用----空间向量加法减法运算

1、浙江省玉环县楚门中学吕联华用有向线段画出来；用有向线段画出来；表示方式：表示方式：或或 ABa在平面上，既有在平面上，既有大大小小又有又有方向方向的量的量在空间，具有大在空间，具有大小和方向的量小和方向的量用有向线段画出来；用有向线段画出来；表示方式：表示方式：或或 ABa长度为零长度为零的向量叫的向量叫做零向量，零向量做零向量，零向量的方向是的方向是任意的任意的长度为零的向量叫长度为零的向量叫做零向量，零向量做零向量，零向量的方向是任意的的方向是任意的平面中平面中模为模为1的向量的向量空间中模为空间中模为1的向量的向量平面中平面中长度相等长度相等，方向相反方向相反的两个向量的两个向量空间中长

2、度相等，方向相反空间中长度相等，方向相反的两个向量的两个向量平面中方向相同平面中方向相同且模相等的向量且模相等的向量空间中方向相同空间中方向相同且模相等的向量且模相等的向量aABABaaABaAB平面向量平面向量空间向量空间向量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量 几何表示法几何表示法几何表示法几何表示法字母表示法字母表示法 字母表示法字母表示法 向量的大小向量的大小 向量的大小向量的大小 长度为零的向量长度为零的向量 长度为零的向量长度为零的向量模为模为1的向量的向量模为模为1的向量的向量长度相等且方向长度相等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向长度相

3、等且方向相反的向量相反的向量长度相等且方向相同长度相等且方向相同 的向的向量量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量定义定义表示法表示法向量的模向量的模零向量零向量单位向量单位向量相反向量相反向量相等向量相等向量一：空间向量的基本概念一：空间向量的基本概念ababOABb结论结论：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，内，成为同一平面内的两个向量。内，成为同一平面内的两个向量。思考：思考：空间任意两个向量是否都可以平移到空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？为什么？同一平面内？为什么？OAC BCDAD B (1)与 相等的向量是

4、_(2)与 相反的向量是_(3)与 共线的向量是_ABCD AA口答下列问题如图：已知平行六面体DCBAABCD加法加法平平面面向向量量的的线线性性运运算算数乘向量数乘向量减法减法三角形法则三角形法则平行四边形法则平行四边形法则推广推广说明空间向量的运算就是平面向量运算的推广空间向量的运算就是平面向量运算的推广2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。中有关结论仍适用于它们。1.向量的加法向量的加法(2)平行四边形法则平行四边形法则baba二、空间二、空间向量的加法和减法向量的加法和减法(1)三角形法则三角形法则ba aba

5、ab+OABbCABOAOB空间向量的加法空间向量的加法 推广：首尾相接的若干向量之和，等于由起始推广：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：12233411nnnA AA AA AAAA A 1A2A3A4A1nAnA5A二、空间二、空间向量的加法和减法向量的加法和减法 首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：的起点指向末尾向量的终点的向量即：nnnAAAAAAAAAA114332211A2A3A4A1nAnA向量加法的推广向量加法的推广5A首尾相接的

6、若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：011433221AAAAAAAAAAnnn1A2A3A4AnA1nA2.向量的减法向量的减法ba baba二、空间二、空间向量的加法和减法向量的加法和减法OCOACAOAC空间向量的减法空间向量的减法ab例如例如: : a3 a3 a|0 ,0 ,0 ,0aaa大 小 ：与同 向方 向 ：与反 向aa实数 与 的乘积也是一个向量，记为3.向量的数乘向量的数乘三、空间三、空间向量的向量的数乘数乘运算运算四、空间向量加法与数乘向量运算律加法交换律：加法交换律：a + b = b + a；加法结合律：加法结合律：(a + b) + c =a + (b

7、 + c)；abca + b + c abca + b + c a + b b + c （3）.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()( )()ababaaaaa 即： （）五、共线向量五、共线向量: :零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线. .1.1.空间共线向量空间共线向量: :如果表示空间向量的如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合有向线段所在直线互相平行或重合, ,则这些则这些向量叫做共线向量向量叫做共线向量( (或平行向量或平行向量),),记作记作ba/2.2.空间共线向量定理空间共线向量定理: :对空间任意两个对空间任意两个向量向

8、量 的充要条件是存在的充要条件是存在实数使实数使baobba/),(,ab由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题中点公式：中点公式： 若若P P为为ABAB中点中点, , 则则12 OPOAOBOABP3.A、B、P三点共线的充要条件三点共线的充要条件A、B、P三点共线三点共线APt AB A(1)OP xOyOB x y 平面向量基本定理：如果平面向量基本定理：如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向那么对于这一平面内的任意向量量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 ， 使使 a2211eea1e

9、2e124、平面向量基本定理、平面向量基本定理六、共面向量六、共面向量: :1.1.共面向量共面向量: :平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量, ,叫做共面向量叫做共面向量. .注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量任意三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量对于这一平面内的任意向量 ，有且，有且只有一对实数只有一对实数 ， 使使 如果空间向量如果空间向量 与两不共线向量与

10、两不共线向量 ， 共共面，那么可将三个向量平移到同一平面面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则，则有有 byxpapb那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e反过来，对空间任意两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 与向量与向量 , 有什么位有什么位置关系？置关系？abbyxpab共线，分别与 bbya, a x确定的平面内，都在 bbya, ax确定的平面内，并且此平行四边形在 ba共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpabABPp Cp2.共面向量定理共面向量定理：如果

11、两个向量：如果两个向量 ， 不共线不共线，pxayb abp ab 则向量则向量 与向量与向量 ， 共面的充要共面的充要条件是条件是存在实数对存在实数对x, ,y使使abABPp COAabBCPp C3.空间四点空间四点P、A、B、C共面共面 存存在在唯唯一一实数对实数对,（） 使得xyAPxAByAC(1) 其中，OPxOAyOBzOCxyz例例1、给出以下命题：、给出以下命题：（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同；（2）若空间向量）若空间向量 满足满足 ，则，则 ；（3）在正方体）在正方体 中，必有中，必有 ；（4）若空间向量）若空间

12、向量 满足满足 ，则，则 ；（5）空间中任意两个单位向量必相等。）空间中任意两个单位向量必相等。其中不正确命题的个数是（其中不正确命题的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4a b 、ab| |ab1111ABCDABC D11ACACm n p 、 、,mn np mp C化简结果的向量：列向量表达式，并标出，化简下已知平行六面体DCBAABCD；BCAB ；AAADAB21CCADAB) (31AAADABABCDABCD例2ABCDA B C D例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：；BCAB 解：ABCDABCDBCAB AC；AAADABAAADABAAA

13、C CCAC ACABCDA B C D例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：21CCADAB设M是线段CC的中点，则解：21CCADABCMAC AMABCDABCDM) (31AAADAB设G是线段AC靠近点A的 三等分点，则GABCDA B C D例2已知平行六面体，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：) (31AAADABABCDABCDM解：31ACAG例3：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (例3：

14、已知平行六面体ABCD- -A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1CCDAAB1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBABACxCCDAAB1111 ) 1 (例3：已知平行六面体ABCD- -A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1x解：例3：已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1， 求满足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D111 ) 3 (ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD

15、)( 21AAABAD12AC. 2x111ACxADABAC解： 1.下列命题中正确的有：下列命题中正确的有：(1)pxaybpab 与与、 共共面面 ; ;(2) pabpxayb 与与、 共共面面；(3) MPxMAyMBPMAB 、 、 共共面面；(4) PMA BMPxMAyMB 、 、 、 共共面面；A.1个个B.2个个C.3个个D.4个个例例4:B不共线与ba不共线与ba2.对于空间中的三个向量对于空间中的三个向量它们一定是：它们一定是：A.共面向量共面向量B.共线向量共线向量C.不共面向量不共面向量D.既不共线又不共面向量既不共线又不共面向量2MAMBMA MB 、A3.已知点

16、已知点M在平面在平面ABC内，并且对空间任内，并且对空间任意一点意一点O， ,则则x的值为：的值为：OMxOAOBOC 1 11 13 33 31.1. 0.3.3ABCDD4.已知已知A、B、C三点不共线，对平面外一点三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点，在下列条件下，点P是否与是否与A、B、C共面？共面？212(1);555OPOAOBOC (2)22OPOAOBOC ；例例5.如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD，过平，过平面面AC外一点外一点O作射线作射线OA、OB、OC、OD，在四条射线上分别取点在四条射线上分别取点E、F、G、H，并且使，并且使求证：求证：四点四

17、点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.,OEOFOGOHkOAOBOCODOBAHGFECD例例5 (课本例课本例)已知已知 ABCD ，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 A,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：四点求证：四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG.BCDOEFGH证明：证明：四边形四边形ABCD为为 ACABAD （）EGOGOE kOCkOA ()k OCOA kAC （）代入）代入()k ABAD ()k OBOAODOA OFOEOHOE 所以所以 E、F、G、H共面。共面。EFEH 例例5 已知已知 ABC

18、D ，从平面，从平面AC外一点外一点O引向量引向量 ,OEkOA OFkOB OGkOC OHkOD 求证：四点求证：四点E、F、G、H共面；共面；平面平面AC/平面平面EG。证明：证明：由面面平行判定定理的推论得：由面面平行判定定理的推论得：EFOFOE kOBkOA ()k OBOA kAB 由知由知EGkAC /EGAC/EFAB/EGAC面面面面ABCDOEFGH) 0(/ababapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP小结小结共面共面) 1(APyxOByOxO) 1(0zyxOCzOByOAxOPABMCGD)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCAB练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别 是BC、CD边的中点,化简：ABMCGD)(21 ) 1 (BDBCABAGMGBMAB原式) 1 ()(21 ACABMGBMAB(2)原式)(21 ACABMGBMMGMBMGBM 练习一：空间四边形ABCD中,M、G分别是BC、CD边的中点,化简：)(21 )2(ACABAG) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE