第3章线性定常系统的线性变换

1、 线性定常系统的线性变换第三章 本章介绍常用的线性变换方法，以及非奇异线性变换的一些不变特性。3.1 状态空间表达式的线性变换状态空间表达式的线性变换 在前面学习建立系统动态方程时已经看到，选取不同的状态变量，可以得到不同形式的动态方程。若两组状态变量之间用一个非奇异矩阵联系着，则两组动态方程的矩阵与该非奇异矩阵有确定关系。 设系统动态方程为)2053(,cxybuAxx 令)2063(xPx式中，P为非奇异线性变换矩阵，变换后的动态方程为)2073(,xcyubxAx式中)2083(,11cPcbPbAPPA并称对系统进行P变换。线性变换的目的目的：揭示系统特性及分析计算。线性变换的影响影响

2、：不改变系统原有的性质。v几种常用的线性变换关系几种常用的线性变换关系1 1 化化A A阵为对角阵阵为对角阵 设A阵为任意方阵。且有n n个互异实特征值个互异实特征值 1，2，n，则可由非奇异线性变换化为对角阵。)2093(211nAPPP阵由A阵的实数特征向量 pi(i=1,2,n) 组成npppP21特征向量满足nipApiii, 2 , 1;212)-(3 1111P ,100001000010A 113121 -n12n232221n3211210nnnnnaaaa 设A阵具有m重实数特征值1，其余为(n - m)个互异实数特征值。在求解Api = 1pi (i=1,2,m) 时仍有m

3、个独立特征向量p1, p2, , pm，仍然可使A阵化为对角阵。 若A为友矩阵，且有n个互异实特征值1，2，n，则下列的范德蒙特矩阵P可使A对角化：)2143(213)-(300 1211111nmmnmpppppPAPP式中， pm+1, pm+2, , pn为互异实数特征值对应的实特征向量。 设A阵具有m重实特征值 1，其余为 n-m 个互异实特征值，但在求解Api = 1pi (i=1,2,m) 时只有一个实特征向量p1，则只能使A化为约当阵J。2 2 化化A阵为约当型阵为约当型)2163()2153(010112111111nmmnmpppppPAPPJJ中虚线表示存在一个约当块。式中

4、 p2, p3, , pm为广义实特征向量，满足 若A阵为友矩阵，具有m重实特征值 1，且只有一个实特征向量p1，则使A约当化的P阵为J中虚线表示存在一个约当块。式中 p2, p3, , pm为广义实特征向量，满足)2173(112111121mmpppAppp pm+1, pm+2, , pn是互异特征值对应的实特征向量。)2193(1)2183(112111111112112111TnnmmmpppppppP式中 设A阵具有五重实特征值 1，且只有两个独立实特征向量p1, p2, 其余为n-5个互异时特征值，A阵约当化的可能形式如下，式中，J中虚线表示存在两个约当块。)2213()2203

5、(111612221121116111111nnpppppppPAPPJ3 3 化可控系统为可控标准型化可控系统为可控标准型 已知单输入线性定常系统的状态方程的可控标准型为)2223(10001000010000101211210121uxxxxaaaaxxxxnnnnn与之相对应的可控性矩阵S为S是一个右下三角形，主对角线元素均为1，故 detS0，系统一定可控系统一定可控。)2233(11010010001000021111nnnnnaaaabAAbbS 任何一个可控系统，当A，b 不具有可控标准型时，一定可通过适当的变换化为可控标准型。 已知可控系统的状态方程为)2243(buAxx 进

6、行P-1 变换，即令)2253(1zPx变换为)2263(1PbuzPAPz 要求)2273(1000,10000100001012101PbaaaaPAPn ？ 如何确定变换矩阵P 推导变换矩阵P：)2283(21TTnTTpppPP应该满足式（3-227），有展开得)2293(1000010000101211210121nnnnnppppaaaaApppp 假设变换矩阵P为nnnnnpapapaAppAppAppAp1211013221整理后得由此可得变换矩阵PnnnnpApAppApAppAp111321221)2303(111121nnApApppppP又根据b阵变换要求，P应该满足式

7、（3-227），有)2313(1001111bApAppPbn即 计算可控性矩阵Sb Ab An-1b ; 计算可控性矩阵的逆阵S-1, 设一般形式为故)2323(10011bAAbbpn上式表明，p1是可控矩阵的逆阵的最后一行。因此可得出变换矩阵P-1的求法：)2333(100111bAAbbpn 取出 S-1的最后一行，构成p1行向量)2343(2122221112111nnnnnnSSSSSSSSSS 构造P阵)2353(211nnnnSSSp P-1便是讲非标准型可控系统化为可控标准型的变换矩阵)2363(1111nApAppP3.2 3.2 对偶原理对偶原理 对偶原理可使系统的研究更

8、加方便。 设系统为S1(A,B,C)，则系统 S2(AT,CT,BT)为系统S1的对偶系统。特征方程分别为：)2383(,:)2373(,:21zBwvCzAzSCxyBuAxxSTTT 系统与对偶系统之间，其输入、输出向量的维数是相交换的。S1与S2互为对偶系统。 特点： S1的可控性矩阵与S2的可观测性矩阵完全相同。 S1的可观测性矩阵与S2的可控性矩阵完全相同。 TTnTTTTTTTTnBABABBAABB)()()()()(11 TnTTTTTnTTTTCACACCACAC11)()( 可把可观测的SISO系统化为可观测标准型的问题转化为将其对偶系统化为可控标准型的问题。利用已知的化可

9、控标准型的原理和步骤，获得可观测标准型的步骤：利用已知的化可控标准型的原理和步骤，获得可观测标准型的步骤：)2433()(1nTTnTTnTnAvAvvP 列出对偶系统的可控性矩阵（即原系统的可观测性矩阵 V2）)2413()(12TnTTTTcAcAcV 求V2的逆阵V2-1，且记为行向量组)2423(2112TnTTvvvV 取V2-1的第n行nT，并按下列规则构造变换矩阵P 求P-1，引入P-1变换nnnnTvAAvvP1 对对偶系统再利用对偶原理，便可获得原系统的可观测标准型，结果为)2463()()2453()()(11xcPxPcybuPxAPPuPbxPPAxTTTTTTTTTT

10、与原系统动态方程相比较，可知将原系统化为可观测标准型需要进行PT变换，即令其中，)2443(,111zPbwvPczPPAzzPzTTT)2473( xPxTn为原系统可观测性矩阵的逆阵中第n行的转置。3.3 3.3 非奇异线性变换的不变性非奇异线性变换的不变性1 1 变换后系统特征值不变变换后系统特征值不变 变换后系统的特征值为AIAIIAIPPAIPPPAIPPAIPAPPPPAPPPPAPPI111111111)(令线性变换线性变换后的动态方程为xPx 系统变换后与变换前的特征值完全相同。 ? 非奇异线性变换后，系统的固有特性是否会改变 ？系统特征值； ？系统传递矩阵； ？系统可控、可观

11、测性； 设系统的动态方程为DuCxyBuAxx,DuxCPyyBuPxAPPx,112 变换后系统传递矩阵不变变换后系统传递矩阵不变3 3 变换后系统可控性不变变换后系统可控性不变 变换后系统可控性矩阵的秩为系统变换后，可控性矩阵的秩相同，系统的可控性不变。 变换后系统的传递矩阵为 变换前后系统的传递矩阵完全相同。DBAsICDBPPAsICPPDBPPAsIPCPDBPAPPsIPPCPDBPAPPsICPsG11111111111111)()()()()()( rankSBABAABBrankBABAABBrankPBAPBAPABPBPrankBPAPPBPAPPBPAPPBPrankr

12、ankSnnnn12121112111111121111)()()(4 变换后系统可观测性不变变换后系统可观测性不变变换前后系统的可观测性矩阵的秩相等，故系统的可观测性不变。 变换后系统的可观测性矩阵为V，变换前系统的可观测性矩阵为V，则rankVCACACACrankCACACACrankPCAPCAPCAPCPrankCPAPPCPAPPCPAPPCPrankrankVTTnTTTTTTTnTTTTTTTTnTTTTTTTTTTTnTTTTT)()()()()()()()()()()()()(121212112113.4 3.4 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解v定义、意义、方

13、法和过程定义、意义、方法和过程定义定义：从可控性、可观测性出发，状态可分解成可控可观测 cox、可控不可观测 ocx、不可控可观测 ocx、不可控不可观测 ocx四类，由 对应状态变量作坐标轴构成的子空间也分为四类，把系统也随应分成四类系统子系统，称为系统的结构分解。 意义意义：研究规范系统分解能更明显地揭示系统结构特性、传递特性，并 与稳定性分析、反馈校正等密切相关。方法：方法：选取一种特殊的线性变换，使原来的状态向量x变换成 TTocTocTocTcoxxxx，相应地使原动态方程中的A、B、C矩阵变换成某种标准构造的形式。过程：过程：可以先从整个系统的可控性分解开始，将可控、不可控的状态变

14、量分离开，继而分别对可控。不可控子系统进行可观测性分解，便可以分离出四类状态变量及四类子系统。1 系统按可控性分解系统按可控性分解设不可控系统动态方程为)2493(,CxyBuAxx 系统可控性矩阵的秩为r（r n），从可控性矩阵中选出r个线性无关的列向量 s1,s2,sr，另外再任意选取尽可能简单的（nr）个列向量sr+1,sr+2,sn，使它们与 s1,s2,sr 线性无关，这样就可以构成 （nn）非奇异变换矩阵 nrrsssssP1211对式（3249）进行非奇异线性变换，)2513(,11ccccccxxCPyPBuxxPAPxx式中 cx为r维可控状态子向量， cx为（n-r）维不可

15、控状态子向量，且 式（3249）便变成下列的规范表达式 )2503(1ccxxPx展开式（3251），有列列行列列列行行行行)(211)()(1)(2212111)2523(0,0rnrqprnrrnrrnrCCCPBPBAAAPAPcccccccxCxCyxAxuBxAxAx212211211将输出量进行分解，可得可控子系统、不可控子系统的动态方程分别为：可控子系统动态方程不可控子系统动态方程 )2533(,1111211ccccxCyuBxAxAx )2543(,2222cccxCyxAx 系统结构的可控性规范分解具有下列特点： 由于)2563()(0)(0)()()(0000)()()(

16、)2553(rank000rank)()()(rankrank111111122122121111112111221211211122121121111111111111111111111111BAsICBAsIAsIAAsIAsICCBAsIAAsICCBAAAsICCPBPAPsICPBAsICrBABABBABABPBPAPPBPAPPBBAABBnnnn 设一个可控性规范分解系统为但是，不可控子系统 对整个系统的影响依然存在不可忽视，如要求 22A仅含稳定特征值，以保证整个系统稳定，并且应考虑可控子系统的状态响应 )(txc及系统输出响应y（t）均与 cx有关。 由于选取非奇异变换阵P

17、-1的列向量s1,s2,sr，及sr+1,sr+2,sn，的非唯一性，虽然可控性规范分解的形式相同，但诸系数阵不相同，故可控性规范分解不是惟一的。)2573(,0,0211221211CCCBBAAAA),(1111CBA因而r维系统 是可控的，并且与(A, B, C)具有相同的传递函数矩阵。如果从传递函数的角度分析系统(A, B, C)时，可以等价地用分析子系统 来代替，由于后者维数已经降低，可能会使分析变得简单。),(1111CBA 输入u只能通过可控子系统传递到输出，而与不可控子系统无关，故u至y之间的传递函数矩阵描述不能反映不可控部分的特征。 设另一个可控性规范分解系统为)2603()

18、det()det()det(2211AsIAsIAsIrBABABBABABBABABBAABBBABABBABABBABABrAACCCBBAAAArnnnnnr111111111111111111111111111111111111111211221211rankrankrankrankrankrankrank)2583(,0,0，这是因为的阶数均为与则 由于故振型。的不可控因子或不可控称为系统；的可控因子或可控振型称为系统又决定。的特征值的稳定性完全由决定；的特征值的稳定性完全由),(,.,),(,.,.,.,1211222111CBACBAAxAxnrrnrcrc 线性定常系统完全可控

19、的充要条件是，系统经过非奇异线性变换不能化成（3-251）的形式。对于维数较大系统的可控性判别，这是一种好方法。例例332 已知系统（A，b，c）如下，试按可控性进行分解。111,100,341010121cbA解解 计算可控性矩阵的秩 328310004102nrankbAAbbrank故不可控。从中选出两个线性无关列，附加任意列向量 T010构成非奇异变换矩阵 1P。并计算变换后的各矩阵 010001103,0311000101PP续121,001,10024124011cPPbPAP可控子系统动态方程为 ccccxyuxxx21,012241401不可控子系统动态方程为 cccxyxx2

20、,2 系统按可观测性分解系统按可观测性分解观测矩阵的秩为l（ln），在V中任意选取l 个线性无关的行向量t1,t2,tl，此外再选取 n-l 个与之线性无关的行向量 tl+1,tn，构成非奇异线性变换阵设不可观测系统动态方程如下，其可观测矩阵的秩为l（ln）)2613(,CxyBuAxx 系统的可观测矩阵1nCACACV)2623(1nllttttT 对式（3-261）进行非奇异线性变换ooxxTx1式中，xo为l维可观测状态子向量， ox为（nl）维不可观测状态子向量 行行)(02221111lnlAAATAT行行)(21lnlBBTBl列 (n-l)列 p列（3265） 011CCTq行

21、l列 (n-l)列 可得系统结构按可观测性分解的规范表达式)2643(,11ooooooxxCTyTBuxxTATxx展开式（3265），有ooooooxCyuBxAxAxuBxAx122221111可观测子系统动态方程为 yxCyuBxAxooo11111,不可观测子系统动态方程为 0,222221yuBxAxAxooo例例3-34 试将例332所示系统按可观测性进行分解解解 计算 可观测性矩阵的秩 32rank4742321112nVcAcAcV故不可观测，从中选出两个线性无关的行，附加任意一行，构成非奇异变换矩阵T并计算变换后各矩阵 100232111T235032010,1000121

22、1311TATT001,1211cTTbT可观测子系统动态方程为yxyuxxooo01,2132101不可观测子系统动态方程为 0,2352yuxxxooo3 3 系统结构的规范分解（按可控性、可观测性分解）系统结构的规范分解（按可控性、可观测性分解）先对系统进行可控性分解，即引入状态变换 )2699(1cccxxTx式中 1cT基于系统可控性矩阵来构造。继而对可控子系统进行可观测性分解，即引入状态变换)2703(01111ocococcoooccoocxxxxTxxTx其To1基于可控子系统得可观测性矩阵来构造。最后对不可控子系统进行观测性分解，即引入状态变换 )2712(01212ococ

23、occooocococxxxxTxxTx设不可控、不可观测系统动态方程如下，)2683(,CxyBuAxx 其To2基于不可控子系统的可观测性矩阵来构造。综合上面三次状态变换，有下列状态变换关系ocococcoocococcocxxxxTxxxxTTTx1102101100当系统（A、B、C）引入该 T-1 变换后，能将系统变换为下列规范构造形式 ocococcoocococcoocococcoxxxxCCyyyyuBBxxxxAAAAAAAAAxxxx00,00000000031432121444333242322211311展开上式可得可控、可观测子系统动态方程为 cooccocoxCyu

24、BxAxAx1111311,可控、不可观测子系统动态方程为 0,2224232221yuBxAxAxAxAxocococcooc不可控、可观测系统动态方程为 ocococxCyxAx333,不可控、不可观测系统动态方程为 0,44443yxAxAxocococ系统的特征值由 44332211,AAAA矩阵的特征值集合而成。系统传递函数矩阵)()(00)(00000000000)(0000000000000)(11111111131211113121144433324232221131131sGBAsICBAsICCBBAsICCBBAsIAAsIAAAsIAAAsICCsGco传递函数矩阵仅描述可控、可观测子系统的特性。是对系统结构的一种不完全描述。 只有当系统可控且可观测时，输入-输出描述才足以表征系统的结构，即描述是完全的。例例3-353-35 设不可控且不可观测定常系统的动态方程为下式，试将系统按可控性或可观测性分解为