大学文科数学第三章

1、第三章第三章 导数及其应用导数及其应用3.1 3.1 导数导数3.2 3.2 用导数研究函数用导数研究函数3.3 3.3 应用应用两个问题1.1.求变速直线运动的瞬时速度问题求变速直线运动的瞬时速度问题0sss 0s0在直线上引入坐标原点在直线上引入坐标原点 0 和单位长度和单位长度)(00tfs 设动点于时刻设动点于时刻 t 在数轴上的位置的坐标为在数轴上的位置的坐标为 s: )(tfs )(tfs )(00ttfss s 如图：一质点沿直线运动，求其在某一时刻如图：一质点沿直线运动，求其在某一时刻 的速度的速度0t考虑质点在时段考虑质点在时段,00ttt 上的平均速度上的平均速度所所花花的

2、的时时间间经经过过的的路路程程 vts ttfttf )()(003.1 导数导数（1）若质点作匀速直线运动，则上述比值恒为一常数）若质点作匀速直线运动，则上述比值恒为一常数（2）若质点作非匀速直线运动，则上述比值与）若质点作非匀速直线运动，则上述比值与 t 有关有关0sss 0s0)(00tfs )(tfs )(00ttfss s 考虑质点在时段考虑质点在时段,00ttt 上的平均速度上的平均速度所所花花的的时时间间经经过过的的路路程程 vts ttfttf )()(00它仅为质点在它仅为质点在0t时刻速度的近似值。时刻速度的近似值。0|ttv tst 0limttfttft )()(lim

3、0000t，即为质点在，即为质点在 时刻的（瞬时）速度。时刻的（瞬时）速度。0sss 0s0)(00tfs )(tfs )(00ttfss s 考虑质点在时段考虑质点在时段,00ttt 上的平均速度上的平均速度所所花花的的时时间间经经过过的的路路程程 vts ttfttf )()(000|ttv tst 0limttfttft )()(lim000若记若记,0ttt ,000ttttt 时时则则当当0|ttv tst 0lim00)()(lim0tttftftt 点点P P处的切线处的切线LPQT割线PQ切线PT切点2.2.曲线的切线问题曲线的切线问题 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如

4、图, 如果割线如果割线 MN 绕绕点点 M 旋转而趋向极限位旋转而趋向极限位置置 MT , 直线直线 MT 就称为就称为曲线曲线 C 在点在点 M 处的处的切线切线.极限位置即极限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的斜率为的斜率为割线割线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲线沿曲线的斜率为的斜率为切线切线MT tanlimtan0 xxk . .)()(lim000 xxxfxfxx 存在存在, 则称此极限为函数则称此极限为函数 y=f(x) 在点在点 处的处的导数导数, 有时也称函数有时也称函数 y=f(x) 在点在点 处处

5、可导可导. 可记为可记为定义定义 设函数设函数 y=f(x) 在点在点 的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义, 如果如果0 x0 x000()()limxf xxf xx 0 x0|x xy 0 x xdydx 0()fx0 x xdfdx 或或 或或 或或.)()(lim)(0000hxfhxfxfh （1 1）导数定义导数定义的两种的两种常见形式常见形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyxfxx )()(limlim)(000000()xxh它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点,0 x（2 2）关于）关于导数的说明：导数的说明：而变

6、化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了慢程度慢程度( )yf xI如果函数在开区间 内的每点 ,( ).f xI处都可导 就称函数在开区间 内可导,( )xIf x对于任一都对应着的一个确定的.( ).f x导数值这个函数叫做函数的导函数.)(),(,dxxdfdxdyxfy或或记记作作 注意注意: :.)()(00 xxxfxf 变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度00)()(lim|00tttftfvtttt 其中，其中， s = f (t) 为关于时间为关于时间 t 的位置函数的位置函数 切线的斜率切线的斜率.)()(lim000 xxxfxfkxx

7、 其中，其中， y = f (x) 为曲线的方程。为曲线的方程。);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限由由定义求导数步骤定义求导数步骤: :例例1 1 求函数求函数 的导数的导数解解: : (1)(1)求增量求增量: : (2)(2)算比值算比值: : (3)(3)取极限取极限: : 2xy ()( )yf xxf x 222()2()xxxx xx xxxy2xxxxyyxx2)2(limlim00例例2 2.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解：解：hxfhxfxfh)()(lim

8、)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例3 3.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解：解：hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 hhhxh2sin)2cos(2lim0 例例4 4.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解：解：hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,

9、12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x )(21 x)1( x例例5 5.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解：解：haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例6 6.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解：解：hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1)(logaxxa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .ln1ax hxhaxhx)1(limlog10 (2) ( )nf xx 1(). ()

10、xxR (1) ( )f xC ( )0.C (sin )cos .xx (3) ( )sinf xx (4) ( )cosf xx (cos )sin .xx (5)( )(0,1)xf xaaa()ln .xxaaa .)(xxee (6)log(0,1)ayx aa(log)1 ( ln ).axxa (ln )1.xx 2.右导数右导数:单单侧导数侧导数1.左导数左导数:0000()()()lim;xf xxf xf xx 0000()()()lim;xf xxf xf xx 如果如果)(xf在开区间在开区间 ba,内可导，且内可导，且)(af 及及)(bf 都存在，就说都存在，就说)

11、(xf在闭区间在闭区间 ba,上可导上可导.的的讨论在点讨论在点设函数设函数000,),(),()(xxxxxxxxf xxfxxfxfx )()(lim)(0000 xxxxx )()(lim000 xxfxxfxfx )()(lim)(0000 xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 若若(存在且相等），存在且相等），,)(0axf 则则.可导性可导性例例7 7.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 )

12、,0()0( ff即即.0)(点不可导点不可导在在函数函数 xxfy2sin,0,( )( ).,0,xxf xfxxx 例例设设试试8 8求求解:0( )(sin )xf xx 当当时时，cosx 20( )()xfxx 当当时时，,2x xfxffxx)0()(lim)0(,00 时时当当, 10sinlim0 xxxxfxffx)0()(lim)0(0 200lim0 xxx (0)f 故故不不存存在在. .cos,0,( )02 ,0.xxfxxxx 不不存存在在，表示表示)(0 xf 特别地特别地: :)( ,tan)(0为倾角为倾角 xf)(xfy 曲线曲线,)(,(00切线的斜率

13、切线的斜率处的处的在点在点xfxM即即导导数的几何意义数的几何意义0 x xyO)(xfy CT M;),(,()(, 0)()1(000轴轴的的切切线线平平行行于于在在点点则则曲曲线线若若Oxxfxxfyxf ).)(000 xxxfyy .0)()()(10000 xfxxxfyy,)()2(0 xf若若)(,()(00 xfxxfy在点在点则曲线则曲线 .轴轴的切线垂直于的切线垂直于Ox:)(,()(00处处的的切切线线方方程程为为在在点点曲曲线线xfxxfy :)(,()(00的法线方程为的法线方程为在点在点曲线曲线xfxxfy 例例9 9.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方

14、程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解: :由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即解解: : （1）因为点）因为点 ( 1 , 1 ) 在曲线上，由导数的在曲线上，由导数的几何意义几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为1 xyk13)( xx123 xx. 3 所求切线方程为所求切线方程为),1(31 xy. 023 y

15、x即即例例10 已知已知曲线曲线,3xy （1）求过点）求过点 ( 1 , 1 ) 的切线方程；的切线方程；（2）确定）确定 b 的值，使直线的值，使直线 y = 3x + b 为曲线的切线；为曲线的切线；（3）求过点）求过点 ( 0 , 3 ) 的切线方程。的切线方程。例例10 已知已知曲线曲线,3xy （1）求过点）求过点 ( 1 , 1 ) 的切线方程；的切线方程；（2）确定）确定 b 的值，使直线的值，使直线 y = 3x + b 为曲线的切线；为曲线的切线；（3）求过点）求过点 ( 0 , 3 ) 的切线方程。的切线方程。解解: : （2）关键要确定切点。）关键要确定切点。),(00

16、yx设切点为设切点为0 xxyk 0)(3xxx 023xxx 203x 切线方程为切线方程为),(30200 xxxyy ,3303020yxxxy 即即,33330030020 xybxyx. 2, 1, 1)1(00 byx. 2, 1, 1)2(00 byx例例10：已知曲线已知曲线,3xy （1）求过点）求过点 ( 1 , 1 ) 的切线方程；的切线方程；（2）确定）确定 b 的值，使直线的值，使直线 y = 3x + b 为曲线的切线；为曲线的切线；（3）求过点）求过点 ( 0 , 16 ) 的切线方程。的切线方程。解解: : （3）注意点）注意点 (0 , 16 ) 不在曲线上。

17、不在曲线上。),(00yx设切点为设切点为0 xxyk 0)(3xxx 023xxx 203x 切线方程为切线方程为),(30200 xxxyy ,3303020yxxxy 即即,163300300 xyxy, 8, 200 yx1612 xy可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证:,)(0可导可导在点在点设函数设函数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf)0(0 x 0 xy2xy xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的

18、连续点的连续点为为但但处不可导处不可导在在xfxx 注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.xfxffx )0()0(lim)0(0 xxx 0)(lim200 xfxffx )0()0(lim)0(0 xxx 0lim01 例例1111.0,0, 00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解: :,1sin是有界函数是有界函数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0

19、)(处不可导处不可导在在 xxfxxxfxx1sinlim)(lim00 ),0(0f 设函数设函数u(u(x) )与与v(v(x) ) 在点在点x处均可导，则处均可导，则: :定理定理1 1(1) ( )( )( )( );u xv xu xv x(2) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ),u x v xu x v xu x v x( )(,( )v xC CCuCu为常数）则2( )( ) ( )( ) ( )(3),( ( )0)( ) ( )u xu x v xu x v xv xv xv x( )1,u x （一）导数的四则运算法则（一）导数的四则运算法则特别地特别地,如果如

20、果可得公式可得公式特别地特别地,21( )( ) ( )v xv xv xwvuwvu )(注：法则（注：法则（1）（）（2）均可推广到有限）均可推广到有限多个可导函数的情形多个可导函数的情形wuvwvuvwuuvw )(例：例：设设u=u(x),v=v(x),w=w(x)在点在点x处均处均可导，则可导，则)3lnsin(3 xexyx解：解： )3(ln)(sin)()(3 xexxxexxcos32 例例13 设设52,xyxy 求求)(52)(5 xx2xx解：解：)25( xxy2ln25225xxxx yxexyx ，求，求设设3lnsin3例例12)(tan xy)cossin(

21、xx解：解：xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 即即 类似可得类似可得例例14 求求y = tanx 的导数的导数2(cot )csc xx2(tan )secxx )cos1( xxx2cossin )(sec xy解：解：xxtancos1 xx tansec 即即类似可得类似可得例例15 求求 y = secx 的导数的导数(csc )csccotxxx (sec )sectanxxx 定理定理2 2)(xu 如果函数如果函数在在x处可导，而函数处可导，而函数y=f(u)在对应的在对应的u处可导，处可导， 那么复合函

22、数那么复合函数 ( )yfx在在x处可导，且有处可导，且有dydy dudxdu dx或或xuxyyu对于多次复合的函数，其求导公式类似，对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法此法则也称链导法注：注：（二）复合函数的导数（二）复合函数的导数xuxuy)1()(sin2 xu 2cos )1cos(22xx 例例17yxy 求求,2lnsin222lncos22 xxxxxxxy2221212lncos222 解：解：解：解：复合而成复合而成可看作可看作221,sin)1sin(xuuyxy yxy 求求),1sin(2例例16.:求求下下列列函函数数的的微微商商练练习习(1)co

23、syx 3(3)tan2xyex 2sin(4)10 xy 2sin()(5)xye (2)cot2xy 对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, , 然后两边分别求导，求然后两边分别求导，求出导数出导数. .-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu例例1818解：解：.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1si

24、nln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx yxexy 的导数的导数求求)4)(3()2)(1( xxxxy例例19 这函数的定义域这函数的定义域 解：解：1, 32, 4xxx4 x若若两边取对数得两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy两边对两边对 x 求导得求导得41312111211 xxxxyy413121112xxxxyy1x若)4)(3()2)(1(xxxxy 两边取对数得两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy 两边对两边对 x 求导得求导得41312111211xxxxyy 41312111

25、2xxxxyy同理同理413121112xxxxyy23x若例例:20:20解：解： 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设)(tss 速度速度即即sv加速度加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即即)( sa引例：引例：变速直线运动变速直线运动定义定义若函数若函数)(xfy 的导数的导数)(xfy可导可导,或或,dd22xy即即)( yy或或)dd(dddd22xyx

26、xy类似地类似地 , 二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为三阶导数三阶导数 ,1n阶导数的导数称为阶导数的导数称为 n 阶导数阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf的的二阶导数二阶导数 , 记作记作y )(xf 的导数为的导数为依次类推依次类推 ,分别记作分别记作则称则称高阶导数高阶导数的运算法则的运算法则都有都有 n 阶导数阶导数 , 则则)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C为常数为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布

27、尼兹莱布尼兹(Leibniz) 公式公式)(xuu 及及)(xvv 设函数设函数vunn) 1(设设,2210nnxaxaxaay求求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次类推依次类推 ,nnany!)(233xa例例21思考思考: 设设, )(为任意常数xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(问问可得可得nx)1 ( ,3xaeay 例例22 设设求求解解:特别有特别有:解解:! ) 1( n规定 0 ! = 1思考思考:,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例23 设设,

28、)1(lnxy求求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax 0 xx,x. 时时的的高高阶阶无无穷穷小小 当当很很小小时时可可忽忽略略:)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长由一块正方形金属薄片受温度

29、变化的影响，其边长由 变到变到 （如图），问此薄片的面积改变了多少？（如图），问此薄片的面积改变了多少？0 xxx 0引例引例：02Axx再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很小时很小时当当 x 203.yxx ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数( (改变量的主要部分改变量的主要部分) )是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有? ?它是

30、什么它是什么? ?如何求如何求? ?定义定义000000000( ),()()()(),( ),( ),(),.x xx xyf xxxxyf xxf xAxoxAxyf xxAxyf xxxdydf xdyAx 设函数在某区间内有定义及在这区间内 如果成立 其中 是与无关的常数则称函数在点可微 并且称为函数在点相应于自变量增量的微分记作或即.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )0o()lim0 xxx 是指满足的量由定义知由定义知: :(1);dyx是自变量的改变量的线性函数0(2)()lim;xydyydyoxxx 是比高阶无穷小(=

31、0)0(3),( );Axf xx是与无关的常数 但与和 有关(4),().xydy 当很小时线性主部).()()()(000 xodyxoxAxfxxfyxx 例例2424解：解：.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy ( ).dydxfx 即即函函数数的的微微分分与与自自变变量量的的微微分分之之商商等等于于该该函函数数的的导导数数导导数数也也叫

32、叫“微微商商”基本基本初等函数的微分公式及微分运算法则初等函数的微分公式及微分运算法则dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 2222()ln()11(log)(ln )ln11(arcsin )(arccos )1111(arctan )(arccot )11xxxxad aaad

33、xd ee dxdxdxdxdxxaxdxdxdxdxxxdxdxdxdxxx 2. 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处上述公式必须记牢，对以后学习积分学很有好处. .3. 设设 及及 都可导都可导, 则复合函数则复合函数 的的微分为微分为)(ufy )(xfy )(xu dd( )( )yfuxx d( )fuu 1 ( ),( );udyfu du 若若 是是自自变变量量时时2( ),( ),uxux 若若 是是中中间间变变量量时时 即即

34、另另一一变变量量 的的可可微微函函数数则则( )( ),yf ufu 设设函函数数有有导导数数,( )xyf x 无无论论 是是自自变变量量还还是是中中间间变变量量 函函数数的的微微分分形形式式总总是是复合函数的微分法则复合函数的微分法则由复合函数的微分法则由复合函数的微分法则( );dyfu du 结论结论：微分形式的不变性微分形式的不变性dxxfdy)( 注注2222211111()()xxxxdyeeeded x 21ln().xye 求求函函数数的的微微分分22121,xxyexe 222212211xxxxxedyy dxexdxdxee 21ln ,vyuuevx 而而222212

35、211xxxxxeexdxdxeeydx 用用复复合合函函数数导导数数法法则则求求出出导导数数 后后，再再乘乘以以法一法一法二法二 利用微分形式不变性利用微分形式不变性21111ln (ln)(dyxdx 211 21( )( )arctanln()yxyx211( )ux 21dydx2212 11 ()dxx 例例25 25 求下列函数的微分求下列函数的微分2222 11xxdxdxxx11ln(),uxvx 22111ln ()()dxxxx (2)解：解：解：解：例例2626.,sindybxeyax求求设设 )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdx

36、bxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 解解例例2727.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 例例2727解：解：在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd )

37、;sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 定理定理 : 函数函数证证: “必要性必要性” 已知已知)(xfy 在点在点 可微可微 ,则则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在点在点 的可导的可导,0 x且且)(xfy 在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导,0 x且且, )(0 xfA即即xxfy)(d00 x“充分性充分性”已知已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0

38、 xfxy)0lim(0 x0()yfxxx 故)()(0 xoxxf 线性主部即即xxfy)(d0在点在点 的可导的可导,0 x)0)(0时 xf则则定理定理 : 函数函数)(xfy 在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是0 x)(xfy 在点在点 处可导处可导,且且, )(0 xfA即即xxfy)(d00 x若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间a, b上连续，在开区间上连续，在开区间 (a, b) 内可导，且在区间端点处的函数值相等，即内可导，且在区间端点处的函数值相等，即 ( )( ),f af b 则在开区间则在开区间(a, b)内至少存在一点内至少存在一点 , 使得使得 (

39、)0.f 3.2 用导数研究函数用导数研究函数证：证： ( ), f xa b因因在在上连续，故在上连续，故在 a , b 上取得最上取得最大值和最小值大值和最小值. 于是于是, 有两种可能情形：有两种可能情形：(1) .Mm f(x) 在区间在区间a, b上恒为常数上恒为常数 因此因此( , ),( )0 .a bf (2) .Mm 那么，在开那么，在开 0()( )( )limxfxffx 0()lim,xfxMx 因此因此( )0.f 注意注意1) 当定理条件不全具备时当定理条件不全具备时, 结论不一定成立结论不一定成立. 例如例如,01,( )0,1.xxf xx x1yo( ) 1,

40、1f xxx ( )0,1f xxx x1yo1 x1yo2) 满足定理中三个条件的函数满足定理中三个条件的函数 f(x), 函数函数 ( )yfx 必定有零点，零点的个数可能有多个必定有零点，零点的个数可能有多个3) 罗尔定理的几何意义：罗尔定理的几何意义： 函数函数 f(x) 在闭区间在闭区间a, b上满上满足定理条件时足定理条件时, 在在(a, b)内的曲内的曲例例28 验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数 3( )3f xxx线弧线弧 f(x)上必存在水平切线上必存在水平切线ab1 2 xyo)(xfy C解：解： 函数函数 3( )3f xxx显然在显然在 3, 3 上连续，上连续，

41、 ( 3)(3)0.ff 而而 2( )333(1)(1)fxxxx ( )0.f 例例29( ),( ) = 0 0( )( ) =.f xf xcf cfcc设设在在 0 0, ,+ +连连续续 可可导导 且且有有一一正正根根, , 证证明明存存在在, , 使使分析分析 利用中值定理证明存在点满足等式利用中值定理证明存在点满足等式, , 通常的通常的( )( )0,cfcf c 若证( )( )0.cfcf c 方法用方法用还原法还原法:即即: 改写结论为改写结论为( )( )0,xfxf x 还原成有根( )0.xf x 即有解. 由罗尔定理得证把等式还原成把等式还原成x的方程的方程.因

42、此，函数因此，函数 g(x) 在区间在区间 0, a上满足罗尔定理的上满足罗尔定理的三个条件，则至少有点三个条件，则至少有点 (0,),ca 使使 ( )0,g c 即即 ( )( )0,cf cf c 也即也即 ( )( ).f cfcc 证证 令令 ( )( ),g xxf x 设设 g(x) = 0 的正根为的正根为 x=a, 则则(0)( )0,gg a （2）拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间a, b上连续，在开区间上连续，在开区间 (a, b) 内可导，内可导， 则在开区间则在开区间(a, b)内至少存在一点内至少存在一点 , 使得使得 (

43、)( )( )().f bf afba 证证: 如图如图，直线直线AB的方程为的方程为( )( )( )(),f bf ayf axaba ab1 xoy)(xfy ABCab1 xoy)(xfy ABC构造辅助函数构造辅助函数( )( )( )( ) ( )(),f bf axf xf axaba 由罗尔定理，则在开区间由罗尔定理，则在开区间 (a, b) ( )0, 即即( )( )( )0,f bf afba 所以所以 ( )( )( )().f bf afba 注注 1) 在拉格朗日中值定理中，若加上条件在拉格朗日中值定理中，若加上条件 ( )( ),f af b 则结论变成则结论变成

44、 ( )0,f 因此，因此，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形2) 拉格朗日中值定理的几何意义：拉格朗日中值定理的几何意义： 有不垂直于有不垂直于 x 轴的切线，那么曲线弧轴的切线，那么曲线弧 AB上至少上至少 有一点有一点 C, 使曲线在点使曲线在点C 处的切线平行弦处的切线平行弦 AB . ab1 2 xoy)(xfy ABCD为为拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式显然，公式对显然，公式对 b 0，x ( ( 1, 1) )时，时，f (x) 0，所以所以( ( , - -1) )和和( (1, )是是 f (x) 的递增区间，的递增区间， (- (-1

45、, , 1) )是是 f (x) 的递减区间的递减区间. .为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为简便直观起见，我们通常将上述讨论归纳为如下的表格：为如下的表格：x( ( , - - 1) )(-(- 1, ,1) ) ( (1, ) ) f (x) f (x)其中箭头其中箭头 ， 分别分表示函数在指定区间递增和分别分表示函数在指定区间递增和递减递减. .解：解：( (1) )该函数该函数的定义区间为的定义区间为 ( ( ， ) )；.325)1(32)() )2( (313231xxxxxxf .)1()(32的单调性的单调性讨论函数讨论函数xxxf 例例3131,520)( xxf得得令

46、令 此外，显然此外，显然 x = 0 为为 f ( (x) )的不可导点，的不可导点，52,0 xx于是于是 分定义区间为三分定义区间为三个子区间个子区间( ( , 0) )，,52, 0 .,52 , 0)(,52)0 ,()3( xfx时时和和因为因为, 0)(,52, 0 xfx时时和和在在所以所以)0 ,()(xf,52内内单单调调递递增增 . 52, 0内单调递减内单调递减在在 亦可如例亦可如例 1 那样，以下表表示那样，以下表表示 f ( (x) ) 的单调性：的单调性：x( , 0)f (x) 52, 0 ,52 f (x)设函数设函数 y=f(x) 在在 a, b 上连续上连续

47、. 若对于一点若对于一点 存在它的某一邻域存在它的某一邻域 使得使得则称则称 是函数是函数 f(x)的的极大值极大值, 是是 f(x)的的极大值点极大值点.0( , ),xa b 00(,) (0),xx 000( )(),(,),1f xf xxxx 0()f x0 x则称则称 是函数是函数 f(x)的的极小值极小值, 是是 f(x)的的极小值点极小值点.000( )(),(,),2f xf xxxx 0()f x0 x0000( )( )( )()0f xxf xxf xxfx设在 附近有定义，若在 达到极值，且在 可导，则切线是水平的（平行于X轴）0 x0 x0 x0 x0 x0 xOO

48、xxyy 费马定理证明证明: :达到极大值证明。在只就0)(xxf),()(,),()(0000 xfxxfbaxxxxf就有内在达到极大值，所以只要在由于, 0)()( 00 xfxxf即;0, 0 )()( 00时时当当从而从而 xxxfxxf;0, 0 )()(00时时当当 xxxfxxf0 )()( lim0)(000 x0 xxfxxfxf这样这样. 0 )()( lim0)(000 x0 xxfxxfxf0)(0 xf所所以以xyo)(xfy ab1 2 ba几何解释几何解释: :.0位位于于水水平平位位置置的的那那一一点点续续滑滑动动时时，就就必必然然经经过过，当当切切线线沿沿曲

49、曲线线连连率率为为显显然然有有水水平平切切线线，其其斜斜曲曲线线在在最最高高点点和和最最低低点点换句话说，若函数换句话说，若函数f f( (x x) )在其极值点处可微，则在该点处在其极值点处可微，则在该点处必存在唯一的一条平行于必存在唯一的一条平行于x x轴的切线。轴的切线。注意：注意：当当f(x)可微时，条件可微时，条件“f (x)=0”只是只是f(x)存在极值的必要存在极值的必要条件，而非充分条件。即导数等于零的点不一定都是极值点。条件，而非充分条件。即导数等于零的点不一定都是极值点。定理定理 ( (函数极值的第一充分条件函数极值的第一充分条件) ) 000001,fxxxxxxx 如如

50、果果有有，而而 00.xxxff 有，则在处取得极大值有，则在处取得极大值 000002,fxxxxxxx 如果有，而如果有，而 00.xxxff 有，则在处取得极小值有，则在处取得极小值 00003,xxxxxfx 如果当和时，的符号如果当和时，的符号 0fxx相同，则在处无极值.相同，则在处无极值. 00 ,fxxU x 设在临界点连续，在可导.设在临界点连续，在可导.xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf

51、 .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)例例3232解解:.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx定理定理 ( ( 极值的第二充分条件极值的第二充分条件 ) )( (1) )当当 f (x0) 0 时时，则则 x0 为极小值点为极小值点，f (x0)为极小值为极小值；( (2) )当当 f (x0) 0

52、时时，则则 x0 为极大值点为极大值点，f (x0)为极大值为极大值. 若若 f (x0) = 0，且且 f (x0) 0， 则则 x0 是函数的极值点是函数的极值点，f (x0) 为函数的极值为函数的极值， 并且并且设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 处的二阶导数存在处的二阶导数存在，求函数极值的一般步骤是：求函数极值的一般步骤是：( (1) )确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；(2)(2)考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确考察函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点；定极值点；(3)(3)求出极值点处的函数值，得到极值求出极值点处的函数

53、值，得到极值. .例例 33 求求函数函数 f (x) = x4 10 x2 + + 5 的极值的极值.因为因为解解:( (1) )定义域为定义域为 (- - , , + + ). f (x) = 4x3 20 x = 4x(x2 - - 5)， 所以，由所以，由 f f (x) = (x) = 0 0 可得该函数的三个驻点可得该函数的三个驻点.5, 0,5 xxx所以有所以有; 020)5(12)5(2 f; 020)0( f. 020)5(12)5(2 f则：则：，为极小值点为极小值点和和 55 xx.0为极大值点为极大值点 x( (2) )因为因为 f (x) = 12x2 20，( (

54、3) )计算极值：计算极值：;205)5(10)5()5(24 f极小值极小值;550100)0(24 f极大值极大值.205)5(10)5()5(24 f极小值极小值求求函数的最值函数的最值(1)(1)求驻点和不可导点求驻点和不可导点(2)(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值 设设 f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，求函数最值的步骤：求函数最值的步骤：(3)(3)比较大小比较大小, , 最大者就是最大值最大者就是最大值, , 最小者就是最小者就是 最小值最小值; ; 22320,3fxxx求求函函数数在在上上的的最大值和最小值.最大值和最小值

55、. fx 在在0,0,解解: :33上上连连续续. . 2341.32xfxxx 0,1.2.fxxx 驻点奇点驻点奇点令得令得计算区间端点与临界点处的函数值有计算区间端点与临界点处的函数值有 300,11,20,39.ffff比较这些值的大小可得比较这些值的大小可得 3maxmin39,020.fffff例例34 11,pppxx-1-11 12 2 0,1 ,1.xp其中,其中,证证: 将所证问题转化为求函数将所证问题转化为求函数 1ppfxxx在区间在区间0，1上的上的最大值最大值和和最小值最小值. 111,ppfxpxpx 0,1,21fxpxfx 令得因故函数令得因故函数驻点驻点无奇

56、点.无奇点.将区间将区间端点端点与与驻点驻点处的函数值进行比较：处的函数值进行比较： 111011,1 .22pfffp 所以所以 111pppxx -1-11 12 2例例35 求证求证例例36 要做一个容积为要做一个容积为V0的圆柱形储油罐，怎的圆柱形储油罐，怎样设计才能使用材料最省？样设计才能使用材料最省？解解: 要使用料最少，就是要使要使用料最少，就是要使2002,Vr hVhr 故故 储油罐的储油罐的表面积表面积S为：为：222002222222.VVSrhrrrrrr 300222 2240,rVVSrrrr xyh储油罐的表面积最小储油罐的表面积最小.令令 S=0,得唯一的得唯一

57、的驻点驻点 00300304.40,2VVrSrr 又又因此,S在点因此,S在点0302Vr 处取得处取得极小值极小值，由于只有，由于只有一个极值，所以也为最小值一个极值，所以也为最小值.这时储油罐的高为这时储油罐的高为00030200322 .22VVVhrrV 所以，当储油罐的所以，当储油罐的高和底面直径相等高和底面直径相等时，所用材料最省时，所用材料最省.问题问题: :如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向? ?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位 于所张弦的下方于所张弦的下方( )yf x ( )yf x ABC定义定义 设设 在区间在区间 内可导，如果曲线内可导，如果曲线 上上的每一点处的切线都位于曲线的上方的每一点处的切线都位于曲线的上方( (下方下方) )，则称曲线，则称曲线 在在 内是凸的内是凸的( (凹的凹的).).定理定理 (凹凸判定法凹凸判定法)(1) 在 内则 在 内图形是凹的