大学应用物理第三章能量守恒定律

1、广州航海学院返回本章首页返回本章首页第三章第三章 能量定理和守恒定律能量定理和守恒定律广州航海学院返回本章首页返回本章首页本章内容本章内容 预备知识预备知识1 1动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律2 2 动动能定理能定理 能量守恒定律能量守恒定律3 3角动量定理角动量定理 角动量守恒定律角动量守恒定律4 4广州航海学院返回本章首页返回本章首页知识要点及教学要求知识要点及教学要求A A类：类：l动量定理和动量守恒定律；动量定理和动量守恒定律；l质点和刚体的角动量定理和角动量守恒定律；质点和刚体的角动量定理和角动量守恒定律；l功和能：保守力做功、势能、变力做功、动能定理、功能原功和能：保守

2、力做功、势能、变力做功、动能定理、功能原理、机械能守恒定律以及能量转换和守恒定律。理、机械能守恒定律以及能量转换和守恒定律。B B类：类：l刚体转动的功和能之间的关系；刚体转动的功和能之间的关系；l碰撞。碰撞。教学要求教学要求l掌握动量定理和动量守恒定律，并能分析、解决简单的力学问题；掌握动量定理和动量守恒定律，并能分析、解决简单的力学问题；l理解功的概念，能计算直线运动情况下变力的功。理解保守力作功的特理解功的概念，能计算直线运动情况下变力的功。理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力、弹性力和引力势能；点及势能的概念，会计算重力、弹性力和引力势能；l掌握质点的动能定理，能正确地用于质点

3、平面运动的力学问题；掌握质点的动能定理，能正确地用于质点平面运动的力学问题；l掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内运动的力学问题；运动的力学问题；广州航海学院返回本章首页返回本章首页l掌握刚体绕定轴转动的动能定理。会计算定轴转动刚体的力矩作功。掌握刚体绕定轴转动的动能定理。会计算定轴转动刚体的力矩作功。能运用转动动能定理分析、计算简单力学问题；能运用转动动能定理分析、计算简单力学问题；l掌握角动量概念、角动量定理和角动量守恒定律，并能用它们分掌握角动量概念、角动量定理和角动量守恒定律，并能用它们分析解决简单的力

4、学问题；析解决简单的力学问题；l了解碰撞的概念，掌握完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的规律。了解碰撞的概念，掌握完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的规律。重点：重点：l掌握并灵活运用三个运动定理及其守恒定律。掌握并灵活运用三个运动定理及其守恒定律。l三个运动定理及其守恒定律在应用时对所研究对象的划分和选取、守三个运动定理及其守恒定律在应用时对所研究对象的划分和选取、守恒定律条件的审核，以及综合性力学问题的分析求解。恒定律条件的审核，以及综合性力学问题的分析求解。 难点：难点：授课学时：授课学时：1216广州航海学院返回本章首页返回本章首页3.1预备知识预备知识 一、中学物理知识要点一、中学物理知识要点

5、1.1.恒力的功恒力的功: : MF Mabscos cosWFSFS或：或：WF Svvg2.2.功率：功率： 平均功率：平均功率： WPt瞬时功率：瞬时功率： dWdP=dtdtvvvvFrF3.3.动量：动量：mPvv 4.4.冲量：冲量：tIF二、相关知识二、相关知识 数学知识数学知识l矢量的运算及其分解；矢量的运算及其分解；l多重微分与积分；多重微分与积分；l梯度的概念；梯度的概念；物理知识物理知识l描述圆周运动的物理量及质点作圆周运动描述圆周运动的物理量及质点作圆周运动时所遵循的规律；时所遵循的规律；l右手螺旋法则。右手螺旋法则。广州航海学院返回本章首页返回本章首页3.2.1动量定

6、理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律 一、一、质点的动量定理质点的动量定理 由牛顿运动定律：由牛顿运动定律：d()dmFtv有：d()dPddImF tv力力F F 的的元冲量元冲量（动量定理的微分形式）（动量定理的微分形式）结论：结论：质点动量的增量等于合外力质点动量的增量等于合外力乘以乘以作用时间的增量。作用时间的增量。对上式积分有：对上式积分有：2121dttmmF tvv（动量定理积分形式）（动量定理积分形式）xyzO1mv2mvFF结论：结论：质点动量的增量等于合力对质质点动量的增量等于合力对质点作用的冲量点作用的冲量 质点动量定理质点动量定理 讨论讨论l物理意义：物理意义：质点动量

7、的变化依赖于作用力的时间累积过程质点动量的变化依赖于作用力的时间累积过程合力对质点作用的冲量合力对质点作用的冲量质点动量矢量的变化质点动量矢量的变化广州航海学院返回本章首页返回本章首页l矢量性：矢量性：冲量的方向与动量的增量方向相同冲量的方向与动量的增量方向相同1mv2mvIl动量定理在直角坐标系中的投影式：动量定理在直角坐标系中的投影式： 212121212121dddxxyyzzttxttyttztmmF tmmF tmmF tvvvvvv冲量的任何分量等于在它自己冲量的任何分量等于在它自己方向上的动量分量的增量方向上的动量分量的增量l在力的整个作用时间内，平在力的整个作用时间内，平均力的

8、冲量等于变力的冲量均力的冲量等于变力的冲量2121d()ttF tF ttI平均力平均力FFt FO1t2tt广州航海学院返回本章首页返回本章首页l利用冲力：增大冲力，减小作用时间利用冲力：增大冲力，减小作用时间冲床冲床l避免冲力：减小冲力，增大作用时间避免冲力：减小冲力，增大作用时间轮船靠岸时的缓冲轮船靠岸时的缓冲 应用：应用：广州航海学院返回本章首页返回本章首页质点系质点系二、质点系的动量定理二、质点系的动量定理 设有一系统由设有一系统由n n个质点组成，由牛顿第个质点组成，由牛顿第二定律可得：二定律可得：1m2m12f21f1F2F对于第一个质点：对于第一个质点： 1112131ndpF

9、 + f+ f+ f=dtvvvvvL即即 ：n111ii 1dpF +f=dtvvv同理，对于第二个质点同理，对于第二个质点： n222ii2dpF +f=dtvvv对于第三个质点：对于第三个质点： 3n333iidpF +f=dtvvv 对于第对于第n n个质点：个质点： nnnniindpF +f=dtvvv广州航海学院返回本章首页返回本章首页以上各式相加并考虑到：以上各式相加并考虑到：0ijjiffiiiFpid=dtvv邋id()diiiimF tv（质点系动量定理）（质点系动量定理） （微分形式）（微分形式）两边积分：两边积分：0iiiiiiiimmFdtvv（质点系动量定理）（质

10、点系动量定理） （积分形式）（积分形式）表示：表示：某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所有外某段时间内，质点系动量的增量，等于作用在质点系上所有外力在同一时间内的冲量的矢量和力在同一时间内的冲量的矢量和 质点系动量定理质点系动量定理0Ipp讨论讨论l只有外力可改变系统的总动量只有外力可改变系统的总动量l内力可改变系统内单个质点的动量内力可改变系统内单个质点的动量 内部作用复杂内部作用复杂l应用动量定理的解题思路应用动量定理的解题思路 广州航海学院返回本章首页返回本章首页例例 ：一质量为：一质量为0.05kg、速率为速率为10ms-1的刚球的刚球,以与钢板法线呈以与钢板法线呈45角

11、角的方向撞击在钢板上的方向撞击在钢板上,并以相同的速率和角度弹回来并以相同的速率和角度弹回来 .设碰撞时间为设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所受到的平均冲力求在此时间内钢板所受到的平均冲力 .F1vm2vmxy解解 建立如图坐标系建立如图坐标系, 由动量定理得由动量定理得21xxxFtmm vvcos(cos)mm vv 2cosmv21yyyFtmm vvsinsin0mmvv2cos14.1NxmFFtv方向沿方向沿 轴反向轴反向x广州航海学院返回本章首页返回本章首页三、动量守恒定律三、动量守恒定律 当当0iiF d0i imvi im常矢量v质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律动

12、量守恒的分量表述动量守恒的分量表述000 xi ixxyi iyyzi izzFmPFmPFmP 常量常量常量vvv如果系统所受外力的矢量如果系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力在和并不为零，但合外力在某个坐标轴上的分量为零，某个坐标轴上的分量为零，那么，系统的总动量虽不那么，系统的总动量虽不守恒，但它在该坐标轴的守恒，但它在该坐标轴的分动量则是守恒的，亦称分动量则是守恒的，亦称总动量在该方向守恒。总动量在该方向守恒。 说明说明l 动量守恒定律适用于惯性系动量守恒定律适用于惯性系l守恒的条件：系统所受的合外力为零。守恒的条件：系统所受的合外力为零。l动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律

13、之一。也适用于高速，动量守恒定律是物理学中最普遍、最基本的定律之一。也适用于高速，微观领域微观领域广州航海学院返回本章首页返回本章首页例：质量为例：质量为M的车在光滑的水平面上运动，一质量为的车在光滑的水平面上运动，一质量为m的人站的人站在车上。而车以速率在车上。而车以速率 向右运动，现在人以相对于车的速率向右运动，现在人以相对于车的速率 向左跑动。试求人在左端跳离车前，车的速度为多大向左跑动。试求人在左端跳离车前，车的速度为多大? 0解：设人跳离车前车的速率为解：设人跳离车前车的速率为此时，人相对于地的速率为此时，人相对于地的速率为()-根据动量守恒定律有：根据动量守恒定律有：0(mM)m(

14、)M+=-+0mmM=+广州航海学院返回本章首页返回本章首页例：例： 如图所示，质量为如图所示，质量为M的滑块正沿着光滑水平地面向右滑的滑块正沿着光滑水平地面向右滑动，一质量为动，一质量为m的小球对地以水平向右速度的小球对地以水平向右速度 与滑块斜面相碰撞，与滑块斜面相碰撞，碰后小球竖直弹起，速率为碰后小球竖直弹起，速率为 (对地对地)，若碰撞时间为，若碰撞时间为 ，试计算，试计算此过程中，滑块对地的平均作用力和滑块速度增量。此过程中，滑块对地的平均作用力和滑块速度增量。12t解：根据质点系动量定理，在竖直方向有：解：根据质点系动量定理，在竖直方向有： 2(NmgMg) t(mM0)(00)-

15、=+-+2mNmgMgt=+设滑块碰撞前后速度分别为设滑块碰撞前后速度分别为V V及及V V ，在水平方向系统不受外力作在水平方向系统不受外力作用，故动量守恒。用，故动量守恒。 1MVmMV+=1mV VM-=广州航海学院返回本章首页返回本章首页课后作业 P118 6广州航海学院返回本章首页返回本章首页3.2.2 动能定理动能定理 能量守恒定律能量守恒定律 一、变力的功一、变力的功dd cosWF rxyzOab求：质点求：质点M 在变力作用下，沿曲线轨迹由在变力作用下，沿曲线轨迹由a 运运动到动到b，变力作的功。变力作的功。ddWFr 一段上的功：一段上的功：FMFrdrrdr 在在dr在在

16、ab一段上的功为：一段上的功为：F dba LWFr说明：说明：l合力的功等于各分力的功的代数和合力的功等于各分力的功的代数和 12dddbbbna La La LFrFrFr12nWWW 1d() dbba La LF rF FFrW 2n广州航海学院返回本章首页返回本章首页l在直角坐标系中：在直角坐标系中： dddbxyza LWF x F y F z（）l在在自然坐标系中：自然坐标系中： cos dba LWFsddrsl 功是标量，且有正负功是标量，且有正负l一般来说，功的值与质点运动的路径有关一般来说，功的值与质点运动的路径有关 l工程上常采用示功图来计算功。如图所示，图示曲线与工程

17、上常采用示功图来计算功。如图所示，图示曲线与横轴围的面积在数值上就等于功的绝对值。横轴围的面积在数值上就等于功的绝对值。 cosFArBrdsro广州航海学院返回本章首页返回本章首页质量为质量为10kg 10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质的质点，在外力作用下做平面曲线运动，该质点的速度为点的速度为 ,开始时质点位于坐标原点。开始时质点位于坐标原点。2416t ijv解解2d4dxxttv2d4 dxttd16dyytv16ytd80dxxFmttvd0dyyFmtvddxyWF xF y231320 d1200 Jtt在质点从在质点从 y = 16m 到到 y = 32m 的过

18、程中，外力做的功。的过程中，外力做的功。求求例例16y 时1t 32y 时2t ，广州航海学院返回本章首页返回本章首页求求t = 02s内内F 作的功及作的功及t = 2s 时的功率。时的功率。解解d6dFtmt v2d3dxttv2d3 dxt t23036 d144Jt t0dxAF x203 dtFtt212 3288WttP F v例例 已知已知 m = 2kg , 在在 F = 12t 作用下由静止做直线运动作用下由静止做直线运动广州航海学院返回本章首页返回本章首页二、二、保守力的功势能保守力的功势能 1.几种常见力的功 （1 1）重力的功）重力的功xyzO1M2MmG如图所示，任一

19、位移元可表示为：如图所示，任一位移元可表示为： dr = dxi +dyj +dzkrrrr重力在任一位移元上所作的元功为：重力在任一位移元上所作的元功为： ()dW = F dr =-mgkdxi +dyj +dzk =-mgdzrrrrrr鬃重力重力mg 在曲线路径在曲线路径 M1M2 上的功为上的功为 211dMzMWF z 211dZZmgz（）12mg zz（）结论结论l重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。重力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。 l质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。质点上升时，重力作负功；质点下降时，重力作正功。 广州航

20、海学院返回本章首页返回本章首页（2 2）引力作功）引力作功 Mab1r2rmFdrrd上的元功为上的元功为 在位移元在位移元FdrdcosdWFr2mMFGrdd cos()d cosrrr2ddmMWGrr万有引力万有引力F F在全部路程中的功为在全部路程中的功为 21 2 ( )drr LmMGWrr2111()GmMrr结论结论l 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与行经的路径无关。万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与行经的路径无关。 l 质点移近质点时，万有引力作正功；质点质点移近质点时，万有引力作正功；质点A远离质点远离质点O 时，万有时，万有引力作负功。引力作负功。 广

21、州航海学院返回本章首页返回本章首页（3 3）弹性力的功）弹性力的功 （演示演示）1x2xFxO弹簧弹性力弹簧弹性力：Fkxi弹性力作的元功为：弹性力作的元功为：dW = F dxi = -kxi dxi = -kxdxvvvvgg由由x x1 1 到到x x2 2 路程上弹性力的功为路程上弹性力的功为 21dxxWkx x22121122kxkx结论结论l 弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。弹性力的功只与始、末位置有关，而与质点所行经的路径无关。 l 弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，弹性弹簧的变形减小时，弹性力作正功；弹簧的变形增大时，弹性力作负功。力作

22、负功。广州航海学院返回本章首页返回本章首页（4 4）摩擦力的功）摩擦力的功2MvF在这个过程中所作的功为在这个过程中所作的功为 摩擦力摩擦力F 21cos dMM LWFsFmg摩擦力方向始终与质点速度方向相反摩擦力方向始终与质点速度方向相反Wmgs 结论结论摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经的路径摩擦力的功，不仅与始、末位置有关，而且与质点所行经的路径有关有关 。广州航海学院返回本章首页返回本章首页保守力与非保守力保守力与非保守力l保守力：保守力：作功只与初始和终了位置有关而与路径无关的力作功只与初始和终了位置有关而与路径无关的力 万有引力、重力、弹性力万有引力、重力、弹性力

23、l非保守力：非保守力：作功与路径有关的力作功与路径有关的力摩擦力摩擦力保守力作功特点的数学表达式保守力作功特点的数学表达式 ABCDddACBADBFrFrdddlACBBDAFrFrFrd0lFr表示：表示：在保守力作用下，物体沿任一闭合曲线路径绕行在保守力作用下，物体沿任一闭合曲线路径绕行一周，保守力一周，保守力F F所作的功为零。所作的功为零。广州航海学院返回本章首页返回本章首页重力功：重力功：12Wmg zz（）引力功：引力功：2111()WGmMrr弹力功：弹力功：22121122Wkxkx重力势能：重力势能：pEmgz引力势能：引力势能：pmMEGr 弹性势能：弹性势能：2p12E

24、kxp2p1P()WEEE 保守力的功：保守力的功：势能和保守力的微分关系势能和保守力的微分关系pW =Fdr =-E保vvgPFdr =-dE保vvxyzF= F i +F j +F k保rrrrppppEEEyzF=-gradE =-(i +j +k)x保抖抖vvvv表示：保守力等于势能梯度的负值，这就是势能和保守力的微分关系。表示：保守力等于势能梯度的负值，这就是势能和保守力的微分关系。 广州航海学院返回本章首页返回本章首页讨论讨论pp( , , )EEx y zl 势能是状态函数势能是状态函数l 势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关

25、.l 势能是属于系统的势能是属于系统的 .l 势能计算：势能计算：pp0p()WEEE p00p( , )( , )dEx y zEx y zFrp00E 令令 势能曲线势能曲线广州航海学院返回本章首页返回本章首页三、质点的动能定理三、质点的动能定理 ddWFrdddmrtvdmvvdmv v21ddWmvv vv2221211122kkWmmEEvv表示：作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功，表示：作用于质点的合力在某一路程中对质点所作的功，等于质点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。等于质点在同一路程的始、末两个状态动能的增量。 说明说明l Ek 是一个状态量是一个状态量, , W

26、是过程量。是过程量。l动能定律只用于惯性系。动能定律只用于惯性系。广州航海学院返回本章首页返回本章首页把所有质点的方程相加有把所有质点的方程相加有: : 22211122iiiiiiiiWmmvv表示：作用于质点系的所有力作的功等于系统动能增表示：作用于质点系的所有力作的功等于系统动能增量。这就是质点系的动能定理。量。这就是质点系的动能定理。四、质点系动能定理四、质点系动能定理把质点动能定理应用于质点系内所有质点，其中第把质点动能定理应用于质点系内所有质点，其中第i个质点为：个质点为：22211122ii ii iWmmvv1m1v2m2v3m3v4m4v广州航海学院返回本章首页返回本章首页五

27、、质点系的功能原理五、质点系的功能原理对质点系动能定理可写成对质点系动能定理可写成: :kWWWWWE 外力内力外力保守内力非保守内力其中其中PWE保守内力= -kPWWEE 外力非保守内力定义定义： kpEEE=+，则系统机械能的增量为：，则系统机械能的增量为： 0kpEEEEE=-=+WWE 外力非保守内力功能原理的功能原理的数学表达式数学表达式讨论讨论l只能适用于惯性系；只能适用于惯性系； l功与能量的区别：功是能量变化与转化的量度，是过程量。能量是状功与能量的区别：功是能量变化与转化的量度，是过程量。能量是状态量，与状态有关。态量，与状态有关。 l功能原理与质点系动能定理不同之处是功能

28、原理将保守内力作的功功能原理与质点系动能定理不同之处是功能原理将保守内力作的功用势能差来代替。因此，在用功能原理解题的过程中，计算功时，要用势能差来代替。因此，在用功能原理解题的过程中，计算功时，要注意将保守内力的功除外。注意将保守内力的功除外。 广州航海学院返回本章首页返回本章首页课后作业P119 9广州航海学院返回本章首页返回本章首页六、机械能守恒定律六、机械能守恒定律 当当 和和 时，有时，有 ，即：，即： 0W外力0W非保守内力E0=0EE=kpE EE常 数机械能守恒定律机械能守恒定律l守恒定律是对一个系统而言的守恒定律是对一个系统而言的l守恒条件守恒条件说明说明W+0W外力非保守内

29、力讨论讨论 如图的系统，物体如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，物体置于光滑的桌面上，物体 A 和和 C, B 和和 D 之间摩之间摩擦因数均不为零，首先用外力沿水平方向相向推压擦因数均不为零，首先用外力沿水平方向相向推压 A 和和 B， 使弹簧压缩，后拆使弹簧压缩，后拆除外力，除外力， 则则 A 和和 B 弹开过程中，弹开过程中， 对对 A、B、C、D 组成的系统组成的系统 （A）动量守恒，机械能守恒）动量守恒，机械能守恒 .（B）动量不守恒，机械能守恒）动量不守恒，机械能守恒 .（C）动量不守恒，机械能不守恒）动量不守恒，机械能不守恒 .（D）动量守恒，机械能不一定守恒）动量守恒，

30、机械能不一定守恒 .广州航海学院返回本章首页返回本章首页例：一根长为例：一根长为l，质量为质量为M的匀质细直棒。求（的匀质细直棒。求（1）将它由平放在地）将它由平放在地面变为竖直在地面，至少需要对它作多少功面变为竖直在地面，至少需要对它作多少功?（2）使其由竖直于地）使其由竖直于地面的位置从静止开始无滑动地倒下，当它倒在地面瞬时，棒顶端速面的位置从静止开始无滑动地倒下，当它倒在地面瞬时，棒顶端速度为多大？度为多大？ 解解: :（1 1）取初始位置为重力势能的势能零点，）取初始位置为重力势能的势能零点，在棒和地球组成的系统内，由功能原理有在棒和地球组成的系统内，由功能原理有201W0EEEmgm

31、22l 外力Wmg2l外力0（2 2）同理分析，对棒和地球组成的系统有：）同理分析，对棒和地球组成的系统有： 21mg00J22l 21Jm3l=3gl=棒顶端落地瞬时速率为：棒顶端落地瞬时速率为： 3gll=广州航海学院返回本章首页返回本章首页例例 两个质量分别为两个质量分别为m m1 1，m m2 2的木块的木块A A和和B B，用一个质量忽略不计、倔强系数为用一个质量忽略不计、倔强系数为k k的弹的弹簧连接起来，放置在光滑水平面上使簧连接起来，放置在光滑水平面上使A A紧靠墙壁，如图紧靠墙壁，如图, ,现用力推木块现用力推木块B B使弹簧压使弹簧压缩，然后释放，已知缩，然后释放，已知 ，

32、求：（，求：（1 1）释放后，）释放后，A A、B B木块速度相等木块速度相等时的瞬时速度的大小；（时的瞬时速度的大小；（2 2）释放后，弹簧的最大伸长量。）释放后，弹簧的最大伸长量。12mm,m3m=解：（解：（1 1）弹簧和地球组成的系统内）弹簧和地球组成的系统内, ,弹簧恢复到原长时，弹簧恢复到原长时，A A将要离开墙壁，将要离开墙壁，设此时设此时B B的速度为的速度为 ，由机械能守恒，由机械能守恒，有有: : B022B003m1kx22=B00kx3m=A A离开墙壁后，系统在光滑水平面上运动，系统动量守恒、机械能离开墙壁后，系统在光滑水平面上运动，系统动量守恒、机械能守恒，故有守恒

33、，故有: : 1 1222B0mmm+=22221 12 22 B01111mkxmm2222+=当当 时，解得时，解得: : 12=12B0033kx443m=（2 2）弹簧有最大伸长时，）弹簧有最大伸长时， 01234=max01x2x=广州航海学院返回本章首页返回本章首页七、刚体定轴转动动能定理七、刚体定轴转动动能定理 1.1.力矩所做的功力矩所做的功 力的累积过程力的累积过程力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应OrF rrdd.P 功的定义功的定义ddcos dFsWFrcos dFr dFrdM力矩作功的微分形式力矩作功的微分形式对一有限过程对一有限过程21dWM若若 M = C21

34、()WM( ( 积分形式积分形式 ）讨论讨论l 合力矩的功合力矩的功2211ddiiiiiiAMMAl力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。l内力矩作功之和为零内力矩作功之和为零。广州航海学院返回本章首页返回本章首页若刚体在恒力矩的作用下，若刚体在恒力矩的作用下，dt时间内，转过了角度时间内，转过了角度d， 则：则：dwdPdtdtMM表示：表示：力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。当功率一定时，转力矩的功率等于力矩与角速度的乘积。当功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越小，力矩越大。速越大，力矩越小；转速越小，力矩越大。 2 2 力矩的功率力矩的功率 dwPdt定义：定义： 广州航海学院返回

35、本章首页返回本章首页3. 3. 转动动能定理转动动能定理 力矩功的效果力矩功的效果21d()2JddWMd()dddJJt 221121dWd()2WJ22211122JJkE 表示：绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过表示：绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过 程程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。中作用在刚体上所有外力所作功的总和。 刚体绕定轴转动刚刚体绕定轴转动刚动能定理动能定理对于一有限过程，刚体的角速度从对于一有限过程，刚体的角速度从 变成变成 ，那么，那么12广州航海学院返回本章首页返回本章首页例例 一根长为一根长为 l ，质量为质量为 m 的均匀细直棒，

36、可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直在竖直平面内转动，初始时它在水平位置平面内转动，初始时它在水平位置解解1cos2Mmgl00dcos d2lWMmg 由动能定理由动能定理2102Jsin02lmg23 singl213Jml1/23 sin()gl求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCxmg广州航海学院返回本章首页返回本章首页八、能量守恒定律八、能量守恒定律 能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对能量不能消失，也不能创造，只能从一种形式转换为另一种形式。对一个封闭系统来说，不论发生何种变化，

37、各种形式的能量可以互相转一个封闭系统来说，不论发生何种变化，各种形式的能量可以互相转换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量转换和守恒定律。换，但它们总和是一个常量。这一结论称为能量转换和守恒定律。 例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转例如：利用水位差推动水轮机转动，能使发电机发电，将机械能转换为电能。换为电能。电流通过电热器能发热，把电能又转换为热能。电流通过电热器能发热，把电能又转换为热能。 l 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围内的体现现 l能量守恒定律可以适用于任何变化过程能量守恒定律可以适用于

38、任何变化过程 l功是能量交换或转换的一种度量功是能量交换或转换的一种度量讨论讨论广州航海学院返回本章首页返回本章首页课后作业 P96 例3-19广州航海学院返回本章首页返回本章首页3.2.3 角动量定理角动量守恒定律角动量定理角动量守恒定律 一、一、质点的角动量定理质点的角动量定理 OLOrPSLrPrmv1. 1. 质点的角动量质点的角动量说明说明l角动量是矢量角动量是矢量, ,其大小为其大小为 L = rm sin其方向用右手螺旋法则确定其方向用右手螺旋法则确定. .l特例：质点作圆周运动特例：质点作圆周运动LrpmrvLrpmol质点的角动量与质点的动量及质点的角动量与质点的动量及位矢位

39、矢( (取决于固定点的选择取决于固定点的选择) )有关有关l角动量的单位：角动量的单位：21kg ms-鬃l当质点作匀速直线运动时，质点的角动当质点作匀速直线运动时，质点的角动量量L L保持不变。保持不变。 Lm rsinm d=广州航海学院返回本章首页返回本章首页2.2.质点的角动量定理质点的角动量定理 L= rmrrrQddddLr mttvd()dddmrrmttvv0mvvr F M d dLMt表示：表示：作用于质点的合力对参考点作用于质点的合力对参考点O的力矩，等于质点对该点的力矩，等于质点对该点O的的角动量随时间的变化率，这就是质点角动量定理的微分形式。角动量随时间的变化率，这就

40、是质点角动量定理的微分形式。 与牛顿第二定与牛顿第二定律在形式相似律在形式相似M对应对应F，L对对应应P广州航海学院返回本章首页返回本章首页 ddM tL得2121dttMtLL力矩的时间积力矩的时间积累，称为力矩累，称为力矩的冲量或冲量的冲量或冲量矩矩(质点动量矩定理的积分形式质点动量矩定理的积分形式)表示：质点所受合力矩的冲量表示：质点所受合力矩的冲量矩矩等于质点的角动量的增量等于质点的角动量的增量说明说明l 冲量矩是质点动量矩变化的原因冲量矩是质点动量矩变化的原因l 质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果质点动量矩的变化是力矩对时间的积累结果d dLMt由广州航海学院返回本章首页返回本章

41、首页3. 质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律 0 ML若，则常矢量质点动量矩守恒定律质点动量矩守恒定律l通常对通常对有心力有心力：l 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用讨论讨论F过过O点点, M=0,动量矩守恒动量矩守恒l质点角动量守恒的条件是质点角动量守恒的条件是M=0=0，有两种情况：有两种情况： ，即质点所受的合外力为零。，即质点所受的合外力为零。 0F =合力不为零，但合外力矩为零。合力不为零，但合外力矩为零。 广州航海

42、学院返回本章首页返回本章首页例例一质量为一质量为m的物块拴在穿过小孔的细绳的一端，在光滑的水平台面的物块拴在穿过小孔的细绳的一端，在光滑的水平台面上以角速度上以角速度 作半径为作半径为 的圆周运动，如图所示。自的圆周运动，如图所示。自 时刻时刻起，手拉着绳的另一端以匀速起，手拉着绳的另一端以匀速向下运动，使半径逐渐减小。试求向下运动，使半径逐渐减小。试求0r0t0=（1）角速度与时间的关系）角速度与时间的关系 ? (t)（2 2）绳子拉力与时间的关系）绳子拉力与时间的关系F（t）？ 解：（解：（1 1）选小球为研究对象，）选小球为研究对象，0 0mrm r=220 0mrmr=0rrt=-20

43、020r(rt)=-广州航海学院返回本章首页返回本章首页二、二、刚体绕定轴转动的角动量定理刚体绕定轴转动的角动量定理 1. 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 imirivOZ刚体上任一质点对刚体上任一质点对 Z 轴的角动量都具有相同的方向。轴的角动量都具有相同的方向。2()i iii iiiLm rm rvLJ2. 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理ddMJt由转动定律由转动定律dddM tJJ角动量定理微角动量定理微分形式分形式221121ddttM tJJJ（动量矩定理动量矩定理积分形式积分形式）为刚体在为刚体在t t时间间隔内时间间隔内所受的冲量所受的冲量矩。矩。

44、表示：定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量。表示：定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量。广州航海学院返回本章首页返回本章首页3. 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律（演示演示）0M 0L J 常 量对对定轴转动刚体定轴转动刚体说明说明u变形体绕某轴转动时，若其上各点变形体绕某轴转动时，若其上各点( (质元质元) )转动的角速度相同，转动的角速度相同，则变形体对该轴的动量矩则变形体对该轴的动量矩 2k kmrJ tu 守守 恒条件恒条件0M u 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.u 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定

45、律是自然界的一个基本定律.u当当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒 J t 常量 J t J t 广州航海学院返回本章首页返回本章首页如图所示，一长为如图所示，一长为l、质量为质量为M的杆可绕支点的杆可绕支点O自由转动。一质自由转动。一质量为量为m、速度为速度为的子弹射入距支点为的子弹射入距支点为a的杆内，并留在其中。若杆的杆内，并留在其中。若杆的偏转角为的偏转角为300，问子弹的初速为多少。，问子弹的初速为多少。 解：把子弹和杆看作一个系统。系统解：把子弹和杆看作一个系统。系统的角动量守恒，于是有：的角动量守恒，于是有： 221a(

46、Mm3ma )l=+以子弹、杆和地球为系统，系统的机械能守恒。以子弹、杆和地球为系统，系统的机械能守恒。于是有于是有222001 11Mmamga(1cos30 )Mg(1cos30 )2 32ll骣+=-+-桫221g(23)(M2ma)(M3ma )ma6ll=-+例例1 1广州航海学院返回本章首页返回本章首页例例2 在工程上，两个轴线在中心连线上的飞轮在工程上，两个轴线在中心连线上的飞轮A A和和B B，常用摩擦啮常用摩擦啮合器合器C C使它们以相同的转速一起转动，如图所示。设使它们以相同的转速一起转动，如图所示。设A A轮的转动惯轮的转动惯量量 ，B B轮的转动惯量轮的转动惯量 ，开始时，开始时，A A轮轮的转速为的转速为 ，B B轮静止。求两轮对心啮合后的转速。并轮静止。求两轮对心啮合后的转速。并求出两轮在啮合过程中机械能的变化量。求出两轮在啮合过程中机械能的变化量。2AJ10kg m=2BJ20kg m=1900r min-解：解： 在在A A和和B B的啮合过程中，系统的角动的啮合过程中，系统的角动量守恒。由此可得量守恒。由此