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文档简介
1、概率论与数理统计复习提要第一章随机事件与概率1 .事件的关系AuBA=BABA-BAQ*AB=*2 .运算规则(1)A=B=B=AAB=BA(2) (AB)C=A(B一C)(AB)C=A(BC)(3) (A一B)C=(AC)一(BC)(AB)一C=(A_C)(BC)(4) A_"B=ABAB=A_B3.概率P(A)满足的三条公理及性质:(1)0<P(A)<1(2)P(Q)=1nn(3)对互不相容的事件A,A2,,An,有P(UAk)=£P(Ak)(口可以取电)k4k4(4)P=0(5)P(可=1P(A)(6)P(A-B)=P(A)-P(AB),若AuB,则P(B
2、_A)=P(B)_P(A),P(A)<P(B)P(AB);P(A)P(B)-P(AB)(8)P(A一BC)=P(A)P(B)P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)P(ABC)4 .古典概型:基本事件有限且等可能5 .几何概率6 .条件概率(1) 定义:若P(B)>0,则P(A|B)=P(AB)P(B)(2) 乘法公式:P(AB)=P(B)P(A|B)若B1,B2,Bn为完备事件组,P(Bj)>0,则有n(3) 全概率公式:P(A)=LP(Bi)P(A|Bi)i1(4) Bayes公式:P(Bk|A)='P(Bi)P(A|Bi)1 17.事件的独立性:A,B独立u
3、P(AB)=P(A)P(B)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 .离散随机变量:取有限或可列个值,P(X=x)=Pi满足(1)Pi>0,(2)zPi=1(3)对任意DuR,P(XwD)=£pii:Xi三D2 .连续随机变量:具有概率密度函数f(x),满足(1)f(x)>0,*f(x)dx=1;.一二二b(2)P(aEXWb)=f(x)dx;(3)对任意awR,P(X=a)=0a3.几个常用随机变量名称与记号分布列或爸度数学期望力差两点分布B(1,p)P(X=1)=p,P(X=0)=q=1pppq二项式分布B(n,p)P(X=k)=C:pkqn;k=0,1,2,
4、n,npnpqPoisson分布P(九)-kP(X=k)=eJk=0,1,2,k!九九几何分布G(p)P(X=k)=qk,p,k=1,2,1pq2p均匀分布U(a,b)-1.f(x)=,aExWb,b-aatb2(b二a)F()=0,F(+*)=1;(2)单调非降;(3)右连续;(4)P(a<XMb)=F(b)-F(a),特另IJP(X>a)=1-F(a);(5)对离散随机变量,F(x)=£Pi;ifax,(6)对连续随机变量,F(x)=Jf(t)dt为连续函数,且在f(x)连续点上,F(x)=f(x)5.正态分布的概率计算以(x)记标准正态分布N(0,1)的分布函数,则
5、有2x-口、(1)牛(0)=0.5;(2)中(x)=1-6(x);(3)若XN(匕。),则F(x)=中(一);12指数分布E(A)f(x)=Xe,,x>01九1TT儿正态分布N(N,仃2)12f(x)-;一e2dJ2n仃2a4.分布函数F(x)=P(X<x),具有以下性质(4)以Ua记标准正态分布N(0,1)的上侧a分位数,则P(X>%)=3=13(%)6.随机变量的函数Y=g(X)(1)离散时,求Y的值,将相同的概率相加;(2)X连续,g(x)在X的取值范围内严格单调,且有一阶连续导数,则fY(y)=fx(g,(y)l(g,(y)'l,若不单调,先求分布函数,再求导
6、。第四章随机变量的数字特征1.期望(1)离散时E(X)=SXiPi,E(g(X)=£g(Xi)pi;(2)连续时E(X)=1xf(x)dx,E(g(X)=*beQg(x)f(x)dx;二维时E(g(X,Y)=£g(x,yj)Pij,E(g(X,Y)=Jg(x,y)f(x,y)dxdy一心工i,j(4)E(C)=C;(5)E(CX)=CE(X);(6) E(X+Y)=E(X)+E(Y);(7) X,Y独立时,E(XY)=E(X)E(Y)2 .方差(1)方差D(X)=E(XE(X)2=E(X2)-(EX)2,标准差仃(X)=*,D(X);(2) D(C)=0,D(X+C)=D(
7、X);(3) D(CX)=C2D(X);(4) X,Y独立时,D(X+Y)=D(X)+D(Y)3 .协方差(1) Cov(X,Y)=E(X-E(X)(YE(Y)=E(XY)-E(X)E(Y);(2) Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(aX,bY)=abCov(X,Y);(3) Cov(Xi+X2,Y)=Cov(Xi,Y)+Cov(X2,Y);(4) Cov(X,Y)=0时,称X,Y不相关,独立二不相关,反之不成立,但正态时等价;(5) D(XY)=D(X)D(Y)2Cov(X,Y)4 .相关系数Pxy=C0V(X,Y);有|Pxy|<1,|Pxy|=1u三a,b,P(Y=aX+
8、b)=1二(X)二(Y)kk5 .k阶原点矩Vk=E(X),k阶中心矩叫=E(X-E(X)第五章大数定律与中心极限定理1 .Chebyshev不等式P|X-E(X)巨舒WD或P|X-E(X)|<m士1D2 .大数定律3 .中心极限定理n、Xi-n或N(°”(1)设随机变量Xi,X2,Xn独立同分布E(Xi)=tD(Xi)=。n1.nx-XXi,样本k阶中心矩Nk=一£(Xinimnid2.统计量:样本的函数且不包含任何未知数3.三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)(1)72分布X2=X;+X;+X272(n),其中X1,X2,Xn独立同分布于标准正态分布
9、N(0,1),若X(n)Y/2(n2)且独立,则X+Y工2(n1+n2);,则Xio1n.c2.赢N(nN,n。2),或£Xi薪N”一)近似n.口近似n(2)设m是n次独立重复试验中A发生的次数,P(A)=p,则对任意x,有limPm72np<x=6(x)或理解为若XB(n,p),则XN(np,npq)T而q近似第六章样本及抽样分布1 .总体、样本(1) 简单随机样本:即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法)(2) 样本数字特征:,11/一77、H-仃2样本均值X=-ZXi(E(X)=N,D(X)=);nyn_,_21Jn2样本方差S=Z(Xi-X)n-1im(E(S2)
10、=。2)样本标准差1,n-o样本k阶原点矩Vk-X)knlJXiFX.、,2,、(2) t分布t=-=t(n),其中XN(0,1),Y2(n)且独立;,Y/n(3) F分布F="F(ni,n2),其中X22(ni),Y72(出)且独立,有下面的Y/n211性质f(n2,ni),Fi(ni,n2)=F-F.(n2,ni)4.正态总体的抽样分布oinoo(i)XN(N,b/n);(2)x(XiN)/(n);i4(3)(n-i)S72(n_i)且与X独立;(4)t=XXt(ni);二S/.n厂区一治一科一切/互陋+电通,sJnTSFxg2S.Ein2,nin2-2(6)F=S2竺F(n-In?-i)S2/02第七章参数估计1 .矩估计:(i)根据参数个数求总体的矩;(2)令总体的矩等于样本的矩;(3)解方程求出矩估计2 .极大似然估计:(i)写出极大似然函数;(2)求对数极大似然函数(3)求导数或偏导数;(4)令导数或偏导数为0,解出极大似然估计(如无解回到(i)直接求最大值,一般为minxi或maxxB)3 .估计量的评选原则
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