大学高数第一章函数和极限

1、医用高等数学医用高等数学教师：杜晓曦教师：杜晓曦 电话：电话：139908567101第一章第一章 函数和极限函数和极限 第第1 1章章 函数和极限函数和极限1.1 函数函数1.1.1函数的概念函数的概念2第一章第一章 函数和极限函数和极限关于函数定义的几点说明关于函数定义的几点说明31、函数相同的条件、函数相同的条件两个函数相同的条件是定义域和对应规则均相同。两个函数相同的条件是定义域和对应规则均相同。2、函数定义域的规定、函数定义域的规定函数的定义域必须满足实际意义，在不考虑函数的函数的定义域必须满足实际意义，在不考虑函数的实际意义时，函数的定义域是使函数表达式有意义实际意义时，函数的定义

2、域是使函数表达式有意义的一切实数。的一切实数。3、函数的表示方法、函数的表示方法函数最常用的表示方法为公式法，图像法、表格法函数最常用的表示方法为公式法，图像法、表格法第一章第一章 函数和极限函数和极限函数的常用表示方法函数的常用表示方法例例1-1：在出生在出生1-6个月期间内，正常婴儿的体重近个月期间内，正常婴儿的体重近似满足以下关系式：似满足以下关系式：例例1-2：监护仪记录了某患者一段时间内体温监护仪记录了某患者一段时间内体温 的变的变化曲线，如图化曲线，如图1-1，对于这段时间的任意时刻，对于这段时间的任意时刻 都能都能读出患者的体温读出患者的体温 的值。的值。30.6yx41、公式法

3、、公式法2、图像法、图像法第一章第一章 函数和极限函数和极限例例1-3：表格表格1-1统计记录了某地区某年统计记录了某地区某年1-12月中当月中当地流行性出血热的发病率。地流行性出血热的发病率。53、表格法、表格法第一章第一章 函数和极限函数和极限1.1.2 1.1.2 函数的几种特性函数的几种特性61.1.单值性与多值性单值性与多值性对于自变量的每一个取值，函数对于自变量的每一个取值，函数y y有唯一有唯一确定的确定的一个一个值与之对应，这样的函数称为值与之对应，这样的函数称为单值函数单值函数，否则，否则称为称为多值函数。多值函数。 0 x0y2yx0 x0y0y222yxr单值函数实例单值

4、函数实例多值函数实例多值函数实例第一章第一章 函数和极限函数和极限2 2、函数的单调性、函数的单调性7第一章第一章 函数和极限函数和极限3.3.函数的奇偶性函数的奇偶性8第一章第一章 函数和极限函数和极限4.4.函数的周期性函数的周期性9第一章第一章 函数和极限函数和极限5.5.函数的有界性函数的有界性10第一章第一章 函数和极限函数和极限1.1.31.1.3复合函数复合函数类似地，类似地，可以定义多于两重复合关系的可以定义多于两重复合关系的复合函数。复合函数。111:1,1Dee1212邻域的概念邻域的概念1313第一章第一章 函数和极限函数和极限1.1.4 1.1.4 初等函数初等函数1、

5、基本初等函数（、基本初等函数（basic elementary function）()ayxa幂函数为任意实常数(0,1)xyaaa指数函数log(0,1)ayx aa对数函数sin ,cos ,tan ,cotyx yx yx yx三角函数等sin ,cosyarcx yarcx反三角函数等()yC C常数函数为常数课后作业:复习基本初等函数的性质、定义域、图像等特征14第一章第一章 函数和极限函数和极限常函数基本性质常函数基本性质15解析式解析式:定义域定义域:实数集实数集R()yC C为 常 数第一章第一章 函数和极限函数和极限幂函数基本性质幂函数基本性质16解析式解析式:定义域定义域:

6、必须视常数必须视常数 的取值而定，若的取值而定，若 为分数时，为分数时，通常还要根据其分母的奇偶来决定函数的定义域。通常还要根据其分母的奇偶来决定函数的定义域。图像特征图像特征:所有幂函数必经过点所有幂函数必经过点(1,1)()ayxa为 常 数aa第一章第一章 函数和极限函数和极限幂函数图像幂函数图像170a （时）第一章第一章 函数和极限函数和极限幂函数图像幂函数图像180a （时）第一章第一章 函数和极限函数和极限指数函数基本性质指数函数基本性质19解析式解析式:基本特征基本特征:定义域为实数集定义域为实数集R，值域为，值域为(0,+)，函数，函数图像必经过点图像必经过点(0,1)(1)

7、xyaaa0， 且第一章第一章 函数和极限函数和极限对数函数基本性质对数函数基本性质20解析式解析式:基本特征基本特征:定义域为定义域为(0,+)，值域为实数集，值域为实数集R，图像，图像必经过点必经过点(0,1)log(0,1)ayx aa且0.5( )logf xx2( )logf xx第一章第一章 函数和极限函数和极限正弦、余弦函数基本性质正弦、余弦函数基本性质21解析式解析式:基本特征基本特征:定义域为实数集定义域为实数集R，值域为，值域为-1,1，最小正，最小正周期周期T为为 sin/ cosyxx2第一章第一章 函数和极限函数和极限正切、余切函数基本性质正切、余切函数基本性质22解

8、析式解析式:基本性质基本性质:正切函数定义域为正切函数定义域为 ,余余切函数定义域为切函数定义域为 ，二者周期，二者周期T均为均为 ，值域均为，值域均为(- ,+ ) ,互为倒数。互为倒数。tan/ cotyxx |,2x xkkZ |,x xkkZ第一章第一章 函数和极限函数和极限正切、余切函数基本图像正切、余切函数基本图像23正切函数图像片段正切函数图像片段余切函数图像片段余切函数图像片段2 2、初等函数初等函数例如：)1sin(tan1lg2xexxyxxy、是是初等函数初等函数。定义定义1.3 由基本初等函数经过有限次四则运算和有限由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合所构成

9、的只能用一个解析式表示的函数，次函数复合所构成的只能用一个解析式表示的函数，称为称为初等函数初等函数。2424说明：分段分段函数是一个函数，而不是两个或几个函数是一个函数，而不是两个或几个函数。函数。如以下函数都是分段函数：如以下函数都是分段函数： 1.1.5 1.1.5 分段分段函数函数1,01,0,0,01,01,0 xxxyyxxxx定义定义1.41.4 在自变量的不同变化范围中，对应规律用在自变量的不同变化范围中，对应规律用不同式子来表示的函数，称为不同式子来表示的函数，称为分段分段函数函数。2525第一章第一章 函数和极限函数和极限1.2 极极 限（限（重点重点.难点难点）1.2.1

10、极限极限的概念的概念2627270y 1lim0 xx2828实例3xy lim 30 xx lim 3xx 29293030第一章第一章 函数和极限函数和极限31也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在也可以从函数的图像上明确地看出该函数的极限不存在 xy32323333第一章第一章 函数和极限函数和极限1.2.2 1.2.2 极限的四则运算极限的四则运算34注意：注意：定理省略了具体的极限过程，包括定理省略了具体的极限过程，包括 和和 且适用于有限个函数的情形。且适用于有限个函数的情形。0 xxx 3535例 求1)2(lim22xxxx解：)1(lim)2(lim1)2(lim2

11、2222xxxxxxxxx36)1(lim)2(limlim2222xxxxxx01402例 求4543lim221xxxxx 3738383939 （ 为常数）可作为常用公式直接使用lim0 xC C40404141 （ 为常数）可作为常用公式直接使用lim0 xCC4242第一章第一章 函数和极限函数和极限1.2.3 1.2.3 两个重要极限两个重要极限431. 型:000sinlim1xxx2. 型: 或110lim(1)xxxe1lim(1)xxex第一章第一章 函数和极限函数和极限两个重要极限应用两个重要极限应用4445454646474748484949第一章第一章 函数和极限函数

12、和极限1.2.4 1.2.4 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量定义定义1.7 以零为极限的变量称为无穷小量。以零为极限的变量称为无穷小量。1、一个变量是不是无穷小量，要看其极限过程。、一个变量是不是无穷小量，要看其极限过程。2、无穷小量实质是其绝对值无限小的量，而不是其、无穷小量实质是其绝对值无限小的量，而不是其本身值的无限小。本身值的无限小。5051定义1.8 函数在自变量的某个变化过程中，其绝对值无限增大的量称为无穷大。第一章第一章 函数和极限函数和极限 关于无穷小、无穷大的几点说明关于无穷小、无穷大的几点说明521、无论是无穷小还是无穷大，都与自变量的变化过、无论是无穷小还是无穷大，

13、都与自变量的变化过程密切相关，同一个函数，自变量的变化过程不同，程密切相关，同一个函数，自变量的变化过程不同，函数的变化趋势也不一样。如：函数的变化趋势也不一样。如：53第一章第一章 函数和极限函数和极限关于无穷小的相关定理关于无穷小的相关定理5455第一章第一章 函数和极限函数和极限3 3、无穷小的比较与阶、无穷小的比较与阶565757第一章第一章 函数和极限函数和极限补充补充: :等价无穷小的重要应用等价无穷小的重要应用5859596060第一章第一章 函数和极限函数和极限1.3 函数的连续性函数的连续性61一、一、 函数连续的概念函数连续的概念函数的连续实例函数的连续实例函数的间断实例函数的间断实例函数连续几何特征:函数图像在某点或区间上不间断。第一章第一章 函数和极限函数和极限二、二、 函数连续性的定义函数连续性的定义621、函数增量的概念、函数增量的概念0 x0( )f x0 xx0()f xxyMN图100()()yfxxfx函数增量表达式函数增量表达式632、关于函数连续性的两个定义、关于函数连续性的两个定义64646565函数在 点连续的充要条件是在该点既左连续也右连续。0 x第一章第