用输入有效功率输入功率动能定理动能定理第31页/共69页32 两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。mgmgmgWF35. 1)15. 06 . 0(29 . 02)(解解：取整个系统为研究对象取整个系统为研究对象动能定理动能定理例一AB杆运动？杆运动？第32页/共69页3301T2222219 . 023121mvmTv9 . 0得代入到 )(1222 65FWTTmvTm/s98. 3 35. 10652vmgmv动能定理动能定理第33页/共69页34 卷扬机如图所

18、示。鼓轮在常力偶M的作用下将圆柱沿斜坡上拉。已知鼓轮的半径为R1，质量为m1，质量分布在轮缘上；圆柱的半径为R2 ，质量为m1 ，质量均匀分布。设斜坡的倾角为，圆柱只滚不滑。系统从静止开始运动，求圆柱中心C经过路程s时的速度。动能定理动能定理例二第34页/共69页35 解：圆柱和鼓轮一起组成质点系。作用于该质点系的外力有：重力m1g和m2g ，外力偶M，水平轴支反力FOx和FOy ，斜面对圆柱的作用力FN和静摩擦力Fs。 应用动能定理进行求解，应用动能定理进行求解，先计算力的功。先计算力的功。 OMCm1gFOxFOym2gFNFsD12动能定理动能定理第35页/共69页36因为点O没有位移。

19、力FOx ， FOy和m1g所作的功等于零；圆柱沿斜面只滚不滑，边缘上任一点与地面只作瞬时接触，因此作用于瞬心D的法向约束力FN和摩擦力Fs不作功，此系统只受理想约束，且内力作功为零。OMCm1gFOxFOym2gFNFsD12动能定理动能定理主动力所作的功计算如下：主动力所作的功计算如下： 第36页/共69页37质点系的动能计算如下：质点系的动能计算如下： 式中式中J1 ，JC分别为鼓轮对于中心分别为鼓轮对于中心轴轴O，圆柱对于过质心，圆柱对于过质心C 的轴的的轴的转动惯量：转动惯量： 1和和 2分别为鼓轮和圆柱的角速度，即分别为鼓轮和圆柱的角速度，即 OMCm1gFOxFOym2gFNFs

20、D12动能定理动能定理第37页/共69页38由动能定理得由动能定理得 以 代入，解得： 于是于是 动能定理动能定理第38页/共69页39动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用 动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。 动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：遍定理的综合

21、应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。 求解过程中求解过程中,要正确进行运动分析要正确进行运动分析, 提供正确的运动学补充方程。提供正确的运动学补充方程。第39页/共69页40 物体A、B，质量分别为 mA、mB，用弹簧相连，放在光滑水平面上。弹簧原长为 l0 ，刚度系数为k。现将弹簧拉长到 l 后无初速释放，求当弹簧恢复原长时物体 A、B 的速度，弹簧质量不计。BA动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合

22、应用例一第40页/共69页41AByxmAgFmBgvAvBFNAFNBF 作受力图。质点系包含两个质点作受力图。质点系包含两个质点A、B由于质点位移由于质点位移在水平方向，外力不作功；但两质点间的距离是可变的，在水平方向，外力不作功；但两质点间的距离是可变的，故内力故内力F、F所做的功不为零。设当弹簧恢复原长时物体所做的功不为零。设当弹簧恢复原长时物体A、B的速度分别为的速度分别为 vA、vB，方向如图示。由动能定理：，方向如图示。由动能定理：解：解：动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第41页/共69页42(i)(e)12WWTT2002022)()(200)2121(llllkv

23、mvmBBAA2022)(llkvmvmBBAA由质点系动量定理得由质点系动量定理得0BBAAvmvm)()(0llmmmkmvBAABA)()(0llmmmkmvBABAB联立解之得联立解之得动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第42页/共69页43 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。解：（解：（1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象; 0)(FBM0 0BBBJ00B，圆盘平动。动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用例二第43页/共69页44（2）用动能定理求

24、速度）用动能定理求速度。 取系统为研究对象。初始时T1=0 ， 最低位置时：22222121BAvgPJT221222163213121BBBvgPPvgPvgP)30sin)(2()30sin()30sin22(2121)(llPPllPllPWF)(12FWTT)30sin)(2(06321221llPPvgPPB代入数据，得代入数据，得m/s 58. 1Bv动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第44页/共69页45（3）用动量矩定理求杆的角加速度）用动量矩定理求杆的角加速度 。)31(312221221lgPlgPvlgPlgPLA由于0)(dd) e (FAAMtL所以 0 。

25、盘质心加速度：盘质心加速度：)0( 22CnCCalaa)0( 2BnBBalaarad/s 58. 624. 058. 1lvB杆质心杆质心C的加速度：的加速度：动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第45页/共69页46（4）由质心运动定理求支座反力。）由质心运动定理求支座反力。 以整个系统为研究对象 021AxBCixiFagPagPam 代入数据，得 N401 , 0AyAxFF2122212PPFlgPlgPamAyiyi动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第46页/共69页47 本题应用了本题应用了相对质心动量矩守恒定理、动能定理、动相对质心动量矩守恒定理、动能定理、

26、动量矩定理、质心运动定理，比量矩定理、质心运动定理，比较复杂，请大家仔细分析求较复杂，请大家仔细分析求解过程中所应用的定理。解过程中所应用的定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算可用对积分形式的动能定理求导计算a，但要注意需取杆，但要注意需取杆AB在一般位置进行分析。在一般位置进行分析。动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第47页/共69页48解：取杆为研究对象解：取杆为研究对象2312lPlgPlg 2/3 均质杆OA，重P，长l，如图所示。当绳子突然剪断的瞬时，求杆的角加速度及轴承O处的约束反力。由动量矩定理：由动量矩定理：例三动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第48页

27、/共69页49由质心运动定理：由质心运动定理：0OxOxCxFFagPPFPFlgPagPOyOyCy41 2动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第49页/共69页50题：均质细杆长为l、质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用例四第50页/共69页51解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，倒下过程中质心将铅直下落。设杆左滑于任一角度，如图所示，p为杆的速度瞬心。由运动学知，杆的角速度与质心C 的速度之间关系为：cos2lvCPvCC22222cos311212121CCCvmJmv

28、T任意位置杆的动能为初始动能为零01TvCAPvAC动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第51页/共69页521212WTT由动能定理sin120cos3112122lmgvmC即此过程中只有重力作功sin1212lmgWglvC321lg3解出思考:倒地瞬时A点的速度?0当杆完全倒地此时动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用ACmgFNaC第52页/共69页53NCFmgma2CNlJF21 22Nm llF即现在找Ca和的关系。杆刚达到地面瞬时，由刚体平面运动微分方程，得ACmgFNaCy动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第53页/共69页54CAnCAACaaaa

29、AaACaAnCAaCAa加速度矢量如图所示。Ca点A的加速度为水平，由质心运动水平守恒知， 应为铅垂，由运动学知ACmgFNaC动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用2laaCAC沿铅垂方向投影，得第54页/共69页554mgFN代入动力学方程，解得思考：本题应用了几个定理？本题难点是什么？Aa如何求 ?ACmgFNaC动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第55页/共69页56例五动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用已知：一圆环以角速度0 绕铅垂轴O1O2自由转动，圆环的半径为R ，对转轴的转动惯量为J ，在圆环内的A点放一质量为m 的小球，圆环内光滑，由于微小干扰，小

30、球离开A 点。求:当小球分别到达B 点和C 点 时，圆环的角速度和小球的 速度。第56页/共69页57解：（1）研究对象：“小球圆环”系统受力分析如图，可见:则系统对转轴z的动量矩守恒：()0ezmF()()()zAzBzCLLL20BBCJJmRJ02BJJmR即解得动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第57页/共69页58 小球从AB： 总功：WmgR （只有小球重力做功 )（2）若要求小球的速度，则应用系统动能定理：BATTW2220222BBJJmvmgR2202()22BBJmgRvm动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第58页/共69页59说明：本例应用了“动量矩守

31、恒定律”和“系统动能定理”使问题 得到全部解决。请注意动量矩的计算与动能的计算。 （3）小球从AC：总功：W2mgR22202222CCJmvJmgR24CvgR动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第59页/共69页60例六动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用已知：匀质杆长30（cm）,重98（N）, 弹簧的刚性系数为4.9(N/m), 原长为20(cm)。开始时杆置于水平位置， 然后将其无初速释放。 由于弹簧作用，杆绕O 轴转动，OO140（cm）。求： 当杆转到铅垂位置时杆的 角速度和轴承O 处的反力。第60页/共69页61解：取研究对象：杆OA受力分析如图：（1） 求杆在铅垂位置的角速度（杆在铅垂位置时的动能）T1 0 （水平位置 10） 应用动能定理： T2 T1 W12222022226JmLT动力学普遍定理综合应用动力学普遍定理综合应用第61页/共69页62总功为：222221mgLcA22112030OAOOcmcmAO102012可求出：2 5.72(