概率论与数理统计 第七章参数估计

1、第第7章章 参数估计参数估计总体所服从的分布类型已知总体所服从的分布类型已知/未知未知估计总体中未知的参数估计总体中未知的参数参数参数估计估计抽样抽样 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估计总体的某些参数来估计总体的某些参数. 参数估计参数估计估计废品率估计废品率估计新生儿的体重估计新生儿的体重估计湖中鱼数估计湖中鱼数7.1点估计点估计X1,X2,Xn现从该总体抽样，得到样本现从该总体抽样，得到样本设有一个统计总体，总体的分布函数设有一个统计总体，总体的分布函数向量向量) . 为为 F(x, )，其中，其中 为未知参数为未知参数 ( 可以是可以是 从

2、样本出发构造适当的统计量从样本出发构造适当的统计量1(,)nXX作为参数作为参数 的估计量，即点估计。的估计量，即点估计。 1( ,)nxxnxx,1将将 代入估计量，得到代入估计量，得到 的估计值的估计值 点估计点估计矩估计矩估计极大似然估计极大似然估计关键问题：如何构造统计量? 1(,)nXX矩估计矩估计样本样本k阶原点矩阶原点矩11nkkiiAXn总体总体k阶原点矩阶原点矩kkEX 矩估计基本思想矩估计基本思想: 用样本矩估计总体矩用样本矩估计总体矩 .1lim(|()|)1nkikinXPE Xn大数定律：大数定律：K.皮尔逊皮尔逊设总体的分布函数中含有设总体的分布函数中含有k个未知参

3、数个未知参数 k ,1(1)它的前它的前k阶原点矩都是这阶原点矩都是这k个参数的函数个参数的函数,记为：记为：1()( ,),1,iikE Xgik11212221211211( ,.,)(),1( ,.,)(),.1( ,.,)(),iinkiinkinkkkkigE XXngE XXngE XXn (2)用样本用样本i阶原点矩替换总体阶原点矩替换总体i阶原点矩阶原点矩 (3) 解方程组，得解方程组，得 i=hi (X1, X2, Xn) (i=1,2,k);则以则以hi (X1, X2, Xn)作为作为i 的估计量的估计量 ，并，并称称hi(X1, X2, Xn)为为i 的矩法估计量，而的

4、矩法估计量，而称称hi(x1, x2, xn) 为为i 的矩法估计值。的矩法估计值。总体期望、方差的矩估计量分别是样本均值和总体期望、方差的矩估计量分别是样本均值和样本二阶中心矩。样本二阶中心矩。例例1. 设总体设总体X的数学期望和方差分别是的数学期望和方差分别是, 2 ，求，求 , 2的矩估计量。的矩估计量。222222212222211()()()()111()nnniiiiE XE XD XEXE XuXXXnnXXXXSnnn例例2: 已知某产品的不合格率为已知某产品的不合格率为p, 有简单随有简单随机样本机样本X1 ,X2 , Xn 求求p的矩估计量。的矩估计量。解：解：E(X)=p

5、.11niipXXn例3：设电话总机在某段时间内接到呼唤的次数服从参数未知的泊松分布，现在收集了如下42个数据：接到呼唤次数 012345出现的频数71012832求未知参数 的矩估计。80404221x例例4. XU(a,b),由简单随机样本由简单随机样本X1 ,X2 , Xn求求a,b的矩估计量。的矩估计量。解：解：E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)2/12.12222111()()()22111()()()1212niiE XababXXnnD XbabaMSn223(1)3(1)nnaXSbXSnn， 矩法的优点是简单易行矩法的优点是简单易行,并不需要并不需要事先知道总体

6、是什么分布事先知道总体是什么分布 . 缺点是，当总体类型已知时，没有缺点是，当总体类型已知时，没有 充分利用分布提供的信息充分利用分布提供的信息 . 矩法特点分析：矩法特点分析：极大似然估计极大似然估计 例：例： 设一箱中装有若干个白色和黑色的球，设一箱中装有若干个白色和黑色的球，已知两种球的数目之比为已知两种球的数目之比为3:1或或1:3，现有放回，现有放回地任取地任取3个球，有两个白球，问：白球所占的个球，有两个白球，问：白球所占的比例比例p是多少？是多少？ 如果只知道如果只知道0p0的泊松分布，求的泊松分布，求参数参数的极大似然估计量。的极大似然估计量。例例4. 设设X1,X2,Xn为取

7、自总体为取自总体XU(a, b)的样的样 本本, 求求a, b的极大似然估计量的极大似然估计量. 回顾：回顾： 设设X1,X2,Xn是取自总体是取自总体X的一个样本的一个样本其它, 010,) 1()(xxxfX求求 的矩估计量和极大似然估计量的矩估计量和极大似然估计量. 其中其中 0,101()( )(1)2E Xxf x dxxx dxX21XX1121解：解：(1)矩估计矩估计 (2)极大似然估计极大似然估计) 10()() 1()(1iniinxxLniixnL1ln) 1ln()(ln0)(lndLd令niixn1ln1niixn12ln17.2 点估计量的评价标准点估计量的评价标准

8、 评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一评价一个估计量的好坏，不能仅仅依据一次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量次试验的结果，而必须由多次试验结果来衡量 . 即确定估计量好坏必须在大量观察的基础上从即确定估计量好坏必须在大量观察的基础上从统计的意义来评价。统计的意义来评价。 常用的几条标准是：常用的几条标准是：1无偏性无偏性2有效性有效性3一致性一致性一、一、无偏性无偏性 )(E则称则称 为为 的无偏估计的无偏估计 .),(1nXX 设设是未知参数是未知参数 的估计量，若的估计量，若 则称则称 较较 有效有效 .1 都是参数都是参数 的无偏估计量，若有的无偏估计量，若有),(122nXX 设

9、设和和),(111nXX 212( )()DD11,()min( )nDD如果对固定的则称是 的有效估计。二、二、有效性有效性123123123111236111333112663XXXXXXXXX123例例1：设：设X1,X2, X3是来自某总体是来自某总体X的样本，且的样本，且E(X)=,讨论讨论的以下估计量的无偏性和一致性。的以下估计量的无偏性和一致性。2,例例2：设：设X1,X2, Xn是来自某总体是来自某总体X的样本，且的样本，且 , 判断判断 的矩估计量是的矩估计量是否是无偏估计。否是无偏估计。2,DXEX三、三、一致性一致性(相合性相合性)是参数是参数 的估计量，若有的估计量，若

10、有设设),(1nnnXX lim(|)0lim(|)1nnnnPP即则称则称是参数是参数 的一致估计量的一致估计量.n 21,(),()nXXE XD XX设样本来自数学期望方差的总体，则 是 的一致估计量。切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律伯努利大数定律伯努利大数定律1,npXXXp设总体为参数为 的0-1分布，为样本，则 是 的一致估计量。niinXnP11)|1(|lim7.3置信区间定义：置信区间定义：则称区间则称区间 是是 的置信度为的置信度为 的置的置信区间信区间.,21 121 和分别称为置信下限和置信上限分别称为置信下限和置信上限. ),(2111nXXX ),(2122nXXX

11、 )(21 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量1)(21P7.41. 期望的区间估计期望的区间估计2已知时已知时的置信区间的置信区间2未知时未知时的置信区间的置信区间2. 求方差的区间估计求方差的区间估计 已知时已知时2的置信区间的置信区间 未知时未知时2的置信区间的置信区间单正态总体四种类型的区间估计单正态总体四种类型的区间估计已知方差，求期望的区间估计已知方差，求期望的区间估计例例1：随机地从一批服从正态分布：随机地从一批服从正态分布N(,0.022)的零的零件件16个，分别测得其长度为：个，分别

12、测得其长度为：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11估计该批零件的平均长度估计该批零件的平均长度，并求，并求的置信区间的置信区间(=0.05)求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ,2已知 ),(2 N 1,22unXunX) 10(/，利用NnX查正态分布表得查正态分布表得,2 u 1|2unXP使使例例1：随机地从一批服从正态分布：随机地从一批服从正态分布N(,0.022)的零的零件件16个，分别测得其长度

13、为：个，分别测得其长度为：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11估计该批零件的平均长度估计该批零件的平均长度，并求，并求的置信区间的置信区间(=0.05)解：解：2.14.2.112.12516X代入得查表,16,02. 0,96. 1025. 02nuu135. 2,115. 222nuXnuX的置信区间为的置信区间为(2.115,2.135).u求置信区间的步骤求置信区间的步骤(1) 构造仅与待估参数构造仅与待估参数 有关，但分布已知有关，但分布已知的的函数函数U；(2)

14、给定置信度给定置信度1-，得得常数常数a,b，使，使 PaUb= 1-；(3) 将将aUb变形，使得：变形，使得：),.,(),.,(212211nnXXXXXX12 ( ,)1. 区间就是 的一个置信度为的置信区间(4) 结论结论方差未知，求期望的区间估计方差未知，求期望的区间估计例例2：随机地从一批服从正态分布：随机地从一批服从正态分布N(, 2)的零件的零件16个，分别测得其长度为：个，分别测得其长度为：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11估计该批零件的平均长度估计该批

15、零件的平均长度，并求，并求的置信区间的置信区间(=0.05) 1(/ntnSX利用,22nStXnStX1|2tnSXP使使查查t t分布表得分布表得,2t求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ,2未知),(2 N 1例例1：用一个仪表测量某物理量：用一个仪表测量某物理量9次，得到样本均次，得到样本均值为值为56.32，样本标准差为，样本标准差为0.22. 测量标准差测量标准差反映了测量仪表的精度，试求反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间。的置信区间。 未知未知,求方差的区间估计求方差的区间估计

16、例例2：假设某地区：假设某地区1825岁女青年身高岁女青年身高 现抽取现抽取30名，样本均值为名，样本均值为158cm,样本方差为样本方差为(5cm)2，求，求2的置信水平为的置信水平为95%的区间估计。的区间估计。2( ,)XN )1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn) 1() 1(222nSn利用求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ),(2 N 12 1)1() 1() 1(2222221nSnnP确定分位数确定分位数)1(),1(22/22/1nn使使例例2：假设某地区：假设某地区1825岁女青年身高

17、岁女青年身高 现抽取现抽取30名，样本均值为名，样本均值为158cm,样本方差为样本方差为(5cm)2，求，求2的置信水平为的置信水平为95%的区间估计。的区间估计。例例3：随机地从一批服从正态分布：随机地从一批服从正态分布N(2.12, 2)的的零件零件16个，分别测得其长度为：个，分别测得其长度为：2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.102.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11试求试求2的置信水平为的置信水平为0.95的置信区间。的置信区间。 已知已知,求方差的区间估计求方差的区间估计求参数求参数 的置信度为的置信

18、度为 的置信区间的置信区间. 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， 已知已知 ),(2 N 12221(0,1)( )1,2,.,niiiXXNnin，221122/ 21/ 2),( )( )nniiiiXXnn（22211222)( )( )1niiXPnn （确定分位数确定分位数221/ 2/ 2( ),( )nn使使例例4. 4. 对飞机的飞行速度进行对飞机的飞行速度进行1515次独立试验，测次独立试验，测得飞机的最大飞行速度得飞机的最大飞行速度( (单位：单位：m/s)m/s)如下：如下：422.2 418.7 425.6 420.3 425.8 423.1 431.5 42

19、8.2438.3 434.0 411.3 417.2 413.5 441.3 423.0假设飞机最大飞行速度服从假设飞机最大飞行速度服从 求最求最大飞行速度的方差的置信度为大飞行速度的方差的置信度为0.90的置信区间。的置信区间。解：解：2的置信区间为的置信区间为( 41.407010, 142.549270 )( 41.407010, 142.549270 ).2(424.93,)N2220.0522120.952i15,424.93,1 0.900.1( )(15)24.996,( )(15)7.261,(X) =1035.013504 nnn 查表代入得n双总体双总体设总体设总体X N(

20、1,12)，总体，总体Y N(2,22)，X1,X2,Xm来自来自X，Y1,Y2,Yn来自来自Y，且两样，且两样本相互独立。本相互独立。均值差均值差1- 2的区间估计的区间估计方差比方差比12/ 22的区间估计的区间估计例例1.设甲乙两地区女青年身高分别服从设甲乙两地区女青年身高分别服从分布。甲地区抽取分布。甲地区抽取100名，样本均名，样本均值为值为163cm； 乙地区抽取乙地区抽取100名，样本均值为名，样本均值为160cm,求求 的置信水平为的置信水平为90%的置信区间。的置信区间。12(,16),(,9)NN12u1,2已知时已知时, ,1- 2的置信区间的置信区间即得即得1- 2的置

21、信区间的置信区间nmuYXnmuYX2221222212,122212()(0,1)XYUNmn例例2：今抽样甲乙两地区：今抽样甲乙两地区1825岁女青年身高的数岁女青年身高的数据如下：甲地区抽取据如下：甲地区抽取50名名, 样本均值为样本均值为163cm,样本样本标准差为标准差为4cm; 乙地区抽取乙地区抽取50名名, 样本均值为样本均值为160cm,样本标准差为样本标准差为3cm。假设身高均服从正态分布并具。假设身高均服从正态分布并具有公共方差，求有公共方差，求 的置信水平为的置信水平为90%的置信的置信区间。区间。12u1,2未知未知, ,但但1=2=时时, ,1- 2的的 置信区间置信

22、区间)2(11)(21nmtnmSYXTw2) 1() 1(2221nmSnSmSw其中nmSnmtYXnmSnmtYXww11)2(,11)2(221- 2的置信区间：的置信区间：u1,2未知未知, ,且且12，但容量，但容量m,n很大很大时时, , 1- 2的置信区间的置信区间221222211221)(11)(11niiniiYYnSXXmS近似代替以近似代替以nSmSuYXnSmSuYX2221222212,例例7：两位化验员：两位化验员A,B独立对某种化合物的含氯独立对某种化合物的含氯量用相同方法各作了量用相同方法各作了10次测量，测量的样本方差次测量，测量的样本方差分别为分别为S1

23、2=0.5419, S22=0.6065，设，设A,B所测量值所测量值总体为总体为X,Y，并且均服从正态分布，方差分别为，并且均服从正态分布，方差分别为22221212/0.95，求方差比的置信度为的置信区间例例8：假设人体身高服从正态分布，今抽样甲乙两：假设人体身高服从正态分布，今抽样甲乙两地区地区1825岁女青年身高的数据如下：甲地区抽取岁女青年身高的数据如下：甲地区抽取121名，样本均值为名，样本均值为164cm,样本标准差为样本标准差为4cm;乙地乙地区抽取区抽取61名，样本均值为名，样本均值为160cm,样本标准差为样本标准差为2cm，求两总体方差比的置信水平为求两总体方差比的置信水平为95