武汉大学《线性代数》01 第一章ppt课件

1、第一章 行列式1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式1. 1. 二阶行列式二阶行列式二元线性方程组二元线性方程组 )2()1(22221211212111bxaxabxaxa211222112112112211222112122211,aaaaabbaxaaaabaabx当当021122211aaaa时，方程组有独一解时，方程组有独一解用消元法用消元法得得2222121212221121122211)(bxaxabaabxaaaa1222)2() 1(aa记记2112221122211211aaaaaaaa那么有那么有221111222212111,1babaDxababDx22211211aa

2、aaD 其中其中.,221111211211222121212221babaabbaababbaab于是于是为为称称21122211aaaa二阶行列式，记作二阶行列式，记作也称为方程组的系数行列式。也称为方程组的系数行列式。22211211aaaa行标列标(1,2) 元素对角线法那么对角线法那么:22211211aaaa主对角线主对角线副对角线副对角线2112aa2211aa例例. 解方程组解方程组 1212232121xxxx解：解：07)4(31223D14112121D21121232D, 271411DDx372122DDx2. 三阶行列式三阶行列式类似地，讨论三元线性方程组类似地，讨

3、论三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaa322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa为三阶行列式为三阶行列式, 记作记作称称对角线法那么：对角线法那么：333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa322311aaa例：例：38114110241648248)1(2310)1()4(1811)1()1(0

4、3)4(22 全陈列与逆序数全陈列与逆序数定义定义1：把：把 n 个不同的元素排成的一列个不同的元素排成的一列, 称为这称为这 n 个元素的一个全陈列个元素的一个全陈列, 简称陈列。简称陈列。例如：例如：1, 2, 3 的全陈列的全陈列123，231，312，132，213，321共有共有321 = 6种，即种，即 Pn= n(n-1)321= n!P3 = 321 = 6普通地，把普通地，把 n 个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列, 共有共有 Pn个陈列。个陈列。规范次序：标号由小到大的陈列。规范次序：标号由小到大的陈列。定义定义2 2：在在n个个 元素的一个陈列中，假设某两个元元素的

5、一个陈列中，假设某两个元素素陈列的次序与规范次序不同，就称这两个陈列的次序与规范次序不同，就称这两个数构成一个逆序，一个陈列中一切逆序的数构成一个逆序，一个陈列中一切逆序的总和称为这个陈列的逆序数。总和称为这个陈列的逆序数。一个陈列的逆序数的计算方法：一个陈列的逆序数的计算方法：设设 p1 p2 pn p1 p2 pn 是是 1 1，2 2，n n 的一个陈的一个陈列，列，用用 ti 表示元素表示元素 pi 的逆序数，即排在的逆序数，即排在 pi 前面并比前面并比 t = t1 + t2 + + tn pi 大的元素有大的元素有 ti 个，那么陈列的逆序数为个，那么陈列的逆序数为例例4：求陈列

6、：求陈列 32514 的逆序数。的逆序数。解：解：51301054321tttttt排列的逆序数排列的逆序数,逆序数为奇数的陈列称为奇陈列。逆序数为奇数的陈列称为奇陈列。逆序数为偶数的陈列称为偶陈列。逆序数为偶数的陈列称为偶陈列。例如：例如：123 t = 0 为偶陈列，为偶陈列，312 t = 2 为偶陈列。为偶陈列。321 t = 3 为奇陈列，为奇陈列，3 n 阶行列式的定义阶行列式的定义察看二、三阶行列式，得出下面结论：察看二、三阶行列式，得出下面结论： 每项都是处于不同行不同列的每项都是处于不同行不同列的n n个元素的乘积。个元素的乘积。 2. n 2. n 阶行列式是阶行列式是 n

7、 n！项的代数和。！项的代数和。 3. 3. 每项的符号都是由该项元素下标陈列的奇每项的符号都是由该项元素下标陈列的奇偶性偶性 所确定。所确定。定义定义1： n! 项项nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnppptaaa2121)1(的和的和nnppptaaa2121)1(称为称为 n 阶行列式阶行列式 (n1)，记作，记作例例1：写出四阶行列式中含有因子：写出四阶行列式中含有因子2311aa的项。的项。42342311aaaa44322311aaaa 例例2： 计算四阶行列式计算四阶行列式hgfedcbaD00000000 D = acfh + bdeg adeh bcf

8、g重要结论：重要结论：(1) 上三角形行列式上三角形行列式nnnnaaaaaaD00022211211 nnaaa2211 (2) 下三角形行列式下三角形行列式nnaaa2211 nnnnaaaaaaD21222111000 (3) 对角行列式对角行列式nnaaaD2211 nnaaa2211 (4) 副对角行列式副对角行列式11, 21nnnaaaD 11,212)1()1(nnnnnaaa 行列式的等价定义行列式的等价定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnjjjtaaa21211)(niiitnaaa21211)(5 行列式的性质行列式的性质nnnnnnaaaaaa

9、aaaD212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111T称称 DT 为为 D 的转置行列式。的转置行列式。设设那么那么D 经过经过“行列互换变为行列互换变为 DT 性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。：行列式与它的转置行列式相等。113102011110101321证明：设证明：设nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnbbbbbbbbbD212222111211T那么那么jiijab ), 2 , 1,(nji 由行列式定义由行列式定义nnjjjtbbbD2121T1)(Daaanjjjtn2121)1(性质性质2：互换行列式

10、的两行：互换行列式的两行 ( 列列 )，行列式变号。，行列式变号。32110111011010132131rr互换互换 s、t 两行：两行：tsrr 互换互换 s、t 两列：两列：tscc “运算性质运算性质推论：假设行列式有两行列一样，推论：假设行列式有两行列一样， 那么行列式为那么行列式为 0 。032110132132110132131rr性质性质3：用非零数：用非零数 k 乘行列式的某一行列中乘行列式的某一行列中 一切元素，等于用数一切元素，等于用数 k 乘此行列式。乘此行列式。1101016422121101013211r“运算性质运算性质用用 k 乘第乘第 i 行：行：用用 k 乘

11、第乘第 i 列：列：krikci推论：行列式中某一行列的公因子可以提到推论：行列式中某一行列的公因子可以提到 行列式符号外面。行列式符号外面。1101013212110101642性质性质4：假设行列式有两行列的对应元素成比：假设行列式有两行列的对应元素成比 例，那么行列式等于例，那么行列式等于0 。0321101321)2()(321101642211r性质性质5：假设某一行是两组数的和，那么此行列式：假设某一行是两组数的和，那么此行列式就等就等 于如下两个行列式的和。于如下两个行列式的和。nnnininnnnininnnnininiinaaccaaaabbaaaacbcbaa1111111

12、111111111110101210110101111110101211101性质性质6：行列式的某一行列的一切元素乘以同：行列式的某一行列的一切元素乘以同 一数一数 k 后再加到另一行列对应的元素后再加到另一行列对应的元素 上去，行列式的值不变。上去，行列式的值不变。用数用数 k 乘第乘第 t 行加到第行加到第 s 行上：行上：用数用数 k 乘第乘第 t 列加到第列加到第 s 列上：列上：tskrr tskcc 11042032111010132112rr“运算性质运算性质利用行列式性质计算：利用行列式性质计算：化为三角形行列式化为三角形行列式例例1：计算：计算222116421411211

13、11)(33511102431521132)(2221164214112111D03103420350021112141312rrrrrrr35003100005102111223 rr4590003500051021112310003500051021113443rrrr1353210153143112335111024315211341ccD1 10 00 00 02 25 510105 55 51818242419193 31010161611113 35 53 34 41 14 42 24 43 3 c cc cc cc cc cc c10002

14、50051812131041401000250051810310181000250051811231014例例2：计算：计算3111131111311113D“行等和行列式行等和行列式3111131111311111631161316113611163111131111311113各列加到第一列各列加到第一列4820000200002011116各行减去第一行各行减去第一行例例10：设：设kkkkkkkkbbbbDaaaaD1111211111证明：证明：21DDD nnnnknnkkkkkbbccbbccaaaaD1111111111110证明：利用行的运算性质证明：利用行的运算性质 r 把

15、把1D化成下三角形，化成下三角形，kkkkkppppprD111111再利用列的运算性质再利用列的运算性质 c 把把2D化成下三角形，化成下三角形，nnnnnqqqqqcD111112对对 D 的前的前 k 行作运算行作运算 r，后，后 n 列作运算列作运算 c, 那么有那么有nnnnknkkkkqqccqccpppcrD1111111111211111DDqqppnnkk4374121511003010002100111D例例301021111 43212 6 行列式按行列展开行列式按行列展开333231232221131211aaaaaaaaa32312221133331232112333

16、2232211aaaaaaaaaaaaaaa 问题：一个问题：一个 n 阶行列式能否可以转化为假设干阶行列式能否可以转化为假设干个个 n1 阶行列式来计算？阶行列式来计算？对于三阶行列式，容易验证：对于三阶行列式，容易验证：定义定义1：在：在 n 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素ija所在的第所在的第 i 行行和第和第 j 列划去后，余下的列划去后，余下的 n1 阶行列式叫阶行列式叫ija的余子式的余子式, 记为记为ijM ijjiijMA 1称为称为 (i, j)元素元素的代数余子式。的代数余子式。做做 (i, j) 元素元素ija, 同时同时例如：例如：4442413432311412

17、1123aaaaaaaaaM 232332231MMA44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 思索思索( 2, 3) 元素元素( 2, 3)元素元素的余子式的余子式( 2, 3)元素的元素的代数余子式代数余子式定理定理3：行列式等于它的任一行列的各元素与：行列式等于它的任一行列的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即其对应的代数余子式乘积之和，即),(niAaAaAaDniniiiii212211 ),(njAaAaAaDnjnjjjjj212211 21021)1()1(1132)1(1)1(0121101013213212232

18、221AAAD行展开行展开按第按第证明：分三种情况讨论，只对行来证明此定理。证明：分三种情况讨论，只对行来证明此定理。(1)nnnnnaaaaaaaD21222211100利用上一节例利用上一节例10的结论有的结论有111111111111111AaMaMaD)(2) 设设 D 的第的第 i 行除了行除了ijannnjnijnjaaaaaaaD1111100 把把 D 转化为转化为 (1) 的情形的情形外都是外都是 0 0 。先把先把 D 的第的第 i 行依次与第行依次与第 i 1行行, 第第 i 2行行, , 第第 1 行交换行交换, 经过经过 i 1次行交换后得次行交换后得nnnjnini

19、jiinijiinjijiaaaaaaaaaaaaaD,)(1111111111111001再把再把 第第 j 列依次与第列依次与第 j1列列, 第第 j2列列, , 第第 1 列列交换交换, 经过经过 j1次列交换后得次列交换后得nnjnjnnjnnijijiijinijijiijinjjjjijiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD11111111111111111111111111111000011,)()(jijijijijiAaMa)( 1(3) 普通情形普通情形, 思索第思索第 i 行行nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000nnnninaaaa

20、aaa2111121100nnnninaaaaaaa2121121100nnnninnaaaaaaa211121100niAaAaAaininiiii, 212211例例2322211012110101321AAA)(行展开行展开按第按第或者或者110101321101232221AAA)(那么那么?233222211AbAbAb110321321bbb推论：行列式任一行推论：行列式任一行( (列列) )的元素与另一行的元素与另一行( (列列) )的的 对应元素的代数余子式乘积之和等于零，对应元素的代数余子式乘积之和等于零， 即即jiAaAaAanjnijiji , 02211jiAaAaAa

21、jninjiji , 02211综上，得公式综上，得公式 jijiDAaAaAanjnijiji，02211 , jijiDAaAaAajninjiji，02211 ,jinkkjkiDAa 1或或jinkjkikDAa 1或或例例12: 12: 证明范德蒙德证明范德蒙德( Vandermonde )( Vandermonde )行列式行列式1112112222121111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)()1(证明：用数学归纳法证明：用数学归纳法1221211xxxxD, )(12 jijixx(1) 当当 n = 2 时时,(2) 设设 n1 阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙

22、德行列式成立, 那么那么112112222121111 nnnnnnnxxxxxxxxxD1nnnrxr21nnnrxr12rxrn0001111121222121112211121)()()()()()(nnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)(njxxjn列的公因子列的公因子列展开，再提出第列展开，再提出第按第按第21222112112111111nnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx)()()(= =)()()(jjininnnnxxxxxxxx11121)(jjinixx 11jinjinxxD)()()(1221nnnnnnxxxxx

23、xxx)()(212111nnnnxxxxxx)()(122313xxxxxx有有21)( nn个因子个因子! !例：例：27881944132211111D4 1 5 ( 1) ( 4) 3 240例：例：27881944132211111D设设求求14131211AAAA解解: :2788194413221111114131211AAAA4 1 5 ( 1) ( 4) 3 2407 克拉默法那么克拉默法那么克拉默法那么：克拉默法那么： 假设线性方程组假设线性方程组)(1122112222212111212111nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于

24、零，的系数行列式不等于零，nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 即即.,DDxDDxDDxnn2211那么线性方程组那么线性方程组(11)(11)有独一解，有独一解，其中其中nnjnnjnnnjjjaabaaaabaaD11111111111 ,),(njAbAbAbDjnnjjj212211证明：证明：njnnjnnnnnjjnnjjnnAbAxaxaxaAbAxaxaxaAbAxaxaxa)()()(221122222221211111212111得得个方程个方程的的依次乘方程组依次乘方程组列元素的代数余子式列元素的代数余子式的第的第用用,)(,nAAAjDjnjj

25、1121再把再把 n n 个方程依次相加，得个方程依次相加，得nkjkknnkjknkjnkjkjknkjkkAbxAaxAaxAa111111DDxDDxDDxnn,2211当当 D0 D0 时时, ,方程组方程组(1)(1)也即也即(11)(11)有独一的解有独一的解于是于是)(,121njDDxjj例例1：用克拉默法那么解线性方程组。：用克拉默法那么解线性方程组。 067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512D212rr 24rr 12770212060311357012772121357 212cc 232cc 277010353 2733 27 67402125603915181 D81 67012150609115822 D108 604125